数列极限存在的条件
数列的极限与边界
数列的极限与边界数列是数学中的一个重要概念，它由按照一定规律排列的一系列数字组成。
数列的极限与边界是数列在逼近终点时所遵循的规律与限制。
本文将探讨数列的极限与边界。
一、数列的极限数列的极限是指当数列的项无限逼近某个值时，该值被称为数列的极限。
数学符号表示为liman=n→∞。
1. 无穷大与无穷小在数列中，当数列的项无限逼近正无穷或负无穷时，我们称之为无穷大。
而当数列的项无限逼近零时，我们称之为无穷小。
2. 极限的存在性数列的极限并不总是存在，有些数列的极限是不存在的。
存在极限的数列被称为收敛数列，不存在极限的数列被称为发散数列。
3. 收敛数列的性质收敛数列具有以下性质：- 收敛数列的极限是唯一的；- 若数列{an}与{bn}分别收敛于a和b，则{an+bn}也收敛，并且其极限为a+b；- 若数列{an}收敛于a，且对于每一个n，有an≤bn≤cn，则数列{bn}和{cn}也收敛，并且它们的极限都是a。
二、数列的边界数列的边界是指数列的项在有限范围内所能够达到的上下限。
在数列中，存在上确界和下确界。
上确界是指数列的项中最大的一个值，而下确界是指数列的项中最小的一个值。
1. 上确界的定义对于数列{an}，如果存在一个实数M，使得对于任意的n，都有an≤M成立，那么M就是该数列的上确界。
2. 下确界的定义对于数列{an}，如果存在一个实数m，使得对于任意的n，都有an≥m成立，那么m就是该数列的下确界。
3. 数列的有界性如果数列既有上确界，又有下确界时，我们称该数列是有界的；如果不存在上确界或下确界，则该数列是无界的。
三、数列的极限与边界的关系数列的极限与边界是数列的内在联系。
在数列中，若数列的极限存在，则该数列必定是有界的，即存在上确界和下确界。
1. 极限与上确界的关系对于收敛数列{an}，当其极限存在时，该极限即为该数列的上确界。
2. 极限与下确界的关系对于收敛数列{an}，当其极限存在时，该极限即为该数列的下确界。
数学分析9数列极限存在的条件
§３ 数列极限存在的条件教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
教学要求：（１）掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；（２）初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy 准则判断某些数列的敛散性。
教学重点：单调有界定理、Cauchy 收敛准则及其应用。
教学难点：相关定理的应用。
教学方法：讲练结合。
教学程序：引言在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。
这是极限理论的两基本问题。
在实际应用中，解决了数列{}n a 极限的存在性问题之后，即使极限值的计算较为困难，但由于当n 充分大时，n a 能充分接近其极限a ，故可用n a 作为a 的近似值。
本节将重点讨论极限的存在性问题。
为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。
从收敛数列的有界性可知：若{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列；但反之不一定对，即{}n a 有界不足以保证{}n a 收敛。
例如{}(1)n -。
但直观看来，若{}n a 有界，又{}n a 随n 的增大（减少）而增大（减少），它就有可能与其上界（或下界）非常接近，从而有可能存在极限（或收敛）。
为了说明这一点，先给出具有上述特征的数列一个名称——单调数列。
一、 单调数列定义 若数列{}n a 的各项满足不等式11()n n n a a a a ++≤≥，则称{}n a 为递增（递减）数列。
递增和递减数列统称为单调数列．例如：1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列；{}2n 为递增数列；(1)n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭不是单调数列。
二、 单调有界定理〔问题〕 （1）单调数列一定收敛吗？；（2）收敛数列一定单调吗？一个数列{}n a ，如果仅是单调的或有界的，不足以保证其收敛，但若既单调又有界，就可以了。
数学分析2-323 数列极限存在的条件
n
2
) 1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1)
n! n 1 n 1
n1
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n ).
