函数与数学模型
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
高等数学 函数与模型
•
关于y=x对称 相消方程f-1(f(x))=x f(f-1(x))=x f-1(x)表示反函数，1/f(x)=[f(x)]-1 幂函数y=xa指数函数y=ax对数函数，三角函数，反三角函数
1+tan2x=sec2x 1+cot2x=csc2x 余切y= cotx=cosx/sinx 正割y=secx=1/cosx 余割y=cscx=1/sinx
•
Q需=Q供时的价格P0为均衡价格， Q需或Q供为均衡数量
函数
• 定义域 D（f） 值域 R（f） • 符号函数 y=sgnx= 1, x>0个解析式
• • 0, x=0 -1, x<0
• 取整函数 y=[x]=n，n≤x <n+1，n为整数。 • 有界函数 | f(x) | ≤正数M，（y=f(x)图像介于y=M与y=-M之间） • 反函数 单调↔双射↔有反函数
• 基本初等函数
• • •
初等函数 常数+基初+有限次四则运算+1个解析式
一般分段函数不是初等函数，y= | x|= x， x>o -x，x<o =√（x2）是初等函数• Fra bibliotek增期•
增长率为r，y=y0(1+r )t
(1+r )t =2时的t值为倍增期
衰减率为r，y=y0(1-r )t
• 半衰期
•
(1-r )t =1/2时的t值为半衰期
第9节函数与数学模型
第9节函数与数学模型函数与数学模型是数学的两个重要概念，它们在数学应用中发挥着重要的作用。
函数是数学中一个基本概念，描述了两个变量之间的关系；而数学模型则是通过函数的方式来描述和解释实际问题。
首先，让我们来了解一下函数的概念。
函数是一个变量与另一个变量之间的映射关系。
通常情况下，我们用字母"x"表示自变量，用字母"y"表示因变量，函数可以表示为y=f(x)的形式。
在函数中，自变量的取值会决定因变量的取值。
例如，y=2x就是一个简单的函数，意味着y的取值是自变量x的两倍。
函数可以表示各种各样的关系，这取决于函数的定义域和值域。
定义域是自变量能够取值的范围，而值域则是因变量能够取值的范围。
函数可以是线性的，也可以是非线性的，可以是单调的，也可以是非单调的。
通过对函数的研究，我们可以分析其性质，如函数的增减性、极值点等。
数学模型是将实际问题转化为数学形式的方法。
通过建立数学模型，我们可以使用数学方法来解决实际问题。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，这就要求我们对函数有一定的了解。
例如，在物理学中，我们可以使用函数来描述力的大小和方向，从而建立物理模型来解决问题。
数学模型有着广泛的应用领域。
在经济学中，我们可以使用数学模型来描述供需关系、价格变动等经济现象。
在自然科学中，我们可以使用数学模型来描述物理规律、化学变化等自然现象。
在社会科学中，我们可以使用数学模型来描述人群行为、市场竞争等社会现象。
函数与数学模型是密不可分的。
在建立数学模型时，我们需要选取适当的函数来描述问题，通过分析函数的性质，我们可以得到问题的解析解或数值解。
而在对函数的研究中，我们常常会遇到实际问题，通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而更好地理解和解决问题。
总之，函数与数学模型是数学应用中不可或缺的两个概念。
函数描述了变量之间的关系，数学模型通过函数描述和解释实际问题。
函数、方程与数学模型
高等数学应用教程
1.1.6 数学模型
1.1.6 数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从 数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于 实际问题的数学描述. 建立数学模型的全过程称为数学 建模（见图 1-24）.
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1.1.6 数学模型
建立函数关系式是解决实际问题时较简单的一类数学模型.
例7 ［种群生长模型］ 表1-4是生物学家皮尔 （R. Pearl）于1927年所采集的酵母细胞（以生物量度 量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据.
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1.1.6 数学模型
解（利用最常用的工具软件Excel求解）
图1-28 回归曲线
图1-29 酵母数量实际观测值与预测值的偏差
图1-29中菱形点曲线是实际中大量存在的S形曲线
1. 由方程 F(x,确y)定=0的函数──隐函数
一元函数： y f (x)
一定 不一定
二元方程： F(x, y) 0
可以表示为 y f (x) 形式的函数称为显函数.
方程 x2 y2 4 隐式地（隐藏在方程中）定义了函数 f (x) 与 g(x) ，函数 f (x) 与 g(x) 称为由方程 x2 y2 4 确定的隐函数.
x 50t
y
50
3 t 1 gt2 2
（1-2）
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1.1.5 方程与函数
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数
x f (t)
y
g (t )
（1-3）
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(1-3)所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上，那么方程组（1-3）就称为这条
高一抽象函数五大模型总结学生版
高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y=kx
x+y=f x+f y,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
当x>0时，f x<0
1证明：f 0=0;
2证明：函数f x为奇函数；
3证明：函数f x在R上为减函数.
