市北资优七年级分册 第12章 12.7 繁分式+杨晨光
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12.7 繁分式
当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B
就叫繁分式. 繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.
例1 当x 为何值时，下列分式有意义？
（1）3912x x +-； （2）1111x x x x x x x x
+----+. 解 （1）要使原式有意义，则0,120,x x ≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩
解得x ≠0且x ≠12.所以，当x ≠0且x ≠12时，原式有意义.
（2）要使原式有意义，则10,0,10,10,1
x x x x x x x +≠⎧⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪-⎪-≠⎪+⎩ 解得1,0,1.x x x ≠-⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ 所以，当x ≠0且x ≠1±时，原式有意义.
例2 当x 为何值时，分式2111x x
-+的值为零. 解 由题意得，210,0,110,x x x
⎧⎪-=⎪≠⎨⎪⎪+≠⎩ 解得1,0,1.x x x =±⎧⎪≠⎨⎪≠-⎩ 所以，当x =1时，分式2111x x -+的值为零. 例3 化简：11111111
x x x x x x x x +--
-++-+-+. 解法一：原式=()()()()111111111111x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫-⋅-+ ⎪-+⎝⎭+-⎛⎫+⋅-+ ⎪-+⎝⎭
=()()()()
22221111x x x x +--++- =221
x x +. 解法二：原式=()()
()()()()
()()
222211111111x x x x x x x x +---+++--+ =()()()()
()()()()222211111111x x x x x x x x +--++-÷-+-+ =()()()()
()()()()222211111111x x x x x x x x +---+⨯-+++- =()()()()
22221111x x x x +--++- =
221
x x +. 例4 化简：11x x x x x -+-. 解 原式=()11x x x x x x x -⋅+⎛⎫-⋅ ⎪⎝
⎭ =()211
x x x x x -+- =1
x
x x x -+ =1
x x x x -+ =()21x x x x x
++-
=1
x x +.
练习12.7
1. 若分式413x
x
-+没有意义，则x 的值为 .
2. 若分式241312a a a
-++没有意义，则a 的值为 .
3. 化简下列各繁分式：
（1）211
1
211x
x x x x +-+--+； （2）1
111
x x
++；
（3）21111
a a a a --+-； （4）a b
a b
a b a b
b b a b a b
-+-+-++-.
答案：
1. 0或1
3-.
2. 0或1
5-.
3.（1）原式=2x
； （2）原式=2211x x x +++； （3）原式=21
21a a a -+-；
（
4）原式=2-.
12.7 繁分式
练习12.7
1. x 时，分式1
111x
++有意义.
2. x 时，分式211x x
++的值为零. 3. 计算：2112111
x x x x x +--++-.
4. 计算：1x y
x x y -+.
5. 计算：x y x y x y x y x y x y
--+++-.
6. 若13x x +=，求33441713x x x x +
+++的值.
答案：
1. 由题意得1101x
+≠+且10x +≠，即1x ≠-且2x ≠-. 所以当1x ≠-且2x ≠-时该分式有意义.
2. 由已知得20,110,0.
x x
x +=⎧⎪⎪+≠⎨⎪≠⎪⎩ 解得 2.x =-
所以当 2.x =-时，代数式211x x
++的值为零. 3. 原式=2x
. 4. 原式=22x xy y
+. 5. 原式=()()()()()()()()
x x y y x y x x y y x y x y x y x y x y +---++÷-++- =2222
2222
x y x y x y x y +-⨯-+=1. 另解：原式得分子、分母乘以()()x y x y +-，
原式=()()()()x x y y x y x x y y x y +---++=22
22x y x y
++=1. 6. 因为221x x
+=212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=7，可得441x x +=22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=272-=47， 331x x +=31113x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=3333-⨯=18，所以原式=187473++=12.