数列极限存在的条件

§1.3 数列极限是否存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时，通常先考察该数列是否有极限(极限的存在性问题)；

若极限存在，再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两个基本问题。

在实际应用中，解决了数列极限的存在性问题之后，即使极限的计算较为困难，但由于当充分大时，能充分接近其极限，故可用作为的近似值。

为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每一个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。

若数列的各项满足关系户式则称为递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。

定理1（单调有界定理）单调有界数列必收敛（必有极限）。

证明：不妨设为有上界的递增数列。

由确界原理，数列有上确界，记。下面证明。事实上，，按上确界的定义，存在中某一项，使得。又由的递增性，当时有。

另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有。从而当时有。

这就证明了。

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限为它的下确界。例1 求

解：由均值不等式, 得有下界;

不偿失注意到对有并且

↘···,

故

例2 数列单调有界性.

证明: 设应用二项式展开，得

，

+

注意到

且比多一项即↗.

有界.

综上, 数列{}单调有界.

单调有界定理只是数列收敛的充分条件。下面给出在实数系中数列收敛的充分必要条件。

定理2（柯西Cauchy收敛准则）数列收敛的充要条件是：，使得当时有。

这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在问题。

柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数。

柯西收敛准则把定义中与的关系换成了与的关系，其好处在于无需借助数列以外的数，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其收敛性。例3：证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列

(2)

满足柯西条件(从而收敛)，其中为中的一个数，。

证明：记。不妨，则有

对任给的，取，则对一切有。这就证明了数列(2)满足柯西条件。

利用Cauchy收敛准则求极限的例子。

例3：设，，，求；

解：设，显然.

由于, 则

.

于是

().

由Cauchy收敛准则知：存在，把它记为.

由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．

注意到，故．

注：Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.