(n 1)! n 1 n 1
n1
把 en 和 en1的展开式作比较就可发现, en 的展开
式有 n 1 项,其中的每一项都比 en1 的展开式中
的前 n 1 项小,而 en1 的最后一项大于零.因此
n(n 1) n!
11 nn
1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) 1! 2! n 3! n n
1 (1 1 )(1 2 ) (1 n 1),
(1)
n! n n
n
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由此得
en1
1
1 1!
1 (1 2!
1 n
) 1
1 (1 3!
1 n
)(1 1
A2 2 A，并解出 A 2, A 1.
由极限的不等式性, 知道 A 0 , 所以
lim
n
an
2
.
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例2 下面的叙述错在哪儿？
“设 an 2n, n 1, 2, , 则
an1 2n1 2an .
因为显然有
an
0,
所以
{ an }
递增 . 设
lim
n
an
A,
从而得出
A 2A A 0,
即 lim 2n 0 .” n
以前知道圆周率 π 是一个重要的无理数,现在来
介绍另一个重要的无理数 e.
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考察数列
en
(1
1 n
)n
的收敛性,下面的证法
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
极限的存在准则
例3
证明 lim n 1.
n
1 n
证
当 n 1 时,
n 1, 令 n 1 an , (an 0)
根据牛顿二项式公式
1 n
1 n
则 n (1 an )n , n (1 an )n
n( n 1) 2 n( n 1) 2 n 1 nan an an an , 2 2
极限的存在准则
一、夹逼准则 二、单调有界收敛准则 三、极限存在的柯西准则
一、夹逼准则
准则 (数列收敛的夹逼准则)
如果数列{ xn }、 { yn } 及 { zn } 满足下列条件 : (1) yn xn zn
n
( n 1, 2, 3, );
n
( 2) lim yn a , lim zn a , 那么数列{ xn } 存在, 且 lim xn a .
x x0 ( x ) x x0 ( x ) x x0 ( x ) o
lim h( x ) A,
那么 lim f ( x ) 存在, 且等于 A.
n2 sin n2 例1 求极限 lim . n n
3
解
0
3
n2 sin n2 3 n2 1 3 n 0, n n n
3
n2 sin n2 0. 根据夹逼准则可知 lim n n
说明 : 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn 与 zn , 并且 yn 与zn 的极限是容易求的 .
1 1 1 . 例2 求 lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 1 1 n n , 解 2 2 2 2 n 1 n n n 1 n n 1 n 1, 又 lim 2 lim n n n n 1 1 n n 1 lim 2 lim 1, 由夹逼准则得 n n 1 n 1 1 2 n 1 1 1 lim 2 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
高数二 1.5极限存在的条件
证 N1 0, N 2 0, 使得
当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,
取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,
上两式同时成立,
极限存在的条件
极限存在的条件
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件:
(1) yn xn zn
n
( n 1,2,3)
( 2) lim yn a , lim zn a ,
那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n a .
n
n
若 lim f ( x ) A, 数列f ( xn )是f ( x )当x a
x a n
时的一个子列, 则有lim f ( xn ) A.
证 lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使当0 x x 0 时, 恒有 f ( x ) A .
y
sin x x
2 n n1 1 sin 2 1 lim n sin 1, lim n n 1 n n n
函数极限与数列极限的关系
推论 函数极限存在的充要条件是它的任何子 列的极限都存在,且相等.
例4 证明 lim sin
x 0
1 不存在. x
y sin 1 x
1 证 取 x n , n
lim xn 0,
n
且 xn 0;
1 取 x , lim x 且 x n n 0, n 0; 4 n 1 n 2
又 lim xn x0 且 xn x0 ,
数列极限存在的条件
1 2
n
2
n
2
2n 2n
1
n1
n 1 n2
1
n2
1
n1
2n
n 1 1 n 2
n1 n2 2n
n3 4n2 4n 1 1, n3 4n 2 4n
yn ↘.
