高中数学必修四教材分析

教育科学与管理学院《教育研究方法》课程

期末研究报告

学 期： 2016-2017学年第一学期

学 号： 1443201000046 姓 名： 李秋霖

高中数学必修四教材分析

——以三角函数为主

摘要：三角函数在高中是很重要的一块内容，此教材分析主要针对必修四的三角函数和三角恒等变换。从任意三角形推广到周期函数，特殊化到锐角三角形，然后又联系到解三角形，类比了指数函数对数函数，幂函数，联系了物理生物，自然界中的周期现象。第三章从差角余弦公式到和角公式再到倍角公式，最后掌握简单三角恒等变换。

关键词：正弦函数；余弦函数；正弦余弦正切公式

一：内容简括

（一）三角函数

1：任意角，弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

2：三角函数

（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义。

（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图像，了解三角函数的周期性。

（3）借助图像理解正弦函数，余弦函数，正切函数的性质（如单调性，最大和最小值，图像与x轴交点等）。

（4）理解同角三角函数的基本关系式。eg：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

（5）结合实例，了解y=Asin(ωx+ψ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+ψ)的图像，观察参数A，ω，ψ对函数图像变化的影响。（6）会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数的描述周期变化现象的重要函数模型。

3：三角恒等变换

（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系。

（3） 能运用公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差，和差化积，半

角公式）。

二：三角函数分析 （一）任意角和弧度制

课本从体操转体以及齿轮转动引出正角和负角的概念，加上零角就构成了任意角。因为同一个角度位置可以用不同角的大小来表示，所以就给出了下列几何定义：

一般的，我们有：

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α+K ·360º,K ∈Z},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成为角α与整数个周期的和。

因为角可以用单位进行度量，1度=周角的1/360，这叫角度制，为了方便，数学上还引用了弧度制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad 表示。一般，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度制是一个负数，零角的弧度数为0，如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|=l/r

分析：通过了解任意角和弧度制来引出三角函数概念，这是最基本的内容。接下来 就进入更深一步的学习。

（二）任意角的三角函数以及其诱导公式

引进弧度制时我们看到，在半径长为单位长的圆中，角α的弧度制的绝对值等于圆心角α所对的弧长，在直角坐标系中，我们称以原点Ο为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆，这样我们锐角三角形可以用单位圆定义任意角的三角函数。

如图是对于单位圆的认识

sin α＝y cos α＝x tan α＝x

y

分析：

通过单位圆可以将很抽象的角度转换到直角坐标系中，用坐标来表示。而三角函数的正负取决于坐标正负。

图一

这里给一个例题：选择①sin θ>0,②sin θ<0,③cos θ>0,④cos θ<0,⑤tan θ>0,⑥tan θ<0中适应的关系式的序号填空：

（1） 当角θ为第一象限角时，①③⑤是对的 （2） 当角θ为第二象限角时，①④⑥是对的 （3） 当角θ为第三象限角时，②④⑤是对的 （4） 当角θ为第四象限角时，②③⑥是对的

通过对单位圆的认识，课本又引入了三角函数的诱导公式：

分析：三角函数的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：

上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。这也是接下来要掌握的内容的基础。

接下来给出一个关于诱导公式的例题： 已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)

，求

52322sin cos sin sin παπαπαα⎛⎫

⎪⎝⎭

（－）＋（－）

－－（－）

的值．

【解析】∵sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，

∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.

∴原式＝52533

22244

sin cos cos cos cos cos sin cos cos cos αααααααααα＋－＋＝＝＝－－＋－－－

sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα

sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA

tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanα tan （π＋α）＝tanα

任意负角的三角函数

任意正角的

三角函数 0~2的角的三角函数 锐角三角函数