市北资优七年级分册 第12章 12.7 繁分式+杨晨光
市北资优七年级分册 第11章 11.18 a3+b3+c3-3abc的因式分解+张来
11．18 a3＋b3＋c3—3abc的因式分解试一试如何对a3＋b3十c3－3abc进行因式分解？例1分解因式：x3＋y3＋z3—3xyz．分析这是一个三元三次多项式，根据题目结构的特点并由配方的联想，将原多项式的某些项配成完全立方，并使得配成完全立方的式与其余的项能用分组分解法分解因式．解原式＝x3＋y3＋z3－3xyz＝x3＋3xy (x＋y)＋y3—3xy (x＋y)＋z3－3xyz＝(x＋y)3＋z3－3xy(x＋y＋z)＝[(x＋y)＋z][(z＋y)2一(x＋y)2＋z2]－3xy(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋2xy＋y2－xz－yz＋z2)－3xy (x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)．例2 分解因式：(x－1)3＋(z－2)3＋(3－2x)3．解设a＝x－1，b＝x－2，c＝3－2x，则a＋b＋c＝0，由公式a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)知此时a3＋b3 ＋c3＝3abc，所以原式＝3(x－1)(x－2)(3－2x)．例3 分解因式：(2x＋3y)3—8x3—27y3．解(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2z＋3y)3＋(一2x)3＋(一3y)3,因为2x＋3y＋(－2x)＋(－3y)＝0，所以(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2x＋3y)3＋(－2x)3＋(－3y)3＝3(2x＋3y)(一2x)(一3y)＝18xy(2x＋3y)．练习11．181．分解因式：(x2＋y2)3＋(z2－x2)3－(y2＋z2)3．2．求(b＋c－2a)3＋(c＋a－2b)3＋(a＋b－2c)3—3(b＋c－2a) (c＋a－2b)(a＋b－2c)的值．3．分解因式：x6＋64y6＋12x2y2—1．4．设a＋b＋c＝3m，求(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b) (m－c)的值．5．三个整数a、b、c的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是多少？参考答案练习11．181．原式＝3(x2＋y2)( y2＋z2)(x＋z)(x—z)2．由(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)＋(a＋b—2c)＝0，得原式＝03．x6＋64y6＋12x2y2—1＝(x2)3＋(4y2)3＋(－1)3－3x2·4y·(－1)＝(x2 ＋4y2－1)(x4＋16 y4＋1－4x2y2＋x2 ＋4y2)4．令p＝m－a，q＝m－b，r＝m—c，则p＋q＋r＝(m－a)＋(m－b)＋(m—c)＝3m－(a＋b＋c)＝0．①又(m－a)3＋(rn－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)＝p3＋q3＋r3－3pqr＝(p＋q＋r)(p2＋q2＋c2－pq－qr－rp)．②由①，②可知(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b)(m－c)＝05．因为a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c) (a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)，所以a3＋b3＋c3＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＋3abc，又a、b、c为整数且a＋b＋c是6的倍数，所以a、b、c中至少有一个为偶数，否则a＋b＋c为奇数，从而3abc被6整除，因此a3＋b3＋c3被6除昀余数为011．18 a3＋b3＋c3－3abc的因式分解、练习11．181．分解因式：x3＋y3＋3xy－1．2．分解因式：(x—y)3＋(y—x－2)3＋8．3．分解因式：(ax－by)3＋(by－cz)3一(ax－cz)3．4．分解因式：(a－b)3＋(b－c)3＋(c—a)3．5．已知x＋y＋z＝3，x2＋y2 ＋z2＝29，x3＋y3＋z3＝45，求xyz的值．参考答案1．原式＝x3＋y3＋(－1)3－3xy(－1)＝(x＋y－1)(x2＋y2＋1＋x＋y－xy)2．原式＝－6(x－y)(x－y＋2)．提示：由于(x－y)＋(y—z一2)＋2＝0，所以原式＝3(x－y)(y－x－2) ·2＝6(x－y)(y－x－2) ．3．原式＝－3(ax－by)(by－cz)(ax－cz)．提示：由于(ax－by)＋(by－cz)＋[－(ax－cz)]＝0，所以原式＝3(ax－by)(by－cz)[一(ax－cz)]＝一3(ax－by)(by－cz)(ax—cz)4．原式＝3(a一b)(b一c)(c一a)5．由(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz十zx)，x3＋y3＋z3—3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx),32—29＋2(xy＋yz＋zx)，所以23292(xy yz zx) 4533[29()] xyz xy yz zx所以xy＋yz＋zx＝－10，从而15－xyz＝29＋10，即xyz＝－24。
青岛版七年级数学下册第十二章测试题(附答案)
青岛版七年级数学下册第十二章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.下列运算正确的是（）A. a2﹣a4=a8B. （x﹣2）（x﹣3）=x2﹣6C. （x﹣2）2=x2﹣4D. 2a+3a=5a2.下列分解因式正确的是( )A. m3-m=m(m-1)(m+1)B. x2-x-6=x(x-1)-6C. 2a2+ab+a=a(2a+b)D. x2-y2=(x-y)23.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A. ﹣m2+n2B. a2﹣2ab﹣b2C. m2+n2D. ﹣a2﹣b24.下列多项式能分解因式的是（）A. x2+y2B. ﹣x2﹣y2C. 2xy﹣x2﹣y2D. x2﹣xy+y25.下列各式能用平方差公式计算的是（）A. （﹣3+x）（3﹣x）B. （﹣a﹣b）（﹣b+a）C. （﹣3x+2）（2﹣3x）D. （3x+2）（2x﹣3）6.下列各式，不能用平方差公式分解因式的是（）A. x2－y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. -a2b2+17.下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A. 4x2+1B. 4x2-4x-1C. x2+xy+y2D. x2+2x+18.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是（）A. m=1，n=3B. m=1，n=-3C. m=-1，n=-3D. m=-1，n=39.下列计算正确的是（）A. （a+b）2=a2+b2B. （﹣2a）2=﹣4a2C. （a5）2=a7D. a•a2=a310.下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A. x2+y2B. x2﹣y2C. x2+2x+1D. x2+2x11.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A. 10+6B. 10+10C. 10+4D. 2412.已知，则下列三个等式：① ，② ，③ 中，正确的个数有（）A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共8题；共16分）13.已知：那么=________.14.分解因式：2a2﹣4a+2=________．15.分解因式：________16.已知m＞0，如果x2+2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，那么m的值为________．17.分解因式：=________．18.化简：＝________．19.若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________。
