第九章磁场

习题九 电磁场与电磁感应

基本要求

掌握磁场的物理性质。磁感应强度的定义，掌握运动电荷产生的磁场性质。掌握电流元产生的磁场性质；能运用毕奥-萨伐尔定律计算某些载流导线所产生的磁场的磁感应强度。掌握安培环路定理及其物理意义，能运用该定理计算磁感应强度。掌握洛仑兹力的性质，了解运动电荷在匀强磁场中的运动情况，了解霍尔效应、霍尔电势差的产生及其应用掌握载流导线在磁场中的受力情况；学会安培力公式的应用。了解载流线圈再磁场中所受力矩的情况，掌握磁矩的定义及其物理意义。掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律的内容，利用该定律计算感应电动势。理解自感现象；L 的物理意义。了解电磁波的性质。

[9-1] 在公式v B f qvB f 、、中，θsin =所对应的矢量哪些总是正交？哪些矢量可取任意角度？

答： f 与B 、v 始终正交，B 与v 可取任意角度。

[9-2] 2根无限长直导线互相平行地放置在真空中，其中通过相同方向的电流I 1=I 2=10A 。试求P 点的磁感应强度。已知P 到I 1和I 2的距离都为0.5m 。 已知 a 1 = a 2 = a = 0.5 m I 1 = I 2 = I = 10A 求：B

解： I 1在P 点产生的磁感应强度B 1为

1

1

012a I B πμ=

I 2在P 点产生的磁感应强度B 2为

2

2

022a I B πμ=

P 点的总磁感应强度B 为

T

a

I

a I a I B B B 62

72

02220211022211065.5)

5.0210104(2)2(2)2()2(

--⨯=⨯⨯⨯⨯==+=+=πππμπμπμ

[9-3] 将载有电流I 的无限长直导线折成直角xOy ，求直角顶点P 的磁 感应强度。

分析： 将无限长载流直导线xoy 看作两条载流导线xo 和oy 组成，P 点

的磁场即为这两条载流导线各自磁场在P 点的叠加。 根据毕奥 —沙伐尔定律2

0sin d 4d r l I B θ

πμ=

， 求两段的磁感应强度。

因为P 点在xo 的的延长线上，所以0sin ,0==θθ，故B = 0 。

xo 对P 点的磁感应强度无贡献。因此，P 点的磁感应强度即为oy 在该点的磁场。

解： 载流导线oy 对P 点来说，正好是半无限长载流直导线，所以它在

P 点的磁感应强度是

a I

a I B B oy πμπμ422100=

=

=

[9-4] 如图所示电路中，无限长直导线中的电流强度为I ，求通过与导线 同平面的矩形面积 的磁通量。

解： 以水平向右为x 轴正向建立坐标系，选x 轴上一小段d x ，d x 距I

为x ，这时，在d x 这一小宽度上，可近似地认为I 所产生的B 大小是均匀的，根据无限长直导线周围的磁感应强度的公式，有

x

I B πμ20=

在d x 宽度上穿过小矩形的磁通量为

a

b l I a b l

I x

x Il x l x I x

Bl B b a b a ln 2)ln (ln 2d 2d 2d dS d 0000

m m πμπ

μπμπμ=-==

=Φ==Φ⎰

⎰ [9-5] 载流线圈半径R=1cm ，电流I=14A ，求轴线上距圆心10cm 处和

圆心处的磁感应强度。

已知 R = 1 cm I = 14 A 求： a = 0和 a = 10 cm 处 B 解： a = 0处

4

2

7010

79.81012141042---⨯=⨯⨯⨯⨯==πμR I

B T a = 10 cm 处

7

3

1227301079.8)101(214)101(1042----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==ππππμa SI B T

[9-6] 如图所示，有一无限长直导线在一处弯折成1/4圆周的圆弧，与

弧两两连接

的直线互相垂直，其延长线相交于圆心，若圆弧半径为R ，导线中电流 为I ，求圆心的磁感应强度。

分析：将无限长载流直导线xoo ′y 看作三条载流导线yo 、oo ′和o ′x

组成，圆心的磁场即为这三条载流导线各自磁场在该点的叠加。 根据2

0sin d 4d r

l I B θ

πμ=

求三段的磁感应强度 因为圆心在yo 和o ′x 的延长线上，所以0sin ,0==θθ，

故B = 0 。yo 和o ′x 对圆心的磁感应强度无贡献。因此圆心的磁感应强度即为oo ′在该点的磁场。

解： 载流导线oo ′对圆心来说，正好是1/4圆形载流导线，所以它在圆

心的磁感应强度是

R I

R I B B 82410000μμ=

=

='

[9-7] 有一电量为4⨯10-9C 的电荷，以速度v 1沿x 轴正方向运动时，有一匀强磁场对它的作用力F 1沿z 轴负方向。但当电荷以大小为2⨯10-4m ·s -1的速度v 2沿z 轴正方向运动时，磁场对它的作用力F 2=4⨯10-5N ，方向沿x 轴，磁感应强度大小和方向如何？ 已知 q = 4×10-9 C v 2 = 2×104 m/s

f 2 = 4×10-5 N

求： B 、 方向如何

解： 建立xyz 三维坐标系，当电荷以速度v 1沿x 轴正方向运动时，力F 1

沿z 轴负方向。根据右手螺旋定则，可判定磁场的方向应在xy 面上。 当电荷以速度v 2沿z 轴正方向运动时，作用力F 2沿x 轴方向。由此判定磁场的方向应在yz 面上。