显然有 xn yn . n, 有 xn yn y1 4. 即数列{ yn }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.
1 ↘.
1
1
n
xn
1
1
1
2
n
n
2
证法四 ( 仍利用均值不等式 )
n个
1
1
n
1
1
1
1
1
1
n n n n
n1
1
n1
1 n
1
n
2 n1
1
1
n1
.
n 1 n 1 n 1
xn xn1 ,
即 xn ↗.
“均值不等式妙用两则”.
证法五 先证明：对 0 a b 和正整数 n ，有不等式
a1
a2
a n1
1
1, n 1
an 1,
可仿上证得 n 3 时
1
1 n
n
↗。
( n 1时无意义, n 2 时诸 ai = 0 , 不能用均值不等式. ) 当 n 2 时, 由
1
1 1 n
1 1 n
1 n2
1,
1
1 n
1 1
1
.
n
1
1n
n
1
1
1
n
.
由
1
极限存在准则两个重要极限公式
令t =1x, 则:
lim(1
1
x)x
=
lim(1
1)t
=
e.
x0
t
t
此结论可推广到
1
lim1 ( x)( x) = e
xa
条件是x a时, ( x) 0，其中a可为
有限值，也可为
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
14
例5 求 lim(1 1 )x .
n2 n n2 1
又 lim n
n = lim n2 n n
1 1 1 = 1,
n
lim
n
n = lim n2 1 n
1 = 1,
1 1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 L 1 ) = 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
6
例2 证明数列 xn = 3 3 L 3 (n重根 式)的极限存在.
证: 显然 xn1 > xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 = 3 3, 假定 xk 3, xk1 = 3 xk 3 3 3,
xn 是有界的 ;
原式
=
lim x (1
x 1 )x
x
=
e e 1
=
e2
2020年9月1日星期二
(20ppt,scau,L.G.YUAN)
16
三、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
10 lim sin x = 1; x0 x
极限存在两个准则
极限存在两个准则
数列极限存在的两个定理
1、 夹逼定理：
若∃N ，当n>N 时，≤≤
n y n x n z 存在条件A y n n =∞→lim =A z n n =∞
→lim ，则：
A x
n n =∞→lim 2、 单调有界数列必收敛定理：
单调上升数列有上界
收敛
单调下降有下界
收敛
函数极限存在的两个定理：
1、 夹逼定理：
存在∃δ>0,在δ<−<0x x 0时，有
n y ≤≤，
n x n z 存在条件A y n x x =→0x x →0
x x → 则：
x lim =，则： A z n =lim A x
n x x =→lim 0
其他趋近过程也有类似结论 2、 单侧极限与双侧极限的关系: A x f =)(lim 0
A x f =−0
0 0 h(x)
0<x<0+δ 只能分别求两侧极限。
3、 一元函数极限不存在时常用的两种方法：
① 左右侧极限存在，但是不相等
)( x -δ<x<
x x x
求极限时，指数函数 y=
x a 反正切函数y=arctanx 反余切函数
y=arccotx 必须要求两侧的极限值。
② ⅰ、∃
→，≠； n x 0x n x 0x
不存在， )(lim n
n x f +∞→ⅱ、∃→，→，
n x 0x n y 0x 但是≠ )(lim n n x f +∞→)(lim n n y f +∞→。
数列极限存在的条件(精)
b1 b 2 , 2 10 10
bn , n 10
(2)
满足柯西收敛准则,其中 b1 ,b2 ,…，bn ,… 是0,1,2,‥,9的数. 证 设
b1 b 2 b ……+ n . 10 10 10
为了便于讨论,不妨令n >m,于是 bm 1 bm 2 bn an am m 1 m 2 ……+ n 10 10 10
1 1 ,b 1 , 将它们带入(1). 由于 令a 1 n1 n
(1)
1 1 ( n 1)a nb (n 1)(1 ) n(1 ) 1 n1 n 1 n 1 1 ) (1 )n . 故有 (1 n1 n
这就是说
1 n (1 ) 为递增数列. n
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bm 1 bm 2 bn an am m 1 m 2 ……+ n 10 10 10 9 1 1 m 1 (1 … n-m 1 ) 10 10 10
1 1 nm 9 10 m 1 1 10 1 10 1 1 1 1 m (1 n m ) m . 10 10 10 m
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例3 证明
n1
1 lim(1 )n 存在. n n
证 先建立一个不等式,设 b a 0,于是对任意一自然数n有
b a
n1
整理后得不等式
bn 1 a n 1 (n 1)b (b a) 或 (n 1)bn ba
n
an1 bn [(n 1)a nb].