模型二：一次函数模型y=kx-c
x+y=f x+f y+c,已知函数f x对一切x,y∈R,都有f
且当x>0时，f x>-c
1证明：f 0=-c;
2证明：函数g x=f x+c为奇函数；
3证明：函数f x在R上为增函数.
模型三：指数函数模型y=a x
已知定义域为R的函数f x对任意的实数x,y∈R均有x+y=f x f y,且当x<0时，f x>1
f
1证明：f 0=1;
2证明：当x>0时，有0<f x<1;
3证明：函数f x在R上单调递减
模型四：对数函数模型y=log a x
0,+∞均有0,+∞上的函数f x对任意的x,y∈
已知定义在
xy=f x+f y,且当x>1时，f x>0
f
1证明：f 1=0;
2证明：当0<x<1时，f x<0;
0,+∞上为增函数.
3证明：函数f x在
模型五：幂函数模型y=xα
0,+∞上的函数f x对任意x,y∈R均有已知定义在
xy=f x f y,且当x>1时，f x>1
f
1证明：f 0=0;
0,+∞上单调递增.
2证明：函数f x在。
初中48个数学模型
初中48个数学模型
1. 直线方程模型
2. 一次函数模型
3. 二次函数模型
4. 指数函数模型
5. 对数函数模型
6. 三角函数模型
7. 幂函数模型
8. 反比例函数模型
9. 绝对值函数模型
10. 分段函数模型
11. 等差数列模型
12. 等比数列模型
13. 等差数列求和模型
14. 等差数列通项求值模型
15. 等差数列前n项和求值模型
16. 等差数列前n项平均值模型
17. 等比数列求和模型
18. 等比数列通项求值模型
19. 等比数列前n项和求值模型
20. 等差数列与等差数列之和关系模型
21. 平方根模型
22. 平方根与二次方程关系模型
23. 正方形面积模型
24. 三角形面积模型
25. 平行四边形面积模型
26. 斜率模型
27. 切线斜率模型
28. 余弦定理模型
29. 正弦定理模型
30. 几何相似模型
31. 三角形相似模型
32. 平行线与平行线之间的角关系模型
33. 同位角与内错角模型
34. 相交弦定理模型
35. 角平分线定理模型
36. 体积模型
37. 圆锥体积模型
38. 圆柱体积模型
39. 球体积模型
40. 柱台体积模型
41. 三维图形表面积模型
42. 立体图形展开模型
43. 均值不等式模型
44. 不等式求解模型
45. 组合数学模型
46. 排列数学模型
47. 方程求解模型
48. 实际问题建模模型
以上是初中数学常见的48个数学模型，希望对你有所帮助！。
函数与数学模型课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
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2.增长函数模型的选取
例 2 某公司为了实现60万元的生产利润目标，准备制订一个激励生产人员的奖励方案：在生产利润
达到5万元时，按生产利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随生产利润x（单位：万元）的增加而
增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，
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【归纳】指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较
函数
在（0，+∞）上的
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝xα（α>0）
单调递增，且a越大，增长越 单调递增，且a越小，增长 单调递增，且当x>1时，α越大，增
单调性
快
越快
长越快
增长速度
越来越快
越来越慢
随着α值的不同而不同
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度
急剧，形象地称为“爆炸式增长”.
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速
度平缓.
（4）幂函数模型
当x>0，α>1时，幂函数y＝xα是增函数，且当x>1时，α越大其函数值的增长速度就越快.
d/cm
1
2
3
4
5
描点画出弹簧伸长的长度随拉力变化的图象，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式.
