用向量法证明直线与直线平行
刘霞--用向量证明线线平行、线面平行、面面平行
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程高三 数学 刘霞学习目标：.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.复习：1、两向量平行定义、向量与平面平行的定义。
2、共面向量基本定理。
3、线面平行判定定理及性质4、面面平行判定定理一、新课讲授：探究（一）：用向量的方法证明线线平行位置关系？与：若问题关系与重合，则与或：若问题的方向向量分别为，设21212121212121//v 2?v //1v l l v v l l l l v l l结论：探究（二）：用向量证明直线与平面平行位置关系？与位置关系？则直线与使：若存在唯一一对实数问题关系则不是若与是：若问题的方向向量共面，直线设不共线向量αααl v x y x v l v l l v 21212121y v ,,2?v ,?v 1v +=结论：推论：如果A,B,C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要条件是，存在一对实数x,y 使得 x y +=探究（三）：用向量证明平面与平面平行位置关系？与位置关系？则平面则：若问题位置关系则：若问题位置关系重合，则与：若问题共面，设不共线向量分别为βαβββββαββαα2121212121,v ,////v 3?,v //2?,v 1,v v v v v v结论：二、例题讲解：例1： 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'，点M ，N 分别是面对角线A'B 与面对角线A'C'的中点。
(1) 求证：MN//侧面ADD' A ’(2) 求证： MN//AD'且 MN=21AD ’ (3) 求证：面A'C'B//面ACD'练习1已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，但它们不在同一个平面，点M 、N 分别在对角线BD 、AE 上，且BM=31BD ，AN=31AE,证明直线MN//面CDE2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．求证：MN∥面ADD1A1．3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；(Ⅱ)求证：AC1∥平面CDB1．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．课堂总结作业：课本98练习A,B。
平行线与垂直线的判定与证明
平行线与垂直线的判定与证明在几何学中，平行线和垂直线是基本概念，它们在直角三角形、平行四边形等形状的研究和解题过程中扮演着重要角色。
本文将介绍如何判断两条线是否平行或垂直，并给出相应的证明方法。
一、平行线的判定与证明平行线是指在同一平面内永远不相交的两条直线。
以下介绍几种常用的判定方法及其证明过程。
1. 两条直线的斜率相等判定方法：设有两条直线L1和L2，如果它们的斜率分别为k1和k2，并且k1 = k2，那么L1与L2是平行线。
证明：首先，我们假设L1和L2的斜率分别为k1和k2，且k1 = k2。
设L1和L2上存在两个不同的点P1和P2。
点P1的坐标为(x1, y1)，点P2的坐标为(x2, y2)。
根据斜率的定义，k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，即(y2 - y1) = k1 * (x2 - x1)。
同理，k2 = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
由于k1 = k2，所以(y2 - y1) = k1 * (x2 - x1)，即点P1和P2满足L1和L2的直线方程，因此L1和L2是平行线。
2. 两条直线的法向量相同判定方法：设有两条直线L1和L2，如果它们的法向量分别为n1和n2，并且n1 = n2，那么L1与L2是平行线。
证明：首先，我们假设L1和L2的法向量分别为n1和n2，且n1 = n2。
设L1上存在一点P0，并且L1的法向量n1与点P0的向量p1垂直，即n1·p1 = 0。
设L2上任意一点P2，并且L2的法向量n2与点P2的向量p2垂直，即n2·p2 = 0。
由于n1 = n2，所以n1·p1 = n2·p2。
即n1·(p1 - p2) = 0。
因此，向量(p1 - p2)与n1垂直，即向量(p1 - p2)与L1平行。
由此可知，L1与L2是平行线。
二、垂直线的判定与证明垂直线是指在同一平面内相交成直角的两条直线。
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练08利用空间向量证明平行、垂直一、考点传真：能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系二、知识点梳理：证明平行、垂直问题的思路(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．3其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可.三、例题：例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥中，平面PAD ⊥平面，，，，，，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)∵面PAD面ABCD AD =，面PAD ⊥面ABCD ，∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ，P ABCD -ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP∵PD ⊂面PAD ， ∴AB ⊥PD ， 又PD ⊥PA ，∴PD ⊥面PAB ， (2)取AD 中点为O ，连结CO ，PO ，∵CD AC == ∴CO ⊥AD ， ∵PA PD =， ∴PO ⊥AD ，以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，，则(111)PB =-，，，(011)PD =--，，，(201)PC =-，，，(210)CD =--，，， 设n 为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =，．011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有，sin cos ,1n PB n PB n PBθ⋅=<>== (3)假设存在M 点使得BM ∥面PCD ， 设AMAPλ=，()0,','M y z ， 由(2)知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =- 有()0,1,AM AP M λλλ=⇒- ∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量， ∴0BM n ⋅=，即102λλ-++=，∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求． 例3.（2011安徽）如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB ∆，OAC ∆，ODE ∆，ODF ∆都是正三角形． （Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积．【解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与EB 延长线的交点． 由于OAB ∆与ODE∆都是正三角形，所以OB ∥DE 21，OG=OD=2， 同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有.2=='OD G O 又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合．在GED ∆和GFD 中，由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21，可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF ∆的中位线，故BC ∥EF ．（向量法）过点F 作AD FQ ⊥，交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知).23,23,0(),0,23,23(),3,0,0(),0,0,3(--C B F E则有33(,0,),(3,0,BC EF =-=- 所以,2=即得BC ∥EF ．（Ⅱ）由OB=1，OE=2，23,60=︒=∠EOB S EOB 知，而O E D ∆是边长为2的正三角形，故.3=OED S 所以.233=+=OED EOB OBED S S S过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F —OBED 的高，且FQ=3，所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V 例4.（2011江苏）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD =，BAD ∠=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面PCD ；（Ⅱ）平面BEF ⊥平面PAD ．【证明】（Ⅰ）在△PAD 中，因为E 、F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF//PD ．又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以直线EF//平面PCD ．（Ⅱ）连结DB ，因为AB=AD ，∠BAD=60°，所以ABD ∆为正三角形，因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ．又因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．例5.(2010广东)如图，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =．（Ⅰ）证明：EB FD ⊥；（Ⅱ）已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，23FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值．【证明】：（Ⅰ）连结CF ，因为¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，所以EB AC ⊥．在RT BCE ∆中，EC ===．在BDF ∆中，BF DF ==，BDF ∆为等腰三角形， 且点C 是底边BD 的中点，故CF BD ⊥．在CEF ∆中，222222)(2)6CE CF a a EF +=+==，所以CEF ∆为Rt ∆，且CF EC ⊥．因为CF BD ⊥，CF EC ⊥，且CE BD C =I ，所以CF ⊥平面BED ， 而EB ⊂平面BED ，CF EB ∴⊥．因为EB AC ⊥，EB CF ⊥，且AC CF C =I ，所以EB ⊥平面BDF ， 而FD ⊂平面BDF ，EB FD ∴⊥．（Ⅱ）设平面BED 与平面RQD 的交线为DG ．由23FQ FE =，23FR FB =，知//QR EB ． 而EB ⊂平面BDE ，∴//QR 平面BDE ， 而平面BDE I 平面RQD = DG ， ∴////QR DG EB ．由（Ⅰ）知，BE ⊥平面BDF ，∴DG ⊥平面BDF ， 而,DR DB ⊂平面BDF ，∴DG DR ⊥，DG DQ ⊥， ∴RDB ∠是平面BED 与平面RQD 所成二面角的平面角． 在Rt BCF ∆中，2CF a ===，sin FC RBD BF ∠===cos RBD ∠==． 在BDR ∆中，由23FR FB =知，133BR FB ==，由余弦定理得，RD== 由正弦定理得，sin sin BR RD RDB RBD=∠∠，即332sin RDB =∠，sin RDB ∠=故平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值为29．为GC 的中点，FO ＝3，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE ∥平面BCF ； (2)求证：CF ⊥平面AEF .【解析】证明 取BC 中点H ，连接OH ，则OH ∥BD ，又四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD ，∴OH ⊥AC ，故以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (3，0，0)，C (－1，0，0)，D (1，－2，0)，F (0，0，3)，B (1，2，0).BC →＝(－2，－2，0)，CF →＝(1，0，3)，BF →＝(－1，－2，3). (1)设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2x －2y ＝0，x ＋3z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－3，3，1). 