必修四诱导公式1

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三角函数的诱导公式

三角函数的诱导公式一、知识要点：诱导公式（一）tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπααπααπ=+=+=+k k k诱导公式（三）)tan()cos( sin )sin(=+=+-=+απαπααπ诱导公式（二）)tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αααα诱导公式（四）tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=-=-诱导公式（五）=-=-)2cos( cos )2sin(απααπ诱导公式（六）=+=+)2cos( cos )2sin(απααπ方法点拨：把α看作锐角一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,, ),Z (2-+-∈+k k公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限二、奇变偶不变，符号看象限将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变二、基础自测：1、求下列各三角函数值:①cos225° ②tan （-11π）2、sin1560°的值为( )A 、21-B 、23-C 、21D 、233、cos -780°等于( ) A 、21B 、21- C 、23 D 、23-三、典型例题分析：例1、求值（1）29cos()6π= __________．（2）0tan(855)-= _______ ___．（3）16sin()3π-= __________．变式练习1：求下列函数值：665cos)1(π )431sin()2(π-的值。

求：已知、例)sin(2)4cos()3sin()2cos( ,3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+变式练习2：若1sin()22πα-=-，则tan(2)πα-=________．变式练习3：已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则αtan ＝．四、巩固练习：1、对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是（） A ．α一定是锐角 B ．0≤α＜2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角2、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是（） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-3、sin34π·cos 625π·tan 45π的值是A ．－43B ．43C ．－43D ．434、)2cos()2sin(21++-ππ （） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为（）A ．332 B ．－2 C ． 332- D ． 332±6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （） A 、21-B 、21C 、23-D 、237、α是第四象限角,1312cos =α,则sinα等于( ) A.135 B.135- C.125 D.125- 二、填空题1、计算：cos （－2640°）+sin1665°＝．2、计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝． 3、化简：)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222πθθππθπθπθπθ--+-+++＝______ ___．4、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．5、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin οf 的值为。

必修4 1.3诱导公式(1)sunmoon

cos 240 cos(180 60)
1 cos 60 2
大变小，负转正, 化锐角
例2.化简
cos(180 )sin( 360 ) sin( 180 ) cos(180 )
ห้องสมุดไป่ตู้
针对练习：
sin sin 5π α cos α α . cos sin 3π α cos α - 3 α
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
函数名不变，符号看象限！
R

特别的，
当

为第一象限角
y

o x

.例题分析例1.求下列三角函数值
2 (1) cos225 cos(180 45) cos 45 2 11 sin 3 (2) sin sin( 4 ) 3 3 2 3
(3) cos(2040) cos 2040 cos(5 360 240)
3、化归思想：
把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，由未知转化为已知。
课后作业: 、的三角函数探究 2 的三角函数值与
之间的关系
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos tan( ) tan tan( 2k ) tan
公式三：公式四：
• 探究1终边关于原点对称, 各三角函数值___

人教版数学必修四：1.2.3三角函数的诱导公式(1)(学生版)

二、知识建构与应用：
1．引导学生认识“诱导公式”的由来，是根据终边上的点坐标间的关系得到的，强化对公式的理解；
诱导公式一：sin( ＋ )＝_____________________________；
cos( ＋ )＝_____________________________；
tan( ＋ )＝_____________________________.；___________________________
3．化简：sin(π+α)cos( -α) + sin(2π–α)cos(π–α) = ______________.
4．判断函数f(x) = x2+|sinx|- 1的奇偶性
诱导公式二：sin( )＝_____________________________；
cos( )＝_____________________________；
tan( )＝_____________________________.
诱导公式三：sin( )＝_____________________________；
cosα与cosβ的数量关系是_______________________，
tanα与tanβ的数量关系是_______________________.
问题2：角α与角-α的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点P及点P′，则点P的坐标为____________，点P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？
tan( )＝_____________________________.
2．记忆诱导公式的形式ห้องสมุดไป่ตู้点拨公式的运用；

高中数学人教A版必修四第一章 1.3诱导公式(一)【教案】

必修四第一章 1.3 诱导公式（一）【教学目标】
1.知识与技能：
（1）识记诱导公式．
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明．
2.过程与方法：
（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法．
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式．
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力．
3.情感态度价值观：
（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想．
【重点难点】
1.教学重点：诱导公式的推导及应用，三角函数式的求值、化简和证明等。

