莱布尼兹
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一项重要定理，被广泛应用于积分学和微分学。
它提供了一种计算定积分的方法，使得在某些情况下，无需求解原函数的表达式即可求得定积分的值。
本文将详细介绍牛顿-莱布尼兹公式的定义、推导过程以及实际应用。
一、定义牛顿-莱布尼兹公式用于计算定积分的值。
在数学上，定积分可以理解为曲线下的面积。
若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则对应的定积分可以表示为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数。
牛顿-莱布尼兹公式提供了一种不需要求解原函数的表达式来计算定积分的方法。
二、推导过程推导牛顿-莱布尼兹公式时，需要引入微积分中的基本定理，即微积分基本定理。
根据微积分基本定理，若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有：F'(x) = f(x)利用微积分基本定理可以将定积分转化为一个函数的原函数差值：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)三、实际应用牛顿-莱布尼兹公式在实际应用中有着广泛的应用。
以下将介绍一些常见的应用场景。
1. 计算曲线下的面积牛顿-莱布尼兹公式可以用来计算曲线下的面积。
对于给定的曲线和积分区间，我们可以通过计算积分得到该曲线下的面积。
2. 物理学中的应用牛顿-莱布尼兹公式在物理学中也有着重要的应用。
例如，当我们需要计算一个物体在给定时间区间内的位移时，可以使用牛顿-莱布尼兹公式来进行求解。
通过对速度函数进行定积分，我们可以得到物体在该时间区间内的位移值。
3. 经济学中的应用牛顿-莱布尼兹公式在经济学中也有一些应用。
例如，当我们需要计算某个商品在一段时间内的销售总量时，可以使用牛顿-莱布尼兹公式来进行求解。
通过对销售速度进行定积分，我们可以得到该商品在该时间区间内的销售总量。
四、总结牛顿-莱布尼兹公式是微积分中的一项重要定理，它为我们提供了一种计算定积分的方法。
通过牛顿-莱布尼兹公式，我们可以方便地计算曲线下的面积，解决物理学和经济学中的问题。
关于科学家成功的故事
关于科学家成功的故事随着科学技术的高速发展,人们逐渐认识到科技传播事业的重要性,科学家传记作为一种重要载体,在科技传播中发挥了不可替代的作用。
以下是分享给大家的关于科学家成功故事，希望大家喜欢!科学家成功故事篇1;;数学天才;;莱布尼兹莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716)是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
一、生平事迹莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。
莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。
莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。
15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。
在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。
17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。
20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。
这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。
这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。
这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。
从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。
在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。
1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。
此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。
莱布尼兹的哲学思想
彻底独立的实体。所以他的运动变化来源于内在的原则，而非外在的机械推动。
因为单子作为精神，精神具备能动性。
连续性
每一个单子都在反映宇宙，犹如镜子反映着自然一样。那么不同的单子，由于他的知觉能 力的不同，必然反映出不同程度的清晰程度的宇宙。可以说，宇宙就被包含在这些单子之 中。那么单子数量是无限的，单子和单子之间可以插入无限多（无数等级）的单子。那么， 单子和单子之间就形成了既有差别，又是紧密联系的。 所以，自然界从不飞跃。是一个低级向高级的连续体，这就解决了不可分和连续性问题。
上 帝
天使 人类
动物
植物
3.前定和谐论
单子论解决一切问题了吗？
理论再精妙，也要和经验事实相融洽。 经验事实告诉我们，世界是运动的，是 变化发展的。而莱布尼兹认为，事物是 在“欲望”的推动下不断发展的 那么单子和单子是孤立的，假如其中一 个单子动，其他单子不动，那么这个连 续的序列就破产了，这个序列就不具备 连续性可言了。
启后
莱布尼茨的理论欧洲大陆唯理论发展的一大台阶，为后继人沃尔夫提供了最 直接的理论资源。“菜布尼茨在德国本土的声望总比在法、英强。他的形而上学 通过后来的独断论哲学家克里斯蒂安·沃尔夫获得了传承“这就为实现哲学在德国 生根发芽和开花结果的本土化发展创造了重要前提。此后，黑格尔作为德国哲学 发展的巅峰代表，以绝对精神本体论吸收和改造了莱布尼茨单子本体论的传统和 精神并构造了恢宏的形而上学体系。黑格尔之后，德国哲学家胡塞尔、海德格尔 批判性地吸收和改造菜氏的理论资源而构造了现象学的本体论体系，也见证了莱 氏本体论作为推进德国哲学发展之思想资源的重要价值。
罗素
2. 单子论
从原子论的缺点说起
原子，是古希腊哲学家德谟克里特提出，指的是一种不可分的最小物质 其一、原子论主张有一个不可分的物质。可是只要是物质，就一定有广延。 而有广延就一定可以分。但是实体的概念必须意味着不可分，才能具备统一性。 这是充满矛盾的 其二、连续性问题。原子论者认为，万物都是有由原子构成的，那么万物 就是原子的堆集。那么原子和原子之间是由虚空隔开的，这就是非连续性。如 果要承认原子和原子具备连续性，那么就必须否定虚空，但是一旦否定了虚空， 原子是连续的，那么原子又具备广延，他就必然可分。而连续性和不可分要同 时具备，这就成了一个很矛盾的问题。 其三、机械唯物论无法说明经验事实。例如，一个足够大的静止的东西， 让一个运动的物体冲撞他，那么会减慢速度。但是在机械论看来，理论上不会 出现减慢速度。这说明，还是有别的什么东西影响了速度。
莱布尼兹
莱布尼兹一、年轻时代（１６４６—１６６７）哥特弗里德・威廉・莱布尼茨（Ｇｏｔｔｆｒｉｅｄ Ｗｉｌｈｅｌｍ ｖｏｎＬｅｉｂｎｉｚ）于１６４６年７月１日出生在德国的莱比锡。
他是德国的数学家、物理学家、哲学家，是一位罕见的多才博学的人。
莱布尼茨的父亲弗里德里希・莱布尼茨（１５９７——１６５２）是莱比锡大学的道德哲学教授。
其母卡塔琳娜・施莫克（１６２１——１６６４）是老莱布尼茨的第三个妻子。
莱布尼茨有一个异母兄弟约翰・弗里德里希和一个妹妹安娜・卡特琳娜，她的儿子西蒙・洛夫勒后来成为他的唯一继承人。
莱布尼茨的早期教育鲜为人知，只有他自己偶然的一些回忆。
他说的经历可能有点夸张，以至把他自己说成完全是自学成才的了。
但有一点是很明确的，他确实不像同时代的科学巨人牛顿那样受过良好的数学以及其他科学的训练。
莱布尼茨在少年时代接受的主要是文科的知识。
据莱布尼茨回忆，他在７岁上学前就跟着父亲学习阅读，８岁时就如饥似渴地学习他那已经去世的父亲的书，我们几乎难以想象他如何能读懂那些艰深晦涩的拉丁文、希腊文的著作。
但这些著作还真的为他后来在古典哲学、教父哲学和经院哲学方面的广博学识打下了基础。
除此之外，他的学校的教学大纲本身还要求学习德国文学和历史、神学以及逻辑学。
他对最后一门功课特别感兴趣，在他以后的生涯中，始终对逻辑学的研究保持浓厚的兴趣。
１６６１年冬天以后，莱布尼茨来到莱比锡大学，当时他只有１５岁（这确实非常年轻，但在他的那个时代并非罕见之事）。
在这里，他开始显露出了才华，开始在学习上名列前茅。
各门课程，其中包括哲学、修辞学、数学、拉丁文、希腊文和希泊莱文，他都深入研究，而法律、哲学是他的主课。
更令人惊异的是，他对数学和自然科学表现出强烈的兴致，大学期间就博览了当时流行于世的各种科学著作。
根据当时的教育法规，莱布尼茨在大学毕业后必须到“高一级”的学院如神学院、法学院或医学院进行学习才能拿到博士学位。
他选择了法学，但是在开始法学课程之前，他到附近的耶拿大学过了一个短短的暑期。
莱布尼兹生平简介
莱布尼兹生平简介莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）是德国数学家、哲学家、自然科学家。
他出身书香门第，其父是莱比锡大学的哲学教授。
他自幼聪明、勤奋、好学，是罕见的神童，15岁（1661年）考入莱比锡大学学习法学，并钻研哲学与数学，18岁（1664年）获得哲学硕士学位，20岁（1666）年获得法学博士学位，尔后从事外交事务，他是在和许多数学家的接触中学习数学知识并开始从事微积分研究的。
莱布尼兹的哲学观是“单子论”，他认为单子是“自然的真正原子”、“事物的元素”，是客观的、能动的、不可分割的精神实体。
他的哲学观在能动性方面包含着辩证法因素。
他的单子论哲学观与他创建的无穷小微分理论有着明显而深刻的内在联系。
在认识论上，他是唯理论者，他把知识分为推理的知识和事实的知识，并抬高推理知识的地位，强调理性认识的作用；他把一切领域的知识作为自己追求的目标，他企图建立通用符号，通用语言，以便统一一切科学。
在方法论上，他终生追求一种“普遍的方法”，这种方法既是获得知识的方法，也是创造发明的方法。
这样的哲学观、认识论与方法论使莱布尼兹成为“德国百科全书式的天才”、“十七世纪的亚里士多德”。
莱布尼兹的研究涉及数学、哲学、法学、力学、光学、流体静力学、海洋学、生物学、地质学、机械学、逻辑学、语言学、历史学、神学等41个领域，几乎涵盖了当时的一切科学，并且在每一个领域都有杰出成果。
他的科学成就，并不仅仅是德国一国的产物，而是当时整个欧洲在资本主义发展条件下所取得的科学结果，是那一时代整个科学水平的反映。
但由于他独立创建了微积分，并且发明了优越的微积分符号，从而使他以微积分独立创始人之一而闻名于世。
而他在其余广阔领域的卓越成就则显得淡若晨光。
比如在数学方面，他还是组合拓扑的先驱，也是数理逻辑学的鼻祖，二进位制计数法的发明与系统阐述者。
莱布尼兹很重视和其他学者的交流，讨论问题。
据史料记载，他与1000多位科学家通过信，留下15000多封信件。
莱布尼茨时空观的例子
莱布尼茨时空观的例子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：莱布尼茨是17世纪著名的德国哲学家和数学家，他的时空观被认为是开创性的，对后来的科学和哲学发展产生了深远的影响。
莱布尼茨认为时空是同一体系的不同方面，时间和空间并不是独立存在的，而是互相依存和相互作用的。
他的时空观有许多有趣的例子，让我们来看看其中的一些。
莱布尼茨认为时间和空间是连续的而非离散的。
他认为时间和空间可以无限地细分下去，没有最小的单位，也没有最大的界限。
这一观点与牛顿的绝对时间和空间观形成鲜明对比。
举个例子来说，如果我们将一段时间划分成无限小的时刻，那么任何两个时刻之间都会有一个细微的时间间隔，这是莱布尼茨连续性观的体现。
莱布尼茨认为时空是相对的而非绝对的。
他提出了一个有趣的思想实验，即"相对位置换出"。
这个例子可以很好地说明莱布尼茨的相对性观。
假设有两个人在一个封闭的车厢里，人们通常认为车厢静止，而地面在运动。
但如果我们假设地面静止，而车厢在运动，那么两个人之间的相对位置将会发生变化。
这个例子展示了莱布尼茨时空观中相对性的概念。
莱布尼茨还提出了"外部关系"和"内部关系"的概念来解释时空关系。
外部关系是指事物之间的空间位置关系，比如物体A和物体B之间的距离。
而内部关系则是指事物内在的联系和属性，比如物体A的形状、颜色等属性。