又四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE →＝BF →＝(－1，－2，3)， ∴AE →＝AD →＋DE →＝BC →＋BF →＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，3)＝(－3，－4，3)， ∴AE →·n ＝33－43＋3＝0，∴AE →⊥n ， 又AE ⊄平面BCF ，∴AE ∥平面BCF .(2)AF →＝(－3，0，3)，∴CF →·AF →＝－3＋3＝0，CF →·AE →＝－3＋3＝0， ∴CF →⊥AF →，CF →⊥AE →， 即CF ⊥AF ，CF ⊥AE ， 又AE ∩AF ＝A ， AE ，AF ⊂平面AEF ， ∴CF ⊥平面AEF .2.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 和侧面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直，M 为AA 1的中点，N 为BC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面A 1B 1C 1； (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .【解析】证明 由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设正方形AA 1C 1C 的边长为2，则A (0,0,0)，A 1(2,0,0)，B (0,2,0)，B 1(2,2,0)，C (0,0,2)，C 1(2,0,2)，M (1,0,0)，N (1,1,1)．(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1.因为AA 1→＝(2,0,0)，MN →＝(0,1,1)，所以MN →·AA 1→＝0，即MN →⊥AA 1→.MN ⊄平面A 1B 1C 1，故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0)，MC 1→＝(1,0,2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0，n 1·MC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1＝0，x 1＋2z 1＝0，，令x 1＝2，则平面MBC 1的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)．同理可得平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 2＝(0,1,1)．因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以n 1⊥n 2，所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C . 3.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，DE ＝2，M 为线段BF 的中点．(1)求M 到平面DEC 的距离及三棱锥M －CDE 的体积； (2)求证：DM ⊥平面ACE .【解析】(1)设AC ∩BD ＝O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0，3，0)，D (－1,0,0)，E (－1,0,2)，M (1,0,1)， DE →＝(0,0,2)，DC →＝(1，3，0)，DM →＝(2,0,1)， ∵DE →·DC →＝0， ∴DE ⊥DC ，∴S △DEC ＝12×DE ×DC ＝12×2×2＝2，设平面DEC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝2z ＝0，n ·DC →＝x ＋3y ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，－1,0)，∴M 到平面DEC 的距离h ＝|DM →·n ||n |＝233＋1＝3，∴三棱锥M －CDE 的体积V ＝13×S △CDE ×h ＝13×2×3＝233.(2)证明：A (0，－3，0)，AC →＝(0,23，0)，AE →＝(－1，3，2)， AC →·DM →＝0，AE →·DM →＝－2＋2＝0， ∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE ＝A ，∴DM ⊥平面ACE .4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AB ⊥平面PDC .【解析】证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又ABCD 是正方形，所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⊥CD →，所以P A ⊥CD . 又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， PD ，CD ⊂平面PDC ， 所以P A ⊥平面PDC . 又P A ⊂平面P AB ， 所以平面P AB ⊥平面PDC .5．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【解析】证明 如图所示，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)．(1)∵AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，∴AP →·BC →＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0，AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知|AP |＝5，又|AM |＝3，且点M 在线段AP 上， ∴AM →＝35AP →＝⎝⎛⎭⎫0，95，125. 又AC →＝(－4,5,0)，BA →＝(－4，－5,0)， ∴BM →＝BA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫－4，－165，125， 则A P →·BM →＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎫－4，－165，125＝0， ∴AP →⊥BM →，即AP ⊥BM ，又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，BM ∩BC ＝B ， ∴AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ⊂平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BCM .6. 如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .【解析】证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，△PBC 为等边三角形，即PO ⊥BC ， ∵平面PBC ⊥底面ABCD ，BC 为交线，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD →， ∴P A ⊥BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⊂平面P AB ， ∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .7.如图所示，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱A 1A ＝2.(1)证明：AC ⊥A 1B ；(2)是否在棱A 1A 上存在一点P ，使得AP →＝λP A 1→且面AB 1C 1⊥面PB 1C 1.【解析】 如图所示，以DA ，DC ，DA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1，0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，B (1,1,0)，D 1(－1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(－1,1，3)．(1)证明：AC →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(1,1，－3)， ∴AC →·A 1B →＝0，∴AC ⊥A 1B . (2)假设存在， ∵AP →＝λP A 1→， ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫11＋λ，0，3λ1＋λ. 设平面AB 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AB 1→＝(－1,1，3)，AC 1→＝(－2,1，3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝－x 1＋y 1＋3z 1＝0，n 1·AC 1→＝－2x 1＋y 1＋3z 1＝0.令z 1＝3，则y 1＝－3，x 1＝0.∴n 1＝(0，－3，3)．同理可求面PB 1C 1的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3λ＋1，－1， ∴n 1·n 2＝0.∴－331＋λ－3＝0，即λ＝－4.∵P 在棱A 1A 上，∴λ>0，矛盾． ∴这样的点P 不存在．8.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， ∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21， ∴A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面ABCD .以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设平面DA 1C 1的法向量为n 3＝(x 3，y 3，z 3)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)，则⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1， 则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1， 即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .。
高中数学 同步教学 用向量讨论垂直与平行
三垂线定理的证明要用向量法，但在使用三垂线定理时，与向量无关，是纯几何问题．应 用定理的关键是：一定面，二查线，三垂直，问题即可解决．
1.如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，AB＝1，BC＝ 2， AA1＝2，E 是侧棱 BB1 的中点．求证：A1E⊥平面 AED.
证明：∵在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，∴D1A1，D1C1，D1D 两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系 D1－xyz. 则 D(0,0,2)，A( 2，0,2)，E( 2，1,1)，A1( 2，0,0)， ∴D→A＝( 2，0,0)，A→E＝(0,1，－1)，A→1E＝(0,1,1)， ∴A→1E·D→A＝0，A→1E·A→E＝0， ∴A1E⊥DA，A1E⊥AE， 又 DA∩AE＝A，∴A1E⊥平面 AED.
a⊥c
[疑难提示] 平行关系的判定与证明、垂直关系的证明 (1)证明线面平行常用的方法 ①证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面． ②证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行． ③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)证明面面平行常用的方法 ①证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面． ②证明两个平面的法向量平行． ③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
[解析] ∵D(0,0,0)、B(2,2,0)、E(1,0,2)，
∴D→B＝(2,2,0)，D→E＝(1,0,2)．
设平面 EFBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
∴nn··DD→ →EB＝＝00
2.(1)已知在空间四边形 OACB 中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC. (2)在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是 △PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平 面 GEF⊥平面 PBC.
