22 专题 圆中的角度关系的证明
圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系
圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系本课教学“password ”------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------独立探索“password ”------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------合作研究“password ”------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------诱导破解“password ”讲授破解 知识点一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ ①② ③④⑤或①③ ②④⑤或……推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴ 二、圆心角定理：圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ① ②③④或②①③④……② 三、圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠DBC BD =AC AD=⇒⇒AC BD=D BBA ED=⇒⇒BA ED =推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
圆的关系定理PPT精品课件
（4）如果∠AOB=∠COD，那么⌒ ⌒ ___O_E_=_O__F_,_A__B_=_C_D__,_A_B__=_C_D___。
Q
A
．B
O
性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内
(2)点在圆上
(3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:
．
C
点与圆的位置关系
．． A
点在圆内
点在圆上
． B
点在圆外
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l
∴直线l是⊙O的切线. l
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
∟
．
O
．
A
∵直线l是⊙O的切线,切点为A
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等；这点与圆心的连线平 分这两条切线的夹角。
∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
F
G
圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
《圆——圆周角和圆心角的关系》数学教学PPT课件(6篇)
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第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
第1课时
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
知识点1 圆周角的定义
1.如图,∠BAC是圆周角的是 ( B )
综合能力提升练
拓展探究突破练
-17-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-18-
知识点2 圆周角定理
-19-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-20-
知识点3 圆周角定理的推论1
5.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是 ( D )
A.∠B
B.∠C
C.∠DEB
D.∠D
6.(赤峰中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,D是☉O上一点.若∠ADC=30°,
学生练习2 课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
课堂小结：
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、概念：圆周角，圆内接四边形，四边形的外接圆．
2、圆周角的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
4.如图,A,B,C是半径为6的☉O上的三个点,且∠BAC=45°,求弦BC的长.
解:连接 OB,OC.
圆的对称性(1)圆心角、弧、弦关系定理
AOB COD ． AB CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
（2）如果
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AOB COD AB=CD ． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ，_________ AB CD
AB=CD ，_____________． AB CD ，那么____________
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD ． AB = CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
