如何计算抛物线点处的曲率和曲率半径

合集下载

曲率半径的两种求解方法

曲率半径的两种求解方法

曲率半径的两种求解方法作者:汪邦家孙丽来源:《中学物理·高中》2014年第07期高中物理教材中出现了曲率半径,并且在高考中也出现过求曲率半径的试题.那什么是曲线的曲率半径呢?曲率半径如何求解?很多学生都发出这样的疑问.本文将讨论曲率半径的概念及求曲率半径的两种求解方法.1平面曲线的曲率半径工程技术中用曲率来描述曲线的弯曲程度.如图1所示,设曲线C是光滑的(曲线上每一处都有切线,且切线随切点的移动而连续转动).在曲线C上选定一端点M0作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s,在点M处切线的倾角为a,曲线上另外一点M′对应于弧s+Δs,在点M′处切线的倾角为a+Δa,那么,弧段MM′的长度为|Δs|,当动点从M移动到M′时切线转过的角度为|Δa|.用比值|Δa||Δs|来表达弧段MM′的平均弯曲程度,把这比值叫做弧段MM′的平均曲率,并记作=|ΔaΔs|,当Δs→0时,上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率,记作K,K=|dads|,把ρ=1K=|dsda|称为曲线C在点M的曲率半径.设曲线的直角坐标方程为y=f(x),则ρ=1K=(1+y′2)3/2|y″|.设曲线的参数方程为x=φ(t),,则ρ=1K=[]-1.1抛物线上的曲率半径例1(2011年安徽高考题)现将一物体与水平面成a角的方向以速度v0抛出,如图2所示.则在轨迹最高点P处的曲率半径是多少?方法1数学公式法解斜抛运动参数方程x=φ(t)=v0cosa•t,-12gt2,可得φ′(t)=v0cosa,φ″(t)=0(1)--g(2)把(1)、(2)两式代入ρ=1K=[]-得ρ=[v20cos2a+(v0sina-gt)2]3/2v0gcosa(3)运动到轨迹最高点历时t=v0sinag(4)把(4)代入(3),得ρ=v20cos2ag.方法2物理方法一般的曲线运动可以分为很多小段,每小段都可以看作圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替.而曲线上某点的曲率半径,就是在曲线上包含该点在内的一段弧,当这段弧极小时,可以把把它看作是某个圆的弧,则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径,如图3.这样在分析质点经过曲线上某点的运动时,就可以采用圆周运动的分析方法来处理了.如图3中,当质点运动到A点对应的曲率半径为ρ,速度为vA,向心加速度为an,由向心加速度公式可得an=v2Aρ.解物体在在其轨迹的最高点P处只有水平速度,其水平速度为v0cosa,最高点法向加速度an=g=v0cosa)2ρ,所以曲率半径ρ=v20cos2ag.例2将一小球以v0=10 m/s的初速度从楼顶水平抛出,小球下落t=3 s时位于轨迹曲线上的P点,求曲线在P位置的曲率半径和此时小球的法向加速度.方法1数学公式法平抛运动参数方程x=φ(t)=v0t,得φ′(t)=v0,φ″(t)=0(1)把(1)、(2)两式代入ρ=[]-得ρ=(v20+g2t2)3/2v0g(3)把v0=10 m/s,t=3 s代入(3)式,得ρ=80 m.此时小球瞬时速度v=v20+(gt)2=20 m/s,所以an=v2ρ=5 m/s2.方法2物理方法如图4所示,下落3 s时,竖直速度vy=gt=103 m/s.此时瞬时速度v=v20+(gt)2=20 m/s,设其方向与水平方向夹角为θ,则tanθ=vyv0=3,得θ=60°.把重力加速度g沿该点法向和切向分解,法向分加速度an=gcos60°=5 m/s2.