市北资优七年级分册 第11章 11.2 第1节整式的乘法 幂的乘方+李业法
11.2 幂的乘方思考一个正方体的边长是10²cm ，则它的体积是多少？这个列式非常简单：（10²）³＝100×100×100＝1 000 000.如果让你写下100个410的乘积，有没有简单的写法呢？根据乘方的意义，100个410相乘，可以写成4100(10).你会计算吗？（1）3233336(2)2222+=⨯==； （2）3[(3)]-＝_________＝___________＝____________；（3）343333()a a a a a =＝___________＝____________.问题根据上述的计算，完成下面的填空：()m n a a=（ ），()()n m m n m mm m m m mn n a a a a a a +++===个个，有()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.值得注意的是：1.这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式和多项式.2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于，一个是“指数_______”，一个是“指数_______”.例1 计算下列各式，结果用含幂的形式表示：（1）45()x ；（2）76[()]x -；（3）2332()()a a --；（4）8236()()()p p p ---；（5）2332[(2)][(2)]a b b a --分析 运算顺序应遵循先乘方后乘法.解 （1）原式＝45()x ＝20x .（2）原式＝674242()()x x x ⨯-=-=（3）原式＝23326612()()a a a a a -=-=-.（4）原式＝1423142320()()()p p p p p --=-=-.（5）原式＝6612(2)(2)(2)a b b a a b --=-.例2 计算：（1）38462332264()7()2()()()x x x x x ++ ；（2）4224223322)()()()()()x x x x x x x x +-----（.解：（1）原式＝2424661224242424472472x x x x x x x x x -+=-+=-.（2）原式＝58433488880x x x x x x x x x x x x +--=+--=.例3 如果2228162n n =，求n 的值.解：34347128162(2)(2)2222n n n n n n n +===，那么7n ＋1＝22,7n ＝21，n ＝3，即n 的值为3. 例4 已知10a ＝5，10b ＝6，求（1）231010a b +的值；（2）2310a b +的值.解：（1）231010a b +＝23(10)(10)a b +＝5²＋6³＝25＋216＝241.（2）2310a b +＝23231010(10)(10)a b a b =＝5²×6³＝25×216＝5400.例5 比较5553，4444，3335的大小.解 5553＝5111111(3)243=，44441111114(4)256==，33331111115(5)125==，而111111111256243125>>，因此444555333435>>.练习11.21.计算：32[()]y -＝_______；1333()()()x x x ---＝___________.2.若n a ＝3，则3n a ＝_____________.3.计算243332()()a a a a -.4.计算322323[()][()]2()(()[()]a b a b a b a b a b +-+-+--+.5.计算：342324525()()2[()]()p p p p -+--.6.若n 是正整数，a ＝－1时，221()n n a +--为（ ）A.1B.－1C.0D.1或－17.等式()n n a a -=-（a ≠0）成立的条件是（ ）A.n 是奇数B.n 是偶数C.n 是正整数D.n 是整数8.下列计算中，正确的有（ ）（1）x ³·x ³＝2x ³ （2）33336x x x x ++==（3）33336()x x x +== （4）23239[()]()()x x x -=-=-A.0个B.1个C.2个D.4个9.已知2a m =，2b n =，求222a b +的值.10.比较753与1002的大小.练习11.2答案1. 6y ，22x -2. 273. 04. 82()a b +5. 183p -6. A7. A8. A9. m ²n ²10. 7510032>11.2《幂的乘方》练习练习11.21.（1）123(2()32()()(()a a a ==== ) ) . （2）2()393m = .（3）33m y =，9m y ＝__________.（4）21()m a +＝________.（5）32()[()]()a b b a -=- .（6）若948162m m =，则m ＝________.（7）若1216x +=，则x ＝_________.2.计算.（1）522(1)[(3)]--（2）223()()()a a a --.（3）2332[()()]x x -.（4）2332()[()]x x +-.（5）32342224()()4()x x x x x x -+-+.（6）2322(32)(23)[(23)]a b b a b a --+-.3.（1）如果28(9)3n =，则n 的值是（ ）.A.4B.2C.3D.无法确定 （2）若436482n ⨯=，则n 的值是（ ）A.11B.18C.30D.334.若22m m x x =（m 为正整数），求9m x 的值.5.（1）若2228162n n =，求正整数n 的值.（2）若1216(9)3m +=，求正整数m 的值.6.已知33m a =，32n b =（m 、n 为正整数），求233242()()m n m n m n ab a b a b +-的值.7.比较1002与753的大小.8.已知1103m -=，1102n +=（m 、n 为正整数），求23110m n ++的值.答案 练习11.21. （1）4,6,9，4a ，6a （2）2＋2m （3）27 （4）22m a + （5）6 （6）1 （7）x ＝32. （1）43- （2）9a - （3）18x （4）62x （5）84x （6）(23)(231)b a b a --+3. （1）B （2）D4. 98m x =5. （1）n ＝3；（2）m ＝36. －77. 1007523<8. 72。
市北初级中学七年级数学答案
市北初级中学七年级数学答案一、填空题。
（每小题2分，共20分）1.十八亿四千零五十万九千写作( )，改写成以万作单位写作( )。
2.5吨820千克=( )千克，100分钟=( )小时。
3. X-42=-20X，X=()。
4.在3.14，1 ，162.5%和1 这五个数中，最大的数是( )，相等的数是( )。
5.三个大小相等的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是24厘米，每个正方形的边长是（）厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。
6.有两堆苹果，如果从第一堆拿9个放到第二堆，两堆苹果的个数相等；如果从第二堆拿12个放到第一堆，则第一堆苹果的个数是第二堆苹果个数的2倍。
原来第一堆有苹果（）个，第二堆有苹果（）个。
7.一根长1米2分米的木料，把它截成两段，表面积增加了24平方厘米，这根木料原来的体积是（）平方厘米。
8.某人到十层大楼的第十层办事，他从一层到第五层用64秒，那么以同样的速度往上走到第十层，还需要（）秒才能到达。
9.在一个盛满水的底面半径是20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的钢铸圆锥体浸没在水中。
取出圆锥后，容器内的水面下降5厘米。
这个圆锥高（）厘米。
10.一辆小车从A城到B城需用10小时，一辆货车从B城到A 城需用15小时。
这两辆车分别从A、B两城同时出发，相向开出，在离B城20千米处相遇，则A、B两城相距（）千米。
二、判断。
（对的打√，错的打×）（5分）1.一个等腰三角形的顶角是锐角，则这个三角形一定是锐角三角形。
( )2.三位小数a精确到百分位是8.60，那么a最大为8.599。
( )3.一根铁丝长240厘米，焊成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，它的体积是6000立方厘米。
( )4.侧面积相等的两个圆柱，表面积也一定相等。
