高中数学必修四教材分析

教育科学与管理学院《教育研究方法》课程期末研究报告学 期： 2016-2017学年第一学期学 号： 1443201000046 姓 名： 李秋霖高中数学必修四教材分析——以三角函数为主摘要：三角函数在高中是很重要的一块内容，此教材分析主要针对必修四的三角函数和三角恒等变换。

从任意三角形推广到周期函数，特殊化到锐角三角形，然后又联系到解三角形，类比了指数函数对数函数，幂函数，联系了物理生物，自然界中的周期现象。

第三章从差角余弦公式到和角公式再到倍角公式，最后掌握简单三角恒等变换。

关键词：正弦函数；余弦函数；正弦余弦正切公式一：内容简括（一）三角函数1：任意角，弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

2：三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义。

（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图像，了解三角函数的周期性。

（3）借助图像理解正弦函数，余弦函数，正切函数的性质（如单调性，最大和最小值，图像与x轴交点等）。

（4）理解同角三角函数的基本关系式。

eg：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)（5）结合实例，了解y=Asin(ωx+ψ)的实际意义，能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+ψ)的图像，观察参数A，ω，ψ对函数图像变化的影响。

（6）会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数的描述周期变化现象的重要函数模型。

3：三角恒等变换（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系。

（3） 能运用公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差，和差化积，半角公式）。

二：三角函数分析 （一）任意角和弧度制课本从体操转体以及齿轮转动引出正角和负角的概念，加上零角就构成了任意角。

因为同一个角度位置可以用不同角的大小来表示，所以就给出了下列几何定义：一般的，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S={β|β=α+K ·360º,K ∈Z},即任一与角α终边相同的角，都可以表示成为角α与整数个周期的和。

因为角可以用单位进行度量，1度=周角的1/360，这叫角度制，为了方便，数学上还引用了弧度制。

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用rad 表示。

一般，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度制是一个负数，零角的弧度数为0，如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|=l/r分析：通过了解任意角和弧度制来引出三角函数概念，这是最基本的内容。

接下来 就进入更深一步的学习。

（二）任意角的三角函数以及其诱导公式引进弧度制时我们看到，在半径长为单位长的圆中，角α的弧度制的绝对值等于圆心角α所对的弧长，在直角坐标系中，我们称以原点Ο为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆，这样我们锐角三角形可以用单位圆定义任意角的三角函数。

如图是对于单位圆的认识sin α＝y cos α＝x tan α＝xy分析：通过单位圆可以将很抽象的角度转换到直角坐标系中，用坐标来表示。

而三角函数的正负取决于坐标正负。

图一这里给一个例题：选择①sin θ>0,②sin θ<0,③cos θ>0,④cos θ<0,⑤tan θ>0,⑥tan θ<0中适应的关系式的序号填空：（1） 当角θ为第一象限角时，①③⑤是对的 （2） 当角θ为第二象限角时，①④⑥是对的 （3） 当角θ为第三象限角时，②④⑤是对的 （4） 当角θ为第四象限角时，②③⑥是对的通过对单位圆的认识，课本又引入了三角函数的诱导公式：分析：三角函数的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。

这也是接下来要掌握的内容的基础。

接下来给出一个关于诱导公式的例题： 已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，求52322sin cos sin sin παπαπαα⎛⎫⎪⎝⎭（－）＋（－）－－（－）的值．【解析】∵sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，∴sin α＝－2cos α，且cos α≠0.∴原式＝5253322244sin cos cos cos cos cos sin cos cos cos αααααααααα＋－＋＝＝＝－－＋－－－sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosαsin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosAtan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanα tan （π＋α）＝tanα任意负角的三角函数任意正角的三角函数 0~2的角的三角函数 锐角三角函数分析：诱导公式的运用很灵活，学生需要多做题，练题，举一反三（三）三角函数的图像与性质以及y=Asin(ωx+ψ)的图象课本通过抽象的了解三角函数的诱导公式等，再给出正弦函数，余弦函数的图象，使学生更形象的了解三角函数。