莱布尼茨认为外部关系是依赖于内部关系的，时空关系不仅仅是外部的空间关系，还包括内在的属性和联系。
这个概念在解释宇宙的结构和演化过程中具有很大的启发意义。
莱布尼茨的时空观也对后来爱因斯坦的相对论产生了影响。
爱因斯坦的相对论进一步发展了莱布尼茨的时空观，提出了时空弯曲和时间相对性的概念。
可以说莱布尼茨的时空观是现代科学中的重要里程碑之一。
莱布尼茨的时空观是一个开创性的哲学思想，对后来的科学和哲学有着深远的意义。
他的时空观有许多有趣的例子，揭示了时空的连续性、相对性和内外关系等重要概念。
莱布尼茨的“可能世界”留下的历史困惑
莱布尼茨的“可能世界”留下的历史困惑【摘要】莱布尼茨是一位着名的德国哲学家和数学家，他对可能世界的探讨引起了历史困惑。
在他的可能世界理论中，莱布尼茨认为存在无数个可能的世界，并且每个可能的世界都有其独特的历史发展轨迹。
这种观点导致了一些历史困惑的表现，例如为什么我们生活在这个世界而不是其他可能的世界。
莱布尼茨认为可能世界对历史有着深远的影响，但对此看法引发了争议。
一些人对莱布尼茨可能世界理论提出了批评，认为这种理论过于抽象和无法证实。
莱布尼茨留给我们的启示是，思考可能世界的存在可以帮助我们更好地理解历史发展和做出更明智的选择。
对于莱布尼茨的理论，我们应当保持开放的思维，以探索更广阔的思想空间。
【关键词】莱布尼茨、可能世界、历史困惑、理论、影响、争议、批评、思考、启示1. 引言1.1 莱布尼茨对可能世界的探讨莱布尼茨是一位著名的德国哲学家和数学家，他在17世纪提出了一种新颖的观点：可能世界理论。
莱布尼茨认为，除了我们所生活的现实世界外，还存在着无限多个可能世界，每个可能世界都是一个独立存在的世界，具有不同的历史和发展轨迹。
他认为，这些可能世界并非单纯的幻想，而是在逻辑上是可能实现的。
他认为每个可能世界都有其自身的规律和内在秩序，虽然与我们所知的现实世界不同，但同样合乎逻辑。
莱布尼茨对可能世界的探讨开辟了一个新的研究领域，拓展了人们对世界的认识。
莱布尼茨的可能世界理论引发了许多人的思考和争议。
一些学者对他的观点表示怀疑，认为可能世界只是纯粹的想象，缺乏实际意义。
也有许多人认为这种观点是有启发性的，可以帮助人们更好地理解世界的多样性和复杂性。
在接下来的文章中，我们将深入探讨莱布尼茨的可能世界理论，以及可能世界留下的历史困惑。
1.2 历史困惑的由来莱布尼茨对可能世界的探讨,历史困惑的由来：莱布尼茨是一位哲学家、数学家和物理学家，他提出了可能世界的概念，这个概念在当时的哲学领域引起了广泛的讨论和争议。
莱布尼茨认为，除了我们所处的这个现实世界外，还存在着无数个可能世界，每个可能世界都有自己独特的规律和命运。
莱布尼茨：人心是有纹路的大理石
莱布尼兹：人心是有纹路的大理石人们对莱布尼茨的熟知可能大多基于其在微积分、代数和几何上的重要地位，其实莱布尼茨的成就不只是在数学领域，在哲学、逻辑学、法学、语言和技术发明等领域同样有独特贡献，在此笔者主要介绍莱布尼茨哲学思想。
一、前定和谐理论既然世界的本质是单子，而我们所看到的一切不过是单子所表现出来的现象。
那么从某种意义上说，莱布尼兹就消解了笛卡尔的身心二元论问题。
因为世界上压根不存在精神和物质这两个实体，所谓的物质，不过就是精神的现象而已。
笛卡尔的身心二元论，就从实体与实体之间的矛盾，变成了实体的本质与现象的关系问题。
身心二元论问题固然不存在了，但无数多的单子，彼此不同，互相独立的单子，是如何呈现出一种和谐状态，而非无政府主义式的一团浆糊呢？在这里，莱布尼兹吸收了斯宾诺莎的观点，提出了前定和谐理论。
因为世间一切单子，都是由上帝创造的，因此，它们之所以呈现出一片和谐的状态，全是上帝先天就设定好的。
每一个单子都彼此不同，你可以把整个世界看成一个巨大的合奏乐团，虽然乐器之间彼此不同，但它们都依循着同样的乐谱演奏，所以尽管每一个乐器音色不同，音符不同，但整体来看，整个乐团所发出的声音却是无比和谐的。
而这一切的源头，就在于它们都演奏同一个乐谱。
这个乐谱，是上帝先天就设定好的。
至于笛卡尔的身心二元论问题，其实就变成了单子与单子之间的协调问题。
因为物质说白了只不过是单子复合呈现出来的现象而已，本质上身心和谐问题不过是单子与单子之间的和谐问题。
而这种和谐，其实是上帝先天设定好的。
但问题在于，既然上帝本身也是单子的话，根据单子封闭的特点，上帝这个单子是如何影响其他单子的？其次，你既然说每一个单子都是自因是，是自由的，但又说上帝先天安排好了每一个单子的和谐问题，这两者之间岂不是矛盾？莱布尼兹并没有很好地解决这些问题，只是提出了一个上帝，然后把所有的矛盾都塞了进去。
其实近代很多哲学家都这样，一旦在自己的哲学理论中碰到了困难，马上就把上帝搬了出来，然后问题就解决了。
5莱布尼兹
莱布尼茨莱布尼茨（Leibniz，Gottfriend Wilhelm）是德国数学家、自然主义哲学家、自然科学家．1646年7月1日生于莱比锡；1716年11月14日卒于汉诺威．莱布尼茨的父亲是莱比锡大学的哲学教授，在莱布尼茨6岁时就去世了，留给他十分丰富的藏书．莱布尼茨自幼聪敏好学，经常到父亲的书房里阅读各种不同学科的书籍，中小学的基础课程主要是自学完成的．16岁进莱比锡大学学习法律，并钻研哲学，广泛地阅读了培根、开普勒、伽利略等人的著作，并且对前人的著述进行深入的思考和评价．1663年5月，他以题目为《论个体原则方面的形而上学争论》的论文获得学士学位．1664年1月，他又写出论文《论法学之艰难》又取得该校哲学学士学位．从1665年开始，莱比锡大学审查他提交的博士论文《论身份》，但1666年以他年轻(20岁)为由，不授予他博士学位．对此他气愤地离开了莱比锡前往纽伦堡的阿尔特多夫大学，1667年2月阿尔特多夫大学授予他法学博士学位，该校要聘他为教授，被他谢绝了．1672一1676年，任外交官并到欧洲各国游历，在此期间他结识了惠更斯等科学家，并在他们的影响下深入钻研了笛卡儿、帕斯卡、巴罗等人的论著，并写下了很有见地的数学笔记，这些笔记显示出他的才智，从中可以看出莱布尼茨深刻的理解力和超人的创造力．1676年，他到德国西部的汉诺威，担任腓特烈公爵的顾问及图书馆馆长近40年，这使他能利用空闲探讨自己喜爱的问题，撰写各种题材的论文，其论文之多浩如烟海．莱布尼茨1673年被选为英国皇家学会会员，1682年创办《博学文摘》，1700年被选为法国科学院院士，同年创建了柏林科学院，并担任第一任院长．莱布尼茨把一切领域的知识作为自己追求的目标．