( )5.两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数。
( )三、选择正确答案的序号填入括号内。
（每小题2分，共10分）1.下列叙述正确的是( )。
市北资优六年级分册 第10章 10.3 长方体中棱与棱的位置关系+杨晨光
10.3 长方体中棱与棱的位置关系观察下图，如果我们把铁轨、管道看作直线，你能说出图片中两条直线的位置关系吗？（1）（2）（3）如上图（1）中地面上的一条横线和一条竖线在同一个平面内，且有唯一公共点，我们称这两条直线相交.如上图（2）中铁路轨道表示的两条直线在同一个平面内，且没有公共点，我们称这两条直线平行.如上图（3）中道路上的横梁和地面的竖线表示的两条直线既不平行，也不相交，我们称这两条直线异面.如下图（1）一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，且有唯一公共点，那么称这两条直线相交，读作：直线AB与直线CD相交.如下图（2）一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，没有公共点，那么称这两条直线平行，记作：AB∥CD，读作：直线AB与直线CD平行（也可读作直线AB平行于直线CD）.如下图（3）一般地，如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线异面，读作：直线AB与直线CD异面.BDACDCBADCBA（1）（2）（3）⎧⎫⎬⎪⎭⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎩相交：一个公共点在同一平面内平行：没有公共点空间两条直线的位置关系既不平行，也不相交异面：没有公共点不在同一平面内例1如图，在长方体ABCD-EFGH中，（1）哪些棱与棱AB平行？（2）哪些棱与棱AB相交？（3）哪些棱与棱AB异面？解：（1）与棱AB平行的棱有棱EF、棱CD、棱HG.（2）与棱AB相交的棱有棱AE、棱AD、棱BF、棱BC.（3）与棱AB异面的棱有棱DH、棱CG、棱EH、棱FG.思考：长方体的十二条棱中，互相平行的棱有几对？相交的棱有几对？异面的棱有几对？例2如图，是一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形.（1）与AE所在直线平行的直线是 .（2）与AE所在直线相交的直线是 .（3）与AE所在直线异面的直线是 .（4）图中有哪几对异面直线？解：（1）与AE所在直线平行的直线是直线BF.（2）与AE所在直线相交的直线是直线AB、直线EC、直线EF.（3）与AE所在直线异面的直线是直线CD、直线FD.（4）图中有6对异面直线.它们分别是直线AE与CD、直线AE与FD、直线AB与EC、直线AB与FD、直线BF与EC、直线BF与CD.练习10.31. 没有公共点的两条直线可能是 直线，也有可能是 直线.2. 如图，长方体ABCD -EFGH 中，下列各对棱的位置关系： （1）棱AD 与棱BC ： ； （2）棱AB 与棱BC ： ； （3）棱AB 与棱FG ： ； （4）棱CD 与棱BF ： ； （5）棱AD 与棱CG ： ； （6）棱AB 与棱EF ： .3. 如图中，在长方体ABCD -EFGH 中. （1）与AC 相交的棱有 ； （2）与AC 异面的棱有 ； （3）与AC 平行的棱有 ； （4）与EG 相交的棱有 ； （5）与EG 异面的棱有 ； （6）与棱BF 平行的棱有 .4. 如图中，在长方体ABCD -EFGH 中. （1）棱AD 与棱BH : ； （2）棱DH 与棱FH : ； （3）棱FH 与棱AC : ； （4）棱AB 与棱BH : . 答案：1.不在一个平面的，平行.2.（1）平行；（2）垂直；（3）异面；（4）异面；（5）异面；（6）平行.3.（1）棱AD 、棱AE 、棱AB 、棱CD 、棱CB 、棱CG ； （2）棱EH 、棱HG 、棱GF 、棱FE 、棱DH 、棱BF ； （3）棱EG ；（4）棱EH 、棱AE 、棱EF 、棱GF 、棱GC 、棱GH ； （5）棱AD 、棱DC 、棱CB 、棱AB 、棱DH 、棱BF ； （6）棱CG 、棱AE 、棱DH .4.（1）异面；（2）垂直；（3）异面；（4）相交.GH（第4题）GHDA （第3题）GH（第2题）10.3 《长方体中棱与棱的位置关系》练习练习10.31. 填写空间两条直线的位置关系，并比较其异同点，完成下表：2. 在长方体中每一条棱与 条棱平行，每一条棱与 条棱相交，每一条棱与 条棱异面.在长方体中，互相平行的棱有 对，异面的棱有 对，相交的棱有 对.3. 如图，在长方体ABCD -EFGH 中，（1）与棱EF 平行的棱有 ； （2）与棱EF 相交的棱有 ； （3）与棱EF 异面的棱有 ； （4）与棱AE 异面的棱有 ； （5）与棱AE 相交的棱有 ； （6）与棱AE 平行的棱有 . 4. 如图是长方体纸片ABCD 对折后展开的图形. （1）与直线DF 平行的直线是 ； （2）与直线EF 平行的直线是 ； （3）与直线AB 异面的直线是 ； （4）与直线DF 异面的直线是 ； （5）与直线EF 相交的直线是 ； （6）与直线CD 相交的直线是 . 5. 如图，在长方体ABCD -EFGH 中， （1）与AC 相交的棱有 ；（2）与AC 异面的棱有 ； （3）与AC 平行的线段有 ； （4）与EG 相交的棱有 ；（5）与EG 异面的棱有 ；BA（第5题）BA（第3题）（6）与棱BF平行的棱有 .6. 如图，在长方体ABCD-EFGH中，填写下列各对线段所在直线的位置关系.（1）棱AD与AG：；（2）棱DH与EG：；（3）EG与BD：；（4）棱DC与DB： .答案：1. 垂直，是，1个；平行，是，0个；异面，不是，0个.2. 3,4,4,18,24,24.3.（1）棱HG，棱DC，棱AB；（2）棱HE，棱GF，棱EA，棱FB；（3）棱HD，棱GC，棱AD，棱BC；（4）棱DC，棱HG，棱BC，棱FG；（5）棱AD，棱EH，棱AB，棱EF；（6）棱BF，棱CG，棱DH.4.（1）直线EC；（2）直线BA，直线CD；（3）直线EC，直线FD；（4）直线BE，直线AB；（5）直线BE，直线EC，直线AF，直线FD；（6）直线CE，直线DF.5.（1）棱DC，棱GC，棱BC，棱AE，棱AD，棱AB；（2）棱HD，棱HG，棱HE，棱EF，棱GF，棱BF；（3）线段EG；（4）棱EH，棱HG，棱GF，棱EF，棱AE，棱CG；（5）棱HD，棱AD，棱CD，棱AB，棱BC，棱BF；（6）棱HD，棱AE，棱CG.6.（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交.G （第6题）。
市北资优七年级分册 第11章 11.11 分组分解法+黄启胜
11.11分组分解法想一想如何将多项式am＋an＋bm＋bn因式分解？分析：很显然，多项式am＋an＋bm＋bn加中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于am＋an＝a(m＋n)，bm＋bn＝b(m＋n)，而a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这样就有：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．试一试：把下列各式分解因式：(1)20(x＋y)＋x＋y；(2)p－q＋k(p－q)；(3)5m(a＋b)－a－b；(4)2m－2n－4x(m－n)．例1：分解因式：a2－ab＋ac－bc．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a－b，这样就可以继续提公因式．a2－ab＋ac－bc解：a2－ab＋ac－bc＝(a2－ab)＋(ac－bc)＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．例2：分解因式：2ax－10ay＋5by－bx．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与－b，这时另一个因式正好都是x－5y，这样就可以继续提公因式．解：2ax－10ay＋5by－bx＝(2ax－10ay)＋(5by－bx)＝2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b)．思考：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试．如果能，请你看一下结果是否相同？例3：分解因式：(xy－1)2＋(x＋y－2)(x＋y—2xy)．解：原式＝x2y2－2xy＋1＋(x＋y)2－2(x＋y)—2xy(x＋y)＋4xy＝[x2y2－2xy(x＋y)＋(x＋y)2]＋[2xy－2(x＋y]＋1＝(xy－x－y)2＋2(xy－x－y)＋1＝(xy－x－y＋1)2＝(x－1)2(y－1)2．