点集拓扑学学习心得

点集拓扑课堂教学的几点体会

点集拓扑课堂教学的几点体会作者：姜德烁来源：《教育教学论坛》2013年第42期摘要：根据几年来的教学实践，笔者从激发学生学习兴趣，恰当运用举例法，类比法等方面总结了点集拓扑教学中应注意的一些问题及心得体会.关键词：课堂教学；兴趣；举例法；类比法中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）42-0134-02点集拓扑是大学数学的一门重要的基础课程，其显著特点为高度的抽象性与概括性，这使得它在现代数学的许多分支如泛函分析、微分几何、微分方程等以及理论物理、计算机、电子通讯以至原子核的构造理论等自然科学及工程技术领域的诸多学科都有广泛的应用。

但也正因为此，学生在初次接触时常感到非常抽象，不易于接受。

因此，如何使这门课让学生易于接受，乐于接受是学生能否讲好这门课程的关键。

在此，笔者从以下几方面进行了探讨。

一、增强趣味性，激发学生学习兴趣兴趣是学习的动力。

对于本科阶段的学生来说，兴趣仍然是很重要的。

在这几年的教学中，我们发现学生们普遍存在的一个疑问就是为什么要学数学，学数学到底有什么用。

在很多学生看来，数学不但枯燥乏味，而且不像物理、化学、计算机等专业有用。

因此在学习的时候往往感到很茫然，劲头不足，只是为了学习而学习。

有的学生甚至认为平时听不听课也无所谓，只要考试前突击一下，考试及格就可以了。

时间一长，不但影响学生的成绩，而且使得教学只流于形式，学生的综合素质也不断下降。

因此，有必要为学生解答好这些问题，激发学生对学习的兴趣，使学生能够以饱满的热情投入到学习中去。

数学发展到今天，已经成为自然科学中一门重要的基础性学科，对自然科学诸领域有着深刻而广泛的影响，在培养学生的创新精神和思维能力等方面也起到重要作用[1-3]。

然而，由于课程本身的特点以及一些客观原因，使得我们在教学中对理论知识的讲解相当重视，但对这些知识在实践中的应用或与实际问题的联系则讲解得偏少。

时间一长，使得学生感到所学的东西不但枯燥，而且不知有何作用，似乎只是在为学习而学习。

拓扑讲座的心得体会范文

一、讲座背景近日，我有幸参加了一场关于拓扑学的讲座。

拓扑学作为数学的一个重要分支，研究的是物体形状和结构的变化，而不考虑物体的大小和形状的变化。

这场讲座由我国著名拓扑学家主讲，深入浅出地介绍了拓扑学的基本概念、发展历程以及在实际应用中的重要性。

通过这次讲座，我对拓扑学有了更深刻的认识，以下是我的一些心得体会。

二、拓扑学的魅力1. 拓扑学的定义拓扑学是一门研究空间性质和结构的学科，它关注的是空间在连续变形下的不变性质。

拓扑学的基本研究对象是拓扑空间，即具有某些特定性质的空间。

2. 拓扑学的魅力（1）抽象与具体相结合：拓扑学是一门高度抽象的学科，但同时它又具有丰富的具体内容。

通过学习拓扑学，我们可以了解空间结构的本质，以及各种空间之间的关系。

（2）广泛应用：拓扑学在物理学、生物学、计算机科学等领域都有广泛的应用。

例如，在物理学中，拓扑学可以用来研究物质的拓扑性质；在生物学中，拓扑学可以用来研究生物结构的稳定性。

（3）激发创新思维：拓扑学的抽象性质可以激发我们的创新思维，使我们从不同的角度看待问题，从而发现新的解决方案。

三、拓扑学的发展历程1. 拓扑学的起源拓扑学的起源可以追溯到古希腊时期，当时的人们开始研究几何图形的性质。

然而，拓扑学作为一门独立的学科，是在19世纪由德国数学家黎曼和德国物理学家里奇等人创立的。

2. 拓扑学的发展（1）19世纪末至20世纪初：拓扑学开始形成体系，德国数学家豪斯多夫提出了拓扑空间的概念，奠定了拓扑学的基础。

（2）20世纪20年代至50年代：拓扑学得到了快速发展，许多重要的拓扑学理论相继诞生，如同伦论、同调论、范畴论等。

（3）20世纪60年代至今：拓扑学与其他学科的交叉研究不断深入，拓扑学在数学、物理学、生物学等领域取得了重要成果。

四、拓扑学在实际应用中的重要性1. 物理学中的应用（1）拓扑绝缘体：拓扑绝缘体是一种具有特殊电学性质的新型材料，拓扑学在研究拓扑绝缘体的物理性质中发挥了重要作用。

学习拓扑学的心得体会

学习拓扑学的心得体会第一篇：学习拓扑学的心得体会学习《拓扑学》的心得体会摘要：拓扑学是一门综合性比较强的数学学科，是我们大学生学习必不可少的学科。

我们之前学习了的物理学、高等代数、数学分析、初等几何等多门学科都有关联，是我们之前学习的延伸，接触了比之前更高深的问题，同时加深了与其他学科的联系。

在学习集合相关概念时，引发了我对于现实生活中的一些思考，进一步感受到了数学的严谨性。

在学习拓扑中的基，由此想到了之前在初等数论中学习的鸽巢原理。

在学习连续函数的不同定义时，与之前学习的数学分析中的相关类容作出了比较，并进一步理解了函数的连续性。

关键词：数学学科；延伸；联系；严谨性一、什么是拓扑学？我们所谓的拓扑学，是在数学学科当中比较抽象的一门学科。

它的英文名是T opology，直译是地质学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关的学科。

我国早期有人曾经把它翻译成为“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名无论对于老师还是学生来说都不大好理解，于是在1956年最终用统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是数学当中一个重要的、基础性的学科分支。

它最初是几何学的一个分支，主要研究几何图形在连续变形下保持不变的性质，现在已成为研究连续性现象的重要的数学分支。

然而，这种几何学又和通常的平面几何、立体几何又有所不同。

通常的平面几何或立体几何所研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果它们能够完全重合，那么这两个图形叫做全等图形。

但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。

在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。

例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数，这些就是拓扑学思考问题的出发点。

点集拓扑学(1)

点集拓扑学~非同凡响畅想系列注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。

本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。

由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。

点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。

其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。

这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。

拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。

第一节：关系与映射集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。

朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。

集合的定义：① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。

② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。

全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。

集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。

集合的表示方式:1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。

关于点集拓扑学教学的几点思考

这是由于虽然学生对实数空间和n维欧几里得空间较为熟悉但由于一般的度量空间的定义除集合自身以外要借助于实数空间和映射的概念因此和拓扑空间的定义相比较对度量空间的理解会更加困难一些而且熊金成点集拓扑学讲义是将拓扑空间作为度量空间的推广引入的这一做法不利于对度量空间的理解且直接影响着对拓扑空间的理解而对度量空间的理解可能比理解拓扑空间更加困难一些
始的第一节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ教师的主要任务是提高学生的学习兴趣，
先从 “ 尼斯堡七桥 ” 问题出发，引导学生思考一笔画哥问题、迷宫问题、多面体欧拉定理，通过这些问题的思
概念之间的紧密联系。
三、对教材的合理调整及取舍
法，使得数学的严谨性得以保证。因此，在教学的过程
中教师应该教会学生把抽象的概念还原到现实中理解。另外，点集拓扑学本身有许多优美之处，它的高度概括
性，应用的广泛性以及表述形式的简洁性，常能激发会
内部、边界及其性质大都是借助邻域来说明的，一些性
第２卷０
第１期
牡丹江大学学报
ｌｕｎ１ｏＭｄｎｉｎＩｉｅｓｔｏｒａｆｕａｊａｇＪ，ｒｉｙｎ￣
Ｖ．Ｎ．１ｏ１２０ｏ
Ｊｎ．ａ２Ｏｌｌ
２１年１０１月
文章编号：１０．７７（０１１１２００８８１２１）０－３ —２０
连通性的连续不变性和有关可数性公理的拓扑不变性等
都起着至关重要的作用。另外，在讲解一些基本概念的时候，教师要尽可能导人这些概念的背景。比如拓扑的

《点集拓扑》课程教学的新认识与实践

１３关于课程 “ 习难” 的新认识．学由于教学内容的基础性和抽象性程度很高，大部分学生都认同一个观点：点集拓扑太难学了！大部分教师也认为这门课程难教。除了上面提到的学生学习特点的原因外，课程本身也有许多原因：（）（１（点集拓扑课程中介绍的新概念非常多，每一章每一节都有新概念出现，而且这些新概念都环环相扣，一些基础性概念如果掌握不好，理解不透，将影响后续所有概念的理解。比如：拓扑和拓扑空间、开集、邻域、连续映射、子空间等等都是最基础的概念，有一些学生在教学初始，没引起对这些基本概念的重视（这些概念在先修课程中都提到过，但都不是基础概念），导致后期学习如听天书，不知所云。因此课程中概念的教学详略和教学方法是否得当显得尤为重要。（）点集拓扑课程以一个崭新的视角去２研究几何图，加上其高度的抽象性，对于本科生形来说，接受起来有点难度，需要一点适应期。（）大部分点集拓扑教材讲理论多，实３例少，与其他数学分支，比如数学分析、实变函数、微分几何等联系少，使得学生学起来空洞，乏味，与已经形成的知识体系的同化与融入过程不通畅。２关于《点集拓扑》课程的教学实践２１教材、习题的处理．２１１教材的处理．．许多高校现在该课程的教学时数相对教学内容来说是比较少的，特别是对一般本科院校来说，学生的基础相对薄弱，教师不可能完成所有经典内容的教学，所以一个好的办法就是讲授课程的主要内容和主要方法，使学生理解点集拓扑》的核心内容，掌握核心的思想和方法，否则贪多嚼不烂也是很正常的事。我校选用的教材是熊金城编著的点集拓扑讲义（第三版），高等教育出版社出版。教学中对教材的内容加以选择分类，分精选内容、非重点内容和选讲内容三部分，不同内容分别采用不同的方法教学。精选内容：作详尽的论述和证明，并精选精讲练习题、作业题，加以巩固和提高，主要采用传统的讲授练习法。非重点内容：讲解主要概念、定理，并用例子

《点集拓扑学学习心得》

《点集拓扑学学习心得》点集拓扑学是由分析、几何、和代数等许多学科的一些基本概念和问题抽象而成的一个数学分支，是理工科相关专业的一门基础课。

它的许多概念、理论、方法广泛的应用与泛函分析、微分几何和微分方程等领域中。

通过这门课程的学习可以加强我们对学习了的数学分析、实变函数、常微分方程等课程的理解。

因此我们有必要努力学好这一门课程。

在学习中我有几点深刻的体会。

第一、这门课程确实很抽象。

它不同于我们学习的其他数学课程，如数学分析、高等代数、常微分方程、实变函数等，点击拓扑几乎没有计算的内容，逻辑性强。

在学习概念后就是一连串的定理、推论，例子也比较少，且多为证明。

所以学习起来就比较枯燥。

一开始学习的掉以轻心让我后悔不已。

第二、抽象的概念也是有它形成的基础。

点集拓扑学是一门建立在集合论的基础上的一门学科，因此第一章的集合论初步是学习的预备知识。

尤其是映射的像和原像的性质，这些性质对刻画拓扑空间中映射的连续性有重要作用。

而第二章是全书的理论基础，尤其重要。

并且概念和概念之间也是相互联系的。

比如度量给出以后，度量空间的相应概念由此产生。

开集、邻域的概念形成后，导集、闭集、闭包、内部、边界及其性质大都是借助它们来说明的。

因此学习的时候每一个概念都要弄懂。

第三、点集拓扑学中涉及到很多我们已经在其他学科中学习到的知识，因此我们要注意对比分析。

序列的极限、函数的连续性是数学分析的基础，其中涉及两个实数的距离。

数学分析中绝大多数问题都离不开距离。

而点集拓扑学中建立了以距离为出发点的距离空间。

数学分析中我们熟知的欧式空间和欧式空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间的连续映射，抽象到拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。

数学分析中数列涉及敛散性、连续性、以及极限存在的条件等，而点集拓扑学中序列也涉及到这些内容，但是它们之间存在着异同之处。

在拓扑空间中一般不能用点列的收敛来刻画聚点，进而拓扑空间之间的连续映射不能用极限来刻画。

点集拓扑学知识点总结

点集拓扑学知识点总结点集拓扑学：那些让人又爱又恨的知识点咱就说，学习点集拓扑学就像在神秘森林里找宝藏，有时候感觉近在咫尺，伸手一抓却啥也没有。

今天就来唠唠点集拓扑学的那些知识点。

先说说拓扑空间这个概念吧。

这就好比给一群元素打造一个“小世界”，在这个世界里规定哪些元素关系亲近，哪些又比较疏远。

比如说，咱家里的厨房就是一个拓扑空间（嘿嘿，有点奇怪的比喻哈）。

那些锅碗瓢盆、柴米油盐都在这个空间里。

为啥这么说呢？你看，灶台上的锅和旁边的铲子，它们在做饭这个“活动范围” 里，关系就比较近。

但是和客厅里的沙发比起来，那可就远多了。

这就是一种对元素关系的规定，就像拓扑空间里定义的开集一样，规定了哪些元素组合在一起有特殊的“亲近关系”。

再讲讲基和子基。

这俩概念有点像盖房子的砖头和半块砖头（哈哈，我这比喻可能不太准确，但好理解嘛）。

有了基里的那些元素，就像有了完整的砖头，能搭出房子的基本框架。

子基呢，就像是半块砖头，虽然单个不太能成事，但是组合组合就能变成基，然后构建出整个拓扑空间的结构。

我记得有一次我想自己搭个小书架，我先找来了一些木板，这些木板就像基里的元素。

但是一开始我没有合适的工具把木板裁成合适的大小，那些原始的大木板就有点像子基，经过我的一番努力，把它们加工好，最后成功搭起了书架。

这就和基与子基的关系有点像，从一些基础的东西出发，慢慢构建出完整的结构。

连续映射也是很有趣的知识点。

就好比你给朋友寄快递，你把包裹按照快递站的规定包装好（这就像定义域里的元素满足一定的条件），然后快递经过各种站点运输（这个过程就像映射），最后完好无损地到达朋友手中（这就是在值域里也满足一定的关系）。

有一回我给在外地的朋友寄自己做的小点心，我精心包装，还在包裹上写了各种注意事项。

经过快递的一路“奔波”，朋友收到的时候点心还是好好的。

这就像连续映射一样，从一个地方到另一个地方，保持着一种“连贯性”。

在学习点集拓扑学的过程中，虽然有时候被那些复杂的概念搞得晕头转向，但是一旦想通了这些知识点之间的关系，就像突然找到了宝藏的钥匙。

点集拓扑学(1)

点集拓扑学注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。

本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。

由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。

点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。

其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。

这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。

拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。

集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。

朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。

集合的定义：① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。

② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。

全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。

集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。

集合的表示方式:1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。

从《点集拓扑讲义》的一个证明谈子空间的理解与运用

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９２２点集拓扑讲义的一个证明谈子空间的理解与运用从«点集拓扑讲义»的一个证明谈子空间的理解与运用Һ郑㊀言㊀(国防科技大学文理学院ꎬ湖南㊀长沙㊀４１００００)㊀㊀ʌ摘要ɔ本文从«点集拓扑讲义»的一个定理证明出发ꎬ分析了其中出现的一些问题ꎬ由此阐述了涉及子空间的概念和定理的理解与应用问题ꎬ强调缜密严谨的数学思维对学生的数学素养的重要性.ʌ关键词ɔ点集拓扑学ꎻ子空间ꎻ局部连通性ꎻ连通分支子空间是点集拓扑学中的重要概念ꎬ它既可以拓展拓扑学的研究范围ꎬ也可以帮助我们建立不同拓扑空间之间的联系ꎬ而且很多重要的概念ꎬ比如ꎬ连通子集㊁紧致子集等都是通过它来定义的ꎬ所以掌握好这一概念对后续的学习十分关键.笔者在十余年的教学实践中发现ꎬ虽然子空间的定义和相关性质在内容上比较简单ꎬ但是这并不代表它可以很容易地灵活运用.本文就以熊金成所著的«点集拓扑讲义(第四版)»为例ꎬ探讨其中一个定理证明的理解问题.兹附原书定理和证明如下:定理４.４.１㊀((１)⇒(２))设Ｘ是一个局部连通空间ꎬＸ的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集.证明㊀设Ｃ是Ｘ的一个开集Ｕ的一个连通分支.如果ｘɪＣꎬ由于Ｕ是ｘ的一个邻域ꎬ所以ｘ有一个连通邻域Ｖ包含于Ｕ.又由于ＶɘＣ包含着点ｘ所以不是空集ꎬ根据定理４.３.１可见Ｖ⊂Ｃ.因此ꎬＣ是点ｘ的一个邻域.这证明Ｃ是属于它的任何一个点ｘ的邻域ꎬ因此ꎬＣ是一个开集.其中ꎬ所引用的定理４.３.１是指:定理４.３.１㊀(１)如果Ｙ是Ｘ的一个连通子集ꎬ并且ＹɘＣʂ∅ꎬ则Ｙ⊂Ｃ.定理４.４.１的证明虽然篇幅不长ꎬ但是其中也存在一些问题 ꎬ或者说出现了跳步 .笔者在教授这一节的时候ꎬ发现很多学生都看不出其中的问题ꎬ哪怕是在笔者指出后ꎬ依然不解其意ꎬ所以证明细节就很有探讨的必要了.其实该证明过程有两个问题:１.因为Ｘ是一个局部连通空间ꎬ所以Ｖ是ｘ在Ｘ内的连通邻域ꎬ而Ｃ是Ｕ的连通分支.如果用定理４.３.１ꎬ那么应该是在子空间Ｕ内应用ꎬ需要Ｖ是ｘ在Ｕ内的连通邻域.所以这里的问题是:Ｖ是ｘ在Ｘ内的连通邻域是否一定有Ｖ是ｘ在Ｕ内的连通邻域?２.当在子空间Ｕ内应用定理４.３.１后ꎬ得到Ｃ是点ｘ的一个邻域ꎬ那么这个Ｃ也应该是点ｘ在子空间Ｕ内的邻域ꎬ而我们需要的结论是Ｃ是点ｘ在Ｘ内的邻域.所以与问题１类似ꎬ这里的问题是:Ｃ是点ｘ在子空间Ｕ的邻域是否一定有Ｃ是点ｘ在Ｘ内的邻域?这两个问题其实属于一类问题ꎬ就是当所探讨的问题涉及拓扑空间及其子空间时要特别注意一些定理的应用范畴.一定要因地制宜 ꎬ即如果在某个框架下应用定理ꎬ那么所得到的结论也只适用于这一框架.所以上面所出现的问题都属于失位 ꎬ而解决的途径就是归位 .先解决问题２:因为Ｃ是点ｘ在子空间Ｕ的邻域ꎬ所以存在子空间Ｕ内的开集Ｗ使得ｘɪＷ⊂Ｃ.由于Ｕ是Ｘ的一个开集ꎬ所以Ｗ也是空间Ｘ的开集.因此ꎬｘɪＷ⊂Ｃ也说明Ｃ是点ｘ在Ｘ内的邻域.再解决问题１:因为Ｖ是ｘ在Ｘ内的邻域ꎬ所以存在空间Ｘ内的开集Ｗ~使得ｘɪＷ~⊂Ｖ.注意到Ｖ⊂Ｕ而Ｕ又是Ｘ的开集ꎬ所以Ｗ~包含在开子空间Ｕ内ꎬ也是子空间Ｕ的开集.因此ꎬ又由ｘɪＷ~⊂Ｖ知此时Ｖ还是ｘ在Ｕ内的邻域.最后ꎬ如果Ｖ是空间Ｘ内的连通子集ꎬ是否一定有Ｖ子空间Ｕ内的连通子集?这个一般情况下当然是不一定成立ꎬ但是此时情形比较特殊ꎬ因为Ｕ是空间Ｘ的开集.如果我们假设Ｖ是子空间Ｕ内的不连通子集ꎬ则在子空间Ｕ内存在两个非空无交开集Ｖ１和Ｖ２ꎬ使得Ｖ＝Ｖ１ɣＶ２.特别地ꎬ因为Ｕ是空间Ｘ的开集ꎬ所以Ｖ１和Ｖ２还是空间Ｘ的开集ꎬ但这就会由Ｖ＝Ｖ１ɣＶ２得出Ｖ是空间Ｘ内的不连通子集ꎬ与假设矛盾.综合以上事实ꎬ问题１得到了完满解决.在上面问题的解决过程中ꎬ我们可以看到当涉及子空间的概念出现在问题中时ꎬ必须十分小心.一定要仔细甄别各个概念所适用的范围ꎬ区分其是在大空间里还是在子空间里适用.应用定理也是这样ꎬ找到它的适用范围ꎬ结论也只适用于这一范围.在讨论此类问题时也有捷径 :如果子空间是开子空间ꎬ那么开集就可以不加区分地使用ꎻ类似地ꎬ如果子空间是闭子空间ꎬ那么闭集㊁闭包也可以不加区分地使用.点集拓扑学是一门高度抽象又严密的数学学科ꎬ虽然它隶属于几何大类ꎬ但是其内容与分析学十分相近ꎬ而研究手法又接近于代数学ꎬ知识体系庞大复杂ꎬ环环相扣ꎬ层层推进.如果在学习过程中疏忽了一些知识ꎬ就可能在将来出现短板ꎬ会对一些知识点似懂非懂ꎬ甚至会掌握地似是而非.不积跬步ꎬ无以至千里.笔者希望通过对这个定理的探讨ꎬ使广大师生认识到数学学习的严肃性ꎬ一定要在起步阶段夯实基础ꎬ才能在将来游刃有余.我们可以通过点集拓扑学的研讨提高学生的数学素养ꎬ培养他们形成缜密严谨的数学思维.ʌ参考文献ɔ[１]ＭｕｒｒａｙＥｉｓｅｎｂｅｒｇ.Ｔｏｐｏｌｏｇｙ[Ｊ].ＮｅｗＹｏｒｋ:ＨｏｌｔꎬＲｉｎｅｈａｒｔａｎｄＷｉｎｓｔｏｎꎬＩｎｃꎬ１９７４.[２]ＪａｍｅｓＲ.Ｍｕｎｋｒｅｓ.拓扑学[Ｍ].熊金城ꎬ吕杰ꎬ谭枫ꎬ译.北京:机械工业出版社ꎬ２００６.[３]熊金城.点集拓扑讲义[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ１９９８.[４]张德学.一般拓扑学基础[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０１２.。

拓扑学心得

拓扑学心得体会姓名：贾文琳学号：201102024016 班级2011级数师一班摘要：拓扑学是一门抽象的学科，是一门研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的学科，也是一门在现代数学、自然科学以及社会科学等众多领域中应用极为广泛的数学学科。

它源于对周围世界的直观观察。

它是几何学的一个分支，但又与通常的欧式几何是不同的几何学分支，通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质，而拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都没有关系。

因此，它以一种独特的视角去将世界数学化。

关键词：几何学分支数学化抽象初识拓扑学，是在数学建模培训的时候，当时是老师介绍欧拉在1736 年解决的哥尼斯堡的七桥问题：哥尼斯堡的普雷格尔河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。

人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。

欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。

那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。

经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。

并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。

而后的“四色问题”等拓扑学经典问题都向我们展现了拓扑学的广泛应用以及它独特的思考方式。

为我们用学好数学以及更深刻的理解数学提供了一种思路。

下面我将谈谈我在本学期对本书前三章的学习心得体会。

首先，在《集合论与逻辑》一章中，我们利用高中所学知识就可以很容易的理解集合与函数的相关概念，比如集合中的每一个事物都叫做“元素”，也可以叫做“成员”、“点”，集合根据元素个数可以分为有限集合和无限集合。

点集拓扑学教学之见

点集拓扑学教学之见
点集拓扑学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中点的集合以及它们之间的关系。

在点集拓扑学中，我们不考虑空间的具体形状和度量，而是关注点集之间的拓扑性质，如连通性、紧致性、同伦等。

点集拓扑学可以应用于各种领域，如物理学、工程学、计算机科学等。

在教学点集拓扑学时，首先需要学生熟悉基本概念，如开集、闭集、连通性、紧致性等。

接着，需要介绍拓扑空间的一些基本性质，如Hausdorff性、第二可数性等。

在教学过程中，可以通过举例子、练习题等方式，帮助学生加深理解和掌握知识点。

此外，点集拓扑学的教学也可以与其他学科结合起来，如微积分、代数学等。

通过将点集拓扑学与其他学科相融合，可以更好地帮助学生理解和应用点集拓扑学的知识。

总之，点集拓扑学是一门重要的数学学科，在教学过程中需要注重基本概念和性质的讲解，并通过实例和练习题等方式帮助学生加深理解。

同时，将点集拓扑学与其他学科相融合也是一种有效的教学方法。

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点集拓扑学教学之见

点集拓扑学教学之见
作为一门重要的数学分支，点集拓扑学在现代数学中占有重要的地位。

它以点集为基本对象，研究空间的性质和变化规律，既有深刻的理论性质，又有广泛的应用价值。

在点集拓扑学的教学中，应注重以下几点：
1. 强调基本概念和基本思想。

点集拓扑学的基本概念包括拓扑空间、连通性、紧性、Hausdorff性等，对这些概念的深刻理解是学习点集拓扑学的关键。

此外，基本思想如构造证明、反证法、归纳法等也应被强调，可以通过大量的例题和练习加深学生对这些基本思想的理解。

2. 加强实际应用。

点集拓扑学在现实生活中有广泛的应用，如地图上的连通性、电路设计中的布线等。

教学中应引入一些实际问题，让学生了解点集拓扑学的实际应用，从而增加学习的兴趣和动力。

3. 培养学生的证明能力。

点集拓扑学是一门纯数学课程，证明是其核心内容。

教学中应注重培养学生的证明能力，引导他们学会构造证明，提高证明的严谨性和准确性。

4. 强化与其他学科的联系。

点集拓扑学与其他学科有着密切的联系，如微积分、几何、代数等。

教学中应注意强化点集拓扑学与其他学科的联系，让学生了解其在其他学科中的应用。

总之，点集拓扑学的教学需要注重基本概念和基本思想的学习，加强实际应用，培养学生的证明能力，强化与其他学科的联系。

只有这样，才能真正提高学生的兴趣和动力，让他们掌握点集拓扑学的核
心思想和方法。

点集拓扑学教学心得

点集拓扑学教学之我见摘要：点集拓扑学是一门抽象的学科，学生学起来比较困难，因此教师在讲授的过程中应该多联系大学中的一些基础课程，多举一些简单易懂且具有代表性的例子，使得学生深刻理解有关概念和理论。

关键词：点集拓扑学；教学；线性空间；数学分析拓扑学是研究几何图形在连续变形下保持不变的性质。

拓扑学的概念、理论和方法已经广泛地渗透到现代数学、自然科学以及社会科学的许多领域，并且有了日益重要的应用，因此学习拓扑学的基本知识，不仅是为了学习现代数学提供必要的基础知识，而且能从较高观点去观察、分析数学各科的内容，加深对这些内容的认识和理解。

由于拓扑的一些基本概念对于初学者来说是比较抽象的，因此有必要结合线性空间及数学分析的一些原理进行区别与联系，从而起到事半功倍的效果。

一、区别线性结构与同构映射，讲解拓扑结构与同胚映射。

线性结构和拓扑结构是空间的两大结构。

在数学专业的教学和学习中，分清两者的关系和区别对于初学者来说并不是很容易的一件事情，因此在教学中，教师应根据学生的实际情况，讲清两者的关系，这样可以使学生更深刻的理解拓扑空间及其连续映射的相关概念。

在讲解拓扑空间的概念时，我们指出拓扑空间是一个集合装备上拓扑结构后的空间，拓扑空间中的元素就是集合中的元素，拓扑是一些满足某些性质的开集族，但如果装备不同的拓扑则有不同的拓扑空间。

而线性空间是一个满足加法和数量乘法封闭的集合。

例如：我们经常用到的实数空间R它既可以看作一个线性空间，它的线性结构就是我们通常定义的加法和数乘运算，也可以看作一个拓扑空间，它的拓扑就是实轴上的所有开集所构成的开集族，它满足拓扑的三条性质，实质它是一个特殊的拓扑线性空间。

又如我们定义集合A={1,2,3}，定义拓扑T={ ，{1，2，3}}，它是我们平1常所说的平庸拓扑，拓扑中开集是空集与它本身，这是最小拓扑，如果定义拓扑T={φ，{1，2，3}，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}}，则它满足拓2扑的三条性质，因此（A,T）是拓扑空间。