2.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，三角函数式的求值、化简和证明等。

【教学策略与方法】
1.教学方法：合作探究、启发诱导，学生动手尝试相结合.
2.教具准备：直尺、多媒体
【教学过程】。

【精品】高中数学必修4_三角函数的诱导公式_讲义知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(απαπ±±,2的正弦、余弦、正切)；2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式. 【要点梳理】要点一：诱导公式诱导公式一：sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二：sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈诱导公式三：sin[((21)]sin k απα++=-， cos[(21)]cos k απα++=-， tan[(21)]tan k απα++=，其中k Z ∈诱导公式四：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈ 要点诠释：(1)要化的角的形式为α±⋅ο90k (k 为常整数)； (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；(4)sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.要点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把α看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为k ·90°+α（|α|<45°）的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”： “奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±o(k 为常整数)的三角函数值：当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值. ①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式. 【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例2】例1．求下列各三角函数的值：（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）()()cos 585tan 300---o o（3）2222132131sin cos 6tan 10cot 243ππππ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．【答案】（1）0（2）2-（3）16【解析】（1）原式=sin(4)cos(8)tan(6)634ππππππ+++-+sincostan634111022πππ=+-=+-=（2）原式=cos(18045)tan(36060)++-o o o o =cos 45tan 60--o o= （3）原式=2222sin (6)cos (5)6tan 10cot (10)243πππππππ+-++-+=2222sin cos 6tan 0cot 243πππ-+-=111023-+-=16【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱导公式就是这一转化的工具．举一反三：【变式】（1）10sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）31cos 6π；（3）tan （－855°）．【答案】（1）2（2）2-（3）1 【解析】（1）1010sin sin 33ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭44sin 2sin 33πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭sin sin sin 3332ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=--==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）3177coscos 4cos 666ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos cos 662πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭．（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．例2．已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，其中a 、b 、α、β都是非零实数，又知f （2009）=－1，求f （2010）．【解析】 (2009)sin(2009)cos(2009)f a b παπβ=+++sin(2008)cos(2008)a b ππαππβ=+++++sin()cos()sin cos (sin cos )a b a b a b παπβαβαβ=+++=--=-+．∵f （2009）=－1 ∴sin cos 1a b αβ+=． ∴(2010)sin(2010)cos(2010)f a b παπβ=+++sin cos 1a b αβ=+=．【总结升华】求得式子sin cos 1a b αβ+=，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式1】已知1cos(75)3α︒+=，其中α为第三象限角，求cos(105°―α)+sin(α―105°)的值．【答案】13【解析】 ∵cos(105°－α)=cos[180°－(75°+α)]=－cos(75°+α)=13-,sin(α―105°)=―sin[180°－(75°+α)]=－sin(75°+α)， ∵α为第三象限角，∴75°+α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上．又cos(75°+α)=13＞0，∴75°+α为第四象限，∴sin(75)3α︒+===-．∴11cos(105)sin(105)333αα︒-+-︒=-+=．【总结升华】解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+α=180°－(105°－α)或105°－α=180°－(75°+α)等．【变式2】已知3sin()2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭))απβ-=+，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．【解析】由已知得sin αβ=αβ=．两式平方相加，消去β，得22sin 3cos 2αα+=， ∴21cos 2α=，而0απ<<，∴cos 2α=±，∴4πα=或34πα=．当4πα=时，cos 2β=，又0βπ<<，∴6πβ=；当34πα=时，cos 2β=-，又0βπ<<，∴56βπ=．故4πα=，6πβ=或34πα=，56βπ=．类型二：利用诱导公式化简例3．化简(1)sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-o o o o ；(2)sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-.【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略【解析】(1)原式sin sin tan tan 1tan cos cos tan αααααααα--==-=-+-；(2)①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-.②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+.【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了； (2)关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三：【变式1】化简（1）()()()()cos cot 7tan 8sin 2-⋅--⋅--αππαπααπ；（2）()sin2n n Z π∈；（3）()222121tan tan ,22n n n Z παπα++⎛⎫⎛⎫+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）sin()cos[(1)]sin[(1)]cos(]k k k k παπαπαπα---+++，()k z ∈．