§3
数列极限存在的条件
一、单调有界定理 二、柯西(Cauchy)收敛准则
极限理论的两个基本问题 一、数列是否有极限(极限的存在性问题) 二、若极限存在,如何计算此极限（极限的计算问题） 困难 依定义需将每个实数用定义一一验证,不可能.
第二章数列极限2-3 数列极限存在的条件
任何有界数列必有收敛子列.
证 设数列an 有界, 由例5可得有一个单调子列 ank .
显然 ank 是有界的, 再由单调有界定理推得 ank 收敛.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西收敛准则
定理2.11
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
数列 {an } 收敛的充要条件是: 对于任意正数 ，存在 N 0 ，当 n , m N 时, 有 an am .
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
(
a n0
Hale Waihona Puke an ( n n0 )
)
x
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§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
an 0 an ,
这就证明了 lim an .
n
例1 设 a1 2, , an 2 2 2 , , n 求 lim an .
柯西准则的充要条件可用另一 种形式表达为： 0, N 0, 当 n N 时， 对任意 p N+ , 都有
| a n an p | .
满足上述条件的数列称为柯西列.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 )
m
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
从而 1 1 1 1 e lim sn lim(1 ). n n 1! 2! 3! n! 1 1 1 1 由公式 e lim(1 ), 可以较快地 n 1! 2! 3! n! 算出 e 的近似值. 1 1 1 由于 0 snm sn , ( n 1)! ( n 2)! ( n m )! 1 令 m , 得到 0 e sn , n 1,2, . n!n 取 n 10, e s10 2.7182818, 其误差 1 7 0 e s10 10 . 10 10!
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
27
作业
P56 1 写在书上 ; 2; 3；4 .
28
x
1 x
)
x
e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
18
例7 已知 解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim
t
1
解 原式＝
说明
：若利用
lim (1
( x)
1n）]
e
lim (1
x
1x) x
e
17
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有
lim (1
t
t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)
t
lim (1
1t )t
1
t
lim [(1
1t )t
(1
1t )]
e
故
lim (1
k
lim
x0
sin k
k x
x
k
2.
