高数 函数的幂级数展开式 知识点与例题精讲共21页文档
精选数学分析函数的幂级数展开讲解讲义
n0
n!
lim ( 1) ( n) xn1 0.
n
n!
又 x 1, 有 1 x 1 , 且0 1 1, 从而有 1 x
第二十页，总共三十四页。
1 1 x
n
1.
再当 | x | 1时, 有0 (1 x)1 (1 | x |)1 21.于
是当 1 时 (1 x)1是与 n 无关的有界量;当
如果 f 能在点x0的某邻域上等于其泰勒级数的和函
数, 则称函数 f 在点 x0 的这一邻域内可以展开成泰
勒级数, 并称等式
第六页，总共三十四页。
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
(4)
的右边为 f 在 x x0 处的泰勒展开式, 或幂级数展
论如下:
当 1 时, 收敛域为 (1, 1);
当 1 0 时, 收敛域为 (1, 1];
当 0 时, 收敛域为[1, 1].
第二十二页，总共三十四页。
当 (7)式中 1时就得到
1 1 x x2 1 x
当 1 时得到
2
(1)n xn
, x (1, 1). (8)
1 1 1 x 13 x2 135 x3 , x (1, 1]. (9)
解 由于 f (n)( x) ex , f (n)(0) 1(n 1, 2, ), 因此 f
的拉格朗日余项为
Rn( x)
e x (n 1)!
x n1 (0
1).
显见
第十一页，总共三十四页。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式是一种用无穷多个幂次项来表示函数的展开式。
它是一种非常重要的数学工具，可以用来近似计算各种函数和解决各种数学问题。
在本文中，我们将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并通过一些实例来加深理解。
一、函数的幂级数展开式的定义给定一个实函数f(x)，如果它在一些区间[a, b]上无穷次可导，并且对每一个x∈[a, b]，都存在常数an（n=0,1,2,3,...）使得f(x) = ∑(n=0 to ∞) an(x-a)n，其中an是常数，这个展开式就称为函数f(x)在点a处的幂级数展开式。
其中(x-a)n表示x-a的n次幂。
二、函数的幂级数展开式的性质1.函数的幂级数展开式在其收敛半径内是收敛的，即对于任意x∈[a,b]，幂级数展开式都收敛。
收敛半径的计算可以使用柯西-阿达玛公式进行推导。
2.函数的幂级数展开式可以实现函数的逐项求导和逐项求积分操作，即对幂级数展开式的每一项进行求导或求积分操作后，得到的仍然是原函数在该点的幂级数展开式。
3.函数的幂级数展开式的和函数在展开区间内连续，但在展开区间端点处是否连续需要根据情况来确定。
如果和函数在展开区间端点处连续，那么展开式的收敛性在展开区间端点处也成立。
三、函数的幂级数展开式的应用1.函数逼近：幂级数展开式可以用来逼近各种函数，将一个函数表示为幂级数的形式，可以利用幂级数的性质对其进行计算和分析，从而更好地理解函数的性质。
2.函数求和：使用函数的幂级数展开式可以求解一些无穷级数的和，如调和级数、指数级数、三角级数等。
3.微分方程求解：幂级数展开式可以用来求解一些微分方程，通过将未知函数表示成幂级数的形式，将微分方程转化为幂级数方程，通过比较幂级数展开式的系数来求解未知函数。
4.概率统计：幂级数展开式在概率统计领域有广泛应用，如泰勒级数在正态分布、伽玛分布等概率分布的研究中的应用。
最后，我们通过两个实例来进一步了解函数的幂级数展开式的应用。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式在数学中，函数的幂级数展开式是一种重要的工具，它可以帮助我们更好地理解并计算函数的性质和值。
本文将介绍函数的幂级数展开式的定义、性质和应用，并举例说明。
首先，我们来了解一下函数的幂级数展开式的定义。
给定一个函数f(x)，如果存在一系列常数c0、c1、c2...和x的幂次，使得对于函数的定义域内的任意x，都有以下等式成立：f(x) = c0 + c1x^1 + c2x^2 + ...其中c0、c1、c2...是常数，x^1、x^2...表示x的各个幂次。
这样的幂级数展开式也称为函数f(x)在某个点的Taylor级数。
函数的幂级数展开式的存在性以及展开式的具体形式，取决于函数f(x)的性质和给定的展开点。
接下来，我们来了解一些函数的幂级数展开式的性质。
首先是幂级数的收敛性。
对于给定的函数f(x)，其幂级数展开式在一个收敛域内收敛，而在收敛域外发散。
在收敛域内的任意点，幂级数展开式可以计算出与原函数f(x)相等的值。
其次是幂级数展开式的求导和积分。
对于幂级数展开式，我们可以逐项对其求导和积分。
当幂级数展开式存在有限的半径收敛时，对幂级数逐项求导和积分后得到的新的幂级数展开式依然收敛，并且与原函数的导数和积分相等。
此外，函数的幂级数展开式还可以用于逼近函数的值。
对于给定的函数f(x)，如果我们知道它在某个点的展开式，并且展开式在此点附近收敛，那么我们可以通过截取幂级数展开式的有限项来逼近函数在该点的值。
通常，我们选择截取的项数越多，逼近的精度就越高。
函数的幂级数展开式在实际应用中具有广泛的应用。
首先是在微积分中，我们可以通过函数的幂级数展开式来计算和研究函数的性质，如极值、拐点、渐近线等。