【解析】（1）原式=[]cos()cot()tan(2)sin(2)παπαπαπα----+=cos cot (tan )(sin )αααα-⋅-=3cot α（2）1,(41)sin1,(43)20,(2)n k n n k n k π=+⎧⎪=-=+⎨⎪=⎩ （3）原式=22cot cot αα-=0（4）由(k π+α)+(k π―α)=2k π，[(k ―1)π―α]+[(k+1)π+α]=2k π，得cos[(1)]cos[(1)]cos()k k k παπαπα--=++=-+，sin[(1)]sin()k k παπα++=-+．故原式sin()[cos()]1sin()cos()k k k k παπαπαπα-+-+==--++．【总结升华】常见的一些关于参数k 的结论：（1）sin()(1)sin ()k k k Z παα+=-∈；（2）cos()(1)cos ()k k k Z παα+=-∈；（3）1sin()(1)sin ()k k k z παα+-=-∈；（4）cos()(1)cos ()k k k Z παα-=-∈．类型三：利用诱导公式进行证明例4．设8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求证：1513sin 3cos 37720221sin cos 77m m ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简”，从左边到右边的方法．【证明】证法一：左边88sin 3cos 37788sin 4cos 277πππααπππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦888sin 3cos tan 3777888sin cos tan 1777πππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭31m m +=+=右边． ∴等式成立．证法二：由8tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得tan 7m πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴左边sin 23cos 277sin 2cos 277πππαπαππππαππα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααπππαπα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦sin 3cos 77sin cos 77ππααππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 3371tan 17m m παπα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭=右边， ∴等式成立．举一反三：【高清课堂：三角函数的诱导公式385952 例4 】【变式1】设A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，求证：（1）()sin sin A B C +=；（2）sincos22A B C+=；（3）tan cot 22A B C+=【解析】（1）左边=sin()sin()sin A B c C π+=-==右边，等式得证．（2）左边=sin2A =()sin cos cos 2222B C B C B C ππ-+++⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=右边，等式得证．（3）左边=tantan cot 2222A B C C π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=右边，等式得证．【变式2】求证：232sin cos 1tan(9)12212sin ()tan()1ππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-++-．证明：∵左边2232sin sin 12sin (sin )12212sin 12sin πππθθθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+----⋅-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 22222sin sin 12cos sin 1212sin cos sin 2sin πθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==-+-222(sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ++==--，右边tan(9)1tan 1sin cos tan()1tan 1sin cos πθθθθπθθθθ++++===+---，∴左边=右边，故原式得证．类型四：诱导公式的综合应用例5．已知3sin(3)cos(2)sin 2()cos()sin()f παππαααπαπα⎛⎫---+⎪⎝⎭=----．（1）化简()f α；（2）若α是第三象限的角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值．（3）若313πα=-，求()f α的值．【解析】（1）(sin )cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-⋅⋅-==--．（2）∵3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∴1sin 5α=-，∴cos α==()f α=．（3）31315cos cos 62333f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭51cos cos 332ππ=-=-=-．【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三：【变式1】已知α、β均为锐角，cos()sin()αβαβ+=-，若()sin cos 44f ππααα⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【解析】由cos()sin()αβαβ+=-得cos()cos ()2παβαβ⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦，又α、β均为锐角．则()2παβαβ+=--，即4πα=．于是，sin cos 0222f ππα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭．【巩固练习】1．sin585°的值为（）A．2-B．2 C．2- D．2A ．13 B ． 13- C． D3．已知(cos )cos3f x x =，则(sin 30)f ︒的值等于（）A ．―1B ．1C ．12D ．0）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25．若sin cos 2sin cos αααα+=-，则3sin(5)sin 2παπα⎛⎫-⋅-⎪⎝⎭等于（） A ．34 B ．310 C ．310± D ．310-6．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知3sin()cos(2)tan 2()cos()f ππαπαααπα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=--，则313f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（） A ．12 B ．12- C．2 D．2-8．已知cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．23+B ．23+-C ．23- D．23-+9．计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++＝．10．若()θ+ο75cos 31=，θ为第三象限角，则()()θθ++--οο435sin 255cos 的值是． 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________. 12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；（2）cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289°的值为________。