lim tan x x0 x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
数学分析2.3数列极限存在的条件
第二章数列极限2 数列极限存在的条件若数列{a n}的各项满足a n≤a n+1(a n≥a n+1)，则称{a n}为递增(递减)数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
定理 2.9(单调有界定理)：在实数系中，有界的单调数列必有极限，且其极限就是它的上(下)确界.证：若{a n}为有上界的递增数列. 由确界原理可知，{a n}有上确界，记a=sup {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得a-ε<a N.∵{a n}递增，∴当n≥N时，有a-ε<a N≤a n.又{a n}有上界，∴对一切a n，都有a n≤a<a+ε.综上，当n≥N时，有a-ε<a n <a+ε, ∴=a.若{a n}为有下界的递减数列. 由确界原理可知，{a n}有下确界，记b=inf {a n}. 则对∀ε>0，有{a n}中的某一项a N，使得b+ε>a N.∵{a n}递减，∴当n≥N时，有b+ε>a N≥a n.又{a n}有下界，∴对一切a n，都有a n≥b>b-ε.综上，当n≥N时，有b-ε>a n >b+ε, ∴=b.例1：设a n=1，n=1,2,…，其中实数a≥2. 证明数列{a n}收敛. 证：∵a n-1-a n=(1)- (1)=>0.∴{a n}递增. 又a n≤1≤1=2<2，n=1,2,…，∴{a n}有上界. 由单调有界定理可知{a n}收敛.例2：证明数列,,……收敛，并求其极限.n个根号证：记a n=，且a1=<2, 可设a n<2，则有a n+1=<<2，从而对一切n，有a n<2，即{a n}有界。
又a1=>0，a2=>=a1>0，可设a n>a n-1，即a n-a n-1>0；则a n+1-a n=>0，∴{a n}递增.由单调有界定理可知，数列{a n}有极限，记为a. 由=2+a n，对两边取极限得a2=2+a，解得a= -1或a=2. 由数列极限的保不等式性知，a= -1不合理，舍去. ∴.例3：设S为有界数集. 证明：若sup S=a∉ S，则存在严格递增数列{x n}⊂S，使得=a.证：∵sup S=a，∴∀ε>0，∃x∈S，使x>a-ε. 又a∉ S，∴x<a，从而有a-ε< x<a，取ε1=1，则∃x1∈S，使得a-ε1< x1<a，再取ε2=min{,a- x1}>0，则∃x2∈S，使得a-ε2< x2<a，且有x2> a-ε2≥a-(a- x1)= x1.如上循环进行可得x n-1∈S，取εn=min{,a- x n-1}>0，则∃x n∈S，使得a-εn< x n<a，且有x n> a-ε2≥a-(a- x n-1)= x n-1. 至此得到严格递增数列{x n}⊂S，且满足a-εn< x n<a<a+εn，∴=a.例4：证明存在.证：建立不等式b>a>0，对任一正整数n有，b n+1-a n+1<(n+1)b n(b-a)，即a n+1> b n[(n+1)a-nb] (1)以a=1，b=1代入(1)式，得，∴递增；再以a=1，b=1代入(1)式，得1>=，∴<4.∴有界；根据单调有界定理可知：收敛。
数列极限存在的条件
数列极限存在的条件
1. 数列极限的定义：
数列极限是指当一组数的k项的取值趋向于一个值时，此数列的k项称为极限值。
2. 数列极限存在的条件：
(1) 数列项具有确定的规律性：求极限必须有一个已知的数列，该数列必须具有一个确定的规律性或者说，必须是数系。
(2) 导数存在：不存在极限的情况通常是由于数列函数无法在某一点求得它的导数，或者说导数为正无限大、负无限大或无穷大。
(3) 无穷多项式存在：无穷项数列的极限应存在，这样的函数往往可以简化为无穷多项式的形式。
(4) 左右极限存在：左右极限的存在是数列极限存在的充要条件，即对于任意一个数列，其任意一点处必须具有左右极限才能满足数列极限存在条件。
(5) 极限算法存在：若数列满足上述条件，那么就可以通过极限算法来计算极限的值。
(6) 原函数的准确性：在计算极限的值时，数列函数的准确性也非常重要，原函数需要能够准确的表达该数列的趋势。
数列极限存在的判定准则
数列极限存在的判定准则数列极限存在是数学中一个重要的概念，它揭示了数列在无穷项时的趋势和稳定性。
在数学分析中，数列极限存在的判定准则有以下几种：1. Cauchy准则Cauchy准则是数列极限存在的一个重要准则。
根据Cauchy准则，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，对于任意正整数k，满足|an - ak| < ε。
这个准则意味着当数列中的项足够靠后时，这些项之间的差异足够小。
当且仅当数列满足Cauchy准则时，数列的极限才存在。
2. 单调有界准则对于递增（或递减）且有上（或下）界的数列，它的极限存在。
更加具体地，如果数列满足以下条件之一： - 若存在正整数N，当n>N时，有an≤an+1； - 若存在正整数N，当n>N时，有an≥an+1； - 数列有上（或下）界。
以上条件满足之一时，数列的极限存在。
3. 夹逼准则夹逼准则也是数列极限存在的判定准则之一。
如果存在两个数列{an}和{cn}，且满足an≤bn≤cn，并且当n趋近于无穷大时，an和cn都趋近于同一个极限L，那么数列{bn}的极限也收敛于L。