由an=v2ρ得ρ=v2an=2025 m=80 m.1.2椭圆上的曲率半径例3质点沿轨道方程为x2a2+y2b2=1的椭圆从A点开始做逆时针运动,如图5所示.求A、B两点的曲率半径.方法1数学公式法解椭圆的参数方程为x=φ(θ)=acosθ,可得φ′(θ)=-asinθ,φ″(θ)=-acosθ(1)-bsinθ(2)把(1)、(2)两式代入ρ=[]-得ρ=[a2sin2θ+b2cos2θ]3/2ab(3)A点θ=0,代入(3)式得ρA=b2a(4)B点θ=90°,代入(3)式得ρB=a2b(5)方法2物理方法解如图6所示,半径为b的圆柱面被两平面相截,其中一个平面与圆柱面轴线垂直,第二个平面与第一个平面交角为θ,且满足cosθ=ba.两平面的交线与圆柱面相切,如图所示.由图5可知,第一个平面与圆柱面的交线是一个半径为b的圆,第二个平面与圆柱面的交线是一半长轴为b,半短轴为a的椭圆.如图6所示建立直角坐标系,坐标原点在圆心O处,y轴过两个平面交线与圆柱面的切点C.x轴与圆的交点A、y轴与圆的另一个交点B,沿z轴方向在第二个平面上的射影正好是椭圆上的A′、B′.设一质点在半径为b的圆周上做速率为v的匀速圆周运动,则此质点沿z轴方向在第二个平面上的运动将沿椭圆轨道运动.这个射影的运动就是此处选择的运动,在此运动下求椭圆轨道点A′、点B′的曲率半径易知,A点的速度v,法向加速度v2b.A点的射影A′的速度和法向加速度分别为vA′=vcosθ=abv,(aA′)n=(aA)n=v2b.由这两式得A′处的椭圆曲率半径ρA′=v2A′(aA′)n=a2b.同理,由点B的速度v和法向加速度v2b,得B点的射影B′点的速度和法向加速度vB′=v,(aB′)n=(aB)ncosθ=av2b2,由这两式得B′处的椭圆曲率半径ρB′=v2B′(aB′)n=b2a.2立体曲线的曲率半径螺旋线的曲率半径例5已知等距螺旋线在垂直z轴方向的截面圆半径为R,螺距为h,如图7所示.一质点沿此螺旋线做匀速率运动,在垂直z轴方向的投影转过一周所用的时间为T.求该质点在做等距螺旋线运动时螺旋轨迹的曲率半径.方法1数学公式法此题属于立体曲线的曲率半径求解问题,上面给出的平面曲线的曲率半径求解公式在此已经不适用.对于一个以参数化形式给出的空间曲线x=φ(t),,z=ψ(t).其曲率半径计算公式为ρ=(x′2+y′2+z′2)3/2(z″y′-y″z′)2+(x″z′-z″x′)2+(y″x′-x″y′)2.解设此质点沿z轴方向的速率为v∥,螺旋线运动方程为x=φ(θ)=Rcosθ,z=ψ(θ)=v∥θ2πT,得x′=φ′(θ)=-Rsinθ,x″=φ″(θ)=-Rcosθ(1)-Rsinθ(2)z′=ψ′(θ)=v∥t2π,z″=ψ″(θ)=0(3)把(1)、(2)、(3)式代入ρ=[x′2+y′2+z′2]3/2(z″y′-y″z′)2+(x″z′-z″x′)2+(y″x′-x″y′)2,得ρ=4π2R2+v2∥T24π2R(4)质点沿z轴方向做匀速直线运动,v∥T=h(5)把(5)式代入(4)式得ρ=4π2R2+h24π2R.方法2物理方法解质点在垂直轴方向做匀速圆周运动的分速度为v⊥=2πRT(1)沿z轴方向匀速直线运动速度为v∥=hT(2)设质点沿螺旋线运动速度v,则v2=v2⊥+v2∥(3)把(1)、(2)代入(3)得v2=4π2R2+h2T2(4)质点运动的加速度a=ΔvΔt=Δ(v⊥+v∥)Δt=Δv⊥Δt=0,这里Δv∥Δt=0,可知加速度与质点做半径为R的圆周运动的加速度相同,即a=an=(2πT)2R=4π2RT2(5)把(4)、(5)代入ρ=v2a得ρ=4π2R2+h24π2R.从数学和物理两种角度出发都可以求解曲率半径,充分体现了数学工具在处理物理问题中的重要地位,体现了数学和物理在处理同一问题时的和谐统一美.。