人教版数学必修四：1.2.3三角函数的诱导公式(1)(教师版)

二、知识建构与应用：
1．引导学生认识“诱导公式”的由来，是根据终边上的点坐标间的关系得到的，强化对公式的理解；诱导公式一：sin( ＋ 2k )＝sin ，（k∈Z） cos( ＋ 2k )＝cos ，（k∈Z） tan( ＋ 2k )＝tan ．（k∈Z）诱导公式二：sin( )＝sin ，
（2） g ( x) x sin x
例 3 （1）已知 sin( - α) = ，求 cos( + α)的值；
（2）若 f(n) = sin (n∈Z)，求 f(1) + f(2) + „ + f(2013) 的值.
四、巩固练习 1．sin(- ) = __________，cos( - 60° ) = __________，tan = ___________.
问题 3：角 α 与角 π- α 的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点 P 及点 P′ ，则点 P 的坐标为 ____________，点 P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？
问题 4：角 α 与角 π+α 的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点 P 及点 P′ ，则点 P 的坐标为 ____________，点 P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？
课题：§1.2.3
三角函数的诱导公式（1）
总第____课时
班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 1．通过探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程； 2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题； 3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，提高解决问题的能力. 【重点难点】学习重点：诱导公式的推导和公式的灵活运用. 学习难点：诱导公式的灵活运用．【学习过程】一、自主学习与交流反馈问题 1：若角 α 与角 β 终边位置相同，α 与 β 的数量关系是 β = ______________________， sinα 与 sinβ 的数量关系是_______________________， cosα 与 cosβ 的数量关系是_______________________， tanα 与 tanβ 的数量关系是_______________________. 问题 2：角 α 与角- α 的终边关于________对称，若它们的终边分别与单位圆的交点是点 P 及点 P′ ，则点 P 的坐标为 ____________，点 P′的坐标为_____________，由两个点坐标之间的关系你发现了什么？

高中数学苏教版必修四练习：1.2.3三角函数的诱导公式(一)(含答案)

1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 课时目标1．借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.2.诱导公式一～四(1)公式一：sin(α＋2k π)＝________，cos(α＋2k π)＝________，tan(α＋2k π)＝________，其中k ∈Z.(2)公式二：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.(3)公式三：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.(4)公式四：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α)＝________.一、填空题1．sin585°的值为________．2．已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________. 3．若n 为整数，则代数式sin(n π＋α)cos(n π＋α)的化简结果是________．4．三角函数式cos(α＋π)sin 2(α＋3π)tan(α＋π)cos 3(－α－π)的化简结果是______. 5．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)＝________. 6．tan(5π＋α)＝2，则sin(α－3π)＋cos(π－α)sin(－α)－cos(π＋α)的值为________． 7．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝________.(用k 表示)8．代数式1＋2sin290°cos430°sin250°＋cos790°的化简结果是______． 9．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2011)＝1，则f (2012)＝____.10．若sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为________．二、解答题11．若cos(α－π)＝－23，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.能力提升13．化简：sin[(k ＋1)π＋θ]·cos[(k ＋1)π－θ]sin(k π－θ)·cos(k π＋θ)(其中k ∈Z)．14．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．1．2.3 三角函数的诱导公式(一) 知识梳理1．原点 x 轴 y 轴2．(1)sin α cos α tan α(2)－sin α cos α －tan α(3)sin α －cos α －tan α(4)－sin α －cos α tan α作业设计1．－22 2.－33 3.tan α 4．tan α解析原式＝－cos α·sin 2αtan α·cos 3(α＋π)＝－cos α·sin 2α－tan α·cos 3α＝cos α·sin 2αsin α·cos 2α＝sin αcos α＝tan α. 5．－32解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12， ∴sin(2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－32(α为第四象限角)．6．3解析原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. 7．－1－k 2k解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ，∴sin80°＝1－k 2.∴tan80°＝1－k 2k . ∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k. 8．－1解析原式＝1＋2sin(180°＋110°)·cos(360°＋70°)sin(180°＋70°)＋cos(720°＋70°) ＝1－2sin110°cos70°－sin70°＋cos70°＝1－2sin70°cos70°cos70°－sin70°＝|sin70°－cos70°|cos70°－sin70°＝sin70°－cos70°cos70°－sin70°＝－1. 9．3解析 f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β)＋2＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋2 ＝2－(a sin α＋b cos β)＝1，∴a sin α＋b cos β＝1，f (2012)＝a sin(2012π＋α)＋b cos(2012π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝3.10．－53解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝232log 2 ＝－23， ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－1－49＝－53. 11．解原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－23， ∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23， sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52. 当α为第四象限角时，cos α＝23， sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52. 12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)， ∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z)． tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β＝tan(4k π＋π－β)＋tan β＝tan(π－β)＋tan β＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．13．解当k 为偶数时，不妨设k ＝2n ，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋1)π＋θ]·cos[(2n ＋1)π－θ]sin(2n π－θ)·cos(2n π＋θ)＝sin(π＋θ)·cos(π－θ)－sin θ·cos θ＝－sin θ·(－cos θ)－sin θ·cos θ＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则原式＝sin[(2n ＋2)π＋θ]·cos[(2n ＋2)π－θ]sin[(2n ＋1)π－θ]·cos[(2n ＋1)π＋θ]＝sin[2(n ＋1)π＋θ]·cos[2(n ＋1)π－θ]sin(π－θ)·cos(π＋θ)＝sin θ·cos θsin θ·(－cos θ)＝－1. ∴原式的值为－1.14．解由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。