立体几何之空间向量法
立体几何之空间向量法【知识要点】1. 利用空间向量证明平行问题的方法(1)线线平行：直线与直线平行，只需证明它们的方向向量平行．(2)线面平行：利用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；利用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(3)面面平行：平面与平面的平行，除了利用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明两个平面的法向量平行即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2.(2)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0.(3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.2. 利用空间向量证明垂直问题的方法(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两条直线的方向向量垂直．(2)线面垂直：利用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；利用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行．(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两个平面的法向量垂直即可．下面用符号语言表述为：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．(1)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.(2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3.(3)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.3. (1)夹角计算公式①两条异面直线的夹角若两条异面直线a 和b 的方向向量分别为n 1，n 2，两条异面直线a 和b 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|.②直线与平面所成的角若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线a 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪a ·n |a ||n |.③二面角设n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为θ，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉，其中cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|. (2)距离公式①点点距离：点与点的距离，是以这两点为起点和终点的向量的模；②点线距离：点M 到直线a 的距离，设直线的方向向量为a ，直线上任一点为N ，则点M到直线a 的距离d ＝|MN |sin 〈MN ，a 〉； ③线线距离：两条平行线间的距离，转化为点线距离；两条异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；④点面距离：点M 到平面α的距离，如平面α的法向量为n ，平面α内任一点为N ，则点M 到平面α的距离d ＝|MN ||cos 〈MN ，n 〉|＝||||MN n n ； ⑤线面距离：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；⑥面面距离：两平行平面间的距离，转化为点面距离．4. (1)用空间向量解决立体几何问题的步骤及注意事项①建立空间直角坐标系，要写理由，坐标轴两两垂直要证明；②准确求出相关点的坐标(特别是底面各点的坐标，若底面不够规则，则应将底面单独抽出来分析)，坐标求错将前功尽弃；③求平面法向量或直线的方向向量；④根据向量运算法则，求出问题的结果．(2)利用空间向量巧解探索性问题空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行繁杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．一、真题试做1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )．A ．55B ．53C ．255D ．352．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是__________．3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ；(2)求二面角F －BD －C 的余弦值．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．5．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．二、热点例析热点一利用空间向量证明平行问题【例１】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.变式训练1如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC ，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：＝90°，且AB＝AA(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.热点二利用空间向量证明垂直问题【例２】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F，求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.变式训练2如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．热点三利用空间向量求角和距离【例３】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.B1所成角的余弦值；(1)求异面直线AC与A(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．变式训练3 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点．(1)设AB 1与底面A 1B 1C 1D 1所成角的大小为α，二面角A －B 1D 1－A 1的大小为β.求证：tan β＝2tan α；(2)若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的 高．热点四 用向量法解决探索性问题【例４】如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P －AC －D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，请说明理由．变式训练4 如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD＝2；E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)求证：PB ∥平面EFG ；(2)求异面直线EG 与BD 所成的角的余弦值； (3)在线段CD 上是否存在一点Q ，使得A 到平面EFQ 的距离为45若存在，求出CQ 的值；若不存在，请说明理由．三、思想渗透转化与化归思想——利用向量解决空间位置关系及求角问题主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法．求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围；(2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角．【典型例题】如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.图1 图2(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．四、练习巩固 1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若,AB BC BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 的值分别为( )．A ．337，－157，4B ．407，－157，4C ．4072,4D ．4，407，－15 2．已知平面α内有一个点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3,6)，则下列点P 在平面α内的是( )．A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱BB 1，AD 的中点，则直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是( )．A ．26B ．36C ．13D ．664．在四面体PABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为__________．5．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是__________．7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .(1)若λ＝1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值；(2)若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值．。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直
立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直【考点梳理】1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0【考点突破】考点一、利用空间向量证明平行问题【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.证明：PQ∥平面BCD.[解析]法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0).设点C的坐标为(x0，y0，0).因为AQ→＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12.因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ →·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD .法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0).∵CF→＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝14(－x 0，2－y 0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，∴OF→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0， ∴OF→＝PQ →，∴PQ ∥OF .又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .【类题通法】1．恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.2．证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.【对点训练】如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点.求证：PB ∥平面EFG .[解析] ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， ∴AB ，AP ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0).法一 ∴EF→＝(0，1，0)，EG →＝(1，2，－1)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎨⎧y ＝0，x ＋2y －z ＝0，令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量，∵PB→＝(2，0，－2)， ∴PB→·n ＝0，∴n ⊥PB →， ∵PB ⊄面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .法二 PB→＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG→＝(1，1，－1).设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎨⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2. ∴PB→＝2FE →＋2FG →， 又∵FE→与FG →不共线， ∴PB→，FE →与FG →共面. ∵PB ⊄平面EFG ， ∴PB ∥平面EFG .考点二、利用空间向量证明垂直问题【例2】如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⊥底面ABCD .证明：(1)P A ⊥BD ；(2)平面P AD ⊥平面P AB .[解析] (1)取BC 的中点O ，连接PO ，∵平面PBC ⊥底面ABCD ，△PBC 为等边三角形， ∴PO ⊥底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝ 3.∴A (1，－2，0)，B (1，0，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，3). ∴BD →＝(－2，－1，0)，P A →＝(1，－2，－3). ∵BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0， ∴P A →⊥BD→，∴P A ⊥BD . (2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32.∵DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32，PB →＝(1，0，－3)，∴DM→·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM→⊥PB →，即DM ⊥PB .∵DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0， ∴DM →⊥P A →，即DM ⊥P A .