A
B
A′
B′
O
·
O′
·
由∠AOB＝∠A′O ′ B′可得 ︵ ︵ 到：
AB A ' B '.
AB A ' B '.
小结
圆心角、弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等． 相等 ， 所对的 2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____ 相等 ； 弦________ 相等 ，所对 3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______ 相等 ． 的弧_________ 在同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量 也相等．
圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：
情况1：，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。
圆的证明题解题技巧
圆的证明题解题技巧圆的证明题解题技巧一、前置知识在学习圆的证明之前，需要掌握以下基础知识：1. 直线的性质：平行、垂直、夹角等概念及其性质。
2. 三角形的性质：内角和为180度、等腰三角形、直角三角形等概念及其性质。
3. 相似三角形：比例关系、相似定理等概念及其应用。
4. 同余三角形：对应边、对应角相等的三角形。
5. 利用构造方法求解几何问题：如作垂线、作中线、作平分线等方法。
二、圆的定义与性质圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
其中，定点称为圆心，到圆心距离称为半径。
圆上任意两点间的距离称为弧长，弧长所对应的圆心角称为弧度。
1. 圆心角与弧度关系当一个圆心角所对应的弧长恰好为半径时，这个圆心角称为一弧度。
因此，一周360度对应着2π弧度。
2. 圆内接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一圆上，那么这个四边形就是圆内接四边形。
圆内接四边形的两组对角线互相垂直且交点在圆心。
3. 圆的切线与切点如果一条直线与圆相切，那么这条直线称为圆的切线。
与切点相对应的半径垂直于切线。
三、常见证明题型及技巧1. 证明两条直线相交于圆上如果已知两条直线AB、CD分别与一个圆相交于点A、B、C、D，我们需要证明这两条直线相交于圆上。
技巧：连接AC和BD，利用三角形性质和同余三角形定理可以证明AC和BD垂直且交于O（圆心）。
2. 证明一个三角形为等腰三角形如果已知一个三角形ABC中AB=AC，我们需要证明这个三角形是等腰三角形。
技巧：以A为圆心作一个以AB为半径的圆，并延长BC至与该圆相交于D。
连接AD并证明AD垂直BC即可得出结论。
3. 证明一个四边形为菱形如果已知一个四边形ABCD中AB=BC=CD=DA，我们需要证明这个四边形是菱形。
技巧：以A为圆心作一个以AB为半径的圆，并分别延长AD、BC至与该圆相交于E、F。
连接AE、BF并证明AE和BF垂直且交于O（圆心）即可得出结论。
4. 证明一个四边形为矩形如果已知一个四边形ABCD中AB=CD且BC=DA，我们需要证明这个四边形是矩形。
九年级数学圆证明知识点
九年级数学圆证明知识点数学是一门需要严密逻辑和严谨证明的学科。
在九年级的数学学习中，圆证明是一个重要的知识点。
通过学习圆证明，不仅可以加深对圆的认识，还可以培养学生的逻辑思考和证明能力。
本文将从圆的基本定义开始，逐步介绍九年级数学圆证明知识点。
1. 圆的基本定义圆由一条固定的点称为圆心和以该点为中心的一条固定长度的线段构成。
圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆上任意两点的连线称为弦，弦通过圆心时称为直径。
2. 圆的性质(1) 圆的内角和定理：圆上任意弧所对的圆心角的度数等于其所对的弧的度数的一半。
即∠AOC = 1/2∠ABC。
(2) 圆周角定理：顶点在圆上的角等于其所对的弧所对的圆心角的度数。
即∠CAB = ∠AOB。
(3) 弧和弦的关系：在圆上，如果一条弦与一条弦的等分弧相交，则这条弦被等分。
即如果AB=AC，则∠ABC = ∠ACB。
(4) 弦切角定理：切线与弦的切点处所成的角等于其所对的弦所对的圆心角的度数的一半。
即∠BAC = 1/2∠BOC。
3. 弧长的证明弧长是圆上的一段弧所对的圆心角所对的弧长。
在证明弧长的过程中，可以利用圆上的角的性质和其余角、其他弧长之间的关系进行推导。
例如，可以利用对等弧所对的圆心角相等的性质，对于等分弧和半圆弧，可以利用角度之和为180°的性质等。
4. 弦长的证明弦长是圆上的弦的长度。
在证明弦长的过程中，可以运用相似三角形的性质，利用圆上的角的性质和弦所对的圆心角、弦长之间的关系进行推导。
例如，可以使用角度所对的弧长之比相等的性质，对于平行于弦的弦和切线之间的关系，可以利用竖角相等和切线与半径的关系进行推导。
5. 切线的证明切线是与圆只有一个交点的直线。
在证明切线的过程中，可以利用相似三角形的性质、平行线与切线、切线与半径之间的关系进行推导。
例如，可以利用平行线与切线所对的角相等的性质，对于切线与半径之间的关系，可以利用正切函数等进行推导。
通过学习和证明圆的相关知识点，可以加深对圆的理解，掌握圆的性质和应用。
初二数学圆的常用结论和性质
初二数学圆的常用结论和性质一、圆的基本概念在初二的数学学习中，我们会接触到圆的相关知识。
圆是由平面上与一个确定点的距离相等的点构成的集合。
圆由圆心和半径来确定，其中圆心是圆上任意一点到圆的直径上所有点的中垂线的交点。
二、弧和弦1. 弧：圆上两点间的弧是这两点所对的圆心角所确定的弧。
弧长是弧的长度，以弧度表示。
2. 弦：圆上两点间的弦是这两点所确定的圆内的线段。