人教版必修四1.3三角函数的诱导公式课件

探究与归纳
角与角的三角函数关系？
y
终边关系
关于原点对称
点的关系 P(x, y)
P(x, y)
O
P(x, y)
x
三角函数定义
sin y
cos x
tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y
x
P(x, y)
三角函数关系
(公式二）
sin( ) sin
cos( ) cos
（3）化为锐角的三角函数。概括为：“负化正，正化小，化到锐角就终了。”
用框图表示为：
用公式一
任意角的三角函数
任意正角的三角函数
或公式三
公式一
用公式二
锐角三角函数
0~2的角的三角函数
或公式四
当堂检测
1、计算
(1) tan120 0 3
3／2 (2)sin(240 0 )
2、化简
sin( ) cos(2 sin(3 ) cos(
，
cos（-α）= cosα
符
tan（-α）= -tanα
号
看
公式（四） sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα
象限
tan（π-α）= -tanα
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
(k Z)
终边相同角的同一三角函数的值相等
探要点·究所然
情境导学

高中数学人教A版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(一)

3
3
42 8
2.已知cos(α -75°)=- 1 ,且α 为第四象限角,求
3
sin(105°+α )的值. 【解题指南】由于105°+α =180°+(α -75°),故欲求 sin(105°+α ),需利用条件求出sin(α -75°).该三角函数式只需用平方关系即可求得.
【解析】因为cos(α-75°)=- <1 0,且α为
(3)注意“1”的应用:1=sin2α +cos2α =tan .
4
【拓展延伸】三角函数式化简的思路以及含有kπ ±α 形式的处理方法 (1)总体思路是利用诱导公式将相应角向角α 的三角函数转化. (2)含有kπ ±α 形式的化简时需对k分是偶数还是奇数来确定选用的公式.
【变式训练】化简 scio n s(( 4 4 ))scio ns(2 5( ))cso in s2 2(( 3 )).
sin(2m )cos［2m 1 ］ sin［2m 1 ］cos(2m )
sin()cos( ) sin(cos) 1. sin( )cos sincos
k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),
原式sin［s2im n(2m 2］ c)cooss［ (2m 2m 1)］
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
【补偿训练】1.已知 sin(－)＝1，
3
2
求cos2(α - )·sin ( 2 ＋ ) 的值.
3
3
【解析】cos2()sin(2＋ )
33
＝cos2[－(－)]sin[－(－)]
3
3

高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】求下列三角函数值：(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. 【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44. 题型二、化简求值问题【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°). (1)[解析]cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1. [答案] 1(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α－cos α＝－1. 【类题通法】利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ). 解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ. 题型三、给角（或式）求值问题【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( ) A ．1B ．－1 C.13 D ．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值． (1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴sin(α＋2β)＝sin [(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13. [答案] D(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角． ∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin [180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223. 【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，所以sin α＝13，所以α是第一象限或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223.【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255 B ．－55C.55D.255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55.2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( ) A ．－35 B.35C ．±35 D.45解析：选B sin α＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝35.3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝________.解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 答案：m ＋1m －14.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π6的值．解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.。