又∵P A ∩PB ＝P ，∴DM ⊥平面P AB . ∵DM ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB . 【类题通法】1．利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.2．用向量证明垂直的方法①线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.②线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.【对点训练】如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点.求证：AB 1⊥平面A 1BD .[解析] 法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ， m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证.法二 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形， 所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB →，OO 1→，OA →所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0). 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0).因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →， 故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，⇒⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ， 故AB 1⊥平面A 1BD .考点三、利用空间向量解决探索性问题【例3】如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，请说明理由.[解析] (1)设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3，∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21，∴A 1O ⊥AO . 由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABCD ，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)，A 1(0，0，3)，C 1(0，2，3).由于BD →＝(－23，0，0)，AA 1→＝(0，1，3)， AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD →⊥AA 1→，即BD ⊥AA 1. (2)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0，1，3).从而有P (0，1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→，又A 1C 1→＝(0，2，0)，DA 1→＝(3，0，3)， 设n 3＝(x 3，y 3，z 3)，⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，取n 3＝(1，0，－1)，因为BP ∥平面DA 1C 1，则n 3⊥BP →，即n 3·BP →＝－3－3λ＝0，得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且C 1C ＝CP .【类题通法】向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题1．根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，并用向量表示出来，然后再加以证明，得出结论.2．假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在.【对点训练】如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0＜λ＜2).(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ ⊥平面PQMN ？若存在，求出实数λ的值；若不存在，说明理由.[解析] (1)以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，M (2，1，2)，N (1，0，2)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)，MN→＝(－1，－1，0)，NP →＝(－1，0，λ－2).当λ＝1时，FP→＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)， 所以BC 1→＝2FP →， 即BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ， 且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1).同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1). 则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使平面EFPQ ⊥平面PQMN .。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识精讲一．直线的方向向量与直线的向量方程1．点的位置向量在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．2．直线的方向向量空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量．3．直线的向量方程直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式②，如果在上取，则上式可以化为③；①②③都叫做空间直线的向量参数方程．二．平面的法向量1．平面法向量的定义已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．2．平面法向量的性质（1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．三．用向量方法证明空间中的平行关系1．线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即．2．线面平行（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明；（2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．3．面面平行（1）若能求出平面的法向量，要证明，只需要证明即可．（2）由面面平行的判定定理：要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得．三点剖析一．方法点拨1．在平面内，直线的向量方程可类比点斜式方程，直线的方向向量、斜率都是刻画直线方向的量，只是从不同角度引入，它们有一定的关系：斜率为的直线，其方向向量为，反之，方向向量为的直线不一定存在斜率；在空间中，用方向向量刻画直线较为方便．2．空间中建系描述选取三条两两相交的直线的交点作为原点，以哪三条直线为轴，建立空间直角坐标系．例如：正方体中，建系的描述为：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．3．用空间向量证明平行关系需要注意的问题（1）用空间向量的方法证明立体几何中的平行问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理．（2）用向量方法证明平行问题的步骤①建立空间图形与空间向量的关系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；②通过向量运算研究平行问题；③根据运算结果解释相关问题．4．平面法向量的求法（1）建立适当的坐标系；（2）设出平面法向量为；（3）找出（求出）平面内的两个共线的向量的坐标；（4）根据法向量的定义建立关于的方程组；（5）解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．有时候，题目中的线面垂直条件比较明显，可以将垂线的方向向量作为平面的法向量来解决问题．题模精讲题模一直线的方向向量与直线的向量方程例1.1、已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A、x=6，y=15B、x=3，y=C、x=3，y=15D、x=6，y=例1.2、从点沿向量的方向取线段长，则B点的坐标为( )A、B、C、D、题模二平面的法向量例2.1、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式．例2.2、（1）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________；则__________．（2）若的方向向量为，平面的法向量为，若，则__________；若，则__________．题模三利用向量方法证明线面平行关系例3.1、已知正方形和正方形相交于分别在上，且，求证平面．例3.2、在正方体中，的中点，求证：．题模四利用向量方法证明线线与面面的平行关系例4.1、在正方体中，分别是的中点．证明:．例4.2、如右图所示，在平行六面体中，分别是的中点．求证:平面∥平面．．随堂练习随练1.1、已知，，则直线的模为的方向向量是________________．随练1.2、已知点若点为直线上任意一点，则直线的向量参数方程为______________，当时，点的坐标为______________．随练1.3、已知，且均与平面平行，直线的方向向量，则（）随练1.4、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确随练1.5、已知平面经过三点，试求平面的一个法向量．随练1.6、在正方体中，分别是的中点，求证:．随练1.7、已知正方体的棱长为2，分别是的中点，求证：(1)；(2)．利用向量证明空间中的垂直关系知识精讲一．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用设空间两条直线的方向向量分别是，两个平面的法向量分别是，则有下表与与与二．用向量方法证明空间中的垂直关系1．线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需要证明，即．2．线面垂直（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明．（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3．面面垂直（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直，线线垂直；（2）证明两个平面的法向量互相垂直．一、方法点拨1．平面法向量可以不唯一，只要是垂直于平面的直线，其方向向量都可以当作法向量进行运算．2．平面中的平行、垂直关系的向量论证，注意复习线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现了向量的工具性功能．题模精讲题模一利用向量方法证明线线垂直例1.1、设的方向向量，的方向向量，若，则( )A、1B、2C、D、3例1.2、在正三棱柱中，．求证：．题模二利用向量方法证明线面垂直若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )A、B、C、D、斜交例2.2、在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得．题模三利用向量方法证明面面垂直例3.1、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确例3.2、在长方体中，，分别是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．随堂练习随练2.1、如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点分别是的中点．求证：随练2.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小．随练2.3、在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，的重心，分别为上的点，且（1）求证：平面；（2）求证：的公垂线段．自我总结课后作业作业1、已知，把按向量平移后所得的向量是( )A、B、C、D、作业2、正四面体的高的中点为，则平面的一个法向量可以是________，平面的一个法向量可以是________．作业3、若直线是两条异面直线，它们的方向向量分别是，则直线的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．作业4、是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点，求证:．作业5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角C1-AB-C的余弦值．作业6、已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）求：（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量分别与向量，垂直，且||=，求向量的坐标．作业7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．作业8、在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，的中点，在线段，使？若存在，求出；若不存在，请说明理由．作业9、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BA D=∠FAB=90°，BC AD，BE AF，G，H分别为FA，FD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．。
专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题【知识梳理】1、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++．（2）()121212,,a b x x y y z z -=---．（3）()111,,a x y z λλλλ=．（4）121212a b x x y y z z ⋅=++．（5）若a ，b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=．（6）若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===．（7）a ==．（8）cos ,a b a b a b⋅〈〉==（9）()111x ,y ,z A ，()222x ,y ,z B =，则d AB AB ==．2、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．3、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．4、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对()x,y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置．5、直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（2）平面的法向量：若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量．（3）平面的法向量的求法（待定系数法）：①建立适当的坐标系．②设平面α的法向量为(,,)n x y z =．③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==．④根据法向量定义建立方程组00n a n b ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量．6、用向量方法判定空间中的平行关系（1）线线平行设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈．即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线．（2）线面平行①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a u ⊥，即0a u ⋅=．即：直线与平面平行⇔直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．（3）面面平行若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=．即：两平面平行或重合⇔两平面的法向量共线．7、用向量方法判定空间的垂直关系（1）线线垂直设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ⋅=．即：两直线垂直⇔两直线的方向向量垂直．（2）线面垂直①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明a ∥u ，即a u λ=．②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、，若,.0a m l a n α⎧⋅=⎪⊥⎨⋅=⎪⎩则即：直线与平面垂直⇔直线的方向向量与平面的法向量共线⇔直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直．（3）面面垂直若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ⋅=．即：两平面垂直⇔两平面的法向量垂直．【专题过关】【考点目录】考点1：空间向量的坐标运算考点2：空间向量模长的坐标运算考点3：空间向量平行的坐标运算考点4：空间向量垂直的坐标运算考点5：空间向量夹角的坐标运算考点6：共面问题考点7：平行问题考点8：垂直问题【典型例题】考点1：空间向量的坐标运算1．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【解析】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.2．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（）A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)【答案】C【解析】()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3(10,1,16)a b -=-故选：C3．（2021·河北省博野中学高二期中）已知()()3,2,5,1,,1a b x =-=-，且2a b ⋅=，则x 的值是（）A ．5B ．6C ．3D ．4【答案】A【解析】因为3252a b x ⋅=-+-=，所以5x =．故选：A.4．（2021·安徽·高二期中）已知向量()2,3,1a =--，()1,2,4b =，则a b +等于（）A ．()1,1,5--B ．()1,1,5-C ．()1,1,5-D ．()1,1,5【答案】A【解析】∵向量()2,3,1a =--，()1,2,4b =，∴()()()2,3,11,2,41,1,5a b +=--+=--.故选：A.5．（2022·广西桂林·高二期中（理））已知向量()1,0,1a =r ，()2,1,3b =，则2a b -=（）A ．()3,2,5-B ．()3,2,5--C ．()3,2,5--D ．()3,2,5---【答案】D【解析】()2,1,3b =()24,2,6b ∴=()23,2,5a b ∴-=---.故选：D.6．（2021·天津天津·高二期中）在空间直角坐标系中，已知点()()1,2,3,3,0,1A B --，则线般AB 的中点坐标是（）A ．()1,1,2--B ．()1,1,2-C ．()2,2,4-D ．()2,2,4--【答案】A【解析】设线般AB 的中点M 坐标为(),,x y z ，由AM MB =可得()()1,2,33,,1x y z x y z -+-=----，所以13231x x y y z z -=--⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩可得112x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以线般AB 的中点坐标是()1,1,2--，故选：A.7．（2021·北京·人大附中高二期中）在空间直角坐标系中，已知()0,1,0A ，()3,2,2B ，点D 满足2AD AB =，则点D 的坐标是（）A ．()5,4,3B ．()3,4,3C ．()6,3,4D ．()1,2,3【答案】C【解析】设(),,D x y z ，则()(),1,,3,1,2AD x y z AB =-=，由2AD AB =得6124x y z =⎧⎪-=⎨⎪=⎩即()6,3,4D ，故选：C.8．（2021·北京市昌平区实验学校高二期中）已知(1,=-a，(=-b ，则a b ⋅=______【答案】5-【解析】由已知1(2)(315a b ⋅=⨯-+-+⨯=-．故答案为：5-9．（2021·广东·广州市玉岩中学高二期中）空间直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点()0,1,2A 、()2,1,4B -、()5,0,3C ，则D 点坐标为________.【答案】()3,2,1【解析】设点(),,D x y z ，由题意可得BA CD =，即()()2,2,25,,3x y z --=--，即52232x y z -=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得321x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故点D 的坐标为()3,2,1.故答案为：()3,2,1.考点2：空间向量模长的坐标运算10．（2022·江苏徐州·高二期中）已知点()2,1,0A ，()1,3,0B ，()2,1,1C --，()2,3,1D ，则向量AB 在向量CD 上的投影向量的模为______．【答案】22【解析】因为()2,1,0A ，()1,3,0B ，()2,1,1C --，()2,3,1D ，所以()()()1,3,02,1,01,2,0AB =-=-，()()()2,3,12,1,14,4,0CD =---=，所以1424004AB CD ⋅=-⨯+⨯+⨯=，CD ==所以向量AB 在向量CD 上的投影为2AB CD CD⋅==；所以向量AB 在向量CD 上的投影向量为)2114,4,0,0222AB CD CD CDCD⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭即向量AB 在向量CD 2=；故答案为：2211．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为3，112AM MC =，点N 为B 1B 的中点，则||MN =___________.【答案】2【解析】如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()113,0,0,0,3,3,3,3,0,3,3,3A CB B ，因为112AM MC =，点N 为1B B 的中点，所以()111,1,13AM AC ==-，所以(2,1,1)M ，3(3,3,)2N ，11,2,2MN ⎛⎫= ⎪⎝⎭故2MN =．故答案为：2.12．（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）已知空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是__________．【答案】848(,,)999-【解析】因为空间向量()1,0,1=a ，()2,1,2b =-，所以2024a b ⋅=++=，3b ==，所以向量a 在向量b 上的投影向量为：()418482,1,2(,,)33999a bbb b ⨯=⨯-=-⋅，故答案为：848(,,)999-.13．（2021·湖北武汉·高二期中）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AA =若M 是侧面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 的最小值为__________.【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设点(),2,M m n ，则()()(12,0,0,0,2,0,2,2,A C B，(1A ，()(),0,,2,2,CM m n AM m n ∴==-，又AM MC ⊥得：2220,AM CM m m n ⋅=-+=即()2211m n -+=；又11A B ⊥平面11BCC B ，故11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，要使1A M 最小，只需1B M 最小，即11tan A MB ∠最大，令[]1cos ,sin ,0,m n θθθπ=+=∈， tan，∴当3πθ=时，11tanA MB ∠最大，则113(2,2,(,2,22A M m n =-=-，所以1||A M ==14．（2022·江苏南通·高二期中）设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-r且a c ⊥，//bc ，则a b +=（）A ．B ．C ．4D ．3【答案】D【解析】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b +=.故选：D.15．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量()3,2,4a =-r，()1,2,2b =-，则a b -=（）A ．B ．40C ．6D ．36【答案】C【解析】由题设(4,4,2)a b -=-，则6a b -=.故选：C考点3：空间向量平行的坐标运算16．（2022·江苏徐州·高二期中）已知向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，若a b ∥，则实数x 的值为（）A ．2B ．4C ．4-D ．2-【答案】C【解析】因为向量()2,1,3a =-，(),2,6b x =-，且a b ∥，所以26213x -==-，解得：4x =-.故选：C17．（2022·江苏·响水县第二中学高二期中）已知()2,3,1a =-，则下列向量中与a 平行的是（）A ．() 1,1,1B ．() 4,6,2--C ．() 2,3,5-D ．()23,5-,-【答案】B【解析】对于A ，因为231111-≠≠，所以A 不正确；对于B ，因为231462-==--，所以B 正确；对于C ，因为231235-=≠-，所以C 不正确；对于D ，因为231235-≠≠--，所以D 不正确.故选：B18．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）已知()2,1,3A ，()1,3,1B ，()4,,C y z ，若AB AC ∥，则2y z -=（）A ．20-B ．17-C ．11D ．4【答案】B【解析】()1,2,2AB =--，()2,1,3AC y z =--，因为AB AC ∥，所以122213y z --==--，解得3y =-，7z =，故217y z -=-.故选：B19．（2022·安徽省舒城中学高二期中）已知向量(2,1,3),(4,2,)a b x =-=-，若a ∥b ，则x =______.【答案】-6【解析】因为向量(2,1,3),(4,2,)a b x =-=-，且a ∥b ，所以a =b λ，所以42213x-==-，解得：6x =-.故答案为：-6.20．（2021·安徽宣城·高二期中）在空间直角坐标系中，已知()2,2,4A -，()4,4,2B --，()0,0,2C ，若AB AC λ=，则实数λ=______．【答案】3【解析】由题意得()6,6,6AB =--，()2,2,2AC =--，所以()32,2,23AB AC =--=，即3λ=，故答案为：321．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）已知(,1,3)a x =r ，(1,3,9)b =-r，若a 与b 共线，则x 的值是__________.【答案】13-【解析】因为(,1,3)a x =r ，(1,3,9)b =-r，且a 与b 共线，所以13139x ==-，解得13x =-，故答案为：13-考点4：空间向量垂直的坐标运算22．（2022·新疆·乌鲁木齐市第四中学高二期中（理））已知向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．－1B ．43C ．53D ．75【答案】D【解析】因为()1,1,0a =r，()1,0,2b =-r ，所以(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ka b k k k +=+-=-，22(1,1,0)(1,0,2)(3,2,2)a b -=--=-，因为ka b +与2a b -互相垂直，所以()()23(1)240ka b a b k k +⋅-=-+-=，解得75k =，故选：D23．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知向量(1,1,2)a k =，(1,0,1)b =--，(0,2,1)c =，且向量2a b -与c 互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．2-C ．4-D ．0【答案】B【解析】()23,1,22a b k -=+，因为向量2a b -与c 互相垂直，故3012220k ⨯+⨯++=，故2k =-，故选：B24．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF =故选：B.25．