曲率及其曲率半径的计算

曲率及其曲率半径的计算

于是 ds 1 y2 dx.这就是弧微分公式.
(
(
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线的关系:
M1
M2 N2 )j
N1
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度,
设曲线C是光滑的,曲线 线 C 上从点 M 到点 M 的弧 为 D s ,切线的转角为 D a .
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) : s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0,相反时s<0. 显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函 数. y y (
Ds MM Dx | MM |
(
2
(
y M Ds
2
Dy 2 1 Dx
(
M0
O x0
M
Dy
Dx
x x+Dx x
Ds MM Dx | MM |
2
Dy 2 1 Dx
有如下关系:
1 1 r , K . r K
例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?
y
y=0.4 x2
4 2
O
2
x
例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮 磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?

曲线上点的曲率半径计算

曲线上点的曲率半径计算

曲线上点的曲率半径计算在微分几何中,曲率的倒数就是曲率半径,即R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线,它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面,曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

曲率半径主要用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度。

比如曲率半径是圆的半径是因为圆上各处的弯曲程度都是一样的;直线不弯曲,在该点与直线相切的圆的半径可以任意大,所以曲率为0,所以直线没有曲率半径。

圆的半径越大,弯曲的程度越小,越接近直线。

所以曲率半径越大,曲率越小,反之亦然。

如果对于曲线上的某一点可以找到曲率相同的圆,那么曲线上该点的曲率半径就是圆的半径(注意是该点的曲率半径,其他点有其他曲率半径)。

也可以理解为尽可能地对曲线进行微分,直到最后逼近一段弧,这段弧对应的半径就是曲线上这一点的曲率半径。

曲率半zhidao径的公式为κ=lim|Δα/Δs|。

ρ=|[(1+y'^2)^(3/2)]/y"|代码package .example.maventest.scort.curvartureRadius;import javafx.geometry.Point2D;public class CurvartureRadius {public static void main(String[] args) {Point2D point2D1 = new Point2D(0, 1);Point2D point2D2 = new Point2D(1, 1);Point2D point2D3 = new Point2D(1, 2);double curvartureRadius =CurvartureRadius.getCurvartureRadius(point2D1,point2D2, point2D3);System.out.println(curvartureRadius);}/*** 曲率半径计算** @param p1 点1* @param p2 点2* @param p3 点3* @return*/public static double getCurvartureRadius(Point2D p1, Point2D p2, Point2D p3) {Point2D v12 = p2.subtract(p1);Point2D v23 = p2.subtract(p2);//three point on the same line,the curvature radius is infinite, return 99999.0if (v12.normalize().equals(v23.normalize())) { return 99999.0;}double x1, x2, x3, y1, y2, y3, x12, y12, x23, y23;double x0, y0;x1 = p1.getX();x2 = p2.getX();x3 = p3.getX();y1 = p1.getY();y2 = p2.getY();y3 = p3.getY();x12 = (x1 + x2) / 2;y12 = (y1 + y2) / 2;x23 = (x2 + x3) / 2;y23 = (y2 + y3) / 2;if (v12.getY() == 0) {x0 = x12;y0 = ((y3 + y2) - (Math.pow(x2 - x0, 2) - Math.pow(x3 - x0, 2)) / (y3 - y2)) / 2;} else if (v23.getY() == 0) {x0 = x23;y0 = ((y1 + y2) - (Math.pow(x2 - x0, 2) - Math.pow(x1 - x0, 2)) / (y1 - y2)) / 2;} else {double k12 = -v12.getX() / v12.getY();double k23 = -v23.getX() / v23.getY();x0 = (y23 - y12 - k23 * x23 + k12 * x12) / (k12 - k23);y0 = (x0 - x12) * k12 + y12;}double R = Math.sqrt(Math.pow((x1 - x0), 2) + Math.pow((y1 - y0), 2));return R;}}。

高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法

高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法

高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法在高考数学中,曲率与曲率半径是一个比较重要的概念,在平面几何和空间几何中都有应用。

曲率指的是曲线在某一点处的弯曲程度,而曲率半径则是曲率的倒数。

对于考生来说,了解曲率与曲率半径的计算方法,能够帮助他们更好地理解和解决相关考题。

一、曲率的定义和计算方法1. 弧长的导数曲线在某一点处的曲率定义为该点处切线与曲线上足够靠近该点的两个点的切线的极限夹角的大小,即:$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}$$其中,$\Delta s$为曲线上两个足够靠近该点的点之间的弧长,$\Delta\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角。

由于$\Delta\alpha$较难直接求解,我们可以通过对式子进行简化,得到:$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}=\lim_{\Deltas\to0}\frac{\Delta(\tan\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}\cdot\frac{\Delta\al pha}{\Deltas}=\lim_{\Delta\theta\to0}\frac{\tan\Delta\theta}{\Delta\theta}=\frac{d \alpha}{ds}$$其中,$\Delta\theta$为所求点处两条足够靠近该点的切线夹角,$d\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角微分。

这里要注意的是,当弧长趋近于0时,我们通常会取$\Delta\alpha$为两条切线的夹角$\theta$,而不是切线的转角$d\alpha$。

2. 参数方程的第二类曲率对于参数方程$x=x(t)$,$y=y(t)$,曲线的切向量可以表示为:$$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$那么,曲线在某一点处的曲率可以表示为:$$k=\left\lvert\frac{d\vec{T}}{ds}\right\rvert=\sqrt{\left(\frac{d\ve c{T_x}}{ds}\right)^2+\left(\frac{d\vec{T_y}}{ds}\right)^2}$$其中,$\lvert\cdot\rvert$表示向量的模,$\vec{T_x}$和$\vec{T_y}$分别表示$\vec{T}$在$x$和$y$方向上的分量。

曲率半径及其计算公式

曲率半径及其计算公式

曲率半径及其计算公式曲率半径是描述曲线弯曲程度的一个重要参数,它在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

