结构动力学-力学班-习题课(单自由度体系1)
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
结构动力学习题解答一二章
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
结构动力学【习题课】(单自由度体系1)
15.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数. 15.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数. 求图示体系的自振频率和周期 常数 解:
m
l
5l 3 δ 11 = ; 3EI
1 3EI = ω = mδ11 5ml3
2
l =1 l
ω=
3EI 3EI 5ml3
5ml3 = 2π T= ω 3EI
l
2π
10.图示体系,不计阻尼及杆件质量, 10.图示体系,不计阻尼及杆件质量,其振动微分方程为 图示体系
M 0 sin θ t单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 11.无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致 12.计算自振频率时可以不计阻尼。 12.计算自振频率时可以不计阻尼。 计算自振频率时可以不计阻尼 13.任何体系均能发生自由振动。 13.任何体系均能发生自由振动。 任何体系均能发生自由振动 14.图示体系的动力自由度为多少？ 14.图示体系的动力自由度为多少？ 图示体系的动力自由度为多少
动荷载及其分类第12章小结自由度及其确定运动方程的建立运动方程的求解方法动力特性计算动力反应计算确定动力特性的试验方法阻尼力假定及阻尼的影响简谐荷载周期荷载阶跃荷载冲击荷载一般荷载经典解法频域解法时域解法数值解法公式法能量守恒幅值方程惯性力法虚功法动荷载及其分类第12章小结自由度及其确定运动方程的建立运动方程的求解方法动力特性计算动力反应计算确定动力特性的试验方法阻尼力假定及阻尼的影响简谐荷载周期荷载阶跃荷载冲击荷载一般荷载经典解法频域解法时域解法数值解法公式法能量守恒幅值方程惯性力法虚功法1
EA = ∞
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 体系的振幅和自振频率与初始条件有关
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解
![[美]R.克里夫《结构动力学》补充详解及习题解](https://img.taocdn.com/s3/m/198055225627a5e9856a561252d380eb629423b8.png)
前言结构动力学是比较难学的一门课程，但是你一旦学会并且融会贯通，你就会为成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
结构动力学学习的难点主要有以下两个方面。
1 概念难理解，主要表现在两个方面，一是表达清楚难，如果你对概念理解的很透彻，那么你写的书对概念的表述也会言简意赅，切中要害（克里夫的书就是这个特点），有的书会对一个概念用了很多文字进行解释，但是还是没有说清楚，也有的书受水平限制，本身表述就不清楚。
二是理解难，有点只可意会不可言传的味道，老师讲的头头是道，自己听得云山雾绕。
2 公式推导过程难，一是力学知识点密集，推导过程需要力学概念清析，并且需要每一步的力学公式熟悉；二是需要一定的数学基础，而且有的是在本科阶段并没有学习的数学知识。
克里夫《结构动力学》被称为经典的结构动力学教材，但是也很难看懂。
之所以被称为经典，主要就是对力学的概念表达的语言准确，概念清楚。
为什么难懂呢？是因为公式的推导过程比较简单，省略过多。
本来公式的推导过程既需要力学概念清楚也需要数学公式熟悉，但是一般人不是力学概念不清楚，就是数学公式不熟悉，更有两者都不熟悉者。
所以在学习过程中感觉很难，本学习详解是在该书概念清楚的基础上，对力学公式推导过程进行详细推导，并且有的加以解释，帮助你在学习过程中加深理解和记忆。
达到融会贯通，为你成为结构院士、大师和总工垫定坚实的基础。
以下黑体字是注释，其它为原书文字。
[美] R∙克里夫《结构动力学》辅导学习详解第1章结构动力学概述… …第Ⅰ篇单自由度体系第2章基本动力体系的组成… …§2-5 无阻尼自由振动分析如上一节所述，有阻尼的弹簧-质量体系的运动方程可表示为mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=p(t)（2-19）其中ν(t)是相对于静力平衡位置的动力反应；p(t)是作用于体系的等效荷载，它可以是直接作用的或是支撑运动的结构。
为了获得方程（2-19）的解，首先考虑方程右边等于零的齐次方程，即mv̈(t)+cv̇(t)+kν(t)=0（2-20）mv(t)+kν(t)=0（2-20a）此处公式应该为mv(t)+kν(t)=0，因为该节是无阻尼自由振，而且（2-20）的解，式（2-21）也是公式mv(t)+kν(t)=0的解在作用力等于零时产生的运动称为自由振动，现在要研究的即为体系的自由振动反应。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算是土木工程和机械工程领域中的一个重要分支，它涉及到结构在动力作用下的响应分析。
这门课程的课后习题通常要求学生运用所学的理论，解决实际工程问题。
以下是一些可能的习题答案示例，请注意，这些答案是基于假设的习题内容，实际的习题答案应根据具体的题目来确定。
习题1：单自由度系统的动力响应假设有一个单自由度系统，其质量为m，阻尼系数为c，刚度系数为k。
系统受到一个简谐激励F(t) = F0 * sin(ωt)，其中F0是激励力的幅值，ω是激励频率。
求系统的稳态响应。