（2022·江苏徐州·高二期中）已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由于12l l ⊥，所以()()124120,1m m ⨯-+⨯+-⨯==.故选：B26．（2022·江苏省江浦高级中学高二期中）在空间直角坐标系中，(1,2,)A a -，(2,,0)B a ，(1,,2)C a -，若1()2AB AC BC -⊥，则实数a 的值为（）A ．3B ．32C ．72D ．92【答案】A【解析】由题意(1,2,)AB a a =+-，(0,2,2)AC a a =+--，(1,0,2)BC =--，122(1,,)222a a AB AC +--=，因为1()2AB AC BC -⊥，所以1()1(2)02AB AC BC a -⋅=---=，3a =．故选：A ．27．（2022·福建龙岩·高二期中）已知向量()1,3,2a =-，()2,2,1b =--，点()3,1,4-A ，()2,2,2B -.(1)求2a b +；(2)若直线AB 上存在一点E ，使得OE b ⊥，其中O 为原点，求E 点的坐标.【解析】(1)因为()1,3,2a =-，()2,2,1b =--，所以()20,4,3a b +=-，所以25a b +=；(2)设AE AB λ=，由()3,1,4-A ，()2,2,2B -，得()1,1,2AB =-，则(),,2AE AB λλλλ==-，故()()()3,1,4,,23,1,24OE OA AE λλλλλλ=+=-+-=-+-+，因为OE b ⊥，所以0OE b ⋅=，即()()()2321240λλλ--++--+=，解得2λ=-，所以()2,2,4AE =--，设(),,E x y z ，则()()3,1,42,2,4AE x y z =+--=--，所以321244x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得518x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()5,1,8E --.考点5：空间向量夹角的坐标运算28．（2022·福建龙岩·高二期中）已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -．(1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【解析】(1)由题设(3,2,6)AB m =--，(2,1,3)CB n =--，又A ，B ，C 三点共线，所以存在R λ∈使AB CB λ=，即322(1)63m n λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，可得210m n λ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以1m n +=-.(2)由(2,1,3)BC n =--，由（1）知：当,AB BC π<>=时，有1m n +=-；而cos ,||||AB BC AB BC AB BC ⋅<>==AB ，BC 的夹角是钝角，所以2(3)2(1)182()260m n m n -+--=+-<，可得m n +13<；综上，3m n +<且10m n =-⎧⎨=⎩不同时成立.29．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点()1,1,1A --，()1,2,2B --，()2,4,1C -，则AB 与AC 的夹角θ的大小是______．【答案】3π【解析】因为()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，所以2367A AB C ⋅=-++=所以AB =AC ==所以1cos 2AB AB AC ACθ⋅==⋅因为[]0,θπ∈，所以3πθ=故答案为：3π30．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间向量(1,0,1),(1,1,)a b n ==，且3a b ⋅=，则n ＝_______，向量a 与b 的夹角为_______．【答案】26π【解析】依题意313a b n ⋅==+=，解得2n =，所以(1,0,1),(1,1,2)a b ==，所以cos ,2a b a b a b⋅=⋅，由于[],0,a b π∈，所以向量a 与b 的夹角为6π.故答案为：2；6π.31．（2021·浙江·绍兴一中高二期中）已知动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD （不含端点）上.设11D PD Bλ=，若APC ∠为钝角，则实数λ的取值范围为___________.【答案】1(,1)3【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)D B =-，11(,,)D P D B λλλλ==-，所以(,,1)P λλλ-，(1,,1),(,1,1)PA PC λλλλλλ=---=---，APC ∠为钝角，则22(1)(1)(1)3410PA PC λλλλλλλ⋅=----+-=-+<，解得113λ<<．又,,A P C 不可能共线，故答案为：1(,1)3．32．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°【解析】因为()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，所以()cos sin ,2,sin cos +=+-+a b αααα，()cos sin ,0,sin cos a b αααα-=--，设向量a b +与a b -的夹角为β，则cos +⨯-+-⨯++-=ααααααααβ2222=0=，因为[]0,βπ∈，所以2πβ=，故向量a b +与a b -的夹角为2π，故选：A.33．（2021·山东·临沭县教育和体育局高二期中）若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（）A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或43【答案】C【解析】由题知，2cos ,3a b a b a b⋅<>==即2340λλ+=，解得0λ=或43λ=-.故选：C34．（多选题）（2022·江苏·马坝高中高二期中）若(1,,2)a λ=--，(2,1,1)b =-，a 与b 的夹角为120°，则λ的值为（）A ．17-B ．17C ．1D ．1-【答案】BD【解析】由题意得cos120︒=解得1λ=-或17λ=故选：BD35．（多选题）（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）若(2,5,4)a x =-r 与(,2,2)b x x =r 的夹角为钝角，则x 的取值可能为（）A ．5B ．3C ．4D ．2【解析】因为(2,5,4)a x =-r ，(,2,2)b x x =r ，所以221080a b x x ⋅=-+<r r，解得14x <<；当//a b 时，设λa b =，λ无解，即,a b 不能平行；故选：BD考点6：共面问题36．（2021·山东威海·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，,//,2,3AD CD AD BC PA AD CD BC ⊥====．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =．(1)求证：CD ⊥面PAD ；(2)设点G 在PB 上，且PGPBλ=．判断是否存在这样的λ，使得A ，E ，F ，G 四点共面，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由PA ⊥面,ABCD CD ⊂面ABCD ，则PA CD ⊥，又AD CD ⊥且PA AD A ⋂=，可得：CD ⊥面PAD .(2)以A 为原点，面ABCD 内与AD 垂直的直线为x 轴，,AD AP 方向为y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，易知：(0,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(0,2,0)A P C D ，存在这样的λ.由PG PB λ=可得：(2,,2)PG λλλ=--，则(2,,22)AG AP PG λλλ=+=--，若A ，E ，F ，G 四点共面，则AG 在面AEF 内，又面AEF 的一个法向量为(1,1,1)m =-，∴0m AG ⋅=，即2220λλλ-+-=，可得23λ=.∴存在这样的23λ=，使得四点共面.37．（2021·广东深圳·高二期中）如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11A D 的中点.(1)求证：1B ，E ，D ，F 四点共面；【解析】（1）如图，以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，又因为E ，F 分别是BC ，11A D 的中点.所以(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(2,0,2)B ，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)D ，(0,0,0)A ，(2,1,0)E ，(0,1,2)F ，1(2,1,0)B F =-，1(2,1,0)ED B F =-=，所以1//ED B F ，而1E B F ∉，所以1//ED B F ，所以1B ，E ，D ，F 四点共面；38．（2021·广东·广州市第一中学高二期中）已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=．若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=______．【答案】657【解析】因为,a b 不平行，且a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数x ，y ，使c xa yb =+，所以725432x y x y x y λ=-⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故答案为：65739．（2021·全国·高二期中）已知点A ､B ､C ､D 的坐标分别为(0,1,2),(1,2,3),(1,3,1),(,5,3)x ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则x =___________.【答案】3【解析】由题意，A ，B ，C ，D 四点共面故,R λμ∃∈，使得AB AC AD λμ=+又(1,1,1),(1,2,1),(,4,1)AB AC AD x ==-=故12411x λμλμλμ+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩解得113,,22x λμ==-=故答案为：340．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.【答案】1-【解析】由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，据此可得方程组：325432m nm n m nλ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩.故答案为1-．41．（多选题）（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，点P 为线段AB 的中点，Q ，R 分别为线段BC ，1AC 上的动点（含端点），下列结论正确的是（）A ．存在点Q 使得11A P C Q ⊥B ．存在点R 使得11A P D R⊥C ．当Q 为BC 中点时，存在点R 使得1A P ，1C Q ，1D R 共面D ．当Q 为BC 中点时，存在点R 使得1C ，Q ，1D ，R 四点共面【答案】BD【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()1110,0,0,0,2,0,2,0,2,0,0,22,0,0,0,2,2,D D C C A A ，()2,1,0P ，令()01CQ mCB m ≤=≤，()101CR A n nC ≤=≤，则()2,2,0Q m ，()2,22,2R n n n -，因为()10,1,2A P =-，()12,0,2Q m C =-，1140A P C Q ⋅=≠，即1A P 与1C Q 不垂直，A 不正确；而()12,22,22n n D R n =--，1166A P D R n ⋅=-，当1n =时，110A P D R ⋅=，即存在点R 使得11A P D R ⊥，B 正确；当Q 为BC 中点时，()1,2,0Q ，()11,0,2C Q =-，若存在点R 使得1A P ，1C Q ，1D R 共面，则111D R x A P yC Q =+，,R x y ∈，即()()()2,22,220,1,21,0,2n n n x y --=-+-，即2222222y n x n x y n =⎧⎪=-⎨⎪--=-⎩，解得[]10,1n =-∉，C 不正确；当Q 为BC 中点时，若1C ，Q ，1D ，R 四点共面，则1111D R D C D Q λμ=+，,R λμ∈，而()11,2,2D Q =-，()()()2,22,220,2,01,2,2n n n λμ--=+-，即22222222nn n μλμμ=⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩，解得[]10,13n =∈，D 正确.故选：BD42．（2021·云南省泸西县第一中学高二期中）已知空间向量(2,1,),(1,1,0),(1,2,)a m b p t =-=-=-，若,,a b p 共面，则m t +=()A ．1-B ．0C ．1D ．12-【答案】B【解析】若a 、b 、p 共面，则a b p λμ=+，即(2-，1，)(m λμ=-，2λμ-+，)t μ，故221t mλμλμμ-=-⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，故310t m λμ=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，故选：B ．考点7：平行问题43．（2022·四川成都·高二期中（理））若直线l 的方向向量(1,0,1)a =，平面β的法向量(1,1,1)n =-，则（）A ．l β⊂B ．l β⊥C ．l β//D ．l β⊂或l β//【答案】D【解析】因为110a n ⋅=-=，所以a n ⊥，所以l β⊂或l β//.故选：D44．（多选题）（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高二期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．若两条不重合的直线12,l l 的方向向量分别是(2,2,1),(2,2,1)a b =--=--，则12l l //B ．若直线l 的方向向量是(1,1,2)a =，平面α的法向量是(2,2,4)n =---，则l α⊥C ．若直线l 的方向向量是(0,2,0)a =，平面α的法向量是(2,0,2)n =-，则//l αD ．