他企图扬弃机械论的近世纪哲学与目的论的中世纪哲学，调和新旧教派的纷争，并且为发展科学制订了世界科学院计划，还想建立通用符号、通用语言，以便统一一切科学．莱布尼茨的研究涉及数学、哲学、法学、力学、光学、流体静力学、气体学、海洋学、生物学、地质学、机械学、逻辑学、语言学、历史学、神学等41个范畴．他被誉为“17世纪的亚里士多德”，“德国的百科全书式的天才”．他终生努力寻求的是一种普遍的方法，这种方法既是获得知识的方法，也是创造发明的方法．他最突出的成就是创建了微积分的方法．莱布尼茨才气横溢．美国数学史家贝尔(Bell)说：“莱布尼茨具有在任何地点、任何时候、任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着、思考着．”他思如泉涌，有哲人的宏识．莱布尼茨的微积分思想的最早记录，是出现在他1675年的数学笔记中．莱布尼茨研究了巴罗的《几何讲义》之后，意识到微分与积分是互逆的关系，并得出了求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)的比；而求面积则依赖于在横坐标的无穷小区间上的纵坐标之和或无限窄矩形面积之和．并且这种求和与求差的运算是互逆的．即莱布尼茨的微分学是把微分看作变量相邻二值的无限小的差，而他的积分概念则以变量分成的无穷多个微分之和的形式出现．莱布尼茨的第一篇微分学论文《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，于1684年发表在《博学文摘》上，这也是历史上最早公开发表的关于微分学的文献．文中介绍了微分的定义，并广泛采用了微分记号d x，d y，函数的和、差、积、商以及乘幂的微分法则，关于一阶微分不变形式的定理、关于二阶微分的概念以及微分学对于研究极值、作切线、求曲率及拐点的应用．他关于积分学的第一篇论文发表于1686年，其中首次引进了积分号⎰，并且初步论述了积分或求积问题与微分或求切线问题的互逆关系，该文的题目为《探奥几何与不可分量及无限的分析》．关于积分常数的论述发表于1694年，他得到的特殊积分法有：变量替换法、分部积分法、在积分号下对参变量的积分法、利用部分分式求有理式的积分方法等．他还给出了判断交错级数收敛性的准则．在常微分方程中，他研究了分离变量法，得出了一阶齐次方程通过用y vx=的代换可使其变量分离，得出了如何求一阶线性方程的解的方法．他给出用微积分求旋转体体积的公式等等．莱布尼茨是数学史上最伟大的符号学者，他在创建微积分的过程中，花了很多时间来选择精巧的符号．他认识到好的符号不仅可以起到速记作用，更重要的是它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．他曾说：“要发明，就得挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达或比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度减少人的思维劳动．”现在微积分学中的一些基本符号，例如，d x，d y，ddyx，d"，⎰，log等等，都是他创立的．他的优越的符号为以后分析学的发展带来了极大方便．然而他在创建微积分时，甚至比牛顿更不注意严格的逻辑性与严密性，尽管他的方法更富有想像力与启发性．莱布尼茨和牛顿研究微积分学的基础，都达到了同一个目的，但各自采用了不同的方法．莱布尼茨是作为哲学家和几何学家对这些问题产生兴趣的，而牛顿则主要是从研究物体运动的需要而提出这些问题的．他们都研究了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，从而建立了微积分的重要基础．牛顿在时间上比莱布尼茨早10年，而莱布尼茨公开发表的时间却比牛顿早3年．作为一个数学家，莱布尼茨的声望虽然是凭借他在微积分的创建中树立起来的，但他对其他数学分支也是有重大贡献的．例如，对笛卡儿的解析几何，他就提出过不少改进意见，“横坐标”及“纵坐标”等术语都是他给出的．他提出了行列式的某些理论，他为包络理论作了很多基础性的工作．并给出了曲率中的密切圆的定义．莱布尼茨还是组合拓扑的先驱，也是数理逻辑学的鼻祖，他系统地阐述了二进制记数法．莱布尼茨是现代机器数学的先驱，他在帕斯卡加、减法机械计算机的基础上进行改进，使这种机械计算机能进行乘法、除法、自乘的演算．莱布尼茨虽然脾气急躁，但容易平息．他一生没有结婚，一生不愿进教堂．作为一位伟大的科学家和思想家，他把自己的一生奉献给了科学文化事业．他的著述如林．20世纪初，柏林科学院曾计划出版40卷的莱布尼茨全集，后因世界大战而未实现．仅是1850一1863年编辑的《莱布尼茨数学著作集》就有7卷．莱布尼茨曾说：“我有非常多的思想，如果别人比我更加深人透彻地研究这些思想，并把他们心灵的美好创造与我的工作结合起来，总有一天会有某些用处．”法国数学家、天文学家丰唐内尔(Fontenelle)评论说：“莱布尼茨是乐于看到自已提供的种子在别人的植物园里开花的人．”。
莱布尼茨的空间和时间观点
莱布尼茨的空间和时间观点全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：莱布尼茨是一位十七世纪的哲学家和数学家，他对空间和时间的观点有着独特的见解，对后世的哲学和物理学都产生了深远的影响。
在莱布尼茨看来，空间和时间并不是绝对的存在，而是相对于物体和事物而存在的。
他认为，空间和时间是理性的概念，是在我们的思维中构建出来的，而非客观存在的独立实体。
莱布尼茨对空间的理解是基于关系的。
他认为，空间是物体之间相对位置的关系，是由物体之间的相互作用和相对位置构成的。
不同的物体在空间中的位置是相对的，没有绝对的空间。
他认为，空间并不是无限连续的，而是由无数个最小的点和区域构成的。
这种对空间的理解与牛顿的绝对空间观念形成鲜明对比，也为后来爱因斯坦的相对论打下了基础。
第二篇示例：莱布尼兹是一位著名的德国哲学家、数学家和物理学家，他对于空间和时间的观点在当时引起了广泛的讨论和影响。
在他的哲学体系中，莱布尼兹对空间与时间的观点有着独特而深刻的见解。
莱布尼兹认为空间和时间不是外在于物质的实体，而是由物质的关系决定的。
他认为空间和时间并不是独立存在的实体，而是一种关系，这种关系是由物质的位置和运动决定的。
莱布尼兹认为空间和时间是一种抽象的概念，它们只存在于我们思维的范畴中，而并非独立于我们的意识之外。