答案：对于单自由度系统，其运动方程可以表示为：\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F_0 \sin(\omega t) \]稳态响应可以通过求解上述方程的特解来获得。
特解的形式为：\[ x(t) = X \sin(\omega t + \phi) \]其中，振幅X和相位角φ可以通过以下公式计算：\[ X = \frac{F_0}{\sqrt{(\omega^2 m - \omega^2)^2 +(c\omega)^2}} \]\[ \phi = \arctan\left(\frac{c\omega}{\omega^2 m -\omega^2}\right) \]习题2：多自由度系统的模态分析考虑一个两自由度系统，其质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵分别为：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & k_c \\ k_c & k_2\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 \\ 0 & c_2\end{bmatrix} \]求系统的自然频率和模态形状。
结构动力学-1、单自由度建立方程
EI
L
A
m EI P
EI
EI1=∞
L
A
B
C
KN
E D EI P m
EI 2L3
F
L
EI1=∞ L
L
K
Δ=1
k/2 取半结构
1
问题
1
支座水平移动单位位移下
引起的柱间剪力 = K/2
等价问题
即，“支座移动”结构内力的计算问
题
1
1
6i/L
R
4i
6i
r
等价问题
6i/L
2i
3 位移法方程：r11θ+ R = 0 ，解得 B 5L
1
6i/L
R
4i 6i
r
6i/L
1
2i
K/2
18i/5L
VBA M图 24i/5L
K2 EI=∞ A C D
E
F
G K2 x
m
K1
2)考虑EFG部分的受力
E y(t)
F m dx
G
由∑MG=0 得：
R
K2y(t)/2
y (t ) R 2L K 2 L 2
2L
0
xy(t ) m dx( ) x 0 2L
3）考虑ABDE部分的受力
A
x
m dx
D
E y(t)
FI
R1P
R2P r11
M P图
M1
M2
PL sin t 0 r11 r12 y t 8 P sin t r21 r22 y t mt y 0 2
117 EI 37 P sint t y y t 3 80 m 10 mL
结构动力学【习题课】(单自由度体系1)
EI l
m
4.图 所示结构周期为T 则图b 4.图a所示结构周期为Ti,则图b所示体系的周期为
T =
T1 + T + T
2 2 2
2 3
ki m
k1 k2 k3 m
(a) 5.图示体系的自振频率为 5.图示体系的自振频率为 .
(b)
EI = ∞ k
l l
m
6.图示体系的动力自由度为5. 6.图示体系的动力自由度为5. 图示体系的动力自由度为 EI=常数
第1 、2 章
小结 动力特性计算 公式法 能量守恒 幅值方程 动力反应计算 简谐荷载 周期荷载 阶跃荷载 冲击荷载 一般荷载
动荷载及其分类 自由度及其确定 运动方程的建立 惯性力法 虚功法 运动方程的求解方法 经典解法 频域解法 时域解法 数值解法 确定动力特性的试验方法 阻尼力假定及阻尼的影响
1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 若使单自由度体系的阻尼增大 错
EA = ∞
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 体系的振幅和自振频率与初始条件有关
8.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以 8.在图示体系中,若要使其自振频率增大, 在图示体系中 A.增大 ; A.增大P; 增大 C.增大 ; C.增大m; 增大 B.增大EI; B.增大EI; 增大 D.增大 l . D.增大
ωD = ω 1−ξ 2
&& + 2ξω y + ω 2 y = P ( t ) / m & y
)
2.单自度体系运动方程为 2.单自度体系运动方程为 其中未考虑质体重力,这是因为( 其中未考虑质体重力,这是因为(
习题课12.结构动力计算(一)
EI → ∞
A
k a
a
(不计分布质量)
m EI → ∞ m 3aθ (t ) θ (t ) aθ (t ) 2aθ (t )
FR = 2aθ (t )k
∑M
A
=0
&& && 2aθ (t ) k ⋅ 2a = − maθ (t ) ⋅ a − 3maθ (t ) ⋅ 3a && 10ma 2θ (t ) + 4ka 2θ (t ) = 0
−u0θ 2 u0θ 2 y (t ) = 2 sin θ t = 2 2 θ −ω ω −θ 2
u0θ 2 θ2 y (t ) = 2 sin θ t = u0 ⋅ 2 ⋅ 2 ω −θ ω
1
= β yst sin θ t = A sin θ t
θ 1− 2 ω
2
sin θ t
β=
1
θ2 1− 2 ω
2）求 ω
g 980 ω= = = 3266.667 = 57.15(1 s ) −2 Wδ 40 × 0.75 ×10
3）求
ymax
∆ st = W δ = 40 × 0.75 × 10−2 = 30 × 10−2 m = 0.3cm
A= v0 198 2 y + = 0.3 + ω 57.15
&&(t ) + 0.75 k θ (t ) = 0 θ ml
k ω = 0.866 ml
三．重物自高处下落到梁中点即与梁一起振动，求 自振频率ω 、振幅A及最大挠度ymax 。（W=40kN ， h=20cm， l=6m， E=3×103kN/cm2 ， I=2×105cm4）
(整理)1 单自由度体系的自由振动.