【解】图象如图所示，通过图象中点的分布特征，可以考虑用函数d＝kf+b（k≠0）
三角函数与数学模型
三角函数与数学模型三角函数是数学中的重要概念，广泛应用在物理、工程、计算机科学等各个领域的数学模型中。
本文将介绍三角函数的定义与性质，并解释三角函数在数学模型中的应用。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sine function）正弦函数是以单位圆上一点的y坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
正弦函数可以表示为y = sin(x)的形式，其中x为角度。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是以单位圆上一点的x坐标为函数值的一种周期函数。
在单位圆上，角度为θ的点的坐标为（cosθ，sinθ）。
余弦函数可以表示为y = cos(x)的形式，其中x为角度。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是正弦函数与余弦函数的商，可以表示为y = tan(x)的形式。
正切函数在某些特定角度上可能会无定义，例如在x = (2n+1)π/2时，其中n为整数。
4. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内函数值重复。
例如，正弦函数的周期为2π，余弦函数的周期也为2π。
5. 奇偶性正弦函数是奇函数，满足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
6. 平移与缩放三角函数函数图像可以通过平移和缩放进行变换。
平移指的是将函数图像沿x轴或y轴方向移动，而缩放则是改变函数图像的振幅和周期。
二、三角函数在数学模型中的应用1. 波动模型三角函数的周期性特点使其在波动模型中经常被使用。
例如，在物理学中，正弦函数可以用来描述光、声、电磁波等的震荡特性。
2. 周期性变化三角函数的周期性特点还可以用来描述一些周期性变化的数据。
在经济学中，三角函数可以用来分析股票价格、季节性销售等数据的周期性波动。
3. 几何建模三角函数在几何建模中也有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，三角函数可以用来表示曲线、曲面的参数方程，实现三维图像的生成与变换。
几种不同类型的函数模型知识点
几种不同类型的函数模型一 函数模型及数学建模函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成．(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际问题．建模过程示意图：二 几种常见的函数模型1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)；2．反比例函数模型：f(x)＝k x＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)；4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)；5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)；6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)；7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异．直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x<x n <a x ，此式揭示了在充分远处三种函数的变化规律．总结：（1）在区间(0,+∞)上，函数y=a x (a>1),y=log a x(a>1)和y=x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x 的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x 的增大，y=a x (a>1)的图象逐渐表现为与y 轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x 轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有a x ＞x n ＞log a x ；（6）当0<a<1，n<0时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有log a x＜x n ＜a x一次函数模型例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．图(1) 图(2)(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜．思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．解：(1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29(x≥0)，y 2＝12x(x≥0)．(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x<9623时，y 1>y 2，即便民卡便宜；当x>9623时，y 1<y 2，即如意卡便宜． 函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．例2 一个报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润．解：设每天从报社买进设每月所获利润为y ∵y＝0.8x ＋550在[250,400]上是增函数，∴当x ＝400时，y 取得最大值870.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为870元． 二次函数模型例3 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100元/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的32倍；③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．(1)分别求出该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季的最高价格；(2)在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？思路点拨：首先用标价x 表示出购买人数和旺季价格，进而可表示出利润函数，再利用函数关系解决相关问题．解：(1)设在旺季销售时羊毛衫的标价为x 元/件，购买人数为kx ＋b(k<0)，则旺季的最高价格为－b k元/件，利润函数L(x)＝(x －100)(kx ＋b)＝kx 2－(100k －b)x －100b ，x∈[100，－b k ]．当x ＝100k －b 2k ＝50－b 2k时，L(x)最大．由题意知50－b 2k ＝140，解得－b k ＝180.即旺季的最高价格是180(元/件)，则淡季的最高价格是180×23＝120(元/件)．(2)设在淡季销售时羊毛衫的标价为t 元/件，购买人数为mt ＋n(m<0)，则淡季的最高价格为－n m＝120(元/件)，即n ＝－120m ，利润函数L(t)＝(t －100)(mt －120m)＝m(t －110)2－100m ，t∈[100,120]．当t ＝110时，L(t)最大．所以，在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．二次函数模型是初等数学阶段研究的最为广泛的多项式函数，由于具有二次函数、二次方程、二次不等式、二次曲线等四个“二次”互为关联的重要特征，因此在应用型问题中是最为重要的模型．此外作为一个考点，由于二次函数涉及函数单调性、区间最值等诸多方面，因此有理由相信，今后这类试题仍将是重点．本题最为重要的特点是逆向运用二次函数最值问题，通过旺季最值的取得来获得参变量之间的关系进而对淡季羊毛衫的价格作出判断与预测．这种方法值得去关注．指数函数模型例4 按复利计算利率的一种储蓄，本金为a ，每期利率为r ，设本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少？思路点拨：复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息 解：已知本金为a 元．1期后的本利和为y 1＝a ＋a×r＝(1＋r)a ；2期后的本利和为y 2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r ＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y 3＝a(1＋r)3；…x 期后的本利和为y ＝a(1＋r)x .将a ＝1000(元)，r ＝2.25%，x ＝5代入上式得y ＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×(1.0225)5≈1117.68(元)．故复利函数式为y ＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1117.68元．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式y ＝N(1＋P)x 来表示，解决平均增长率的问题时要用到这个函数式．例5 光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃后强度为y.(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)至少通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的13以下？(lg 3≈0.4771) 解：(1)y ＝a(1－10%)x (x∈N *)(2)∵y≤13a ，∴a(1－10%)x ≤13a ，∴0.9x ≤13，x≥log 0.913＝－lg 32 lg 3－1≈10.4，∴x ＝11.对数函数模型例6 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量． (1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？思路点拨：该问题已经给出了函数模型，故赋值后可求出Q 的值，进而求出v 的值．解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题给公式可得：0＝5log 2Q 10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题给公式得：v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)． 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.直接以对数函数为模型的应用题不是很多，此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解． 例7 某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边，上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，S 为汽艇与码头在时刻t 的距离，下列图象中能大致表示S ＝f(t)的函数关系的为( C )解析：当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S ＝vt ，图象为一条线段；当环岛两周时，S 两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S 0；上岛考察时，S ＝S 0； 返回时，S ＝S 0－vt ，图象为一条线段．所以选C.例8 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是( B ) A 3 B 4 C 5 D 6解析：设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，所以x≥1lg2≈3.32，因此至少要洗4次． 例9 函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象如图：则函数y ＝f(x)·g(x)的图象可能是( A )解析：明确函数图象在x 轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”．∵函数y ＝f(x)·g(x)的定义域是函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C 、D.由于当x 为很小的正数时f(x)＞0且g(x)＜0，故f(x)·g(x)＜0.故选A.例 10 下列函数中，随x 值的增大，增长速度最快的是( D )(A)y ＝50x(x∈Z) (B)y＝1000x (C)y ＝0.4×2x －1 (D)y ＝110000·e x解析：指数“爆炸式”增长，y ＝0.4×2x －1和y ＝110000·e x 虽然都是指数型函数，但y ＝110000·e x 的底数e 较大些，增长速度更快．例11 把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，求这两个正三角形面积之和的最小值解析：设一个正三角形的边长为x(cm)，则另一个正三角形的边长为12－3x 3＝4－x(cm)，两个正三角形的面积和为S ＝34x 2＋34(4－x)2＝32[(x －2)2＋4](0＜x ＜4)．当x ＝2(cm)时，S min ＝23(cm 2)． 例12 当2<x<4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( B )(A)2x >x 2>log 2x (B)x 2>2x >log 2x (C)2x >log 2x>x 2 (D)x 2>log 2x>2x解析：法一：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x ，在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2>2x >log 2x.法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x ＝3，经检验易知选B. 例13 已知函数的图象如图所示，试写出它的一个可能的解析式__________________．解：可由图象的两点特征去确定．第一点：过两定点(0,1)，(10,3)．第二点：增长情况．答案：y ＝lg(99100x 2＋1)＋1(x≥0)(答案不唯一)例14 奇瑞曾在2009年初公告：2009年生产目标定为39.3万辆；而奇瑞董事长极力表示有信心达成这个生产目标，并在09年实现更为平衡的增长．我们不妨来看看近三年奇瑞的政绩吧：2006年，奇瑞汽车年销量8万辆；2007年，奇瑞汽车年销量18万辆；2008年，奇瑞汽车年销量30万辆；如果我们分别将06,07,08,09定义为第一，二，三，四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系？解：建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．(1)构造二次函数模型f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f(x)＝x 2＋7x ，故f(4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数模型g(x)＝a·b x ＋c(a≠0，b ＞0，b≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g(x)＝1253·(65)x －42，故g(4)＝1253·(65)4－42＝44.4，与计划误差为5.1. 由(1)(2)可得，f(x)＝x 2＋7x 模型能更好地反映奇瑞公司年销量y 与年份x 的关系．例15 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳能电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%(如，2003年的年生产量的增长率为36%)．(1)求2006年全球太阳能电池的年生产量(结果精确到0.1兆瓦)；(2)目前太阳能电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳能电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平(即年安装量不少于年生产量的95%)，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少(结果精确到0.1%)?解：(1)由已知得2003,2004,2005,2006年太阳能电池的年生产量的增长率依次为36%,38%,40%,42%.则2006年全球太阳能电池的年生产量为670×1.36×1.38×1.40×1.42≈2499.8(兆瓦)．(2)设太阳能电池的年安装量的平均增长率为x ，则＋4＋4≥95%，解得x≥0.615. 因此，这四年中太阳能电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5%.例16 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
第12讲-函数与数学模型(讲义版)
第12讲-函数与数学模型一、考情分析1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.二、知识梳理1.指数、对数、幂函数模型性质比较2.几种常见的函数模型[微点提醒]1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.三、经典例题考点一利用函数的图象刻画实际问题【例1】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.考点二已知函数模型求解实际问题【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.【解析】 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10). (2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10.令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 考点三 构造函数模型求解实际问题【例3－1】活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. (1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值. 【解析】(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2，当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数， 由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52.故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意，由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20.当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5. 所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 【例3－2】 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.故每年砍伐面积的百分比为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m ＝22a ，把x ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12110代入，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年.规律方法 1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值. [方法技巧]1.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下：2.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.3.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.4.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.四、 课时作业11．（2020·南昌市新建一中高一期中）夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是 （ ） A ．1500米B ．1600米C ．1700米D ．1800米2．（2020·北京四中高三月考）截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（ ）A ．新加坡（570万）B ．希腊（1100万）C ．津巴布韦（1500万）D ．澳大利亚（2500万）3．（2020·江苏省高一期末）人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x 的声音对应的等级为()()210lg10xf x dB -=.喷气式飞机起飞时，声音约为140dB ，一般说话时，声音约为60dB ，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍. A ．73B ．7310C ．8D ．8104．（2020·北京高一期末）当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A ．53B ．5310C ．410D ．4e5．（2020·陕西省高一期末）在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）之间满足函数关系e kx b y +=（ 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C 时的保鲜时间为120小时，在30C 时的保鲜时间为15小时，则该食品在20C 时的保鲜时间为( ) A ．60小时B ．40小时C ．30小时D ．20小时6．（2020·山西省高三其他（理））在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省. 假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为()R t ，若圆柱的体积以均匀速度c 增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径（ ） A ．成正比，比例系数为c B ．成正比，比例系数为2c C ．成反比，比例系数为cD ．成反比，比例系数为2c7．（2020·天津高三一模）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）． A ．2p q+ B ．(1)(1)2p q ++C ．pqD 18．（2020·北京高三月考）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ） A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天9．（2020·浙江省高三二模）5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ）A ．10%B ．30%C ．50%D ．100%10．（2020·江西省临川一中高一开学考试）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为()A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]ar r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]ar r r+-+11．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A ．1800B ．1000C ．790D ．56012．（多选题）（2019·全国高一课时练习）（多选）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈）（ ） A ．6B ．9C ．8D ．713．（多选题）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：)2m 与时间t （单位：月）的关系式为(ty ka k R =∈，且0k ≠；0a >，且1)a ≠．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t +=14．（2020·湖南省宁乡一中高一开学考试）某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f （t ），随时刻t （时）变化的规律满足表达式()[]31320248f t lg t a a t ⎛⎫=+-++∈ ⎪⎝⎭，，，其中a 为空气治理调节参数,且a ∈（0，1）．(1)令318x lg t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,求x 的取值范围；(2)若规定每天中f （t ）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a 的取值范围．15．（2020·湖南省长郡中学高三月考（文））某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕. ①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；②求当天的利润不低于600圆的概率.（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？16．（2020·山东省高一期末）2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品x 万件的销售收入为()R x 万元，且2242,05()324132,5x x x R x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障. （Ⅰ）写出该企业的年利润W （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式； （Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润； （Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？17．（2020·全国高一专题练习）某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）求平均每天的销售量y （箱）与销售单价x （元/箱）之间的函数关系式.（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售单价x （元/箱）之间的函数关系式. （3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？。