下面是函数的图象：图二要求：1、能正确画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象2、给定条件，能够求sin y x =，cos y x =，tan y x =的定义域、值域、单调区间；3、给定条件，能够求sin()y A x ωϕ=+中的,,A ωϕ。

4、掌握正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。

5、结合图象，会求诸如13sin 22x -≤≤的取值范围。

6、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。

如sin y x =，sin y x = 分析：此两章节详细的叙述出三角函数的具体性质，这是高中学习的重点，也是高考的重点。

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

三：三角恒等变换两角和与差的正弦，余弦和正切公式从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正弦余弦，正切公式，了解它们的内在联系。

数学课程标准上说明要求学生能运用上述公式进行简单的恒等变换。

下面是三角函数的推导公式分析：推导公式的运用是学生学习的难点，这需要学生灵活运用，且要能自己推导，这一章不仅给出二倍角公式，半角公式，还有一个很重要的考点就是辅助角公式的运用。

掌握推导公式和辅助角公式，对于高考题型也就掌握了大部分了。

下面是辅助角公式的具体内容：asinα+bcosα= sin(a+φ)，其中tanφ=b/a ，其终边过点（a, b ） asinα+bcosα= cos(a -φ)，其中tanφ=a/b ，其终边过点（b,a ）这个公式通常用于特殊角，下列是一些具体事例，让我们从中体会辅助角公式。

化简（1）13cos sin 22x x -（2）3sin cos x x + =sin （/6-x ）=cos(/3+x) =2sin(x+ /3)=2cos(/6-x)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβtan(α+β)=(tan β+tan α)/(1-tan αtan β) sin2α=2sinαcosαcos2α=(cosα)^2-(sina)^2=2(cos α)^2-1=1-(sin α)^2 tan2α=(2tanα)/(1-(tanα)^2)分析：这两个题都是利用特殊角的正弦余弦值以及推导公式化简的，很灵活，而且都可以化为两种形式。

四：平面向量平面向量中包含其线性运算河基本定理及坐标表示，还有数量积，因以三角函数为主，这里就不详细叙述。

五：总结高中必修四的内容里主要就是叙述了三角函数以及平面向量的知识，我以三角函数为主展开分析它其中的深意以及内容要求。

课本主要先说明各种新有名词，比如任意角弧度制，单位圆等这些都不难，学生也能接受，然后先进入诱导公式的学习，先在代数上使学生熟知如何将任意角转换为锐角三角形：；再来就进入图像的学习，使学生更形象的了解三角函数；后面进入三角恒等变换，要求学生更灵活掌握其运用。

但是总体来说，必修四的三角函数内容虽是高考的必考点，但只要熟练掌握它的公式运用，和每一种常考方法，多加练习，对于学生来说，高三后期不作为一个难点。

参考文献[1]章建越.数学必修4（普通高中课程标准实验教科书）[M].北京：人民教育出版社，2011[2]中华人民共和国教育部.数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2012附录：三角函数高考真题一.选择题1、（2009）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（2009浙江文）已知是实数，则函数的图象不可能．．．是（ ）4.(2009山东卷文)将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A. B. C. D.5.（2009江西卷文）函数的最小正周期为a ()1sin f x a ax =+sin 2y x =4π22cos y x =22sin y x =)42sin(1π++=x y cos 2y x =()(13tan )cos f x x x =+A ．B ．C ．D ． 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 A.B. C. D.7.（2008海南、宁夏文科卷）函数的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1B. －2，2C. －3，D. －2，8.（2007海南、宁夏）函数在区间的简图是（ ）二.填空题1.（2009宁夏海南卷文）已知函数的图像如图所示，则。

2π32ππ2π3cos(2)y x φ=+4(,0)3πφ6π4π3π2π()cos 22sin f x x x =+3232πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，()2sin()f x x ωφ=+712f π⎛⎫= ⎪⎝⎭2.（2009年上海卷）函数的最小值是_____________________ .3.（2009辽宁卷文）已知函数的图象如图所示,则 ＝三.解答题1、（2008）已知函数()sin()(0,0),f x A x a x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。