y sy(t)s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y§1 单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。
根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。
式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1y s W k=⋅ 即 y s W k =⋅因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得()0F t ky =-+ （2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。
这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d yF t m dt =-代入式（2）得：22()0d ym ky t dt+= 令2k m ω= dyy dt= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d ym ky t dt+= 可变为 20y y ω+= （3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
结构动力学-力学-练习
ωD = ω 1−ξ 2
&& + 2ξω y + ω 2 y = P ( t ) / m & y
)
2.单自度体系运动方程为 2.单自度体系运动方程为 其中未考虑质体重力,这是因为( 其中未考虑质体重力,这是因为(
X12 = 3.614 X22
30.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数. 30.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数. 求图示体系的自振频率和周期 常数 解:
m
l
5l 3 δ 11 = ; 3EI
1 3EI = ω = mδ11 5ml3
2
l =1 l
ω=
3EI 3EI 5ml3
5ml3 = 2π T= ω 3EI
l
2π
m EI
l/2 (a) l/2
2m 2EI
l/2 l/2
2m 2EI
l (c) 。 l
(b) 13.图示体系 不计阻尼及杆件质量, 图示体系, 13.图示体系,不计阻尼及杆件质量,其振动微分方程为
M 0 sin θ t
EI
l
m
14.无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 14.无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致 15.单自由度体系在简谐荷载作用下，位移与内力的动力系数时一样的。 15.单自由度体系在简谐荷载作用下，位移与内力的动力系数时一样的。 单自由度体系在简谐荷载作用下 16.计算自振频率时可以不计阻尼。 16.计算自振频率时可以不计阻尼。 计算自振频率时可以不计阻尼 17.振幅算式 表示体系上静荷载产生的位移。 17.振幅算式 A = y st µ 中的 y st 表示体系上静荷载产生的位移。 18.增大刚度就必能减小振幅。 18.增大刚度就必能减小振幅。 增大刚度就必能减小振幅 19.把静载P改换成任何动荷载P(t)，位移一定增大。 19.把静载P改换成任何动荷载P(t)，位移一定增大。 把静载 P(t) 20.有限自由度体系在自由振动中振动形状保持不变。 20.有限自由度体系在自由振动中振动形状保持不变。 有限自由度体系在自由振动中振动形状保持不变 21.对称体系的振型都是对称的。 21.对称体系的振型都是对称的。 对称体系的振型都是对称的 22.用能量法算出的基频一般都偏大。 22.用能量法算出的基频一般都偏大。 用能量法算出的基频一般都偏大 23.任何体系均能发生自由振动。 23.任何体系均能发生自由振动。 任何体系均能发生自由振动
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
结构动力学-单自由度体系.