其次，在物理学领域，函数的幂级数展开式被广泛应用于计算物理量的近似解析解。
例如，通过函数的幂级数展开式可以计算近似解析解的电磁场分布、概率分布等。
此外，函数的幂级数展开式还可以用于解决各种工程和科学问题，如信号处理、图像处理、数值计算等。
高数：函数的幂级数展开
解: f x ln1 x ln 2 ln 1
3 2
x
2 x3x2 1 x23x
ln
1 x
x x2 x3
2
3
(1)n xn1
n1 n1
xn n
1 x 1
ln 1
3 2
x
n 1
1n1
n
3 2
x
n
1
3 2
x
1
2 3
x
2 3
因此
f
(x)
ln 2
n
n
定理 (函数的幂级数展开定理)
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的
泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(x)
0。
9.4.5 常用初等函数的幂级数展开式
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数f (x) 展成 x 的幂级数的步骤如下:
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn (x) 是否为0。
n
例1. 将函数 f(x)=ex 展开成 x 的幂级数
泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(x)
0。
证明:
f
(x)
令
f (n
n0
Sn1
) x0
n!
x
x
n
高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
《高等数学Ⅱ》课件-第7章幂级数的展开式及其应用
（3）求出 x S(t)dt 的幂级数形式，并求其收敛域. 0
解：（1）显 然 该 幂 级 数 的 收 敛 域为 ( 1,1] ；
（2）S'(x)
n1
(1)n1 n
xn
n1
(1)n1 n
xn
(1)n1 xn1, 收敛域为（ 1，1）；
n1
（3）
x
S(t)dt
0
x 0 n1
bn1 2 bn
an 2 an1
32
5
2
5
3
©
三、幂级数的性质
1. 代数运算性质
设 an xn和 bn xn 的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
R minR1, R2
(1) 加减法
an xn bn xn
n0
n0
x (R, R)
©
(2) 乘法 （类似于多形式的乘法）
令余项 则在收敛域上有
例如, 等比级数 它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ）, 或写作 x 1.
又如, 级数
所以级数的收敛域仅为
级数发散 ;
幂级数
s( x) u1( x) u2( x) un( x) 定义域
s(x) 的定义域就是 级数的收敛域.
(函余数项,1)项一rn级般((1x数,考)的虑)s部函,(但x分数)只和1有s1ns(在nxx(时)xD),,它ln(i的m1定,s1n)义上( x域,)它是才s(是x)
x
S(t) dt
0
an
n0
x 0
tn
dt
an n0n 1
x n 1 ,
x (R, R )
大一高数幂级数知识点
大一高数幂级数知识点幂级数是数学分析中的一个重要概念，它在函数的分析和近似表示中扮演着重要的角色。
本文将介绍大一高数中与幂级数相关的知识点，包括幂级数的定义、收敛性判定、常见的幂级数函数以及求和方法等内容。
一、幂级数的定义和性质幂级数是一种形如∑(an*(x-a)^n)的级数，其中an为常数系数，x是变量，a是常数。
幂级数通常以x为自变量，可以展开为无穷项的多项式。
幂级数的定义如下：【数学公式】其中，an为幂级数的系数，x-a为幂级数的变量项，n为幂级数的指数。
幂级数的收敛区间是使得幂级数收敛的所有x值所构成的区间。
根据幂级数的性质，收敛区间的长度可以是0到正无穷大，也可以是无穷小到无穷大。
当x位于收敛区间时，幂级数才会收敛于一个确定的值。
二、收敛性判定对于给定的幂级数，我们需要判断其在某个特定点或区间是否收敛。
常用的收敛性判定方法有以下几种：1. 比值判别法：根据幂级数绝对值的比值是否小于1来判断其收敛性。
2. 根值判别法：根据幂级数绝对值的n次根是否小于1来判断其收敛性。
3. 阿贝尔定理：对于幂级数∑(anx^n)，当x=a时，如果∑(an*a^n)收敛，则对任意|x-a|<|a|，幂级数都收敛。
三、常见的幂级数函数1. 指数函数：幂级数形如∑(x^n/n!)，其收敛区间为(-∞, +∞)，用以近似表示自然指数函数。
2. 正弦函数和余弦函数：幂级数形如∑((-1)^n*(x^(2n)/((2n)!)))和∑((-1)^n*(x^(2n+1)/((2n+1)!)))，分别用以近似表示正弦函数和余弦函数。
3. 自然对数函数：幂级数形如∑((-1)^(n+1)*(x^n/n))，其收敛区间为(-1, 1]，用以近似表示自然对数函数。
四、求和方法1. 逐项求和：对于给定的幂级数，可以按照幂级数的定义逐项求和，得到幂级数的和函数。
2. 求导和积分：对于已知的函数，可以通过求导和积分的方式得到其对应的幂级数表示。
函数的幂级数展开公式
函数的幂级数展开公式
（1）函数的幂级数展开介绍