必修4 三角函数的诱导公式

思考2：对于任意给定的一个角α， π－
α的终边与α的终边有什么关系？
关于y轴对称
y α 的终边 π -α 的终边
o
x
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则 π－α的终边与单位圆的交点坐标如何？它们
的三角函数又有何关系？
y α 的终边 P(x,y) o π -α 的终边
P2 (-x,y)
x
公式四
公式二： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan 公式四： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式一 ~ 四可用下面的话来概括：
2k (k Z ), , 的三角函数值，等于角的同名函数值，前面加上一个把
任意正角的三角函数
公式一
用公式三或四
锐角三角函数
0 到 360 的角的三角函数
o
o
负化正，大化小，化到锐角为终了
例2 化简：
) sin( 360 ) cos(180 （1） ) cos(-180 - ) ； sin(- -180
cos sin 解：原式 sin( 180) cos（） 180 cos sin 1 sin ( cos )
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，转化为求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
思考1：对于任意给定的一个角α ，角
π ＋α 的终边与角α 的终边有什么关系？
y
α 的终边
关于原点对称
o x
π+α 的终边
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则角π＋α的终边与单位圆的交点坐标如何？它们的三角函数又有何关系？

三角函数的诱导公式(一)

（四）练习利用诱导公式(二),口答下列三角函数值.(1). ;(2). ;(3). .喜悦之后让我们重新启航，接受新的挑战，引入新的问题.（五）问题变形由sin３00= 出发，用三角的定义引导学生求出 sin（－３00），Sin1500值,让学生联想若已知sin = ,能否求出sin( ),sin( )的值.学生自主探究1．探究任意角与的三角函数又有什么关系；2．探究任意角与的三角函数之间又有什么关系.设计意图遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果诱导公式（三）、（四）给出本节课的课题三角函数诱导公式设计意图标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结.（六）概括升华的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符合.（即：函数名不变，符号看象限.）设计意图简便记忆公式.（七）练习强化求下列三角函数的值：（1）.sin( )； (2). cos(-20400).设计意图本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的诱导公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯.这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的.学生练习化简： .设计意图重点加强对三角函数的诱导公式的综合应用.（八）小结1.小结使用诱导公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤.2.体会数形结合、对称、化归的思想.3.“学会”学习的习惯.（九）作业1.课本Ｐ-27,第1,2,3小题;2.附加课外题略.。

高中数学必修四-诱导公式

诱导公式知识集结知识元同名诱导公式的应用知识讲解诱导公式1、诱导公式(一)终边相同的角的同名三角函数值相等，即:，，，，其作用是把绝对值大于2π的任一角的三角函数值化为[0,2π)上的角的三角函数值．2、诱导公式(二)角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号．即:，，，其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．3、诱导公式(三)角,的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看成锐角时，,所在象限的原三角函数值的符号．即：，，.4、诱导公式(四)，，，，，.5、诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（1）“奇、偶”指的是的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切，反之亦然成立.（2）“符号看象限”的含义是：把角看做锐角，不考虑角所在象限，看n是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.例题精讲同名诱导公式的应用例1.sin240°＝()A．B．C．D．例2.sin240°＝()A．B．C．D．例3.A．B．C．D．异名诱导公式的应用知识讲解诱导公式1、诱导公式(一)终边相同的角的同名三角函数值相等，即:，，，，其作用是把绝对值大于2π的任一角的三角函数值化为[0,2π)上的角的三角函数值．2、诱导公式(二)角的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把看作锐角时，所在象限的原三角函数值的符号．即:，，，其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函数．3、诱导公式(三)角,的三角函数等于角的同名三角函数，前边放上把角看成锐角时，,所在象限的原三角函数值的符号．即：，，.4、诱导公式(四)，，，，，.5、诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（1）“奇、偶”指的是的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切，反之亦然成立.（2）“符号看象限”的含义是：把角看做锐角，不考虑角所在象限，看n是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.例题精讲异名诱导公式的应用例1.A．B．C．D．例2.已知cos(75°＋α)＝则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为()A．B．C．D．例3.已知sin110°＝a，则cos20°的值为()A ．aB ．－aC ．D ．当堂练习单选题练习1.A ．B ．C ．D ．练习2.A ．B ．C ．－1D ．1练习3.A ．B ．C ．D ．练习4.已知cos(75°＋α)＝则cos(105°－α)－sin(15°－α)的值为()A ．B ．C ．D ．填空题练习1.练习2.已知函数f(x)满足f(cos x)＝1－cos2x，则f(sin15°)＝________.。