在本文中,我们将介绍曲率半径的概念、计算公式以及其在不同领域中的应用。

一、曲率半径的概念。

曲率是描述曲线在某一点处的弯曲程度的物理量,而曲率半径则是描述曲线弯曲程度的一个参数。

在数学上,曲率半径可以用来描述曲线的弯曲程度,它是曲线在某一点处的切线与曲线的曲率圆的半径。

在物理学和工程学中,曲率半径也被广泛应用,例如在光学中用于描述光线的折射和反射,以及在车辆运动学中用于描述车辆行驶轨迹的弯曲程度等。

二、曲率半径的计算公式。

曲率半径的计算公式可以根据曲线的参数方程或者函数方程来进行推导。

对于参数方程表示的曲线,曲率半径的计算公式如下:\[ R = \frac{[(x'(t))^2 + (y'(t))^2]^{3/2}}{|x'(t)y''(t) y'(t)x''(t)|} \]其中,\( x(t) \) 和 \( y(t) \) 分别表示曲线在参数 \( t \) 下的横纵坐标,\( x'(t) \) 和\( y'(t) \) 分别表示曲线在参数 \( t \) 下的横纵坐标的一阶导数,\( x''(t) \) 和 \( y''(t) \) 分别表示曲线在参数 \( t \) 下的横纵坐标的二阶导数。

对于函数方程表示的曲线,曲率半径的计算公式如下:\[ R = \frac{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}{|f''(x)|} \]其中,\( f(x) \) 表示曲线的函数方程,\( f'(x) \) 和 \( f''(x) \) 分别表示曲线在点\( x \) 处的一阶导数和二阶导数。

三、曲率半径的应用。

1. 光学中的应用。

曲率及其曲率半径的计算讲解

曲率及其曲率半径的计算讲解

于是
da
y
1 y2
dx.又知 ds
1 y2 dx.
从而,有
| y | K (1 y2 )3 2

例1
计算等双曲线x y 1在点(1,1)处的曲率.
K
| y | (1 y2 )3 2
解 由y 1 ,得
x
1 y x 2
,y
2 x3

因此,y|x11,y|x12.
1 2.
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1.25.
K 所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过
2.50单位长.
提示:设直线方程为y=ax+b,则y =a, y = 0.于是
K

| (1
y | y2 )3
2

0.
2.若曲线由参数方程
x j (t)

y


(t
)
给出,那么曲率如何计算?
提示:
K

|
j(t) (t) j(t) [j2 (t) 2 (t)]3
(t)
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da .
Ds0a .
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x),且f(x)具有二阶导数.
因为tan a y ,所以
sec 2a da y, da y y ,
dx
dx 1 tan2 a 1 y2
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度,
设曲线C是光滑的,曲线 线C上从点M 到点M 的弧

曲率和半径的关系

曲率和半径的关系

曲率和半径的关系曲率和半径的关系是描述曲线曲率变化的一种数学表示方法。

在几何学和微积分中,曲率是用来衡量曲线弯曲程度的物理量。

半径是曲线上每个点处的曲率半径。

曲率和半径之间存在一种相互关系,通过它们可以推导出曲线在某一点的曲率大小以及曲线的局部特性。

首先,我们需要了解曲率的概念。

在欧几里得空间中,曲线通常用参数方程表示,即 x = f(t), y = g(t), z = h(t)。

在某个参数值 t0 处,假设曲线的切线方向为 T,切线的方程为 P(t) = [f(t0) + xm, g(t0) + yn, h(t0) + zp]。

那么在 t0 处的曲率可以表示为:K(t0) = ||P''(t0)|| / ||P'(t0)||^3其中,P'(t) 和 P''(t) 分别代表 P(t) 的一阶导数和二阶导数。