归纳：注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式．练习11．111．分解因式：x2－y2－x－y．2．分解因式：1－a2＋2ab－b2．3．分解因式：a4－2a3＋a2－9．4．分解因式：x2－x－9y2－3y．5．分解因式：(x＋2)(x－2)－4y(x－y)．6．分解因式：x2(x＋1)－y2(y＋1)．7．分解因式：4a2－4(ab＋4)＋b2．答案：练习11．111．原式＝(x＋y)(x－y)－x－y＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1) ．2．原式＝1－(a2－2ab＋b2)＝1－(a－b)2＝(1－a－b)(1－a＋b) ．3．原式＝(a2－a－3)(a2－a＋3) ．4．原式＝(x－3y－1)(x＋3y) ．5．原式＝(x－2y－2)(x－2y＋2) ．6．原式＝(x－y)(x2＋xy＋x＋y＋y2) ．7．原式＝(2a－b＋4)(2a－b－4) ．11．11分组分解法练习11．11分解因式1．x3－xyz＋x2y－x2z．2．x2－ax－ay－y2．3．4a2－4－4ab＋b2．4．ax－bx－a2＋2ab－b2．5．4x3－8x2y－xy2＋2y3．6．x2－4xy＋4y2－6x＋12y＋9．7．a3＋b3＋(a＋b)3．8．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3．9．x2n＋x n－19y2＋14．答案：练习11．111．x(x－z)(x＋y)．2．(x＋y) (x－y－a)．3．(2a－b＋2) (2a－b－2)．4．(a－b) (x－a＋b)．5．(2x＋y) (2x－y) (x－2y)．6．(x－2y－3)2．7．(a＋b)(2ª2＋ab＋2b2)．8．3(a＋b)(b＋c)(c＋a)．9．11113232 n nx y x y⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
市北资优七年级分册 第12章 12.8 部分分式+詹纲键
12．8部分分式对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．经过对分式化简，任何一个分式总能化为某个最简分式．如果这个最简分式是只含有一个字母的真分式，还可进一步化为若干个最简真分式之和，这几个分式便称为原来那个最简分式的部分分式．例1 把()()221713110x x x x +-+-分解成部分分式．分析 由于分母为(1＋3x )2(1－ 10x )，因此原式可以写成＝13A x +＋()213B x +＋110C x-的形式． 解 设原式＝13A x +＋()213B x +＋110C x -，则1＋7x －x 2＝A (1＋3x )(1 －10x )＋B (1－ 10x ) ＋C (1＋3x )2．令x ＝110，得C ＝1，令x ＝13-，得B ＝13-， 令x ＝0，得A ＝13， 所以原式＝()1313x +＋()21313x +＋1110x-， 例2 把3235221x x x x +-+-分解成部分分式． 由于原式不是真分式，因此先将原式写成一个整式与一个真分式的和的形式，再用待定系数法求解．解 原式＝1＋235231x x x -+-，设235231x x x -+-＝1A x -＋21Bx C x x +++． 则5x 2－2x ＋3＝A （x 2＋x ＋1）＋（Bx ＋C ）（x －1）＝（A ＋B ）x 2＋（A －B ＋C ）x ＋A －C ， 由523A B A B C A C +=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，⇒231A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以原式＝1＋21x -＋2311x x x -++．从以上两题，我们可以归纳出把一个分式分解为部分分式的一般步骤是：（1）如果一个分式不是真分式，先把这个分式化成一个整式与一个真分式的和；（2）把真分式的分母分解因式；（3）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入待定系数来表示成为部分分式的形式；（4）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出关于待定系数的方程或方程组；（5）解方程或方程组，求待定系数的值；（6）把待定系数的值代入所设的分式中，写成部分分式．练习12．81．把()()54121x x x ---分解成部分分式．2．把322657321x x x x +---分解成部分分式．3．把232611x x x -+-分解成部分分式．4．把()()()2123x x x x +++分解成部分分式．练习12．8答案1 原式＝()()3321121x x x x -+---＝321x -＋11x -． 2 原式＝2x ＋3＋11x -＋531x +． 3 原式＝11x --＋2321x x x -++．提示：设原式＝1A x -＋21Bx C x x +++，得132A B C =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩． 4原式＝－11x +＋22x +－33x +提示：设原式＝1A x +＋2B x +＋3C x +， 即原式＝()()()()()()()()()231312123A x x B x x C x x x x x +++++++++++． 则2x ＝(A ＋B ＋C )x 2＋ (5A ＋4B ＋3C )x ＋ 6A ＋3B ＋2C ， 即054326320A B C A B C A B C ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，⇒143A B C =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．练习12．81．试分解267825x x x +++为两个分式之和，分母不变，而其中一个分式的分子中有2x ＋ 8．2．已知对任意x 有3423x x x ++-＝1A x -＋23Bx C x x +++，试确定A 、 B 、C ．3．把()()22731x x x ++-分解成部分分式．4．将真分式()()22461121x x x x --+-分解为最简部分分式．5．把3213142137x x x x+--化为部分分式．练习12．8答案① 设267825x x x +++＝()228825A x x x +++＋2825B x x ++，则6x ＋7＝2Ax ＋（8A ＋B ），即2687A A B =⎧⎨+=⎩， ⇒317A B =⎧⎨=-⎩．所以原式＝()2328825x x x +++－217825x x ++． ② 原式＝11x -－213x x x +++，所以A ＝1，B ＝－1，C ＝－1． ③ 设()()22731x x x ++-＝3A x +＋1B x - ＋()21C x -， 即x 2＋7＝A (x －1)2＋B (x ＋3)（x －1）＋C (x ＋3)，令x ＝－3，得A ＝1，令x ＝1，得C ＝2，再比较二次项系数得B ＝0,所以原式＝13x + ＋()221x -． ④ 11x + ＋()2221x -． ⑤ －2x ＋17x -＋221x +．。
2021年青岛版七年级数学下册第十二章《用公式法进行因式分解1》导学案 (2).doc
新青岛版七年级数学下册第十二章《用公式法进行因式分解1》导学案【学习目标】1.了解公式法的概念，并能说出两个公式；2.会用两个公式法进行因式分解。
【课前预习】学习任务一：阅读课本121页例1以前的内容，解决下列问题：1.知识回顾（1）什么叫公因式，用提公因式分解因式的一般步骤是什么？举例说明。
（2）用字母表示平方差公式完全平方公式2.探究新知（1）把乘法公式（a + b）（a - b）= a2- b2，的左边和右边交换位置，用字母表示为__________ 用语言叙述为：两数的平方差，等于这两数的______与这两数的______的积。
（2）乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和（a - b）2 = a2- 2ab + b2把公式的左右两边颠倒位置等式变为和用语言叙述为像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.总结归纳：把进行因式分解，这种因式分解的方法叫做学习任务二：阅读课本121-122页例1、例2尝试解决下列问题。