他认为空间和时间只是我们用来描述物质运动和位置的工具，它们本身并不存在于物质之外。
莱布尼兹对于空间和时间的连续性有着独特的见解。
他认为空间和时间是连续的，不存在任何间断或断裂。
他认为时间是由一系列的瞬间构成的，这些瞬间是逐渐连接在一起的，形成了连续的时间流。
同样，他认为空间是由无数的点构成的，这些点无缝连接在一起，形成了连续的空间。
莱布尼兹还提出了关于绝对空间和相对空间的观点。
他认为空间并不是绝对存在的，而是相对于物质的位置和运动而言的。
他认为每个物体都有自己的空间，空间是由这些物体的位置和运动关系决定的。
他认为空间是相对于物体的位置和运动而言的，不存在绝对的空间。
莱布尼茨
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四、微积分
（一）、微积分的概念 （二）、建立过程
（三）、优先权之争
（四）、微积分的科学意义
一、微积分的概念
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及 有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学 科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。 微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。 积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
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三、主要成就
1、微积分
• 莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到 了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。 而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系 ，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数 的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分 方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此 ，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他 们发明的”。 • 然而关于微积分创立的优先权，在数学史上曾掀起了一 场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于 莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 返回
由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁 是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波 ，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。 英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于 拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整 整落后了一百年。
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三、优先权之争
莱布尼茨1684年10月在《教 师学报》上发表的论文《一种 求极大极小的奇妙类型的计算 》，是最早的微积分文献。这 篇仅有六页的论文，内容并不 丰富，说理也颇含糊，但却有 着划时代的意义。
莱布尼兹
莱布尼兹( 莱布尼兹(Gottfriend Leibniz) 17、 Wilhelm Leibniz)是17、18 世纪之交德国最重要的数 学家、物理学家和哲学家， 学家、物理学家和哲学家， 一个举世罕见的科学天才， 一个举世罕见的科学天才， 和牛顿同为微积分的创建 他博览群书， 人。他博览群书，涉猎百 科，对丰富人类的科学知 识宝库做出了不可磨灭的 贡献。 贡献。
20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺 岁时他发表了第一篇数学论文《 岁时他发表了第一篇数学论文 这是一篇关于数理逻辑的文章， 术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是 出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。 出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。 这篇论文虽不够成熟， 这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学 才华。 才华。 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投 身外交界。在出访巴黎时， 身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹 的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、 的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔 帕斯卡等人的著作。 马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数 学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究， 学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地 创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共 创立了微积分的基本概念与算法， 同奠定了微积分学。 年被选为巴黎科学院院士， 同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院士， 年被选为巴黎科学院院士 促成建立了柏林科学院并任首任院长。 促成建立了柏林科学院并任首任院长。