曲线在某个点处的曲率与曲线局部的弯曲程度有关,曲率值越大表示曲线在该点处的曲率半径越小,曲线越陡峭。

接下来,我们会讨论曲率和半径的具体关系。

考虑一个曲线上的点 P(t) 和其相邻两个点 P(t+h) 和 P(t-h),其对应的切线方向分别是 T1 和 T2。

在点 P(t) 处的曲率可以由它的切线方向和曲线的几何特征来得到。

为了简化计算,我们令 h 取一个较小的值,使得 P(t+h) 和 P(t-h) 都非常接近点 P(t)。

现在,我们可以利用这三个点来计算点 P(t) 处的曲率。

首先,通过点 P(t+h) 和点 P(t-h) 可以得到一个切线隧道。

这个隧道的中轴线刚好是在点 P(t) 处的切线 T。

我们可以用这个切线隧道的半径来近似曲线在点 P(t) 处的曲率半径。

为了计算切线隧道的半径,我们可以将点 P(t) 平移到坐标原点,同时使切线 T 对应的直线与 x 轴重合。

这样,切线隧道上的点可以用一个参数方程来表示:(0, Rcosθ, Rsinθ),其中 R 是切线隧道的半径,θ 是参数。

曲率和曲率半径的计算公式

曲率和曲率半径的计算公式

曲率和曲率半径的计算公式在我们的数学世界里,曲率和曲率半径可是相当有趣又重要的概念。

你要是能把它们搞清楚,那在解决好多数学问题的时候,就能轻松应对啦!先来说说曲率。

曲率啊,简单理解就是描述曲线弯曲程度的一个量。

那怎么来计算它呢?对于函数 y = f(x),其曲率的计算公式是 k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2) 。

这里的 y' 表示函数的一阶导数,y'' 表示二阶导数。

咱们来举个例子感受一下。

比如说有一条抛物线 y = x²。

首先,对它求一阶导数,y' = 2x ,再求二阶导数,y'' = 2 。

然后把它们代入曲率的公式里,就能算出在某个点的曲率啦。

接下来再讲讲曲率半径。

曲率半径呢,就是曲率的倒数。

它的计算公式就是 R = 1 / k 。

给大家分享一个我在教学中的小趣事。

有一次上课,我刚讲到曲率和曲率半径的计算公式,下面的同学一个个都皱着眉头,满脸疑惑。

其中有个特别积极的同学举手说:“老师,这也太复杂了,感觉脑袋都要炸啦!”我笑着回答他:“别着急,咱们一步一步来,就像爬楼梯,只要一个台阶一个台阶地走,总能到顶的。

”然后我就带着他们从最简单的函数开始,一点点推导计算,让他们自己动手去感受这个过程。

慢慢地,同学们紧锁的眉头开始舒展开了,眼睛里也有了亮光。

等到下课的时候,那个一开始抱怨的同学跑过来跟我说:“老师,我好像有点懂啦!”看着他们逐渐掌握这些知识,我心里那叫一个欣慰。

在实际应用中,曲率和曲率半径的计算可有着大用处呢。

比如在工程设计里,要设计一条弯曲的道路或者桥梁,就得先算出曲率和曲率半径,来保证行驶的安全和舒适。

在物理学中,研究曲线运动的时候,这两个概念也能帮助我们更好地理解物体的运动状态。

总之,曲率和曲率半径的计算公式虽然看起来有点复杂,但只要咱们多练习、多思考,就能把它们拿下。

相信大家在以后的学习和生活中,遇到需要用到它们的时候,都能轻松应对,游刃有余!。

几何练习计算曲面的曲率和曲率半径

几何练习计算曲面的曲率和曲率半径

几何练习计算曲面的曲率和曲率半径在几何学中,曲面的曲率是描述曲面弯曲程度的重要概念之一。

曲率的计算可以帮助我们理解曲面的形状,并且在许多应用中有着重要的意义。

本文将介绍如何计算曲面的曲率和曲率半径,以及相关的基本概念和公式。

一、曲面曲率的定义在数学中,曲面的曲率是指曲面上某一点处的切平面与曲面相交所形成的曲线的弯曲程度。

曲率描述了曲线的弯曲程度,曲面的曲率则描述了曲面的弯曲程度。

曲率的计算可以帮助我们理解曲面的局部特征,比如凸凹性、平滑性等。

二、曲率的计算方法对于一个参数形式给定的曲面,我们可以利用曲面上的两个参数方向上的切向量来计算曲面的曲率。

设曲面的参数方程为:x = f(u,v), y =g(u,v), z = h(u,v),其中u,v为参数。

曲率的计算可以分为以下几个步骤:1. 计算切向量由曲面的参数方程可得,曲面上任意一点(x,y,z)处的切向量为:T_u= ∂T/∂T,T_v= ∂T/∂T。

其中P(u,v)表示参数方程对应点的位置向量。

2. 计算曲面法向量曲面法向量N可以通过两个参数方向的向量积得到:N=T_u ×T_v。

3. 计算曲率向量曲率向量K的计算需要先计算曲面法向量N的对称矩阵A:A=T^T ×T。

然后利用切向量T对矩阵A进行线性变换:K=A^(-1) ×T。

4. 计算主曲率和曲率半径考虑到曲面上任意一点的曲率向量K都是三维的,我们可以将其分解为两个相互垂直的方向,即主曲率方向。

主曲率是曲率向量在主曲率方向上的投影。

曲率半径是主曲率倒数的绝对值,即曲率半径=1/主曲率。

三、曲率计算的应用曲率计算在几何学和物理学中具有广泛的应用。

在几何学中,曲率可以帮助我们理解曲面的形状和特征,比如判定曲面的凹凸性、寻找曲面上的最小曲率点等。

在物理学中,曲率计算可以用于描述物体表面的曲率分布,如天体表面的曲率分布、流体表面的曲率分布等。

四、举例说明下面我们通过一个简单的例子来说明曲率的计算方法。

如何计算抛物线某点处的曲率和曲率半径

如何计算抛物线某点处的曲率和曲率半径

用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径对于一般的弧来说,各点处曲率可能不同,但当弧上点A处的曲率不为零时,我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周,它与弧在点A相切(即与弧有公切线),这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。

对于函数图形某点的曲率和曲率半径,在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。

今天我想简单说一种有趣的方法,将该问题用物理的思维来解决,无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。

这种方法不属于主流方法,因此不能用它代替常规方法。

介绍此方法的目的,只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。

举一个最简单的例子:y=-x2,我们作出它的图像设图像上存在一点A(a,-a2),求该点的曲率和曲率半径。

我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动,恰经过A(a,-a2)。

接下来,我们可以算出该点处质点的速度大小:先得到下落时间,接着算出水平速度和竖直速度分量,再合成。

质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g)。

接下来,我们利用角度关系,将A处的加速度(即重力加速度g)沿速度方向和垂直于速度方向分解,如下图:令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ,可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。

我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2),那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。

我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A,且该圆为抛物线A点处的曲率圆,半径为r。

根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r,得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g)/r。

从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2)我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为:R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。

在A点,导数为-2a,二阶导数为-2,所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。

与上面算出的半径相等!因而,曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2抛体运动和圆周运动都是曲线运动,但在高中课本里它们是分开学习的,大家或许曲线运动学得都不错,但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。

曲率与曲率半径

曲率与曲率半径

曲率的倒数就是曲率半径。

曲线的曲率。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。

K=lim|Δα/Δs|,Δs趋向于0的时候,定义k就是曲率。

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度特殊的如:圆上各个地方的弯曲程度都是一样的(常识)而曲率半径就是它自己的半径;直线不弯曲,所以曲率是0,0没有倒数,所以直线没有曲率半径.
圆形越大,弯曲程度就越小,也就越近似一条直线.所以说,圆越大曲率越小,曲率越小,曲率半径也就越大.
如果在某条曲线上的某个点可以找到一个相对的圆形跟他有相等的曲率,
那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径(注意,是这个点的曲率半径,其他点有其他的曲率半径).也可以这样理解:就是把那一段曲线尽可能的微分,直到最后近似一个圆弧,这个圆弧对应的半径即曲线上这个点的曲率半径.
例如在曲线CD上点A和临近一点A'各做一条切线,A和A'之间的弧长为ΔS,两条切线夹角为α,则曲线CD在A点的曲率为
曲线CD在A点的曲率
右图。

以平面曲线为例,做一圆通过平面曲线上的某一点A和邻近的另外两点B1,B2,当B1和B2无限趋近于A时,此圆的极限位置叫做曲线A
点处的曲率圆。

物理中曲率半径计算公式

物理中曲率半径计算公式

物理中曲率半径计算公式全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:曲率半径是描述曲线在某一点处的弯曲程度的物理量,是表征曲线局部形状的重要参数之一。