数学函数模型及应用怎么做
数学函数模型及应用怎么做数学函数模型是数学领域中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系，并且可以应用于多个实际问题中。
下面将详细介绍数学函数模型及其应用。
一、数学函数模型的定义与性质数学函数模型是一种将输入映射到输出的关系，它由以下几个要素组成：1. 自变量：自变量是函数的输入，通常用x表示。
它可以是数字、变量、向量或者其他一切能够被映射到输出的东西。
2. 因变量：因变量是函数的输出，通常用y表示。
它的取值取决于自变量的值和函数的性质。
3. 函数关系：函数关系描述了因变量和自变量之间的映射关系，通常用f(x)表示。
4. 定义域和值域：定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。
数学函数模型具有以下几个性质：1. 单值性：对于定义域中的每一个自变量值，函数关系只有一个对应的因变量值。
2. 唯一性：不同的自变量值不会对应相同的因变量值。
3. 映射性：定义域中的每一个自变量都在值域中有对应的因变量。
4. 可逆性：如果在定义域中存在一个自变量值x1，使得f(x1) = y，则在值域中存在一个自变量值x2，使得f(x2) = x1。
二、数学函数模型的应用1. 自然科学领域：数学函数模型在自然科学领域中有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿第二定律F = ma可以用函数模型来表示，其中F是力，m是物体的质量，a是加速度；化学中的反应速率也可以用函数模型来表示，其中反应速率与反应物的浓度之间存在一定的关系。
2. 经济学领域：经济学中的供求关系、消费曲线、生产函数等都可以用数学函数模型来描述。
例如，供求函数模型可以用来分析市场上的价格和数量之间的关系；消费函数可以用来预测个人或家庭的消费行为。
3. 数据分析领域：数学函数模型在数据分析领域有重要的应用。
例如，线性回归模型可以用来拟合数据点，从而建立变量之间的关系；指数函数可以用来拟合指数增长的数据。
4. 金融领域：金融领域中的利率计算、财务分析等问题也可以用数学函数模型来解决。
高考数学函数模型及其应用
解析：由题知 y＝20－2x，y>0 且 2x>y，所以 x∈(5,10)． 答案：(5,10)
3．某商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)
t＋20，0<t<25，t∈N， P＝ －t＋100，25≤t≤30，t∈N，
的函数关系为
且
该商品的日销售量 Q 与时间 t(天)的函数关系为 Q＝－ t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销量金额最大的 一天是 30 天中的第________天．
当 x＝10 时，y＝y1－y2＝0，即 y1＝y2； 解：(1)根据题意，当 x＝18 时，甲店茶壶的价格为 44 元/个． 当 10<x≤18 时，y＝y1－y2＝－2x(x－10)<0， * 80－2xx，0<x≤18，且x∈N ， 即 y 则y 1<y2； 1＝ * 44 x ， x >18 ，且 x ∈ N . 当 x>18 时，y＝y1－y2＝－16x<0，即 y1<y2. y2＝60x，x∈N*. 所以当购买的茶壶数小于 10 个时， (2)设 y＝y1－y2 到乙茶具店购买花费较少；
解析：设日销量金额为 W 元，则
t＋20－t＋40，0<t<25，t∈N， W＝P· Q＝ －t＋100－t＋40，25≤t≤30，t∈N，
当 0<t<25，t∈N 时，W(t)≤W(10)＝900；当 25≤t≤30，t ∈N 时，W(t)≤W(25)＝1 125，所以第 25 天时的日销量金 额最大． 答案：25
[由题悟法 ] 二次函数模型问题的 3 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决， 但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时， 一般是借助两个点来确定，常用 待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
高中数学学习中的数学模型构建方法
高中数学学习中的数学模型构建方法在高中数学学习中，数学模型构建是一个重要的环节。
数学模型是将实际问题转化为数学语言的一种工具，通过建立模型，可以更好地理解和解决实际问题。
本文将介绍一些常用的数学模型构建方法，以帮助高中生在数学学习中更好地运用模型。
一、函数模型构建方法函数模型是数学模型中最常见也是最基础的一种形式。
构建函数模型时，可以根据实际问题中所涉及的变量关系，选择合适的数学函数来表达。
以下是一些常见的函数模型构建方法：1. 线性函数模型：当实际问题中的变量之间呈现线性关系时，可以使用线性函数模型来描述。
线性函数的形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示直线的斜率和截距。
2. 指数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现指数增长或递减的特点时，可以使用指数函数模型来描述。
指数函数的形式为 y = a^x，其中 a 是常数，x 表示自变量。
3. 对数函数模型：当实际问题中的变化过程呈现对数关系时，可以使用对数函数模型来描述。
对数函数的形式为 y = loga(x)，其中 a 是底数，x 表示自变量。
二、统计模型构建方法统计模型是一种通过数据分析来建立的模型。
在高中数学学习中，常常需要根据给定的数据，建立统计模型来进行预测或者推断。
以下是一些常见的统计模型构建方法：1. 线性回归模型：线性回归是一种常用的统计方法，通过分析自变量和因变量的线性关系，建立一个拟合程度较高的线性模型。
线性回归模型的表达形式为 y = kx + b，其中 k 和 b 分别表示回归系数和截距。
2. logistic 回归模型：logistic 回归模型是一种常用的分类模型，在二分类问题中应用较为广泛。
logistic 回归模型通过分析自变量和因变量之间的关系，给出了一个概率值，用于判断样本属于哪一类。
三、几何模型构建方法几何模型是一种通过几何图形来表示实际问题的数学模型。
在高中几何学中，常常需要根据给定的条件，建立相应的几何模型来求解问题。
第14讲 数学建模——函数的模型及其应用
栏
目 导
链教材 ·夯基固本 研题型 ·融会贯通
航
链教材 ·夯基固本
激活思维
1. 用长度为 24 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则
隔墙的长度为( A )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
【解析】 设隔墙的长为 x m(0＜x＜6)，矩形的面积为 y m2，则 y＝x×24－2 4x＝2x(6
(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 L 汽油行驶的里程．如图所示描述了甲、乙、丙三辆汽车在 不同速度下的燃油效率情况，则下列叙述不正确的是( AC )
A. 消耗 1 L 汽油，乙车最多可行驶 5 km B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最少 C. 甲车以 80 km/h 的速度行驶 1 h，消耗 10 L 汽油 D. 某城市机动车最高限速 80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
目标 2 已知函数模型求解实际问题 (2020·宣城期末)新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班
生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为 200 万元，每生产 x 万箱，需另投入 成本 p(x)万元，当产量不足 90 万箱时，P(x)＝12x2＋40x；当产量不小于 90 万箱时，p(x) ＝101x＋8 1x00－2 180.若每箱口罩售价 100 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可 以全部销售完．
－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当 x＝3 时，y 的值最大．故选 A.
2. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量/L
数学模型中构建目标函数
数学模型中构建目标函数在数学建模中，目标函数的构建是至关重要的步骤。
目标函数是描述系统或问题目标的数学表达式，通常表示为决策变量的函数。
它的构建取决于问题的特定背景和目标，下面将详细介绍如何构建目标函数。
明确问题目标：首先，要明确问题的目标是什么。
例如，在优化生产过程中，可能的目标是最大化利润或最小化成本；在路线规划问题中，可能的目标是最短路径或最低时间。
确定决策变量：决策变量是问题中可以自由选择的参数，它们可以是连续的或离散的。
决策变量的选择取决于问题的性质和目标。
例如，在生产问题中，决策变量可能是生产量、原材料使用量等；在路线规划问题中，决策变量可能是路径、交通方式等。
建立目标函数的数学表达式：根据问题的目标和决策变量，建立目标函数的数学表达式。
这个表达式应该能够反映问题的实际需求和目标。
例如，如果目标是最大化利润，那么目标函数可能是总收入减去总成本；如果目标是最小化成本，那么目标函数可能是总成本。
考虑约束条件：在许多问题中，决策变量会受到一些限制或约束。
这些约束条件可以是资源限制、时间限制、物理限制等。
在构建目标函数时，需要将这些约束条件考虑在内，确保目标函数的可行性和有效性。
评估和选择最优解：一旦目标函数建立起来，就需要使用适当的优化方法来找到最优解。
这可以通过迭代、梯度下降、牛顿法等方法实现。
评估最优解的标准取决于问题的特定目标，例如最大化利润、最小化成本等。
构建目标函数是数学建模的核心步骤之一，它需要深入理解问题的背景和目标，并能够将实际问题转化为数学表达式。
通过合理地选择决策变量和考虑约束条件，可以建立一个有效的目标函数，为解决问题提供重要的指导。
函数与建模知识点总结
函数与建模知识点总结随着社会的发展，数学作为一门重要的学科，对各行各业产生了巨大的影响。
函数与建模作为数学中重要的知识点，也对现实生活产生了深远的影响。
函数与建模是数学的两个重要分支，它们共同构成了数学世界中的精彩篇章。
下面将以函数与建模为主题，进行相关知识点的总结。
第一部分：函数函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一种对应关系，即给定一个自变量，通过某种规则确定一个因变量。
函数在数学中有着非常广泛的应用，从基础的代数、几何到高级的微积分、线性代数等各个数学领域都离不开函数的概念。
1.1 函数的定义函数是一个对应关系，表示一个集合到另一个集合的映射。
一般地，设A和B是两个非空集合，如果存在一个对应关系f，使得对A中的任意元素x，都有唯一的y∈B与之对应，那么就称f为从A到B的一个函数。
1.2 函数的表示方式函数可以通过各种形式进行表示，常见的表示方式包括函数图像、函数表达式、函数符号等。
在实际应用中，函数的表示方式可以根据具体问题的需要进行选择，以便更好地理解和分析函数的性质和变化规律。
1.3 函数的性质函数具有多种性质，常见的函数性质包括奇偶性、周期性、单调性、极值等。
这些性质对于理解函数的特点和特性非常重要，可以帮助我们更好地分析函数的变化规律和结构特征。
1.4 函数的图像函数的图像是函数的重要表现形式之一，它能够直观地反映函数的变化规律和特性。
通过函数的图像，我们可以清晰地了解函数的增减性、极值点、零点等重要信息，从而更好地掌握函数的性质和特点。
1.5 函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，它可以用来描述各种自然现象、经济关系、物理规律等。
例如，指数函数可以描述物质的衰减规律，对数函数可以描述信息传输的增长规律，三角函数可以描述动态系统的振动规律等。
第二部分：建模建模是一种抽象化的数学方法，通过将实际问题抽象成数学模型，来描述和解决问题。
建模的核心是寻找合适的数学表达式和模型，以便更好地理解和分析问题，并进行相应的预测和决策。
指数函数与对数函数在数学建模中的作用
指数函数与对数函数在数学建模中的作用在数学建模过程中，指数函数与对数函数是非常重要的工具。
它们在各种实际问题的求解中发挥着重要的作用，无论是描述增长模型还是解决复杂的方程，都可以通过这两种函数来进行建模和求解。
本文将从指数函数和对数函数的定义、性质以及在数学建模中的具体应用等方面进行探讨。
一、指数函数的定义与性质1.1 指数函数的定义指数函数是自然对数函数的反函数，一般表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数，y为对应的函数值。
指数函数的底数a通常为正实数且不等于1。
1.2 指数函数的性质指数函数具有以下性质：a) 当底数a＞1时，指数函数是严格递增函数，即随着自变量x的增大，函数值y也逐渐增大；b) 当0＜a＜1时，指数函数是严格递减函数，即随着自变量x的增大，函数值y逐渐减小；c) 当指数x取0时，指数函数始终等于1，即a^0 = 1；d) 当指数x取负无穷大时，指数函数的值趋近于0。
二、对数函数的定义与性质2.1 对数函数的定义对数函数是指数函数的反函数，一般表示为y=logax，其中a为底数，x为真数，y为对应的函数值。
对数函数的底数a通常为正实数且不等于1。
2.2 对数函数的性质对数函数具有以下性质：a) 当底数a＞1时，对数函数是严格递增函数；b) 当0＜a＜1时，对数函数是严格递减函数；c) 当真数x取1时，对数函数始终等于0，即loga1 = 0；d) 当真数x取正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大。
三、指数函数与对数函数在数学建模中的应用3.1 指数函数在增长模型中的应用指数函数常常用来描述具有指数型增长特征的模型。
例如，在人口增长模型中，可以用指数函数来描述人口数量随时间的变化。
另外，指数函数还可以用于描述生物学中的物种增长模型，经济学中的经济增长模型等。
3.2 对数函数在解决方程中的应用对数函数在解决各种类型的方程时起着重要的作用。
通过对数函数的性质，可以将复杂的指数方程转化为简单的对数方程，从而更容易求解。
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规律方法 1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
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解 (1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40， ∴C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)， ∴f(x)＝6x＋230x×＋450＝6x＋38x＋005(0≤x≤10). (2)由(1)得 f(x)＝2(3x＋5)＋38x＋005－10. 令3x＋5＝t，t∈[5，35]， 则 y＝2t＋80t 0－10≥2 2t·80t 0－10＝70(当且仅当 2t＝80t 0，即 t＝20 时等号成立)， 此时x＝5，因此f(x)的最小值为70. ∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
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解析 (1)9 折出售的售价为 100(1＋10%)×190＝99 元.∴每件赔 1 元，(1)错. (2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确. (3)中，如 a＝x0＝12，n＝14，不等式成立，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
v的值为2千克/年；当4<x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧
等原因，v的值为0千克/年.
(1)当0<x≤20时，求函数v关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出
最大值.
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解 (1)由题意得当0<x≤4时，v＝2，当4<x≤20时，设v＝ax＋b， 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3， ∴n>lg l2g－1l.1g21.3≈0.300－.050.11＝159，∴n≥4， ∴从2021年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元.
答案 B
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4.(2019·上海静安区月考)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月