ui 1 ln 阻尼比： 2j ui j
2
J50% —振幅衰减至50%所需的次数 1 1 0.11 ln 2, ln 2 J 50% 2J 50% J 50%
un exp(m ) un m
2 m 2 exp(m ) exp(2 m ) 1 2 m 2! u u n n m 2 mun m
结构自振频率和自振周期及其关系
k 自振圆频率： n m
自振周期：
(单位：弧度/秒, rad/s)
Tn
2
n
(单位：秒, sec)
自振频率：
n fn 2
(单位：周/秒, 赫兹, Hz)
第3章 单自由度体系的自由振动
3.2 有阻尼自由振动 运动方程：
cu ku 0 mu
3.2 有阻尼自由振动
D n 1 2
TD Tn 1 2
ωD—阻尼体系的自振频率
TD—阻尼体系的自振周期
ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期
(1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小
(2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长， 当ζ＝1时，自振周期TD=∞。
3.2 有阻尼自由振动
3.2 有阻尼自由振动
4.自由振动试验
解：
① 计算阻尼比ζ ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm
ui 1 代入方程： ln 2j ui j
1 5 ln 0.0276 得： 8 2.5
结构属于小阻尼体系
(2.76%)
3.2 有阻尼自由振动
4.自由振动试验
解：
② 计算无阻尼自振周期Tn (振动周次：4；时间：2秒) 有阻尼自振周期： 2.0 TD 0.5 sec 4
单自由度体系列运动方程习题
习题1.1-1.3 根据刚度的基本定义，确定图P1.1至P1.3中所示的弹簧—质量系统中组合弹簧的有效刚度，并写出运动方程。
图P1.31.4 图P1.4所示的单摆由一个可绕O 点转动的无质量刚性杆和在其端部的质量m 组成。
推导控制单摆自由运动的方程，对于微幅振动，将运动方程线性化，并求其固有频率。
图P1.41.5 考虑xy 平面内复摆的自由运动，复摆由一个刚性杆悬挂于一个点组成(图P1.5)。
杆长为L ，质量为m ，沿杆长均匀分布，宽度为b ，厚度为t 。
摆中心线从y 轴开始量测的角位移记为θ(t )。
(a) 推导控制()t θ的方程； (b) 对微小的θ，将方程线性化； (c) 确定微幅振动时的固有频率。
图P1.5 图P1.61.6 对图P1.6所示体系重复问题1.5，所不同的只有一点：杆件的宽度从O 点的0变化到自由端的b 。
1.7 建立图P1.7所示体系控制竖向运动的方程。
杆件由弹性模量为E 的弹性材料制造，横截面面积为A ，长度为L 。
忽略杆件质量，位移u 从静平衡位置开始量测。
图P1.1 图P1.2图P1.71.8一个质量为m的刚性圆盘装在一个弹性轴的一端(图P1.8)。
不计轴的重量和阻尼，推导圆盘扭转自由振动方程。
轴的剪切模量(刚性的)为G。
图P1.81.9-1.11写出图P1.9至P1.11所示体系控制自由振动的方程。
假设梁无质量，长为L，弯曲刚度为EI，每个体系均有一个自由度（定义为在重物w作用下的竖向变形）。
图P1.9 图P1.10图P1.111.12重物w悬挂在简支梁跨中的一个弹簧上（图P1.12），梁长为L，弯曲刚度为EI，弹簧刚度为k，假定梁无质量，试求其固有频率。
图P1.121.13推导图P1.13所示框架的运动方程。
梁和柱的弯曲刚度如图标注。
梁上所集中的质量为m，且假设框架无质量并忽略阻尼。
通过将结果与式(1.3.2)的比较，评价基础刚性的影响。
图P1.131.14写出如图P1.14所示单层单跨框架的运动方程，梁和柱的弯曲刚度如图标注。
习题课-单自由度-题目与参考答案
题目1 质量m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡状态，质量m2从高度h处自由下落到m1上且没有弹跳。
求：（1）碰撞后m2的运动规律；（20％）（2）m2下降的最大距离。
（25％）题目1图题目2 图示刚性曲臂绕铰点O的转动惯量为I，求：（1）系统的振动微分方程；（20％）（2）系统的固有频率。
（10％）题目2图题目3 无阻尼单自由度系统受到图示力作用（假设初始条件为0），求系统的强迫振动响应。
（30％）题目3图1、解：振动微分方程：()021=++kx xm m 式中x 原点为两个质量m 1和m 2同时悬挂在弹簧k 上时的平衡位置。
初始条件：初始位移：kg m x 20-=；初始速度：21202m m gh m x +=运动响应：t b t a x n n ωωcos sin +=根据初始条件获得方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=n a m m gh m x b k g m x ω2120202 得到()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=n m m ghm a k g m b ω21222 运动响应：()t kgm t m m gh m t b t a x n n n n n ωωωωωcos sin 2cos sin 2212-+=+=m 1和m 2同时下降的最大距离：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=g m m kh k g m m m gh m k g m k g m A k g m h n 21222122222max 2112ω m 1和m 2同时下降的最大距离的能量法：()()()2121max 2122122max 2212121m m gh m V kg m gh m m V m m k h k +==+++=-+δδδ()221221max 22max 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=-m m gh m m m gh m