线性代数讲义 (20)

思考题
设n阶方阵A与B有相同的特征值，则下列 说法正确的是（ ）？ 1、A与B相似 2、存在一对角阵，使A、B都相似于它 3、存在正交阵Q，使 QT AQ B 4、|A|=|B|
2 0 0
2 0 0
A 0 1 0, B 0 b 2,
0 0 a
0 2 3
(1)求a,b的值； (2)求可逆阵P,使P1BP A;
(3)求 Bn.
解 (1)由相似矩阵具有相同的特征值及
n
n
i tr( A) tr(B) , 12 n i A B
i 1
i 1
得2 1 a 2 b 3; 2a 2(3b 4), 解之得
1 0 0
P 1 AP
0
1
0.
0 0 2
注意:
1 2 0
若令P
3 ,1 ,2
1
1
0
,
1 0 1
则有
P 1 AP
2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
0
例3
Baidu Nhomakorabea
设
A
x
1
应满足的关系式 .
0 1 1 y可对角化，求 x与y 0 0
即 x1 2 x2
令x2 c1, x3 c2 , 解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0
1
将3 2代入A I x 0,得方程组的基础
解系
3 1,1,1T
由于 1,2 ,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
则有 解毕
四、小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质。
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P1 AP，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
若有 ( x) a0 xn a1xn1 an ,则
a A a A a a (2) (A)
n
n1
A I
0
1
n1
n
a0 PBn P1 a1 PBn1 P1
an1 PBP 1 an PIP1
a B a B P( 0
n 1
n1 an1B anI )P 1
P(B) P1.
0 0 2
由同次项系数相等 p2 q2 2 2 p 0 q. 解毕
说明 在利用相似矩阵性质求解矩阵中未知 元素时，建议先用性质 (1) tr( A) tr(B); (2) A B . 有重根时，需回代检验；若只 能得到一个方程时，再用
A I B I ,
比较两端同次项系数即可.
a 5, b 3.
(2)由B的特征值为1 2，2 1，3 5, 解方程
(B i I )x 0
得对应的特征向量分别为
1
0
0
1 0, 2 1, 3 1,
0
1
1
令P 1, 2, 3 ,则P1BP A成立.
(3) 因B PAP1, 所以Bn (PAP1)n PAnP1,
1 0 0
1 0 0
由P 0 1 1,可解得P 1 0 1 2 1 2
0 1 1
0 1 2 1 2
于是
2n
Bn
PAn P 1
0
0
0
5n 1 2
5n 1 2
0
5n 1 2
5n 1 2
解毕
1 p 1
0 0 0
例4
设
A
p
1
q 与 B 0
1
0相似，
1 q 1
0 0 2
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
2 1 2 A 5 3 3
1 0 2
解
2 1 2
A I 5 3 3 13
1
0 2
所以A的特征值为1 2 3 1.
把 1代入A I x 0, 解之得基础解系
1, 1, 1T ,
由于 1 1 m1 3， 故A不能化为对角矩阵.
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
则 Ak P k P1, ( A) P () P1.
对于对角矩阵,有
k 1
k
k 2
,
k n
利用上 述结论可以
(1)
()
(1)
,
(1)
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 ( A).
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A ,若可找到可逆矩阵P ,使 P 1AP 为对角阵,这就称为 方阵A可对角化 .
P1 A I P A I .
推论1 若A相似于B,则
(1) tr( A) tr(B); (2) A B .
说明 性质 5 及其推论 1中的两个结论只是
两个矩阵相似的必要条 件.
例如，A
1 0
10,
B
1 0
11. 容易算出
A与B的特征多项式均为
(1 )2
但A是一个单位阵，对任给的可逆阵P , 有 P1AP P1IP P1P I
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数,
AT 与BT 相似.
4. 若可逆阵A与B相似,则A1与B1相似.
5. 若n阶矩阵 A与 B相似,则 A与 B的特征多项 式相同,从而A与B的特征值亦相同. 证明 A与B相似
可逆阵P,使得P 1 AP B
B I P1AP P1I P P1A I P
0 1
解 由 0 A I x 1 y (1 )2
得1，2 1，3 0.
1 0
由定理1的 推论2‘，必有r( A 1I ) 3 2 1
1 0 1 1 0 1
而A
I
x
0
y
~
0
0
x y,
解毕 1 0 1 0 0 0
故必有 x y.
例4 已知矩阵A与B相似，其中
5.2 相似矩阵
一、相似矩阵与相似变 换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化 四、小结、思考题
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使 P1AP B,
则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P 1 A P称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 被称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
二、相似矩阵与相似变换的性质
1. 等价关系 (1)反身性 A与A本身相似. ( A I 1AI )
(2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. ( 若B P1AP, 则（P1）1BP 1 A)
(3)传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
2. P 1A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P .
2
n
1 p1 ,2 p2 , ,n pn .
A p1 , p2 , , pn Ap1 , Ap2 , , Apn 1 p1,p2 , ,pn
于是有 Api i pi i 1,2, , n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反 之,由 于A恰 好 有n个 特 征 值, 并 可 对 应 地 求 得n个特征向量, 这n个特征向量即可构成矩阵P , 使AP P.
因此，若B与A相似，则 B 必是单位阵. 而现在 B不是单位阵. 所以，A与B不为相似矩阵！
推论2 若 n 阶方阵 A 与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
利用对角矩阵计算矩阵多项式:
若A PB P1, 则 Ak PBk P1.
k个
(1) Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
试求矩阵 A.
解 由相似矩阵的性质，知有 A B 0, 即
1 p1
A p 1 q (q p)2 0 p q.
1q1
再由 A I B I
1 p 1 p 1 q 3 3 2 ( p2 q2 2) ( p q)2 1 q 1
0 0 0 1 0 3 32 2
又由于P可逆,所以p1, p2 , , pn线性无关.
命题得证.
推论1 如果 n 阶矩阵 A 的 n个特征值互不相等， 则 A与对角阵相似．
推论2 n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是 其每一特征值的代数重数等于几何重数，即对
每个，有m .
推论2也可描述为
推论2 设 n阶矩阵A可对角化的充要条件是, 若
是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A I 的秩 r( A I ) n r,从而对应特征值 恰有 r 个
线性无关的特征向量.
说明:
(1) 推论1只是矩阵可对角化的充分条件；
(2) 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
解毕
例2
设A
4 3
6 5
0 0
3 6 1
A能否对角化？若能对角 化,则求出可逆矩阵P,
使P 1 AP为对角阵.
解
4 6
A I 3 5
0
0 12 2
3 6 1
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A I x 0得方程组
33xx1 166xx2 200 3 x1 6 x2 0
定理1 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明 假设存在可逆阵P,使P 1 AP 为对角阵,
将 P 用其列向量表示为 P p1, p2 , , pn .
由P1 AP ,得AP P,
1
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn