数学建模之兔子问题(出稿)

数学建模一周论文

论文题目：野兔生长问题

姓名1：李宝川学号：09023320

姓名2：彭亚学号：09023308

姓名3：刘新斌学号：09023304

专业：勘查技术与工程

班级：090233

指导教师：虞先玉老师

2010年1月1日、

摘要

参照题目，野兔生长属自然范畴，在生存条件良好，且无外力干扰的情况下，其种群数量是呈对数型增长的。题中可读，野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，天地的捕杀，自然灾害，疾病等。

对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一。它可以用来描述种群生长规律，利用它可以表征种群的数量动态。

之所以选择该模型来研究野兔生长问题，是因为，该模型考虑并概括了，种群发展所遇到的各种外界条件，也就是说，它模拟了真实情况。通过建立Logistic模型，我们小组得出T=10时，野兔数量为9.84194（十万）只。该结果比较符合客观规律。

利用Logistic模型可以表征种群的数量动态；如鱼类种群的增长，收获与时间关系的确定。描述某一研究对象的增长过程如生态旅游区环境容量的确定，森林资源的管理以及耐用消费品社会拥有量的预测、国民生产总值的预测等；也可作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型；以上的大多数的工作都是拿逻辑斯蒂模型来用，但也由此可看出逻辑斯蒂方程不管在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途。

关键字：Logistic模型生态学 MATLAB程序

问题重述

野兔生长问题。首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。我们探讨了其中的因素：

（1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。

（1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。

（2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。

（3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。

考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟

模型假设

上述，野兔生长问题，我们假设

（1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。

（2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。

（3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。

（4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；

那它是可以用Logistic模型来模拟的。

分析与建立模型

对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。

第二单调增区间

模型求解

对于logistic 连续模型，设微分方程为

)1(d d bx ax t

x -=，0)0(x x =, )0,/1,0(00>≠x b x （1） 其中参数a ，b 需要通过拟合得到。

（1） 的解为

)exp(11)(0at b x b t x -⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+=. （2） 设已知连续三年的数据)(),(),(321t x t x t x ，其中01223>=-=-T t t t t ，则由（2）得方程组

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+310

210

1101)2exp(11)exp(11)exp(1x aT at b x b x aT at b x b x at b x b (3) 这三个方程中有三个未知量0,,x b a 可以解出a,b 如下: 将（3）中第一式代入第

二、三式消去x 0， 得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b x aT b x b x aT b x 31

211)2exp(11)exp(1 (4) 消去a 后得b 满足的方程

2

231111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b x b x b x (5) 解得

)

2()(31213223122x x x x x x x x x x b -+-=. (6) 代入(4) 的第一式得a 满足的方程

T

x x x x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(ln 231123 (3) 求参数a,b 的MATLAB 程序

function [a,b, q]=hare(p,T)

% 输入单调的连续三年数量p 和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b 和下一年的数量q

a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/(p(1)*(p(3)-p(2))));

b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2); q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T)）;

在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a ，b 值

0.99999629543280 0.09999899065418

1.00000189673056 0.10000006995945

在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a ，b 值

0.49999951470301 0.20000005321601

0.49998396474656 0.20000085565547

在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a ，b 值

1.00000508717411 0.10000005796845 1.00000975640180 0.10000014562299

当取a, b 为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194（十万）.

结论是：

在 T=0 到T=3 之间增长规律为logistic 模型：)1.01(d d x x t

x -=. 在 T=3 到T=6 之间增长规律有异常情况, 但仍为logistic 模型；：)2.01(5.0d d x x t

x -=. 在 T=6 到T=9 之间增长规律恢复为logistic 模型：)1.01(d d x x t

x -=. 在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只.