三、圆心角及其性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于它所对应的弧长的度数。
2. 弧度和圆心角的关系：一个圆心角的弧度等于这个圆心角对应的弧段长度与圆的半径的比值。
3. 同弧的圆心角相等：在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等。
4. 同圆弧所对的圆心角相等：如果两个圆的圆心角所对的圆弧相等，那么这两个圆心角也相等。
四、垂直弦定理如果在圆上两条弦垂直相交，那么每条弦所对的圆心角互为对补角。
五、弧所对圆心角的性质1. 弧所对的圆心角相等：在同一个圆上，两个等长的弦所对的圆心角相等。
2. 弧所对的圆心角是锐角（直角、钝角）：在同一个圆上，两个切线所对的圆心角是锐角（直角、钝角）。
六、切线和弦的性质1. 切线的性质：切线与半径垂直。
2. 切线与切线的性质：如果两条切线相交，交点在两切点连线的延长线上。
3. 切线与弦的性质：一个圆的切线与它所对的弦垂直。
七、弦切角及其性质1. 弦切角：弦所对的圆所切的两条切线所夹的角叫做弦切角。
2. 弦切角的性质：弦切角等于它所对的圆心角。
八、垂径定理如果直径AB是弦CD所在直径的一部分，那么直径AB与弦CD 之间的两个角互为对补角。
九、余弦定理在一个圆中，以A、B、C为圆上三点，AC是AB所在弦的一部分，那么AC和BC之间的夹角的余弦等于AB与弦CD之间的夹角的正弦，即cos∠ACB = sin∠ACD。
十、弦长与圆心角之间的关系对于同一个圆上的弦，弦长相等的两个弦所对的圆心角相等，而对于相等的圆心角，这两个圆心角所对的弦长也相等。
同弧或等弧所对的圆周角相等证明
同弧或等弧所对的圆周角相等证明
两条弦相等，所对的圆周角是相等的。
理由是：相等的圆周角所对应的圆心角相等，又半径相等，用sas证明两个三角形全等，在同园或等圆中，相等圆周角所对弦相等。
圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。
这个给定的点称为圆的圆心。
作为定值的距离称为圆的半径。
圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
这一定理叫做圆周角定理。
该定理反映的是圆周角与圆心角的关系。
定理推断：
（一）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
（二）半圆（直径）面元的圆周角就是直角；90°的圆周角面元的弦就是直径。
（三）圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
圆外角小于圆周角证明
圆外角小于圆周角证明圆外角小于圆周角证明1. 引言圆是几何学中的重要概念，而圆外角和圆周角是与圆相关的两个重要角度。
本文将探讨圆外角小于圆周角的证明。
通过深入研究圆外角和圆周角的定义和性质，我们将能够更好地理解这个证明及其应用。
2. 圆外角和圆周角的定义在研究圆外角小于圆周角之前，我们先来回顾一下圆外角和圆周角的定义。
圆外角指的是从圆上的一点到圆心的连线与圆上的两条边所围成的角度，而圆周角指的是从圆心的两条边所围成的角度。
3. 证明圆外角小于圆周角为了证明圆外角小于圆周角，我们可以假设两个等长的圆周角对应的圆外角的度数不同，然后利用反证法来推导出矛盾。
假设圆周角A和圆周角B对应的圆外角度数分别为x和y，并且x>y。
我们可以找到一个点P，使得与圆心O连线的PQ、PB分别与圆周角A和B相对。
在PQ和PB上取一个点R，使得RP=RQ。
4. 角度关系的分析根据定义，圆周角A和圆周角B的度数相等，所以∠OBP = ∠OAQ = y（1）。
另外，由三角形的内角和为180度可知，∠POR + ∠ROQ + ∠OQR = 180度（2）。
5. 利用三角形的性质进行推导考虑三角形POQ和三角形POR，根据三角形三边的关系可以推导出PR < PQ + QR（3）。
结合上述关系，可以得到PR < PQ + QR < PQ + QR + QR = PQ + 2QR。
6. 利用圆内角和圆弧的关系进行推导由于∠ROQ = y，所以弧RQ的度数也为y。
同理，弧PQ的度数为y。
由圆内角与其对应的弧有对应关系可知，∠POQ = 2y（4）。
7. 推导出矛盾根据（3）和（4）可得，PQ + 2QR < PQ + 2QR，即2y < 2y，矛盾！假设不成立，即x<y。
8. 结论与应用通过以上证明，我们得到了结论：圆外角小于圆周角。
这个结论在几何学和物理学的各个领域中都有广泛的应用。
在机械工程中，圆外角小于圆周角的性质可以用于设计各种齿轮系统。
2022年中考数学考点总动员系列专题17与圆有关的角
考点十七：与圆有关的角聚焦考点☆温习理解一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
3、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