分解因式：（1）x2－25 （2）4a2－9b2（3）（a＋b）2－64 (4)(4x－3y)2－16y2【课中探究】问题一：用公式法进行因式分解用到的是哪两个公式，分别用字母表示。
问题二：这两个公式的左右两边有什么特点？问题三：例一、例二用到的分别是什么公式，分解时有几个步骤？强调:1.因式分解时，平方差公式的结构特征：（1）左边是二次项，每项都是平方的形式，两项的符号相反。
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，；另一个因式是这两数的差。
2.完全平方公式的结构特征：（1）左边是三项式，其中两项是完全平方且同号，另一项是积的二倍，可正可负，（2）右边是两平方项底数和或差的平方。
【当堂检测】一、选择题（共12分）1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A.y 2－49x 2B.4491x -C.－m 4－n 2D.9)(412-+q p 2.a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ）A.a －b －cB.a ＋b ＋cC.a ＋b －cD.a －b ＋c3．下列因式分解错误的是（ ）A.1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ）B.x 3－x ＝x （x 2－1）C.a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D.)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 4.如果多项式4a 4-(b-c)2=M(2a 2-b+c)，则M 表示的多项式是（ ） A.2a 2b+cB.2a 2-b-cC.2a 2+b-cD.2a 2+b+c 二、解答题（8分）1.9a 2－41b 22.（2a －3b ）2－（b ＋a ）23.9a 2+6ab+b 24.m 2–9132+m【课后巩固】 一、选择题（共8分）1.在下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A.m 2+2mn-n 2B.a 2-a+14C.x 2+2xy+4y 2D.x 4-2yx+12.下列各式中能用平方差进行因式分解的是( )A.9x 2+4y 2B.9x 2+(-4y)2C.-9x 2-4y 2D.-9x 2+4y 23.m 2+n 2是下列多项式（ ）中的一个因式A.m 2(m-n)+n 2(n-m)B.m 4-n 4C.m 4+n 4D.(m+n)2·(m-n)24.把（3m ＋2n ）2－（3m －2n ）2分解因式，结果是（ ）A .0B .16n 2C .36m 2D .24mn二、分解因式（12分）1. a 2－16a ＋642.2442516a y b -+3. 225x 204x ++4. (p-q)2-4(p-q)+4三、解答题（10分）已知x ＋2y ＝3，x 2－4y 2＝－15，（1）求x －2y 的值；（2）求x 和y 的值．。
七年级数学第十二章《证明》提优训练
七年级数学第十二章《证明》提优训练第一篇：七年级数学第十二章《证明》提优训练七年级数学提优训练第十二章证明一，选择1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是()A.只需观察得出B.只需依靠经验获得C.通过亲自实验得出D.必须进行有根据地推理.2.通过观察你能肯定的是()A.图形中线段是否相等;B.图形中线段是否平行C.图形中线段是否相交;D.图形中线段是否垂直3.下列问题你不能肯定的是()A.一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小关系;B.三角形的内角和C.n边形的外角和;D.三角形与矩形的面积关系4.下列问题用到推理的是()A.根据x=1,y=1 得x=y;B.观察得到四边形有四个内角;C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘;D.由公理知道过两点有且只有一条直线5.下列句子中,是命题的是()A.今天的天气好吗B.作线段AB∥CD;C.连结A、B两点D.正数大于负数6.下列命题是真命题的是()A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角;B.两互补的角一定是邻补角C.如果a2=b2,那么a=b;D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等 7.下列命题是假命题的是()A.如果a∥b,b∥c,那么a∥c;B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等;D.矩形的对角线相等且互相平分8.已知下列四个命题：（1）若直角三角形的两边长分别是3与4，则第三边长是5；（2）(a)2 a；（3）若点P（a,b）在第三象限，则点Q(-a,-b)在第一象限；（4）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，其中正确的选项是（）A.只有（1）错误，其他正确B.（1）（2）错误，（3）（4）正确C.（1）（4）错误，（2）（3）正确D.只有（4）错误，其他正确二，填空9．有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f。
有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为，b的对面为，c的对面为.10．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：（1）如果去A地，那么也必须去B地；（2）D、E两地至少去一处；（3）B、C两地只去一处；（4）C、D两地都去或都不去；（5）如果去E地，那么A、D两地也必须去依据上述条件，你认为参观团只能去__________________ 11．命题“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是：________________，结论是：___________________．12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD平分∠CBE，则∠ADB=______°．13．∠1、∠2、∠3分别是△ABC的3个外角，则∠1+∠2+∠3=_______°．14．下面的句子中是命题的有___________________．（1）我是扬州人；（2）你吃饭了吗？（3）对顶角相等；（4）内错角相等；（5）延长线段AB；（6）明天可能下雨；（7）若a2>b2则a>b.三，解答15．判断下列命题的真假：（1）同角的余角相等；（2）异号两数相加得零；（3）等腰梯形是轴对称图形；（4）鸦片战争是中国近代史的开端；（5）平行于同一条直线的两直线平行；（6）函数y= x+1的自变量x的取值范围是x≥-1；（7）在三角形中，两边之和小于第三边。
市北资优七年级分册 第12章 12.1 分式的意义+范朝辉
（A）分式的分子一定含有字母； （B）只要分式的分子为零，则分式的值为零
（C）只要分式的分母为零，则分式必无意义；（D） 不是分式而是整式
4 .当x时，分式 有意义.
5 .当x时，分式 的值为0；
6 .当x时，分式 的值为1；
7 .当x时，分式 的值为负.
8 .x取什么值时，分式 满足以下条件：
（1）无意义？（2）值为零？
9 .要使分式 的值为零，x和y的取值范围是什么？
10.若 表示一个整数，求整数a的值.
11 .若 ，求 的值.
练习12.1答案
1.C；2 .C；3 .D；4 . ；5 .=1；6 .=-1；7 .<-1；
8 .（1）当 或 时分式无意义；（2）当 时分式的值为零
9 . 且 ；10 .-4、-2、0、2；11 .
②现有甲、乙两种糖果，若甲种糖果的单价为每千克a元，乙种糖果的单价为每千克b元，则将n千克乙种糖果混合后的单价是每千克.
第1题的结果分别是① ；② .
第2题的结果分别是① ；② .
观察每题结果的共同点，不同点！
可以发现分数 、 与 都有相同的 的形式，不同的是 、 的分子和分母都是整数，而 、 的分子和分母都是整式.
第十二章分式
第一节分式
12.1分式的意义
练习12.1
1.（1）下列判断中，正确的是（ ）
（A）分式的分子中一定含有字母 （B）当B=0时，分式 无意义
（C）当A=0时，分式 的值为0（A、B为整式） （D）分数一定是分式
（2）如果分式 的值为零，那么x的值为（ ）
（ A）2 （B）-2 （C）0 （D）
分析要使分式有意义，分式的分母不等于零.