关于点集拓扑的心得

关于点集拓扑的心得对点集拓扑的理解:设X是一个集合,P(X)为X的幂集,设T为P(X)的一个子集,若T 满足如下性质:(1)全集X∈T 且空集∈T(2)若集合U∈T,集合V∈T,则U∩V∈T(3)若有一族Ui,i∈I,Ui∈T,则∪Ui∈T则称T是X上的一个拓扑,(X,T)则称为一个拓扑空间,T中的集合称为开集这是拓扑空间的定义,为什么这么定义?他要表达什么?19年初次接触这个定义的时候一头雾水...当时硬着头皮把点集拓扑看完,但是看完之后感觉空空如也,只知道定义了几个概念,比如连通性,紧性,分离性等等,以及几种构造拓扑的方法,乘积拓扑,子空间拓扑,商拓扑,还有就是用开集的原像是开集来描述连续函数等等,当时看的时候真的就是感觉在玩儿概念,感觉凭空定义了一堆抽象概念然后进行逻辑推导,形成一个闭环。

看到最后都快看自闭了也不清楚点集拓扑在干嘛?想干嘛?定义了那么多概念有什么“用”?以前看科普视频时候感觉拓扑挺有意思的,一个图形进行拉扯变成另一个图形,很形象很有画面感,“一个图形在连续变化下图形上哪些东西没变”,这是每个科普拓扑的视频都要说的一句话,可是,当我大致看完了一本点集拓扑的教材,也没明白书上的那些抽象的概念以及定理和这句话有什么关系...直到今天...点集拓扑的中心想法是想看一个图形如果忽略长度,角度,大小,形状等等这些“图形属性”之后,一个图形还剩什么,也就是说我们能不能不考虑这些“图形属性”之后把所有的图形(几何)进行分类?比如如果我们不考虑圆和椭圆的形状差别(一个比较圆,一个比较扁),那么他们是一样的,甚至比如圆和正方形以及长方形,如果不考虑正方形,长方形的形状(尖角)的话,圆,正方形,长方形也是一样的,这是一个很直观的想法。

为什么,因为你可以凭感觉想象正方形,长方形,椭圆都可以“形变成”圆,都可以经过连续变化变成圆,想象一根封闭铁丝,一开始你可以把它捏成一个正方形,把它两边向外拉一拉,他就可以在不撕裂的情况下连续的变成一个长方形,之后你可以把这个长方形四周都向外拉就可以把四个角“拉圆”,最终把长方形变成圆形,并且这个过程感觉起来都是连续进行的,没有发生断裂,接着从圆形到椭圆也是......等等,什么是连续我们怎么从数学上表达连续的概念?......说到连续,第一时间想到了微积分中连续函数的定义,那就是按照epsilon-delta语言来进行描述连续函数,注意这里用epsilon-delta语言描述的连续和我们想象的从长方形变成球形的连续性是一致的,因为函数的连续性变化实质上是把自变量所在的直线段变成了曲线,而这种变化是一点一点“连续”进行的,而且变化后的曲线还能连续的变回直线。

点集拓扑课堂教学的几点体会

点集拓扑课堂教学的几点体会点集拓扑是大学数学的一门重要的基础课程，其显著特点为高度的抽象性与概括性，这使得它在现代数学的许多分支如泛函分析、微分几何、微分方程等以及理论物理、计算机、电子通讯以至原子核的构造理论等自然科学及工程技术领域的诸多学科都有广泛的应用。