必修四第一章三角函数-1.3三角函数的诱导公式

1.3三角函数的诱导公式学习过程知识点1：诱导公式（二）sin （180°+α）=－sin α cos （180°+α）=－cos α tg （180°+α）=tg α（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角时） ②把求（180°+α）的三角函数值转化为求α的三角函数值。

知识点2：诱导公式（三）sin （－α）=－sin α cos （－α）=cos α tg （－α）=－tg α结构特征：①函数名不变，符号看象限（把α看作锐角） ②把求（－α）的三角函数值转化为求α的三角函数值知识点3：诱导公式（四） Sin(π－α)＝Sin α Cos(π－α)＝－cos α Ten(π－α)＝－tan α知识点4：诱导公式（五） sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=-= 知识点5：诱导公式（六）sin()cos ;cos()sin 22ππαααα+=+= 学习结论1．诱导公式（二）sin （180°+α）=－sin α cos （180°+α）=－cos α tg （180°+α）=tg α 2．诱导公式（三）sin （－α）=－sin α cos （－α）=cos α tg （－α）=－tg α 3．诱导公式（四） Sin(π－α)＝Sin α Cos(π－α)＝－cos α Ten(π－α)＝－tan α 4．诱导公式（五） sin()cos ;cos()sin 22ππαααα-=-= 5、诱导公式（六）sin()cos ;cos()sin 22ππαααα+=+=典型例题例1、例题1已知角α的终边经过P(3a，-4a)(a≠0)，求α角的正弦、余弦、正切、余切函数值．解析:设P点到原点O的距离为r．当a＜0时，r=5|a|=-5a．这时，例题2 设α角终边上的一点P的坐标是(x，y)，P点到原点的距离是r．(1)已知r，α，求P点的坐标；(2)已知α，y，求r；(3)已知α，x，求y．例题3已知|cosθ|≤|sinθ|，求θ的取值范围．解析:由三角函数的定义，知其中(x，y)是角θ终边上任意一点P的坐标，r是P点到原点的距离．因为r＞0，要使|cosθ|≤|sinθ|，只须|x|≤|y|．所以，θ角的终边落在如图所示的阴影部分内，即例题4化简下列各式：(1)sin(α-π)sec(-α+4π)tg(α-3π)+tg2(3π-α)²csc2(2π+α)解析: (1) 原式=sin[-(-π-α)]sec(4π-α)tg[-(3π-α)] +tg2(3π-α)²csc2(2π+α)=-sin α²sec α²tg α+tg2α²csc2α =-tg2α+tg2α²csc2α=-tg2α(1-csc2α) =-tg2α²(-ctg2α)=1(2) 原式=sin α²tg α²csc α(-ctg α)=-1三角函数的诱导公式(基础训练)1、下列四个命题中可能成立的一个是（） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 答案：B解析：因为1cos 0sin -==αα且当απ=时成立。

高中数学必修四 1.2.3三角函数的诱导公式(1)

1.2.3三角函数的诱导公式（1）【自主学习】1、利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：),(y x P 为角α的终边与单位圆的交点，则___________cos _,__________sin ==αα2、诱导公式由三角函数定义可以知道：（1）终边相同的角的同一三角函数值相等。