莱布尼兹, 莱布尼兹,1646年7月1日出生于德国东部莱比 年 月 日出生于德国东部莱比 锡的一个书香之家，广泛接触古希腊罗马文化， 锡的一个书香之家，广泛接触古希腊罗马文化， 阅读了许多著名学者的著作， 阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实 的文化功底和明确的学术目标。 岁时 岁时， 的文化功底和明确的学术目标。15岁时，他进了 莱比锡大学学习法律，还广泛阅读了培根、 莱比锡大学学习法律，还广泛阅读了培根、开普 勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行 伽利略、等人的著作， 深入的思考和评价。 深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的 几何原本》的课程后， 《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了 浓厚的兴趣。 岁时他在耶拿大学学习了短时期 浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期 的数学，并获得了哲学硕士学位。 的数学，并获得了哲学硕士学位。
数学家的故事5 莱布尼兹
我有这么多的想法，假如某一天某地的人能够比我更深入地对它们加以研究，并且把他们思想的妙处和我的劳动结合起来，这些想法很可能有一天会得到利用。
——莱布尼兹由远而近的马车蓝天白云之下，大地恬静而舒展。
西斜的太阳让树林、田野和远处的山峦都带上了倦意。
灰褐色的道路一眼望不见尽头。
一辆马车由远而近，嘚嘚嘚的马蹄声表明它在急速地赶路。
颠簸的车厢里坐着一个英俊的青年。
他不凭窗眺望，却埋头在旅行箱上疾书。
当他停笔思考的时候，深思的目光中露出一丝怏怏的神情。
一个人受到不公正的待遇，难免不高兴，何况是个血气方刚的青年。
20岁的莱布尼兹刚刚从莱比锡大学毕业。
因为嫉妒他的知识和才华，教授竟会借口他太年轻而拒绝他的博士学位的申请。
莱布尼兹一气之下离开莱比锡，决定到纽伦堡去争取学位。
他现在赶写论述教授法律新方法的论文，就是为迎接新的学位考试作准备。
少年在沉思中1646年7月1 日，戈特夫里德·威廉·莱布尼兹出生于莱比锡的书香门第。
父亲弗雷德里希是莱比锡大学的伦理学教授。
母亲卡德琳娜·舒马克是斯拉夫人的后裔，也是书香门第。
莱布尼兹一家三代为萨克森政府服务，可以说是典型的士大夫阶层。
小莱布尼兹在浓厚的学术气氛中长大。
他进尼可莱学校的时候，已经显出他的早熟。
教师想用固定的教材来限制他，免不了出现早熟儿童和常规教育之间常见的矛盾。
小莱布尼兹不愿意接受老师的限制和校规的约束，主要在家里自学。
他8岁开始学习拉丁语，12岁能够用拉丁文作诗，很快又精通了希腊语。
1652年，小莱布尼兹才6岁，父亲不幸病故。
他想念父亲，常常跑进父亲的藏书室，翻阅父亲生前阅读的书籍。
小莱布尼兹继承了父亲对历史的兴趣。
从父亲丰富的藏书中，他知道了古希腊的文明和罗马帝国的兴衰，十字军和成吉思汗的征讨，迷人的中国和印度的东方文化，……古代语言的学习已经满足不了他的求知欲望。
连绵30年的德意志内战好不容易结束了，但是它给国家和人民留下深重的苦难，动摇了小莱布尼兹对古代战争的向往。
莱布尼兹公式
推导过程中难点与注意事项
选择合适的数学模型
针对具体问题，选择适当的数学模型进行描述是解决问题 的关键，需要充分考虑问题的实际背景和特点。
运用微积分学原理时需注意
在应用微积分学原理进行计算时，要注意函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性等性质，避免出现错误或不合理的 结果。
级数求和的收敛性判断
在运用级数理论进行求和时，要注意判断级数的收敛性， 选择合适的求和方法，以保证解的准确性和可靠性。
动态系统分析
在工程实践中，莱布尼兹公式可以用于分析动态系统的稳定性和性能，如机械系统、电路系统、流体 系统等，为工程实践提供理论指导。
05
公式推广与拓展
广义莱布尼兹公式介绍
公式形式
广义莱布尼兹公式是一种扩展了 原始莱布尼兹公式的数学表达式 ，用于处理更广泛的函数类型和
积分问题。
应用领域
广义莱布尼兹公式在物理学、工程 学、经济学等领域有广泛应用，用 于求解微分方程、积分变换等问题 。
公式对称性与美观性
对称性
莱布尼兹公式具有对称性，即序列中前后对应的项具有相同的数学性质和特点， 这种对称性体现了数学之美。
美观性
莱布尼兹公式以简洁明了的形式表达了序列求和的概念和方法，其形式美观、易 于理解和记忆。同时，通过使用数学符号和索引，公式表现出一种逻辑性和条理 性，使得数学表达更加严谨和精确。
力学问题求解
在力学中，莱布尼兹公式可以用于求解质点运动的速度、加速度以及力的变化等问题，从而揭示物体运动的规律 。
电磁学问题求解
莱布尼兹公式在电磁学中可以用于计算电荷分布、电场强度、磁感应强度等物理量，对于研究电磁现象具有重要 意义。
在工程学领域应用
优化设计
莱布尼兹公式可以用于求解工程中的最优化问题，如结构优化设计、控制系统优化等，从而提高工程 设计的效率和性能。
莱布尼兹公式展开
莱布尼兹公式展开莱布尼兹公式展开这玩意儿，在数学里可算是个相当重要的知识点。
咱先来说说啥是莱布尼兹公式。
简单来讲，它就是用来处理两个函数乘积的 n 阶导数的。
这公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数学难题的大门。
比如说，咱在计算一些复杂函数的高阶导数时，如果直接去硬算，那可真是能把人绕晕。
但有了莱布尼兹公式，就像是有了导航，能让咱少走好多弯路。
我记得有一次给学生讲这个知识点，那场面真是让我印象深刻。
当时我在黑板上写了一个函数，然后问大家怎么求它的三阶导数。
同学们一个个都皱着眉头，苦思冥想。
我就慢慢地引导他们，从最基本的导数公式开始，一步一步地往莱布尼兹公式上引。
终于，有个聪明的小家伙眼睛一亮，喊了出来：“老师，是不是可以用莱布尼兹公式！”那一刻，我心里别提多高兴了，就感觉自己辛勤浇灌的种子终于开始发芽了。