在物理学中,曲率半径的计算公式可以帮助我们更好地理解曲线的特性和行为。

本文将介绍物理学中曲率半径的计算公式及其应用。

一、曲率半径的定义在物理学中,曲率是曲线在给定点处的弯曲程度的量度。

曲率半径是曲线上某一点处的曲率的倒数。

曲率半径越小,曲线就越陡峭;曲率半径越大,曲线就越平缓。

曲率半径的概念在物理学中有广泛的应用,例如在天文学中描述星体运动的轨迹、在地质学中描述地球表面的地形等。

二、曲率半径的计算公式R = (1 + y'²)^(3/2) / |y''|R表示曲率半径,y'表示曲线在给定点处的导数,y''表示曲线在给定点处的二阶导数。

这个公式是基于微分几何中的曲率公式得到的,通过求解导数和二阶导数可以得到曲率半径的数值。

1. 在天文学中,曲率半径用于描述行星和恒星的轨道运动。

地球绕太阳运动时,地球轨道的曲率半径可以帮助科学家确定地球与太阳之间的距离和运动速度。

2. 在地图学中,曲率半径可以帮助地质学家和地理学家描述地球表面的地形特征。

根据曲率半径的计算结果,可以确定山脉、湖泊、河流等地理要素的形态和地理变化。

3. 在工程学中,曲率半径在设计曲线道路和弯道时很有用。

通过计算曲率半径,工程师可以设计出更安全和更有效率的道路,并缩短车辆行驶的时间和距离。

曲率半径的计算公式是描述曲线形状和弯曲程度的关键工具之一。

通过计算曲率半径,我们可以更好地理解物理现象和自然规律,为科学研究和工程设计提供更准确的数据支持。

希望本文对您了解物理学中曲率半径计算公式有所帮助。

【字数超出2000字限制,请暂时先阅览至此部分,如需继续添加内容,请告知。

】第二篇示例:物理学中,曲率半径是指曲线的一种属性,它描述了曲线的弯曲程度。

在实际问题中,曲率半径的计算有很大的意义,可以帮助我们更好地理解曲线的性质和行为。

曲率半径的计算公式物理

曲率半径的计算公式物理

曲率半径的计算公式物理物理术语“曲率半径”一般指表面或曲线的曲率,也即表面或曲线的“弯曲程度”。

曲率半径可以用来计算散乱现象,如穿透表面的光线,因此,曲率半径的计算物理公式是应用物理学中不可缺少的知识点。

首先,我们需要了解表面的曲率可以用泰勒-利昂-拉格朗日特殊曲率公式(TLLR)表示:K = K1 + K2其中K1表示曲线的一阶导数,K2表示曲线的二阶导数。

根据公式,我们可以知道,曲线曲率半径r可以表示为:r =1/K 。

为方便计算,通常将上式写成:r =1/K1+K2由此可见,曲率半径计算公式物理中一般需要求解表面和曲线的曲率,因此,在计算曲率半径时,需要首先求解曲线的一阶导数和二阶导数来计算曲率K,然后再求解曲率半径r。

当然,出于实际应用的考虑,曲率半径计算公式物理还可以用梯形公式求解:r=1/K=1/[dy/dx]^2公式中的dy/dx表示曲线的斜率,即曲线的一阶导数,曲线的二阶导数K可以用斜率的二次导数表示:K=d^2y/dx^2由此,曲率半径r也可以由一阶导数和二阶导数计算出来:r=1/[d^2y/dx^2]由此可见,曲率半径计算公式物理可以用泰勒-利昂-拉格朗日特殊曲率公式、梯形公式和一阶导数和二阶导数来求解,对于更复杂的应用,可以使用几何分析等其他方法来求解曲率半径。

本文分析了曲率半径计算公式物理的基础知识,首先介绍了泰勒-利昂-拉格朗日特殊曲率公式、梯形公式以及一阶导数和二阶导数,然后详细阐述了如何用这些公式求解曲率半径,最后提出了对于更复杂问题可以使用几何分析等方法。

从上文可以看出,曲率半径的计算公式物理是应用物理学中不可缺少的知识点,在日常生活中可以用来计算光线传播、传热通量等等现象,从而更好的理解物理学的规律。

曲率半径的定义和公式

曲率半径的定义和公式

曲率半径的定义和公式
曲率半径是描述曲线在某一点处弯曲程度的物理量。

它表示了曲线在该点处的
弯曲半径,是一个用于衡量曲线弯曲程度的数值。

曲率半径的定义可以简单解释为:曲线是由一系列连续的点组成的,曲率半径
就是通过这些点构成的曲线在某一点处的弯曲半径。

曲率半径的公式是通过对曲线进行微分来得到的。

对于平面曲线,曲率半径的
公式为:ρ = 1/κ,其中κ代表曲率。

曲率κ是曲线在某一点处的弯曲程度,是曲线
在该点处切线的弯曲程度。

对于空间曲线,曲率半径的公式稍有不同。

在三维空间中,曲率半径的公式为:ρ = cos(θ)/κ,其中θ是曲线在该点处的切线和法线之间的夹角,κ仍然表示曲率。

需要注意的是,曲率和曲率半径是由曲线的形状决定的,而非曲线的方程。

因此,在计算曲率半径时,需要对曲线进行参数化,然后对该参数化曲线进行微分,最终得出曲率和曲率半径。

总结起来,曲率半径是描述曲线弯曲程度的物理量,表示了曲线在某一点处的
弯曲半径。

曲率半径的公式根据曲线的维度和参数化方式而不同,在平面曲线中为ρ = 1/κ,在空间曲线中为ρ = cos(θ)/κ。

要计算曲率半径,需要对曲线进行参数化,然后进行微分计算。

希望以上内容能满足你对于曲率半径定义和公式的描述需求。

如果还有其他问题,欢迎继续提问。

曲率及其曲率半径的计算

曲率及其曲率半径的计算

M0
s>0
M
M
s<0
M0
O
x0
x
x
O
x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分. 设 x , x+ D x 为 ( a , b ) 内两个邻近的点 ,它们在曲线 yf(x)上的对应点为M,M,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增 量为Ds,于是
Ds MM D x Dx
| y | 2 1 2 0.8. 2 3 2 K . 2 32 2 (1 y ) (1 (1) ) 2
抛物线顶点处的曲率半径为
1 r 1.25. K
所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过 2.50单位长.
(
Dy | MM | | MM | y, lim 因为 lim 1, 又 lim D x 0 Dx 0 | MM | M M | MM | Dx ds 2 因此 1 y . dx ds ds 1 y2 . 由于ss(x)是单调增加函数,从而 >0, dx dx
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
有向弧段 M0 M 的值 s(简称为弧s) : s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0,相反时s<0. 显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函 数. y y (
y M0 O
C M Ds Da a+Da x
s
a
M