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规律方法 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快 慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选 出符合实际情况的答案. 2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
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解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，
代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意. 答案 D
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3.(必修1P59A6改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年
答案 B
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5.(2019·天津和平区质检)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三 个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，
则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，
lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2020年
B.2021年
C.2022年
D.2023年
解析 设经过n年资金开始超过200万元，即130(1＋12%)n>200.
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知识梳理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质
在(0，＋∞) 上的增减性
y＝ax (a>1)
单调__递__增___
y＝logax (a>1)
单调__递__增___
增长速度
越来越快
越来越慢
随x的增大逐渐表现为与 随x的增大逐渐表现
图象的变化
__y_轴____平行
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
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[微点提醒] 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量
为与___x_轴____平行
y＝xn (n>0)
单调递增
相对平稳 随n值变化 而各有不同
2
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2.几种常见的函数模型 函数模型
一次函数模型 二次函数模型 与指数函数
相关模型 与对数函数 相关模型 与幂函数 相关模型
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函数解析式 f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元).一万件售价是 20 万元，
为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A.36 万件
B.18 万件
C.22 万件
D.9 万件
解析 利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 万件时，L(x)有最大值.
【训练 2】 (2019·日照月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 q(x)(单位：百件)
关于每件衣服的利润 x(单位：元)的函数解析式为 q(x)＝1x＋2610，0<x≤20，
求
90－3 5 x，20<x≤180，
该服装厂所获得的最大效益是多少元？
解 设该服装厂所获效益为f(x)元， 则 f(x)＝100xq(x)＝12x6＋0010x，0<x≤20，
D.f(x)>h(x)>g(x)
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大
到小依次g(x)>f(x)>h(x).
答案 B
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6.(2019·枣庄调研)某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售 额x为8万元时，奖励1万元.销售额x为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型 为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元. 解析 依题意aalloogg4486＋ 4＋b＝ b＝1， 4. 解得ab＝ ＝2－，2， ∴y＝2log4x－2， 令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024. 答案 1 024
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2.(必修1P107A1改编)在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A.y＝2x
B.y＝x2－1
C.y＝2x－2
D.y＝log2x
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第9节 函数与数学模型
考试要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和 工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；2.结合 现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数 函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的 现实含义；3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型， 体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.
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考点一 利用函数的图象刻画实际问题 【例1】 (2017·全国Ⅲ卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收
集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了 下面的折线图.
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考点聚集突破
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成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢. 2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键. 3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结
果对实际问题的合理性.
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基础自测
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1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 10%出售，后因库存积压降价，若按九 折出售，则每件还能获利.( ) (2)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大.( ) (3)不存在 x0，使 ax0<xn0<logax0.( ) (4)在(0，＋∞)上，随着 x 的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝xa(a>0) 的增长速度.( )
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析 由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误. 答案 A