那咱再深入讲讲莱布尼兹公式的具体形式。
它是这样的：(uv)^(n) = ∑(C(n,k) * u^(n-k) * v^(k)) ，这里的 C(n,k) 就是组合数。
可别被这一堆符号吓到，其实理解起来也不难。
比如说，咱们有两个函数 u(x) = x^2 和 v(x) = sin(x) ，现在要求它们乘积的二阶导数。
按照莱布尼兹公式，先算各项。
C(2,0) 就是 1 ，u 的二阶导数是 2 ，v 不变还是 sin(x) ；C(2,1) 是 2 ，u 的一阶导数是 2x ，v 的一阶导数是 cos(x) ；C(2,2) 还是 1 ，u 不变还是 x^2 ，v 的二阶导数是 -sin(x) 。
然后把这些加起来，就能得到结果啦。
在实际应用中，莱布尼兹公式可太有用了。
比如在物理里，研究一些振动、波动问题的时候，经常会碰到类似的计算。
学习莱布尼兹公式，一开始可能会觉得有点复杂，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，就会发现其中的规律和乐趣。
就像解谜题一样，每解开一道，都特有成就感。
总之，莱布尼兹公式展开虽然看起来有点难，但只要咱们耐心去学，细心去用，它就能成为咱们解决数学问题的有力武器。
莱布尼兹级数公式
莱布尼兹级数公式莱布尼兹级数公式，这可是数学领域里一个相当有趣的家伙！咱们先来说说啥是莱布尼兹级数公式。
简单来讲，它就是用来处理一些级数求和问题的工具。
比如说，在计算某些无穷级数的和时，它就能大显身手。
我记得有一次，在给学生们讲解这个公式的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，教室里的气氛有点懒洋洋的。
我在黑板上写下了莱布尼兹级数公式，然后开始滔滔不绝地讲解。
可是我发现，下面好多双眼睛都是迷茫的。
这可不行啊！于是我决定换个方式。
我拿出了一个装满弹珠的盒子，对同学们说：“咱们把这个盒子里的弹珠想象成一个个数字，而莱布尼兹级数公式就是我们整理这些弹珠的方法。
”这一下子，同学们的兴趣被提起来了。
有个调皮的小男孩立刻举手说：“老师，那是不是就像把弹珠按照大小排队一样？”我笑着回答：“对呀，差不多就是这个意思！”接下来，我们就通过这个“弹珠”的例子，一点点地理解了莱布尼兹级数公式的原理。
那莱布尼兹级数公式到底长啥样呢？它通常是这样的：对于一个交错级数，如果其通项的绝对值单调递减且趋于零，那么这个级数收敛，并且其和小于首项。
听起来有点复杂是不是？其实啊，咱们就把它想象成一个有规律的队伍。
队伍里的每个人都按照一定的顺序排列，而且越往后的人越不重要，最后就趋近于一个稳定的状态。
再举个例子，比如说我们有一个级数：1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 +... 这就是一个典型的可以用莱布尼兹级数公式来处理的级数。
通过这个公式，我们可以知道它是收敛的，并且能够求出它的近似和。
在实际应用中，莱布尼兹级数公式可不只是在数学考试里有用哦！比如说，在物理学中，研究一些波动现象的时候，就可能会用到它；在工程学中，处理一些信号的问题时，它也能派上用场。
回到我们的学习中，掌握莱布尼兹级数公式需要多做一些练习题。
就像学骑自行车，一开始可能会摇摇晃晃，但多练几次，就能熟练掌握平衡，轻松上路啦！总之，莱布尼兹级数公式虽然看起来有点神秘，但只要我们用心去理解，多动手去练习，就能把它拿下！就像当初我们搞定那个“弹珠盒子”一样，只要有耐心和方法，没有什么是做不到的。
莱布尼兹积分准则
莱布尼兹积分准则莱布尼兹积分准则是微积分中重要的工具之一，它为我们解决一类特殊的积分问题提供了便利。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以快速判断一个函数的原函数是否存在，并进行求解。
下面我将用生动的语言为大家介绍莱布尼兹积分准则。
让我们来看一个简单的例子。
假设我们要求函数f(x) = x^2的原函数F(x)。
我们可以首先对原函数F(x)进行求导，得到f(x) = x^2。
然后，我们再对f(x)进行积分，就可以得到原函数F(x)。
这个过程可以用数学公式来表示为：F(x) = ∫f(x)dx这里的∫表示积分，dx表示对x进行积分。
可以看出，求解一个函数的原函数就是对该函数进行积分的逆过程。
但是，并不是所有的函数都能找到原函数。
莱布尼兹积分准则就告诉我们，一个函数能找到原函数的条件是它在某个区间上连续，并且满足可积性条件。
也就是说，函数在该区间上应该满足Riemann 可积的条件。
莱布尼兹积分准则的具体表述如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且存在函数M(x)，使得对于该区间上的任意x，都有|f(x)| ≤ M(x)，则函数f(x)在区间[a, b]上可积。
这个准则的意思是，如果一个函数满足在某个区间上连续且有界，那么它在该区间上就是可积的。
也就是说，我们可以找到一个原函数，对它进行积分。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以快速判断一个函数是否可积，从而避免进行不必要的积分计算。
这对于解决一些复杂的积分问题非常有帮助。
同时，莱布尼兹积分准则也为我们提供了一个判断函数可积性的标准，帮助我们更好地理解微积分的基本概念。
莱布尼兹积分准则是微积分中的重要工具，它告诉我们一个函数是否可积的条件，帮助我们解决一类特殊的积分问题。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以更好地理解微积分的基本概念，并在实际问题中应用它来解决积分计算。
希望通过这篇文章的介绍，大家对莱布尼兹积分准则有了更深入的理解。
最新-数学天才——莱布尼兹的贡献 精品
数学天才——莱布尼兹的贡献
数学天才——莱布尼兹的贡献
作者木瓜
莱布尼兹1646-1716是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。
他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。
一、生平事迹
莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。
莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。
莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多着名学者的着作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。
15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的着作，并对他们的着述进行深入的思考和评价。
在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。
17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。
20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。
这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。
这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。
这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。
莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。
从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。
在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的着作。
1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。
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20岁时他发表了第一篇数学论文《论组合的艺 术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是 出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。 这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学 才华。 莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投 身外交界。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹 的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔 马、帕斯卡等人的著作。他的兴趣已明显地朝向了数 学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地 创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共 同奠定了微积分学。1700年被选为巴黎科学院院士， 促成建立了柏林科学院并任首任院长。
莱 布 尼 兹
莱布尼兹(Gottfriend Wilhelm Leibniz)是17、18 世纪之交德国最重要的数 学家、物理学家和哲学家， 一个举世罕见的科学天才， 和牛顿同为微积分的创建 人。他博览群书，涉猎百 科，对丰富人类的科学知 识宝库做出了不可磨灭的 贡献。
莱布尼兹,1646年7月1日出生于德国东部莱比 锡的一个书香之家，广泛接触古希腊罗马文化， 阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实 的文化功底和明确的学术目标。15岁时，他进了 莱比锡大学学习法律，还广泛阅读了培根、开普 勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行 深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的 《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了 浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期 的数学，并获得了哲学硕士学位。
莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有人能和 他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、 地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。
Hale Waihona Puke 莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年，他 发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这 篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极 大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理 量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是 这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意 义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。 1686年，莱布尼兹发表了第一篇积分学的文献。 他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的 微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分 的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通 用符号就是当时莱布尼兹精心选用的.