从曲率半径的得出推导函数在某一点处的曲率公式

从曲率半径的得出推导函数在某一点处的曲率公式

从曲率半径的得出推导函数在某⼀点处的曲率公式
⼀、定义:
曲线的曲率:就是针对曲线上某个点的切线⽅向⾓对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。

数学上表明曲线在某⼀点的弯曲程度的数值。

曲率半径:最接近该点处曲线的圆弧的半径,⼤⼩等于曲率的倒数。

⼆、求曲率半径思路:
将某点极短相邻区域内函数近似看作圆弧,通过圆弧长度/夹⾓可得出半径再令长度趋于0即可得到曲率半径的⼤⼩。

三、公式推导:
1.求弧长(近似代替曲率圆弧长):
给定函数f(x),要求其上⼀点(x0,f(x0))处的曲率半径,在x0邻域内取⼀点(x1,f(x1)),由弧长计算公式有:

2.求夹⾓(近似代替曲率圆夹⾓):
由于|x0-x1|⾮常⼩,曲率圆上的夹⾓近似于A,B两点到曲率圆圆⼼之间的夹⾓。

夹⾓⽤两点处的切线的负倒数的反正切的差表⽰,

则曲率半径可表⽰为
3.求极限:
应⽤洛必达法则分⼦分母同时对x1求偏导数可得
化简得

因此,函数在任意⼀点处曲率圆的曲率半径为
由于曲率半径与曲率⼤⼩互为倒数,则该点处曲率的值为
注意:
如果要求函数⼀点处曲率圆⽅程,求出曲率半径后还需判断函数在该点处的凸凹性来判断曲率圆圆⼼在函数的哪⼀侧,若
,则圆⼼在函数上侧,即圆⼼纵坐标⼤于该点的纵坐标,若,则圆⼼在函数下侧,即圆⼼纵坐标⼩于该点的纵坐标。

曲率半径的计算公式

曲率半径的计算公式

曲率半径的计算公式是什么?
曲率半径的计算公式是R=1/K。

平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。

对于曲线,它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。

对于表面,曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

应用:
(1)对于差分几何上的应用,请参阅Cesàro方程。

(2)对于地球的曲率半径(由椭圆椭圆近似),请参见地球的曲率半径。

(3)曲率半径也用于梁的弯曲三部分方程中。

(4)曲率半径(光学)。

(5)半导体结构中的应力。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径
对于一般的弧来说,各点处曲率可能不同,但当弧上点A处的曲率不为零时,我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周,它与弧在点A相切(即与弧有公切线),这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。

对于函数图形某点的曲率和曲率半径,在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。

今天我想简单说一种有趣的方法,将该问题用物理的思维来解决,无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。

这种方法不属于主流方法,因此不能用它代替常规方法。

介绍此方法的目的,只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。

举一个最简单的例子:y=-x2,我们作出它的图像
设图像上存在一点A(a,-a2),求该点的曲率和曲率半径。

我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动,恰经过A(a,-a2)。

接下来,我们可以算出该点处质点的速度大小:先得到下落时间,接着算出水平速度和竖直速度分量,再合成。

质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g)。

接下来,我们利用角度关系,将A处的加速度(即重力加速度g)沿速度方向和垂直于速度方向分解,如下图:
令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ,可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。

我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2),那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。

我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A,且该圆为抛物线A点处的曲率圆,半径为r。

根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r,得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g)/r。

从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2)
我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为:R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。

在A点,导数为-2a,二阶导数为-2,所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。

与上面算出的半径相等!
因而,曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2
抛体运动和圆周运动都是曲线运动,但在高中课本里它们是分开学习的,大家或许曲线运动学得都不错,但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。

高中阶段数学还没有曲率半径的概念,写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识,也并不代表这种求法能够替代微积分。

表面上看,这是一种新的数学求法,但实质上是以数学的形式为物理服务,目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的,它们内部有着非常大的联系,甚至可以说本质是相同的,我们甚至可以将抛体运动视为由无数个圆周运动组合而成!。

相关文档
最新文档