kh()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+++=g m m khk g m m m gh m k m m k g m k g m k m m gh m m m k g m g m h 212221221222221221222max2112224222、解：建立绕O 点的角度θ，则⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb x l x a x 321（1）力学分析方法 取隔离体受力分析： 刚性臂：02130=++⋅+l F a F b b k I θθ 质量m1：011111=-+F x k xm 质量m2:022222=-+F x k xm 则：()()022********=++++⋅+l x k x m a x k x m b b k I θθ [][]02211230=+++++l l k l m a a k a m b k I θθθθθθ 微分方程：()()023222122210=+++++θθb k l k a k l m a m I固有频率：（2）能量法 总动能：()()22212022221120221212121212121θθθθθ l m a m I x m x m I m e ++=++= 则：22210l m a m I m e ++=总势能：()()()232221233222211221212121212121θθθθb k l k a k x k x k x k k e ++=++= 则：232221b k l k a k k e ++=振动微分方程为：0=+θθee k m 固有频率：een m k =ω3、解：微分方程：()t P kx xm =+ 激振力：()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=22121100t t t t t P t t P t P 根据杜哈梅积分有：()()()τττd t h P t x t⋅-⋅=⎰0()t h 根据方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+m x x kx x m 10000确定为()t m t h n nωωsin 1=则：()()()()()ττωτωτττd t P m d t h P t x ntnt⋅-⋅=⋅-⋅=⎰⎰sin 10则解为：()()()()()()()()()()()()[]()()()()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥---+--≤≤--+--≤≤-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⋅≤≤⋅-⋅=⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21221121121111220121201101cos cos cos cos cos 1cos cos 0cos 1sin sin 1sin sin 10sin 1sin 121111t t t t t t kP t t t kP t t t t t k P t t t k Pt t t k P t t d t P d t P m t t t d t P d t P m t t d t P m d t P m t x n n n n n n n n n t t n t n n t t n t n nt n ntnωωωωωωωωττωττωωττωττωωττωωττωτω。
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l
3EI 5m l3
=1
l
2 5ml3 T 2 3EI
l
D 1 2
2
2y y P(t ) / m y 2.单自度体系运动方程为 其中未考虑质体重力,这是因为( )
A.以重力作用时的静平衡位置为y坐标零点; B.重力是静力,不在动平衡方程中考虑; C.重力在弹性力内考虑了; D.重力与其它力相比可略去不计.
3.已知质点m的最大竖向位移Ymax=5Y0,且初始时质点竖向位移为 Y0(Y0为静位移),则质点的初始速度为 .
单自由振动
小结
动力特性计算 公式法 能量守恒 幅值方程 动力反应计算 简谐荷载 周期荷载 阶跃荷载
动荷载及其分类 自由度及其确定 运动方程的建立 惯性力法 虚功法 运动方程的求解方法 经典解法 频域解法 时域解法 数值解法 确定动力特性的试验方法
冲击荷载
一般荷载
阻尼力假定及阻尼的影响
1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 错
EI
l
m
11.无阻尼单自由度体系在自由振动中惯性力与位移方向一致。 12.计算自振频率时可以不计阻尼。
13.任何体系均能发生自由振动。 14.图示体系的动力自由度为多少？
15.求图示体系的自振频率和周期，EI=常数.
解:
m
l
5l 3 11 ; 3EI
1 3EI m 11 5m l3
EI l
m
4.图a所示结构周期为Ti,则图b所示体系的周期为
T
T T T
2 1 2 2
2 3
ki m
k1 k2 k3 m
(a) 5.图示体系的自振频率为 .
(b)
EI
l
k
m l
6.图示体系的动力自由度为5.
EI=常数
EA
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关.
8.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以 A.增大P; C.增大m; B.增大EI; D.增大 l .
P sin t
m
EI l
9.图示单自由度体系自振周期的关系为 A.(a)=(b); B.(a)=(c); C.(b)=(c); D.都不相等.
m
EI
l/2 (a) l/2
2EI
l/2 (b)
Байду номын сангаас
2m
l/2
2m
2EI
l (c) 。 l
10.图示体系,不计阻尼及杆件质量,其振动微分方程为
M 0 sin t