4. 有界性与单调性的整体准则一个数列，如果它是有界的，并且通过去除它的有限项后，剩余的数列具有单调性，那么原始数列的极限存在。
更准确地说，如果数列满足以下条件： - 存在正实数M，使得当n为任意正整数时，有|an|≤M； - 存在正整数N，当n>N时，an+1≥an或an+1≤an；则数列的极限存在。
5. 收敛数列算术运算性质如果两个数列{an}和{bn}收敛于a和b，那么它们的和、差、乘积和商也会收敛，并且有以下性质： - 和的极限为a + b； - 差的极限为a - b； - 乘积的极限为a * b； - 商的极限为a / b（其中b不等于0）。
这个准则告诉我们，如果知道一个数列收敛，并且知道另一个数列与之相关（通过加减乘除操作），我们可以利用这些关系判断极限的存在与值。
数列极限存在的条件
其中 2，证明 {an } 收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
12 23
n 1 n
2
1 n
2,
n
1,2,....
bm2 10m2
bn 10n
9 10m1
9 10m2
9 10n
9 10m1
(1
1 10nm
1 1
)
1 10m
(1
1 10nm
)
10
1 10m
1 m
故数列{an}满足Cauchy收敛条件 ， 从而收敛 。 20
• 2 Ｃauchy收敛准则逆否命题
• 若存在正数 0,使对任给正整数N,存在
正整数n0 , m0 N,使
联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n ，都有
(1 1 )n 4 n
,即
{(1 1 )n} n
有上界。
于是 {(1 1 ) n } 单调递增上界，即收敛。 n
习惯上记lim (1 1)n e 。
n
n
17
二 Cauchy收敛准则：
1 Ｃauchy收敛准则
定理2.10 数列an 收敛的充分必要条件是：
单调递增数列 {xn} S, 使得
lim
n
xn
a
.
Pr oof :supS a S
0, x S, s.t. a x a
现取1 1, x1 S, s.t. a 1 x1 a
取 2
min{1 2
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§1.3 数列极限是否存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题)；
若极限存在，再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题)。
这是极限理论的两个基本问题。
在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限，故可用作为的近似值。
为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每一个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。
若数列的各项满足关系户式则称为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列。
定理1（单调有界定理）单调有界数列必收敛（必有极限）。
证明：不妨设为有上界的递增数列。
由确界原理，数列有上确界，记。
下面证明。
事实上，，按上确界的定义，存在中某一项，使得。
又由的递增性，当时有。
另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有。
从而当时有。
这就证明了。
同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限为它的下确界。
例1 求
解：由均值不等式, 得有下界;
不偿失注意到对有并且
↘···,
故
例2 数列单调有界性.
证明: 设应用二项式展开，得
，
+
注意到
且比多一项即↗.
有界.
综上, 数列{}单调有界.
单调有界定理只是数列收敛的充分条件。
下面给出在实数系中数列收敛的充分必要条件。
定理2（柯西Cauchy收敛准则）数列收敛的充要条件是：，使得当时有。
这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题。
柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。
柯西收敛准则把定义中与的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛性。
例3：证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列
(2)
满足柯西条件(从而收敛)，其中为中的一个数，。
证明：记。
不妨，则有
对任给的，取，则对一切有。
这就证明了数列(2)满足柯西条件。
利用Cauchy收敛准则求极限的例子。
例3：设，，，求；
解：设，显然.
由于, 则
.
于是
().
由Cauchy收敛准则知：存在，把它记为.
由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．
注意到，故．
注：Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.。