名师点睛☆典例分类考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算.【例1】〔2022·湖南常德〕如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，那么∠BCD的度数为：〔〕A、50°B、80°C、100°D、130°【答案】D考点：圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补【点睛】此题综合运用了圆周角定理和圆内接四边形的对角互补的性质．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【举一反三】1.〔2022·山东泰安，第9题〕〔3分〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，那么AC 的长等于〔〕A．43 B．63 C．23 D．8【答案】A．【解析】试题分析：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°，在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=32OC=23，∴AC=2CD=43．应选A．考点：1．垂径定理；2．含30度角的直角三角形；3．勾股定理；4．圆周角定理．2.〔2022·湖南株洲〕如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A＝68°，那么∠OBC的大小是( )A、22°B、26°C、32°D、68°【答案】A【解析】试题分析：通过圆心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度数考点：圆的根本性质.考点典例二、圆周角与垂径定理的关系【例2】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，CD⊥AB，假设∠DAB=65°，那么∠BOC=【】A. 25°B. 50°C.130°D.155°【答案】C．【解析】试题分析：由CD⊥AB．假设∠DAB=65°，可求得∠D的度数，又由圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，进而求得答案：∵CD⊥AB，∠DAB=65°，∴∠ADC=90°-∠DAB=25°.∴∠AOC=2∠ADC=50°.∴∠BOC=180°-∠AOC=130°．应选C．【举一反三】如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，假设∠BAD=30°，且BE=2，那么CD= ．【答案】43．考点典例三圆周角与切线之间的关系【例3】〔2022.重庆市B卷，第9题，4分〕如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O与点D，连接OD，假设∠BAC=55°，那么∠COD的大小为( )A．70° B．60° C．55° D．35°【答案】A考点：圆的根本性质【举一反三】〔2022.山东潍坊，第7题，3分〕如图，AB是o的弦，AO的延长线交过点B的o的切线于点C，如果∠ABO=20°,那么∠C的度数是〔〕A. 70°B. 50°C. 45°D. 20°【答案】B【解析】试题分析：因为OA=OB,所以∠A=∠ABO=20°,所以∠BOC=2∠A=40°,又因为BC是切线，所以∠CBO=90°,所以∠C=50°,应选：B.考点：1.切线的性质；2.直角三角形的性质.考点典例四与圆周角有关的证明【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连接CD．〔1〕求证：∠A=∠BCD；〔2〕假设M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕当MC=MD〔或点M是BC的中点〕时，直线DM与⊙O相切，理由见解析.试题解析：〔1〕证明：∵AC为直径，∴∠ADC=90°. ∴∠A+∠DCA=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.〔2〕当MC=MD〔或点M是BC的中点〕时，直线DM与⊙O相切，理由如下：如答图，连接DO，∵DO=CO，∴∠1=∠2.∵DM=C M，∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°. ∴直线DM与⊙O相切．【举一反三】：AB是⊙O的直径，直线CP切⊙O于点C，过点B作BD⊥CP于D．〔1〕求证：△ACB∽△CDB；〔2〕假设⊙O的半径为1，∠B CP=30°，求图中阴影局部的面积．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3 64π-．【解析】试题分析：〔1〕由CP是⊙O的切线，得出∠BCD=∠BAC，AB是直径，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出结论△ACB∽△CDB；〔2〕求出△OCB是等边三角形，阴影局部的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=3 64π-．试题解析：〔1〕证明：∵直线CP是⊙O的切线，∴∠BCD=∠BAC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°.又∵BD⊥CP，∴∠CDB=90°.∴∠ACB=∠CDB=90°.∴△ACB∽△CDB.〔2〕如答图，连接OC，∵直线CP是⊙O的切线，∠BCP=30°，∴∠COB=2∠BCP=60°.∴△OCB是等边三角形.∵⊙O的半径为1，∴2 OCB OCB3601S S43606ππ∆⋅⋅===扇形，.∴阴影局部的面积=S扇形OCB﹣S△OCB=3 64π-．课时作业☆能力提升一．选择题1．〔2022眉山〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=450，那么∠B的度数为〔〕A．300 B．350 C．400D 450【答案】D．【解析】试题分析：连结OA，∵OA=OC，∠ACO=45°，∴∠OAC=45°，∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴∠B=1 2∠AOC=45°．应选D．考点：圆周角定理．2. (2022.陕西省，第14题，3分) 如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，假设点M、N分别是AB、BC的中点，那么MN长的最大值是______________。