但也正因为此，学生在初次接触时常感到非常抽象，不易于接受。

因此，如何使这门课让学生易于接受，乐于接受是学生能否讲好这门课程的关键。

在此，笔者从以下几方面进行了探讨。

一、增强趣味性，激发学生学习兴趣兴趣是学习的动力。

对于本科阶段的学生来说，兴趣仍然是很重要的。

在这几年的教学中，我们发现学生们普遍存在的一个疑问就是为什么要学数学，学数学到底有什么用。

在很多学生看来，数学不但枯燥乏味，而且不像物理、化学、计算机等专业有用。

因此在学习的时候往往感到很茫然，劲头不足，只是为了学习而学习。

有的学生甚至认为平时听不听课也无所谓，只要考试前突击一下，考试及格就可以了。

时间一长，不但影响学生的成绩，而且使得教学只流于形式，学生的综合素质也不断下降。

因此，有必要为学生解答好这些问题，激发学生对学习的兴趣，使学生能够以饱满的热情投入到学习中去。

数学发展到今天，已经成为自然科学中一门重要的基础性学科，对自然科学诸领域有着深刻而广泛的影响，在培养学生的创新精神和思维能力等方面也起到重要作用[1-3]。

然而，由于课程本身的特点以及一些客观原因，使得我们在教学中对理论知识的讲解相当重视，但对这些知识在实践中的应用或与实际问题的联系则讲解得偏少。

时间一长，使得学生感到所学的东西不但枯燥，而且不知有何作用，似乎只是在为学习而学习。

这就要求教师在课堂上或课下有意识地与学生多进行交流活动，同时结合课程本身，向学生讲解数学各分支的背景知识、在实践中的应用及一些趣味性话题等。

下面我们结合点集拓扑的教学谈两点体会。

第一，要重视绪论部分的讲解。

绪论是对课程的整体性概括。

一般来说，绪论中包括了本课程的起源、发展历程、在本课程发展中起到重要作用的典型问题等内容。

点集拓扑小结

点集拓扑小结点集拓扑学是数学中一个重要的分支，主要研究的是集合上的开集、闭集等概念，以及集合与其子集之间的关系。

本文将对点集拓扑学的相关概念进行概括和归纳。

点集拓扑学的起点是集合的拓扑结构及其性质的研究。

在点集拓扑学中，首先要讨论的是拓扑空间的定义。

拓扑空间是在给定一个非空集合X的基础上，对集合X的所有子集进行了一个选择性的分类，即选取了有某些性质的子集来进行研究。

拓扑空间的定义包括两个方面：一是确定了哪些是开集，二是确定了那些开集构成的集合再称为拓扑。

在拓扑空间中，开集有一系列重要性质，如开集的并、交仍然是开集等。

拓扑结构是拓扑空间中的基础概念，包括开集的概念和集合之间的关系。

在拓扑结构中，有开集、闭集、邻域等一系列概念。

开集是指集合X的一个子集有X的某函数的和它的所有单个值的和为一个不大于X的点之交。

闭集是补集开集的集合，即集合X的一个子集是指X的一个函数的和它的某些单个值的和为一个不大于X的点之交。

邻域是指集合X中某个元素a附近的一个子集，该子集包含了a自身。

点集拓扑学除了研究拓扑结构之外，还研究了集合与其子集之间的关系。

包括子集的封闭性、紧致性、完备性等。

子集的封闭性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它的闭包等于它本身，则称该子集是闭的。

紧致性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它的任意开覆盖都有一个有限子覆盖，则称该子集是紧致的。

完备性是指对于一个拓扑空间X中的一个子集，如果它是完备的，则对于X中的任意柯西列，该列的极限点也在该子集内。

点集拓扑学的研究内容非常广泛，涉及到很多重要的概念和定理。

例如，拓扑空间的连续性、同胚性、分离性等定理都是起到了重要的作用。

拓扑的连续性是指对于两个拓扑空间，如果它们之间存在一个连续的映射，则称这两个拓扑空间是连续的。

同胚性是指对于两个拓扑空间，如果它们之间存在一个双射映射，且该映射和其逆映射都是连续的，则称这两个拓扑空间是同胚的。

分离性是指对于一个拓扑空间X，如果它满足某种分离性质，则称X是满足该分离性的。

点集拓扑学教学之见

点集拓扑学教学之见点集拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是集合的性质和空间的联系。

在点集拓扑学的教学中，我认为需要注重培养学生的抽象思维能力和空间想象能力，同时要注重理论与实践相结合，使学生能够真正理解和应用所学知识。

点集拓扑学的教学应该注重培养学生的抽象思维能力。

点集拓扑学研究的是集合的性质，而集合是数学中最基础的概念之一。

在教学中，可以通过举一些具体的例子，引导学生思考和发现集合的特性和规律。

例如，可以通过讨论实数集合和有理数集合的关系，引导学生发现实数集合是有理数集合的超集，从而培养学生的抽象思维能力。

教学中应注重培养学生的空间想象能力。

点集拓扑学研究的是空间的联系，而空间是一个抽象而复杂的概念。

在教学中，可以通过引入一些具体的几何图形和实际问题，让学生从图像和实际问题中理解和应用点集拓扑学的概念和方法。

例如，可以通过讨论平面上的开集和闭集，引导学生理解点集拓扑学中开集和闭集的定义和性质。

理论与实践相结合是点集拓扑学教学的重要原则。

点集拓扑学是一个应用广泛的数学分支，在现实生活中有着丰富的应用。

在教学中，可以引入一些实际问题和应用案例，让学生将所学的理论知识应用到实际问题中去解决。

例如，可以通过讨论网络连接问题，引导学生将点集拓扑学中的连通性和路径问题应用到网络连接的实际情况中去。

点集拓扑学的教学应该注重培养学生的抽象思维能力和空间想象能力，同时要注重理论与实践相结合。

通过培养学生的抽象思维能力，让他们能够理解和应用集合的性质和规律；通过培养学生的空间想象能力，让他们能够理解和应用空间的联系和性质；通过理论与实践相结合，让学生将所学的知识应用到实际问题中去解决。

这样才能使学生真正理解和掌握点集拓扑学的知识，提高他们的数学思维能力和解决实际问题的能力。