解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第一章
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第一章 矢量与坐标
§1.1 矢量的概念
1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？
（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；
（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；
（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆
（3）直线； （4）相距为2的两点
2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，
在矢量、OB 、 、OD 、OE 、
OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？
[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中，
相等的矢量对是： 图1-1 .和和和和和
3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、
ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？
[证明]：如图1-2，连结AC , 则在∆BAC 中，
2
1
AC. KL 与方向相同；在∆DAC 中，
2
1
AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝
NM .
4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：
(1) AB 、; (2) AE 、;
(3) 、;
(4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；
互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法
1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？
C
（1
-=+ （2
+=+ （3
-=+ （4
+= （5
-=-
[解]：（1）,
-=+；
（2）,
+=+
（3
≥且,
=+ （4）,
+=
（5）,
≥
-=-
§1.3 数量乘矢量
1 试解下列各题．
⑴ 化简)()()()(→
→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．
⑵ 已知→
→
→
→
-+=3212e e e a ，→
→
→
→
+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→
→+b a 23．
⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→
→→b
y x a
y x 3243，解出矢量→x ，→y ．
解 ⑴
→
→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-a
y b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →
→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，
→
→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， →
→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→
BD 的中点分别为E 、F ，求→
EF ．
解 →→→→
→→→→→→→
-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(2
1)865(212121．
3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→
→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382
∴→
AB 与→
BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．
4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→
→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．
证明∵→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→
AD ∥→
BC ，∴ABCD 为梯形．
6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM ,
可 以构成一个三角形.
[证明]： )(21
AC AB AL +=
Θ )(21
BC BA BM +=
)(2
1
CB CA CN +=
0)(2
1
=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL
从而三中线矢量,,构成一个三角形。
7. 设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL ++.
[证明] LA OL OA +=Θ OM += NC ON OC +=
)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(OM ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL
OM ++=++∴
8. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明
OA +OB ++OD ＝4OM .
[证明]：因为OM ＝
21
(OA +OC ), ＝2
1
(OB +), 所以 2OM ＝2
1
(OA +OB ++OD ) 所以
OA +OB +OC +＝4.
9 在平行六面体ABCDEFGH （参看第一
节第4题图）中，证明
图1-5