市北资优七年级分册 第11章 11.6 完全平方公式+任科
11.6 完全平方公式问题1同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，请计算下列四个小题． 2(23)m n +=_______________________, 2(23)m n --=_________________________, 2(23)m n -=_______________________, 2(23)m n -+=_________________________.问题2你能总结出计算结果与多项式中两个单项式的关系吗？222(23)4129m n m mn n +=++, 222(23)4129m n m mn n --=++, 222(23)4129m n m mn n -=-+, 222(23)4129m n m mn n -+=-+. 2()a b +=_____________________.问题3222()2a b a ab b +=++正确吗？如何说明？方法1：从整式乘法运算的角度考虑， 2()()()()()a b a b a b a a b b a b +=++=+++22222a ab b ab a ab b =+++=++方法2：从图形面积的角度考虑， 2212322S S S S a ab b =++=++ 2()S a b =+所以222()2a b a ab b +=++．思考1根据下图如何来说明 222()2a b a ab b -=-+bba由此，我们有了：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．即 222()2a b a ab b +=++， 222()2a b a ab b -=-+． 这两个公式叫做完全平方公式．例1 计算：(1) 2(23)x y + (2) 2(53)x y - (3) 2(3)a b -+ (4) 2(53)c -- 解 (1) 22222(23)(2)2(2)(3)(3)4129x y x x y y x xy y +=++=++ (2) 22222(53)(5)2(5)(3)(3)25309x y x x y y x xy y -=-+=-+ (3) 22222(3)(3)2(3)96a b a a b b a ab b -+=-+-+=-+ (4) 2222(53)(5)2(5)3325309c c c c c --=---+=++注意在应用公式的时候，要明确公式中的字母，可以表示具体的数，也可以表示单项式，甚至多项式．同时要确认式子中的符号.例2 计算： (1) 2()a b c ++ (2) (2)(2)x y x y +--+解 (1) 2222()[()]()2()a b c a b c a b a b c c ++=++=++++ 222222a ab b ac bc c =+++++ 222222a b c ab bc ac =+++++(2) 22(2)(2)[(2)][(2)](2)x y x y x y x y x y +--+=+---=-- 2222(44)44x y y x y y =--+=-+-练习11.61．判断下列各式的计算是否正确，如有错误请改正．(1) 222()a b a b -=- (2) 222(2)24a b a ab b +=++ (3) 222(2)44a b a ab b -=-- (4) 22(7)49a a -=-2．计算：(1) 2(35)x + (2) 2()23x y-(3) 2(2)xyz --(4) 22(23)(49)(49)(23)m n m n m m m n +--++- (5) 2()a b c +- (6) (21)(21)x y x y -++-3. 写出下列等式从左到右的运算过程．(1) 222(1)(2)(3)(4)(5)10(5)24x x x x x x x x ----=-+-+ (2) 222(1)(1)(2)(4)(3)2(3)8x x x x x x x x -+--=----4．在边长为a cm 的正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，再把它折成一个无盖的小盒子，则这个盒子的容积用代数式表示是_______________________.练习11.6答案 1.(1) 错, 正确答案应为222a ab b -+ (2) 错, 正确答案应为2244a ab b ++ (3) 错, 正确答案应为2244a ab b -+ (4) 错, 正确答案应为24914a a -+ 2.(1) 22(35)93025x x x +=++(2) 222()23439x y x xy y -=-+(3) 2222(2)44xyz x y z xyz --=++(4) 2222(23)(49)(49)(23)899m n m n m m m n m n +--++-=-+ (5) 2222()222a b c a b c ab bc ac +-=+++-- (6) 22(21)(21)421x y x y x y y -++-=-+-(1) 22222(1)(2)(3)(4)(54)(56)(5)10(5)24x x x x x x x x x x x x ----=-+-+=-+-+ (2) 22222(1)(1)(2)(4)(32)(34)(3)2(3)8x x x x x x x x x x x x -+--=-+--=---- 4. 2223(2)44x a x a x ax x -=-+《练习册》练习11.61．计算：(1) 222(4)b a + (2) 2(23)m n --(3) 2[(21)(21)]x x +- (4) (23)(23)x y x y +--+(5) 232()43x y - (6) ()()a b c a b c +---(7) 2222(1)(1)(1)x x x +-+ (8) (1)(1)x y x y ++--2．己知23x x a -+为完全平方式, 求a .3. 当M 为什么代数式时, 2942x xy M ++是完全平方式.4. 已知13a a +=,求221a a+的值.5. 按图中所示的方式分割正方形, 你能得到什么结论？（1） （2）练习11.6答案1. (1) 422486b a b a ++ (2) 224129m mn n ++(3) 421681x x -+ (4) 224129x y y -+- (5)2294169x xy y -+ (6) 2222a b ac c --+ (7) 8421x x -+ (8) 2212x xy y --- 2. 2.25 3. 249y 4. 75. (1) 22S a ab ab b =+++ 2()S a b =+ (2) 2()S x y =+ 2()4S x y xy =-+。
市北资优七年级分册 第15章 15.3 二次根式的计算+栗小妮
原式=a a a a a a 22225222+-+ =a a a a 2221522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 由此可见，二次根式的相加减的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
例1 计算：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-75813125.0 （2）xx x x 12463621-+ （3）()qp q p -+-850 解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-75813125.0 =758131221+-- =354233222+-- =332524121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛- =3313241+ （2）xx x x 12463621-+ =3x +3x x 2-=4x（3）()qp q p -+-850 =()()qp q p q p --+-2225=()q p q p -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+225 =()q p qp q p --+-2255 例2 解方程与不等式：（1）27582723++=x （2）954452->+x x 解：（1）27582723++=x 26546326++=x 64116254321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x 所以，原方程的解是6411-=x （2）954452->+x x 954542-->-x x 35252-->-x 6552->-x 1255<x 所以，原不等式的解集是1255<x 问题2 如图，将一个正方形分割成面积为s （平方单位）和2s （平方单位）的两个小正方形和两个长方形，求图中每个长方形的面积。
由二次根式的性质3，可得s s s s s s 22222==⋅=⋅，求得图中每个长方形的面积为s 2（平方单位）二次根式的性质3也就是二次根式的乘法法则，即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。