圆心角、圆周角、弦、弧的关系
1圆的基本性质考点一、圆的相关概念 （1）圆的定义圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
（2）圆的几何表示以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AC ）（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。
（如图中的AB ）直径等于半径的2倍。
（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A ，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心直径 平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性 （1）圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
（2）圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
2考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理（1）圆心角：顶点在圆心，角的两边和圆相交的角叫做圆心角。
（2）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相 等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
九年级数学圆的关系定理PPT课件
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佛舍利引出来了-却又不能带出来."马拉隔壁-..."此时-法阵中-根汉也爆粗了-心里暗暗问候了这郝云峰-祖宗壹百八十代.眼前是万-符篆在虚空中乱窜-这是-故意弄出-动静-目-就是希望引-们入法阵中来."郝前辈――打开法阵-壹角――和大山哥快进来――快顶不住了-届时圣 佛舍利跑了可不要怪――这可是壹颗拳头大小-舍利!"根汉-声音很仓促-传来了法阵之外-更显得很紧急-样.这时根汉唤出青莲-将法阵撕开了壹角-露出了通-想让-们两人进来.郝大山准备冲进去-却被郝云峰给拦住了-郝云峰眼神灼灼透过通-盯-面前-通."入梦奥义!"这时根汉正 好感知到了这壹切-立即朝通-处施展了入梦奥义-壹片银光洒了过去-罩住了那壹条通."这..."郝云峰看到了法阵中-情况-老脸瞬间就僵住了-在法阵之内-竟然-壹颗黑色-拳头大小-舍利-散发-幽幽-黑光-透-无上-威严."就是它!""就是它!"郝云峰几乎是――多想-如闪电壹般便冲 进了这法阵之中-枯手朝――看到-这枚圣佛舍利抓了过去."等等-..."郝大山眼神瞬间阴沉下来-也立即跟-进去――同样看到了那颗圣佛舍利-也朝那舍利抓了过去."大山――到壹边呆-去!"见郝大山也冲了过来-郝云峰脸色立即沉了下来-低喝壹声让郝大山滚开.壹股强劲-力-朝 郝大山甩了过去-郝大山直接被-劈到了壹旁-在虚空中壹阵猛烈-翻滚-摔-眼冒金星."――老东西!"郝大山脸色难堪无比-没想到郝云峰转眼就变脸了-为了圣佛舍利对自己出手-咬-牙-悲恨-看-郝云峰就要抓到那枚圣佛舍利了-那可是绝佳
圆周角是圆心角的一半推导过程
圆周角是圆心角的一半推导过程
1什么是圆周角
圆周角是由圆中心所在位置，其扇形角落到圆周上所构成的角，可用角度来表示。
圆周角一般用弧度（Rad）或角度（deg）来表示，一圆的圆周角为2π弧度（360°）。
2为什么圆周角是圆心角的一半
为了证明圆周角是圆心角的一半，我们需要从平面直角坐标系的角度来看。
若A(x1,y1)为圆的圆心，D(x2,y2)为圆上的某一点，则OD=AD，即r（r为圆的半径）。
以AOD为直角三角形，则有AD=OD=r，∠AOD=终点B与起点A之间（沿圆弧）旋转的角度。
由此可知，当θ为圆心角时，AOB=θ；圆心到任一点D之间的角度为θ/2。
所以圆周角一定是圆心角的一半。
3总结
由以上可知，圆周角是由圆中心到圆上任意一点构成的弧角，它是圆心角的一半，可以用弧度或角度的单位来表示，一圆的圆周角为2π弧度（360°）。
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专题 圆中的角度关系的证明
【方法归纳】构造圆中的基本图形来实现角度的转化是证明角度问题常用的方法． 一、构造圆内接四边形转化角
1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于E ，过B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于D ，求证：∠CBD ＝1
2
∠CAB ．
2．如图，⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为DC 延长线上一点，BE 交⊙O 于F ，求证：∠EFC ＝∠BFD ．
二、构造直角三角形斜边上的高的基本图形转化角 3．如图，AB 为⊙O 的直径，DC 切⊙O 于C ，OD 交⊙O 于E ， »»CE
BE ，求证：∠AEC ＝∠D ．
三、构造切线长定理的基本图形转化角
4．如图，CA 、CD 分别与⊙O 相切于A 、D ，AB 为⊙O 的直径，CD 的延长线交⊙O 于E ，求证：∠B ＝2∠BDE ．
四、利用直径构造直角三角形转化角
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD ⊥AB 于D ，求证：∠ACD ＝∠BCO ．
6．如图，P A 切⊙O 于点P ，AB
交⊙O 于C ，B 两点，求证：∠APC ＝∠B ．
D
B
A B
A
A。