函数的幂级数展开指的是按不断次幂展开一个函数，得到一系列有限
项的展开式。
函数的幂级数展开可以对复杂函数进行简单化，反映函数在
特定点的行为，并且也可以进行解析计算解决一些求积问题，因此函数的
幂级数展开得到了广泛的应用。
（2）基本步骤
（2）然后，在确定函数分解后，需要对每一个因子进行幂级数展开，该展开式的系数可以通过利用积分求得。
（3）最后，将每一个因子的幂级数展开后得到的结果相加，就可以
得到函数的幂级数展开式了。
（3）例题
例子：求函数f(x)=e^(3x)-2e^x+1的幂级数展开式
解：根据上面的步骤，我们首先对f(x)进行函数分解
第二步，对每一个因子进行幂级数展开，有：
e^(3x)=1+3x+9/2x^2+27/6x^3+...
e^x-1=x+x^2/2+x^3/6+...
最后，将每一个因子的幂级数展开后得到的结果相加，就可以得到函
数的幂级数展开式了，即
f(x)=1+3x+9/2x^2+27/6x^3+...+x^2/2+x^3/6+...。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式【实用版】目录1.幂级数展开式的定义2.幂级数展开式的性质3.幂级数展开式的求法4.幂级数展开式的应用正文一、幂级数展开式的定义幂级数展开式，是数学分析中的一种重要概念，主要用于描述函数在某一点附近的近似值。
设函数 f(x) 在点 a 附近展开为幂级数，即：f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 +...+ a_n(x-a)^n +...其中，a_0, a_1, a_2,..., a_n,...为泰勒级数展开式的各项系数，(x-a) 为展开的基函数。
二、幂级数展开式的性质幂级数展开式具有以下性质：1.在收敛域内，幂级数展开式是唯一的。
2.幂级数展开式的各项系数满足：a_n = f^(n)(a) / n!，其中 f^(n)(a) 表示 f(x) 在点 a 处的 n 阶导数。
3.幂级数展开式在收敛域内是连续的，且其极限值为函数 f(x) 在点a 处的值。
4.幂级数展开式可以推广到复数域，此时需要考虑收敛半径。
三、幂级数展开式的求法求幂级数展开式，一般采用泰勒级数展开法。
具体步骤如下：1.确定展开点 a，求出函数 f(x) 在点 a 处的各阶导数 f^(n)(a)。
2.根据泰勒级数展开式的定义，计算各项系数 a_n = f^(n)(a) / n!。
3.将系数代入幂级数展开式的基函数 (x-a)，得到幂级数展开式。
四、幂级数展开式的应用幂级数展开式在数学分析中有广泛应用，如求函数的近似值、求解微分方程、研究函数的性质等。
特别是在数值计算中，幂级数展开式可以作为一种有效的逼近方法，用于求解一些难解的问题。
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式摘要：1.幂级数展开式的概念与意义2.幂级数展开式的基本公式3.常见函数的幂级数展开式4.幂级数展开式的应用5.总结与展望正文：**一、幂级数展开式的概念与意义**在数学中，幂级数展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法。
它通过将函数的自变量逐步代入，展开成一个无穷多项的级数，从而实现对函数的近似表示。
幂级数展开式具有重要的理论意义和实际应用价值，是数学、物理等领域研究的基础工具。
**二、幂级数展开式的基本公式**对于一个幂级数展开式，通常形式如下：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，ai（i=0,1,2,...）为展开式各项的系数，x为自变量。
通过选择合适的级数项数，可以实现对函数f(x)的近似表示。
**三、常见函数的幂级数展开式**1.指数函数：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...2.三角函数：sin(x) ≈ x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) ≈ 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...3.多项式函数：f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ...+ zx + k其中，a、b、c...、k为多项式各项的系数，n为最高次数。
**四、幂级数展开式的应用**1.数值计算：在科学计算中，幂级数展开式可用于求解微分方程、积分等问题。
2.近似计算：在工程、物理等领域，通过幂级数展开式，可以对复杂函数进行近似表示，从而简化问题。
3.函数分析：在数学分析中，幂级数展开式是研究函数性质、求解方程等问题的有力工具。
**五、总结与展望**幂级数展开式是数学中一种重要的表示方法，它在理论研究和实际应用中具有广泛的应用。
掌握幂级数展开式的基本概念、公式和常见函数的展开式，有助于提高我们在各个领域中的计算能力和问题解决能力。
函数的幂级数展开共33页文档
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。——。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
幂级数的展开
x
(n + 1)!