例3 计算：（1）3224⨯（2）b ab 4⋅（3）22abc abc ⋅解（1）。
人教五四学制版七年级上册数学第12章 相交线与平行线含答案
人教五四学制版七年级上册数学第12章相交线与平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，CD∥AB，∠1=120°，∠2=80°，则∠E的度数是（）A.40°B.60°C.80°D.120°2、如图，直线l1∥l2，则α=（）A.160°B.150°C.140°D.130°3、如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.50°4、如图所示，下列推理不正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5、下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（）A. B. C.D.6、如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC =2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．一定成立的是（）A.①②B.①③④C.①②③D.①②④7、如图，直线b、c被直线a所截，则∠1与∠2是（）A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角8、如图，已知a∥b，∠1=50°，则∠2=（）A.40°B.50°C.130°D.140°9、下列命题是真命题的是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.相等的角是对顶角C.平行于同一条直线的两条直线平行D.内错角相等10、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD相交于点F，∠EDF=38°，则∠DBE的度数是（）A.25°B.26°C.27°D.38°11、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A.2B.3C.4D.无法确定12、点P是直线y=-x+ 上一动点，O为原点，则OP的最小值为（）A.2B.C.1D.13、下列说法中正确的是（）A.一条射线把一个角分成两个角，这条射线是这个角的角平分线B.点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线的长度C.若MN=2MC，则点C是线段MN的中点D.有AB=MA+MB，AB＜NA+NB，则点M在线段AB 上，点N在线段AB外14、如图，直线，点是直线上一点，点是直线外一点，若，，则的度数是（）A. B. C. D.15、下列命题: (1)两直线平行，同旁内角互补(2) 同角的补角相等. (3) 直角三角形的两个锐角互余. (4) 同位角相等。
初一数学第12章 整式乘法与因式分解综合提优题及答案(B卷)
B������x２＋x－５＝(x－２)(x＋３)＋１
C������a２b＋ab２＝ab(a＋b)
８������ 下列各式的因式分解中正确的是( )． A������ －a２＋ab－ac＝－a(a＋b－c)
D������x２＋１＝xçæèx＋x１
ö
÷
ø
B������９xyz－６x２y２＝３xyz(３－２xy)
(第 ２０ 题 )
(１)(３x２y－２x＋１)(－２xy);
(２)(２x－１)(x－３);
(３)－３a(a－b)２;
(４)(x－２)(x－３)－(x＋５)(x－５)．
２２������ 把下列各式分解因式: (１)４x(a－b)－８y(b－a);
(２)(a＋３b)２－１０(a＋３b)＋２５;
(３)(a２＋b２)２－４a２b２;
C������２a(b－a)
４������ 三个连续奇数,若中间的一个为n,则它们的积为( )．
A������６n３－６n
B������４n３－n
C������n３－４n
D������２a(b＋a) D������n３－n
５������
已
知
(a＋b)２＝９,ab＝
３ ２
,则a２＋b２
的 值 等 于 ( )．
(第 ２５ 题 )
第９章 综合提优测评(B 卷)
１������ B ２．D ３．B ４．C ５．D ６．A ７．C ８．D
９．B １０������ B １１������１ １２．x２＋３x＋２ １３．１ １ １４������ －２ １５．m(m＋２)(m－２) １６．２４ １７．４ １８������１６ ９ －４ １９．－２x(x＋６y２ －４y３) ２０������a２ ＋２ab＋b２ ＝ (a＋b)２ ２１������ (１)－６x３y２＋４x２y－２xy
市北资优七年级分册 第12章 12.5 可化为一元一次方程的分式方程+姜海霞
12．5 可以化为一元一次方程的分式方程在学习了整式之后，我们学习了比较简单的整式方程----一元一次方程的解法．那么分式学习过了，后面有没有分式方程等着我们呢？分母中含有未知数的方程叫做分式方程．整式方程与分式方程统称为有理方程．【例1】在下列方程中，哪些是分式方程？（1）1512x x ＋＝－；（2）11x ＝；（3）35242x x x －＋＝；（4）3544x x x x －＝－－；（5）13t t ＋＝； （6）1333x ππ＋＝＋＋． 【解】根据分式方程的定义，（1）、（2）、（4）、（5）是分式方程．那么，如何解一个分式方程呢？【例2】解方程：3122x x x ＋＝－＋． 【解】两边同乘以（x －2）（x ＋2），得x （x ＋2）＋3（x －2）＝（x －2）（x ＋2整理得5x －2＝0， 解得x ＝25． 检验：将x ＝25代入原方程，得左边＝1＝右边．所以x ＝25是原方程的根． 解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为已学过的整式方程后再求解．【例3】解方程：()()()2736111x x x x x x －＝－－＋＋． 【解】原方程化为()()()()7361111x x x x x x ＋＝＋－－＋， 两边同乘以x （x ＋1）（x －1），得7（x －1）＋3（x ＋1）＝6x ，整理得4 x －4＝0，解得x ＝1． 检验：将x ＝1代入原方程，结果使原方程中分式的分母为零，分式无意义．所以，x ＝1不是原方程的解，因此原方程无解．在解方程的过程中，对原方程进行了变形，变形后的方程的解的取值范围与原方程的解的取值范围可能不一致，出现的比原方程多的根，叫做方程的增根．例3中的x ＝1，就是这个方程的增根．方程的增根，实际上是原方程变形后的方程的根，而不是原方程的根．在解分式方程的过程中，两边同乘以一个整式，由于这个整式可能为零，使得原来不相等的两边也相等了，这时就产生了增根．因此对于解分式方程必须检验，在确保运算正确的情况下，检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零．【例4】现有甲、乙两个,足够大的容器，分别装有15升的纯酒精和水，若把甲中的纯酒精倒入乙中一定数量，搅匀后，再把乙中的混合液倒入甲中相同的数量，这时甲中的酒精浓度是75％，求甲容器第一次倒入乙中的纯酒精是多少升？【分析】在把乙中的混合液倒入甲中相同的数量之后，甲中的水的数量应与乙中的酒精数量相等，所以甲的酒精浓度应与乙中水的浓度相等，而乙中水的浓度等于1515甲倒入的酒精数量＋，这样可以列出方程．【解】设第一次甲倒入乙x 升纯酒精．根据题意，得157515x %＝＋，解得x ＝5． 经检验，x ＝5是原方程的根，且符合题意．答：甲容器第一次倒入乙中的纯酒精是5升．练习12．5（1）1．下列方程中，不是分式方程的是（ ）．A ． 13x x ＋＝B ． 12x＝ C ．25142x x x －＋＝ D ．132x π＋＝ 2．下列方程中，x ＝3不是它的一个解的是（ ）． A ． 1133x x ＋＝ B ． 2430x x －＋＝ C ．3133x x x ＋＝－－ D ．31522x x ＝－＋ 3．解下列方程： （1）11x x x＝＋＋1； （2）2242111x x x x x －＋＝＋－；（3）221321121x x x x ＋＝－＋＋－； （4）22252571061268x x x x x x x x x －－＋＝＋－－－－＋．4．甲乙两人从A 地前往相距120千米的B 地，甲的速度是乙的1．5倍，乙比甲早出发1小时，乙到达B 地后20分钟甲才到，求甲乙两人的速度．【例5】如果方程622121x k k x x ＝＋－－有增根，求k 的值． 【分析】如果这个方程有增根，那么增根只能是x ＝12．由于增根只是原方程去分母后得到的整式方程的根，因此只能把x ＝12代入原方程去分母后得到的整式方程，进而求得k 的值． 【解】原方程去分母，得6x ＝k ＋2k （2x －1），①因为原方程有增根，所以增根是x ＝12． 将增根x ＝12代入方程①，得k ＝3，即k 的值为3．【例6】若方程2122212x x x a x x x x －－＋＋＝－＋－－的解为负数，求a 的取值范围． 【解】原方程去分母，得（x －1）（x ＋1）－()22x －＝2x ＋a ，解得 52a x ＋＝． 