公式一（παk 2+）：__________________________________________;__________________________________________;___________________________________________.(2)当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的关系为：__________________公式二（）：__________________________________________;__________________________________________;___________________________________________.(3)当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称时，α与β的关系为：__________________公式三（）：__________________________________________;__________________________________________;___________________________________________.(4)当角α的终边与角β的终边关于原点对称时，α与β的关系为：_________________公式四（）：__________________________________________;__________________________________________;___________________________________________.思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？【典型例题】例1、求下列三角函数值：（1）() 240sin -；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-π411cos ；（3）() 1560tan -．例2、化简：()()()()αααα----++180cos 180sin 360sin 180cos例3、判断下列函数的奇偶性：（1）()x x f cos 1-=；（2）()x x x g sin -=．（3）x x x x f tan sin )(-=1cos cos 1)()4(-+-=x x x f例4、求证()()()()1tan 15tan sin 211cos sin 22---++=--+-θθπθθπθπ．【课堂练习】1、求下列各式的的值（1）)431sin(π-（2）)631cos(π- （3）)945tan(0-2、判断下列函数的奇偶性：（1）x x f sin )(= （2）)x x x f cos sin )(=3、化简：)34cos()322sin(ππππ+⋅+n n。

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1 编写时间：2020年4 月 17日第二学期总第课时编写人：马安山课题
诱导公式(一) 授课班级高一( 17) 授课时间 2020年月日
学习目标 1.借助单位圆的对称关系推导诱导公式 2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值及三角函数式的化简和证明教学重点发现并证明诱导公式并运用．
教学难点诱导公式的发现．
课型新课主要教学方法
自主学习、思考、交流、讨论和概括．教学模式合作探究，归纳总结教学手段与教具实物几何体，智慧黑板．
教学过程设计
各环节教学反思引入新课：先让同学们思考单位圆的对称性并举出一些特殊的对称轴和对称中心，
如x 轴，y 轴，y x =，原点．这些对称性对三角函数的性质有什么影响呢？
先思考阅读教科书第26页的“探究”．
1.角的对称关系：
给定一个角α，发现：
1）终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α；
同样，让学生探究问题(2) ，(3)不难发现．
2）终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为α-（或2π-α）.
3）终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为：π-α；
4）终边与角α的终边关于直线y =x 对称的角可以表示为π2
α-． 2.三角函数的关系
诱导公式二：
以问题（1）为例，引导学生去思考，角的对称关系怎样得出三角函数的
关系？
角α————π+α
终边与单位圆交点(,)P x y ————(,)P x y '-
sin y α= ————sin(π+)=-y α π+α
∴sin(π+)=-sin αα
α
同理，cos(π-)x α=-， cos x α=，cos(π-)cos αα=-
tan(π+)=tan y x
αα=
∴tan(π+)=tan αα 诱导公式二： sin(π)sin αα+=- cos(π+)cos αα=- tan(π)tan αα+=
请同学们自己完成公式三、四的推导：
诱导公式三：
sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=-
诱导公式四：
sin(π)sin αα-= cos(π)cos αα-=- tan(π)tan αα-=-
学生把探究诱导公式二、三、四的思想方法总结概括，引导学生得出：圆的对称性____________角的终边的对称性
对称点的数量关系角的数量关系
三角函数关系即诱导公式
总结规律，引导学生记忆学过的四组公式，即：
22πk α+(Z)k ∈ ， α-， πα±的三角函数值，等于α角的同名三角函数值，前面加上一个把α角看成锐角时的原函数的符号．
P 28 例1，
例2．
思考：诱导公式有什么作用？
负角→正角
大角→小角→锐角三角函数
即所有的角的三角函数值都可转化成锐角三角函数来求．
上述步骤体现了未知转化为已知的化归思想．
通过对公式的应用，加深对公式的理解，并对学生所做练习进行点评．
[小结]本节课我们学习了诱导公式二、三、四，并运用诱导公式求任意角的三角函数值及化简，在学习过程中逐步学习化归思想，要注意诱导公式中符号的确定．
课堂练习：第31页练习1，2，3，4
课后作业：第32页习题1-2A ：1，2，3
同步练习：
第1题．化简()()()()cos 180sin 360sin 180cos 180αααα++----o o o o g g ．
第2题．函数式12sin(π2)cos(π2)+-+化简的结果是（）
Ａ．sin2cos2-
Ｂ．(sin 2cos2)±- Ｃ．cos2sin2-
Ｄ．以上结论都不对第3题．若sin(π)cos(2π)1a θθ-+-=，sin(π)cos(3π)1b θθ+--=-，则ab 的值
3。