x
e
x
由比值判别法知：级数∑
n =0
x
n +1
(n + 1)!
e 收敛，故其一般项趋于0，
即 lim
x
n +1
n →∞
(n + 1)!
e ＝0，x ∈ (-∞,+∞) 从而有 lim Rn ( x) = 0
x n →∞
16
间接法
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式 求展开式. 算, 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式
定理中的公式称为函数f(x)按(x − a)的幂级数展开到n阶的泰勒公式 或f(x)在x = a处的n阶泰勒公式，简称为n阶泰勒公式。
f(x)的泰勒公式表明，函数f(x)的值可近似地表示为 1 1 (n) 2 f(x) ≈ f(a) + f' (a)(x - a) + ' ' f (a )( x − a ) + L + f (a )( x − a ) n 2! n! 而近似误差可由Rn ( x)来估计。
§7.6函数的幂级数展开 7.6函数的幂级数展开
一、泰勒级数 二、泰勒公式 三、函数的泰勒级数展开
1
问题 n ∞ n −1 x ∑ (−1) n = ln(1 + x )
n =1
( −1 < x ≤ 1)
f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
n=0
∞Leabharlann 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 域内以 为和函数
高数无穷级数初等函数的幂级展开式
n
故得 x 1， 1。
11
3. 常用的麦克劳林级数展开式
xn xn （1）e x 1 x , n! n 0 n!
x ， 。
x3 x5 x 2 n 1 （2）sin x x ( 1) n1 3! 5! ( 2n 1)! x 2 n1 ( 1) n , ( 2n 1)! n 0
lim Rn ( x ) 0
n
n1
n1
n 1
x lim 0 n ( n 1)!
n1
xn xn ex 1 x , n! n 0 n!
x ， 。
7
例2 将函数 f ( x ) sinx 展开成 的幂级数 x 。
1
一、泰勒级数和麦克劳林级数
1. 泰勒公式 （拉格朗日中值公式（往高阶）的推广）
则有 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
设f ( x )在x0的 某 一 邻 域 内 存 在 直( n 1)阶 的 导 数 ， 到
x dx 0 x dx 0
n x n n 0 n1 n 0 2
x
x 1， 1
n1 x x3 x n x x 1 1 2 3 n1 n1 n 0 x n 1 1n 因幂级数 在 x 1 收敛， x 1 发散 在 ， n1 n 0
2
2. 泰勒级数与麦克劳林级数
设 f ( x ) 在 x0 的 某 一 邻 域 内 存 在 任 阶 的 导 数 ， 则 意 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
高数课件 8.3.3 函数展开为幂级数举例
例 1 将函数 f ( x) sin x 在基点
解法一:变换,令 t x
x0
4
的泰勒级数．
4
由于 sin x sin(t ) 2 (cos t sin t)
42
cost 1 1 t 2 1 t 4 sin t t 1 t3 1 t5
2! 4!
3! 5!
sin x 2 [1 t 1 t 2 1 t3 1 t 4 1 t5
2 2 2
2
n0
(1)n ( x 2n
1)n
(1 x 1 1， 即 1 x 3)， 2
2(1
1
x1 4
)
1 2
1
x1 4
x 12 4
x
4
1 3
(1)n
x 4
1 n
1 2
n0
(1)n ( x 22n
1)n
(1
x1 4
1，即
3
x
5)，
f
(
x)
1 4
2
2! 3! 4! 5!
( t )
回代
2 [1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3 1 (x )4
2
4 2! 4 3! 4 4! 4
1 (x )5 ]
5! 4
( x )．
例1
将函数
f
(x)
sin
x
在基点
x0
4
的泰勒级数．
解法二:变形
由于
sin
x
sin4
(
x
35
2n 1
(1 x 1)．
当 x 1时， (1)n 1 ．
4
2n 1
n0
例3. 将f ( x) sin x cos 2x展开成 x的幂级数.