因为原方程的解为负数， 所以502522512a a a ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪⎪≠⎪⎩＋＜，＋，＋－， 解得517a a a ⎧⎪≠⎨⎪≠⎩＜－，－，－． 所以a ＜－5且a ≠－7．【例7】解方程：11115867x x x x ＋＝＋＋＋＋＋． 【解】将原方程化为11115678x x x x －＝－＋＋＋＋， 两边通分得221111301556x x x x ＝＋＋＋＋， 即2211301556x x x x ＋＋＝＋＋，4x ＝－26，x ＝132－． 经检验，x ＝132－是原方程的根．【例8】解方程：7151399171511x x x x x x x x －－－－＋＝＋－－－－． 【解】921721521129171511x x x x x x x x －＋－＋－＋－＋＋＝＋－－－－， 222211119171511x x x x ＋＋＋＝＋＋＋－－－－，11111715119x x x x －＝－－－－－， 2222322552099x x x x ＝－＋－＋， 22322552099x x x x －＋＝－＋，12x ＝156，x ＝13．经检验，x ＝13是原方程的根．练习12．5（2）1．若分式方程()36011x m x x x x ＋＋－＝－－有根，求m 的取值范围．2．当k 为何值时，解关于x 的方程2111x k x x x x －＝－＋－时，不会产生增根．3．解方程：11212736x x x x x x ＋＋－＝－＋＋＋＋．4．解方程：23451234x x x x x x x x ＋＋＋＋－＝－＋＋＋＋．练习12．5（1）1．D 2．C 3．（1）x ＝－12；（2）x ＝－12；（3）x ＝12是增根，原方程无解；（4）原方程化为 ()()()()()()525710324324x x x x x x x x x －－＋＝＋－－＋－－，则5x （x －4）＋（2x －5）（x －2）＝（7x －10）（x ＋3），即 －40 x ＝－40，所以x ＝1．4．甲的速度是每小时90千米，乙的速度是每小时60千米．提示：设乙的速度是每小时x 千米，从A 地到B 地，乙比甲多用40分钟，即23小时，则有方程12012021.53x x ＝－． 练习12．5（2） 1．m ≠5且m ≠－3 2．k ≠2且k ≠－2 3．x ＝－92 4．x ＝－5212．5 可以化为一元一次方程的分式方程练习12．5（1）1．下列方程不是分式方程的是（）．A．13tt＋＝B．1333xx x＋＝＋＋C．1131x x＋＝＋－D．310347x x＋＝2．分式方程41322x x＋＝＋＋的根是（）．A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－13．甲做180个机器零件所用的时间比乙做240个机器零件少23小时，已知两人每小时共做70个零件．求甲乙每小时各做多少个零件？若设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（70－x）个零件，由题意可列方程应该是（）．A．1802240370x x＋＝－B．1802402703x x＝＋－C．1802240703x x＋＝－D．1802402703x x＝＋－4．当x＝时，424xx－－的值与54xx－－的值相等．5．若252xx－－的值等于－1，则x的值为．6．一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为4：7，那么原数是．7．一件工程，甲独做要用15天完成，乙独做要用12天完成，甲、乙、丙三人合作只需4天就能完成，则丙单独做时，天可以完成．8．解方程：13 3648x x＝－－．9．解方程：3373226x x＋＝＋＋．10．解方程：222232411221x x x xx x x x＋－＋＋＋＝＋－＋＋．。
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12.7 繁分式
当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B
就叫繁分式. 繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.
例1 当x 为何值时，下列分式有意义？
（1）3912x x +-； （2）1111x x x x x x x x
+----+. 解 （1）要使原式有意义，则0,120,x x ≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩
解得x ≠0且x ≠12.所以，当x ≠0且x ≠12时，原式有意义.
（2）要使原式有意义，则10,0,10,10,1
x x x x x x x +≠⎧⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪-⎪-≠⎪+⎩ 解得1,0,1.x x x ≠-⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ 所以，当x ≠0且x ≠1±时，原式有意义.
例2 当x 为何值时，分式2111x x
-+的值为零. 解 由题意得，210,0,110,x x x
⎧⎪-=⎪≠⎨⎪⎪+≠⎩ 解得1,0,1.x x x =±⎧⎪≠⎨⎪≠-⎩ 所以，当x =1时，分式2111x x -+的值为零. 例3 化简：11111111
x x x x x x x x +--
-++-+-+. 解法一：原式=()()()()111111111111x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫-⋅-+ ⎪-+⎝⎭+-⎛⎫+⋅-+ ⎪-+⎝⎭
=()()()()
22221111x x x x +--++- =221
x x +. 解法二：原式=()()
()()()()
()()
222211111111x x x x x x x x +---+++--+ =()()()()
()()()()222211111111x x x x x x x x +--++-÷-+-+ =()()()()
()()()()222211111111x x x x x x x x +---+⨯-+++- =()()()()
22221111x x x x +--++- =
221
x x +. 例4 化简：11x x x x x -+-. 解 原式=()11x x x x x x x -⋅+⎛⎫-⋅ ⎪⎝
⎭ =()211
x x x x x -+- =1
x
x x x -+ =1
x x x x -+ =()21x x x x x
++-
=1
x x +.
练习12.7
1. 若分式413x
x
-+没有意义，则x 的值为 .
2. 若分式241312a a a
-++没有意义，则a 的值为 .
3. 化简下列各繁分式：
（1）211
1
211x
x x x x +-+--+； （2）1
111
x x
++；
（3）21111
a a a a --+-； （4）a b
a b
a b a b
b b a b a b
-+-+-++-.
答案：
1. 0或1
3-.
2. 0或1
5-.
3.（1）原式=2x
； （2）原式=2211x x x +++； （3）原式=21
21a a a -+-；
（
4）原式=2-.
12.7 繁分式
练习12.7
1. x 时，分式1
111x
++有意义.
2. x 时，分式211x x
++的值为零. 3. 计算：2112111
x x x x x +--++-.
4. 计算：1x y
x x y -+.
5. 计算：x y x y x y x y x y x y
--+++-.
6. 若13x x +=，求33441713x x x x +
+++的值.
答案：
1. 由题意得1101x
+≠+且10x +≠，即1x ≠-且2x ≠-. 所以当1x ≠-且2x ≠-时该分式有意义.
2. 由已知得20,110,0.
x x
x +=⎧⎪⎪+≠⎨⎪≠⎪⎩ 解得 2.x =-
所以当 2.x =-时，代数式211x x
++的值为零. 3. 原式=2x
. 4. 原式=22x xy y
+. 5. 原式=()()()()()()()()
x x y y x y x x y y x y x y x y x y x y +---++÷-++- =2222
2222
x y x y x y x y +-⨯-+=1. 另解：原式得分子、分母乘以()()x y x y +-，
原式=()()()()x x y y x y x x y y x y +---++=22
22x y x y
++=1. 6. 因为221x x
+=212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=7，可得441x x +=22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=272-=47， 331x x +=31113x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=3333-⨯=18，所以原式=187473++=12.。