若两个不同的平面,αβ的法向量分别是(3,4,2),(2,0,3)m n =-=-，则αβ⊥【答案】BD【解析】对于A ，因为向量a b ，不平行，所以12l l ，不平行，故A 不正确；对于B ，因为2n a =-，所以//n a ，故B 正确；对于C ，因为()02+20+020a n ⋅=⨯-⨯⨯=，所以a n ⊥，所以//l α或l 在面α内，故C 不正确；对于D ，因为6+060m n ⋅=-+=，所以αβ⊥，故D 正确．故选：BD ．45．（2020·广东顺德德胜学校高二期中）设向量,v μ分别是平面,αβ的法向量，向量(1,2,2),(2,4,)v m μ=-=--，若,αβ平行，则实数m =___________【答案】4【解析】∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，∴(1λ，2，2)(2-=-，4-，)m ，且R λ∈；解得2λ=-，4m =．故答案为：446．（2022·福建宁德·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥.,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.(1)若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB ：【解析】(1)如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =-因为PA ⊥平面ABCD ，所以AD PA⊥又因为,AD AB PA AB A⊥⋂=所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD =所以0MN AD ⋅=，即AD MN⊥又因为MN ⊄平面PAB所以//MN 平面PAB47．（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB ∥DC ，2AD DC AP ===，1AB =.点E 为棱PC 的中点，求证：(1)BE DC ⊥；(2)BE ∥平面PAD ；【解析】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，因为AD AB ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，所以以A 为原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,1)A B C D P E ，所以(0,1,1),(2,0,0)BE DC ==，所以0BE DC ⋅=，所以BE DC ⊥，所以BE DC ⊥，（2）平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)AB =，因为0AB BE ⋅=，所以AB BE ⊥，因为BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD ；48．（2021·广东·湛江二十一中高二期中）如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，每倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)若P 为侧棱SD 上的中点，证明SB //平面PAC ．(2)若SD ⊥平面PAC ，则侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC ？若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．【解析】(1)证明：如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为中点，又P 为侧棱SD 上的中点，所以//OP SB ，又OP ⊂平面PAC ，SB ⊄平面PAC ，所以//SB 平面PAC ；(2)建立如图所示空间直角坐标系：设侧棱SC 上存在一点E ，使得BE //平面PAC ，且SE SC λ=，设正方形ABCD 的边长为1，则,,0,,0,0,B C D S ⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以,,0,,,0,SC SB SD ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则)1BE SE SB SC SB λλ⎛⎫=-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭，因为SD ⊥平面PAC ，所以SD 是平面PAC 的一个法向量，若BE //平面PAC ，则()131022BE SD λ⋅=+-=，解得23λ=，所以侧棱SC 上存在一点E ，使得BE //平面PAC ，且:2:1SE EC =.49．（2021·湖南·怀化五中高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD =，12AB AA ==，N 、M 分别AB 、1C D 的中点.（1）求证：//NM 平面11A ADD ；（2）求证：NM ⊥平面11A B M .【解析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,0,0A 、()0,1,1M 、()1,1,0N 、()11,2,2B 、()11,0,2A ，()1,0,1NM =-，易知平面11A ADD 的一个法向量为()0,1,0m =u r ，1001100NM m ⋅=-⨯+⨯+⨯=，则NM m ⊥，NM ⊄平面11A ADD ，故//NM 平面11A ADD ；（2）设平面11A B M 的法向量为(),,n x y z =，()110,2,0A B =，()11,1,1A M =--，由11100n A B n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y x y z =⎧⎨-+-=⎩，取1x =-，可得()1,0,1n =-，所以，NM n =，故NM ⊥平面11A B M .考点8：垂直问题50．（多选题）（2021·福建·泉州五中高二期中）已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D ，E 分别是BC ，1CC 的中点，点P 满足()11AP xAB y AC x y AB =++--，下列选项正确的是（）A ．当12y =时，AP BC ⊥B ．当21x y +=时，AP BE⊥C ．当x y =时，DEP ∠为锐角D ．当12x y -=时，1//A P 平面ADE 【答案】ABD 【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设棱长为2，则)()()()()1,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0,1,1A B C B E --，所以()()()12,1,0,AB AC AB ==-=，所以()2,2AP y x =-，A.当12y =时，()0,2,0BC =-，420AP BC y ⋅=-=，所以AP BC ⊥，故正确；B.当21x y +=时，()0,2,1BE =-，4220AP BC y x ⋅=-+=，所以AP BE ⊥，故正确；C.当x y =时，()()()0,1,1,0,22,2132ED EP AP AE y x ED EP x y =-=-=--⋅=-+，正负不定，故错误；D.当12x y -=时，()112,22A P AP AA y x =-=--，设平面ADE 的一个法向量为(),,n a b c =，则00DA n ED n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00b c =-=⎪⎩，令1b =，则()0,1,1n =，所以()1210A P n x y ⋅=--=，又1A P ⊄平面ADE ，所以1//A P 平面ADE ，故正确；故选：ABD51．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，则直线l 与平面α的位置关系是______．【答案】垂直或l α⊥【解析】因为直线l 的一个方向向量为()1,2,1a =-，平面a 的一个法向量为()1,2,1b =--，且a b =-r r ，所以a 与b 共线，，所以直线l 与平面α的位置关系为垂直，故答案为：垂直或l α⊥52．（2022·四川·阆中中学高二期中（理））已知平面,αβ的法向量分别为()11,,4n y =，()2,1,2n x =--，若a β⊥，则x y -的值为___．【答案】8【解析】∵a β⊥，∴平面,αβ的法向量互相垂直，∴120n n ⋅=，即1280n n x y ⋅=--=，解得8x y -=,故答案为：8.53．（2021·福建·泉州五中高二期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AB BC CC ===，以D 为坐标原点，向量DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，点P 在平面1111D C B A 上，若DP ⊥平面1ACD ，则点P 的坐标是___________.【答案】1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,【解析】由题意得：()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,1D ，因为点P 在平面1111D C B A 上，所以设点(),,1P m n ，若DP ⊥平面1ACD ，则100DP D C DP AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即21020n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得：121n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以点P 的坐标是1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,故答案为：1112⎛⎫ ⎪⎝⎭,,54．（2020·山东省商河县第一中学高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知2AB AD ==，15AA =，E ，F 分别为1DD ，1BB 上的点，且11DE B F ==．(1)求证：BE ⊥平面ACF ：【解析】（1）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,2,4A B C E F ,设面ACF 的一个法向量为()=,,n x y z ，()()=2,2,0,0,2,4AC AF -=，可得00n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220240x y y z -+=⎧⎨+=⎩，不妨令1z =则()=2,2,1n BE --=,BE ∴⊥平面ACF .55．（2020·宁夏长庆高级中学高二期中（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、1B C 的中点．(1)用向量法证明平面1//A BD 平面11B CD ；(2)用向量法证明MN ⊥平面1A BD ．【解析】（1）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()12,0,2A ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()10,0,2D ，故()12,0,2DA =，()2,2,0DB =，()12,0,2B C =--uuu r ，()112,2,0B D =--，设平面1A BD 的法向量()1111,,n x y z =，则11100DA n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，令11x =，则()11,1,1n =--，设平面11B CD 的法向量()2222,,n x y z =，则1211200B C n B D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x z x y --=⎧⎨--=⎩，令21x =，则()21,1,1n =--，所以12n n =，即12//n n ，故平面1//A BD 平面11B CD ；（2）由M ，N 是线段AB ，1B C 中点，则()2,1,0M ，()1,2,1N ，所以()1,1,1MN =-，则1//MN n ，所以MN ⊥平面1A BD.56．（2021·四川凉山·高二期中（理））如图，在正四棱锥P －ABCD边长为2．点E ，F 分别CD ，BC 中点．求证：(1)PA ⊥EF ；(2)平面PAB ⊥平面PCD ．【解析】（1）连接AC ，BD 交于点O ，连接PO ，由正四棱锥性质OA ，OB ，OP 两两互相垂直，以OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，z轴建系如图．易得2OA 221OP PA OA =-=，∴)2,0,0A ，()0,0,1P ，()2,0B ，()2,0,0C ，()0,2,0D -，22,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2222F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,1PA =-，()2,0EF =，∵0PA EF ⋅=，∴0PA EF ⊥=，即PA ⊥EF ；（2）设平面PAB ，平面PCD 法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =，11112020m PA x z m PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取12z =111x y ==，2)m =，22222020n PD x z n PC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取22z =，则221x y ==，(1,1,2)n =-，1120m n ⋅=+-=，∴m n ⊥，∴平面PAB ⊥平面PCD.57．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，E ，F 分别为棱1AA ，1CC 的中点，G 为棱1DD 上的动点.(1)求证：B ，E ，1D ，F 四点共面；(2)是否存在点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ？若存在，求出DG 的长度；若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：如图所示：连接1D E ，1D F ，取1BB 的中点为M ，连接1MC ，ME ，因为E 为1AA 的中点，所以1111////EM A B C D ，且1111EM A B C D ==，所以四边形11EMC D 为平行四边形，所以11//D E MC ，又因为F 为1BB 的中点，所以1//BM C F ，且1BM C F =，所以四边形1BMC F 为平行四边形，所以1//BF MC ，所以1//BF D E ，所以B ，E ，1D ，F 四点共面；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，假设存在满足题意的点G ，设()0,0,G t ，由已知()1,1,0B ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，则()1,1,0EF =-，()0,1,1EB =-，()1,0,1EG t =--，设平面BEF 的一个法向量为()1111,,x n y z =，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取11x =，则()11,1,1n =；设平面GEF 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n EF n EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()1222010x y x t z -+=⎧⎨-+-=⎩，取21x t =-，则()21,1,1n t t =--；因为平面GEF ⊥平面BEF ，所以120n n ⋅=，所以1110t t -+-+=，所以12t =.所以存在满足题意的点G ，使得平面GEF ⊥平面BEF ，DG 的长度为12.58．（2021·广西·钦州一中高二期中（理））如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ADEF 是梯形，四边形ABCD 为矩形，DE ⊥面ABCD ，//AF DE ，112AF AD DE ===，2AB =(1)求证：//BF 平面CDE ；(2)点G 为线段CD 的中点，求证AG ⊥面DBE ．【解析】(1)证明：如图，建立空间坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，(0,0,2)E ，2,0)B =，(1,0,1)F ，(0,2,1)BF =-uu u r ，DE ⊥面ABCD ，DE AD ∴⊥，且AD DC ⊥，又DE DC D ⋂=，AD ∴⊥面EDC ，(1,0,0)DA ∴=uu u r 为面EDC 的法向量，0DA BF ⋅=uu u r uu u r Q ，DA BF ∴⊥uu u r uu u r ，又BF ⊄平面CDE ，BF ∴∥平面CDE．(2)证明：由（1）可知22G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,02AG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r ，(0,0,2)DE =，2,0)DB =uu u r ，0DE AG ∴⋅=uuu r uuu r ，0DB AG ⋅=uu u r uuu r ，DE AG ∴⊥，DB AG⊥又BD DE D ⋂=，AG ∴⊥面DBE ．59．（2020·天津·高二期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2AB =，2PA =．（Ⅰ）求证：AE PD ⊥；（Ⅱ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ．【解析】证明：以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为E 是PC 的中点，所以E 的坐标为()1,1,1，所以(1,1,1)AE =，又因为()0,2,2PD =-，所以10121(2)0AE PD ⋅=⨯+⨯+⨯-=，所以AE PD ⊥，即有AE PD ⊥；（Ⅱ）因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD AP ⊥，因为AC PA A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()2,2,0BD =-，设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(2,0,2)PB =-，(0,2,2)PD =-uu u r ，由220220n PB x z n PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，1x =，1y =，所以平面PBD 的一个法向量为(1,1,1)n =，因为1(2)12000n BD ⋅=⨯-+⨯+⨯=，所以n BD ⊥，所以平面PBD ⊥平面PAC .。
证明两条直线平行的方法
证明两条直线平行的方法
证明两条直线平行的方法有以下几种：
1. 平行线的定义法：若两条直线在平面上没有交点，且不存在既与一条直线平行又与另一条直线垂直的第三条直线，则可以判断这两条直线是平行线。
2. 使用向量法：设直线l1过点A(Ax, Ay)且与向量u(ux, uy)平行，直线l2过点B(Bx, By)且与向量v(vx, vy)平行。
若向量u与向量v的比值
u/v=(ux/vx)=(uy/vy)，则可判断直线l1和直线l2是平行线。
3. 使用斜率法：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
若k1=k2，则可判断直线l1和直线l2是平行线。
注意要排除垂直于x轴的直线，此时斜率为无穷大。
4. 使用截距法：设直线l1与y轴的交点为A(0, b1)，直线l2与y轴的交点为B(0, b2)。
若b1=b2，则可判断直线l1和直线l2是平行线。
注意要排除垂直于x轴的直线，此时截距为无穷大。
这些方法可以根据具体题目的条件和要求选择合适的方法进行证明。
高考数学空间向量证明平行问题
4.2 直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．2、直线方向向量的应用利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．（1）若有直线l , 点A 是直线l 上一点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB a =，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =，这样，点A 和向量a 不仅可以确定l 的位置，还可具体表示出l 上的任意点．（2）空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定，若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得OP =xa yb +，这样，点O 与方向向量a 、b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α上的任意点．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)2. 从点A (2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31)二、平面的法向量1、所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．2、在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的．三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、若两直线l 1、l 2的方向向量分别是1u 、2u ，则有l 1// l 2⇔1u //2u ，l 1⊥l 2⇔1u ⊥2u ．2、若两平面α、β的法向量分别是1v 、2v ，则有α//β⇔1v //2v ，α⊥β⇔1v ⊥2v ．若直线l 的方向向量是u ，平面的法向量是v ，则有l //α⇔u ⊥v ，l ⊥α⇔u //v1. 设→→b a 、分别是直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系。
使用法向量判定直线与平面的平行性
使用法向量判定直线与平面的平行性使用法向量来判定直线与平面的平行性是一种常见且有效的方法。
本文将介绍该方法的原理、具体步骤以及应用场景，并通过实例说明其实际应用。
一、原理在三维几何中，平面通过一个法向量来定义，该法向量垂直于平面上的任意一个向量。
如果一条直线的方向向量与平面的法向量垂直（即二者的内积等于零），则可以判定该直线与该平面平行。
二、步骤使用法向量判定直线与平面的平行性，需要按照以下步骤进行：1. 确定平面的方程：根据已知条件，可以得到平面的方程，通常为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为一个常数。
2. 确定直线的方向向量：根据已知条件，可以得到直线的方向向量，通常为一个带有参数t的向量（x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct）。
3. 计算法向量和方向向量的内积：将直线的方向向量代入平面的法向量，计算二者的内积。
4. 判断内积的值：根据内积的值来判断直线与平面的平行性。
如果内积等于零，则直线与平面平行；如果内积不等于零，则直线与平面不平行。
5. 结论：根据判断结果得出结论，即直线与平面的平行性。
三、应用场景使用法向量判定直线与平面的平行性在计算机图形学、空间几何等领域有着广泛的应用。
以下是两个具体的应用场景：1. 三维建模：在三维建模中，经常需要判断直线是否与某个平面平行。
例如，在设计室内空间时，需要判断某个直线是否与墙面平行，以便确定家具的摆放位置。
2. 碰撞检测：在游戏开发中，常常需要进行碰撞检测。
使用法向量可以判断游戏中的物体是否发生碰撞。
通过判断物体所在的直线与其他物体所在平面的平行性，可以方便地确定碰撞事件。
实例：判断直线与平面的平行性假设有一个平面的方程为2x + 3y - z + 1 = 0，直线的方向向量为(1, -2, 3)。
下面我们将根据上述步骤来判断直线与平面的平行性。
将直线的方向向量代入平面的法向量，计算二者的内积：(1, -2, 3) · (2, 3, -1) = 2 - 6 - 3 = -7根据内积的值，判断直线与平面的平行性：-7 ≠ 0结论：直线与平面不平行。
用空间向量研究空间中直线、平面的平行(第2课时)(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
n
应用新知
例 1： 如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, E, F 分别为 DD1 和 BB1 的中点.
求证:四边形 AEC1 F 是平行四边形.
分析：要证明四边形 AEC1F 是平行四边形，只需证明对边
平行要证明四边形 AEC1F 的对边平行，只需证明其
对边的方向向量共线即可.
【详解】如下图，以点 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
(2)在建立空间直角坐标系后,主要问题是求出空间两直线的方向向量的
坐标.
应用新知
规律小结
利用空间向量证明线线平行的方法步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标.
(2)求出直线的方向向量.
(3)证明两向量共线.
(4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,
即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证.
1
1
不妨设正方体的棱长为 1，则 A 1, 0, 0 , E 0, 0, , C1 0,1,1 , F 1,1, ,
2
2
1
1
1
1
所以 AE 1, 0, , FC1 1, 0, , EC1 0,1, , AF 0,1, ,
个法向量平行.
(2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化
为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.
应用新知
变式训练：
2. 如 图 , 在 直 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 中 , 底 面 ABCD为 等 腰 梯 形 , AB / /CD ，
直线的方向向量与直线的向量方程
1 (2)MN∥AD1 ,并且 MN AD1 . 2 D1
C1
C
例9. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是面对角线 BA1和AC的前三等分点. 求证： EF∥侧面A1B1CD.
EF EB BA AF
D1 B1
C1
D
F
E
C B
课堂小结
一、基础知识
（一）用向量表示直线或点在直线上的位置
1. 空间直线的向量参数方程（用向量表示直线）： AP ta OP OA ta OP (1 t )OA tOB 2. 用向量表示点在直线上的位置： OP (1 t )OA tOB
l1⊥l2 v1 ⊥ v2
l2
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
思考：
两条直线所成的角与这两条直线的方向
向量的夹角之间有什么关系？
l2 l2
v2
v1 l1
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ ，则它们的 方向向量的夹角与θ 相等或互补.
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 ，则
B(1,1, 0), C (0,1,0), B1 (1,1,1), 1 1 1 1 A1 A1 (1,0,1), M (1,1, ), N ( , , ), 2 2 2 2 BB1 (0,0,1), AC (1,1, 1), 1 1 1 MN ( , , 0), D 2 2 1 1 MN BB1 0 ( ) 0 0 1 0 2 2 A 1 1 MN A1C (1) ( ) 1 0 (1) 0 2 2 MN BB1; MN AC 1 .
8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ——证明平行与垂直
2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2，则
v1∥v2 v l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)⇔_________.
(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面 α 共面的两个
存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2 v v v ______________________________________. v⊥u. u 则 l∥α 或 l⊂α⇔________ u1 ∥u2 u ⇔_________.
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． x＋z＝0， uuur → 则 n· DA1 =0 且 n·DB＝0，得 x＋y＝0. 取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1. ∴n＝(1，－1，－1)． 1 uuuu r 1 MN ·n＝ ，0， ·(1，－1，－1)＝0， 又 2 2
1 x= 1 令 z=1，得 2 ,∴ n = ( , −1,1), 2 y = −1
n 1 2 2 = ±( , − , ). ∴平面 A B C 的单位法向量为 ± |n| 3 3 3
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
uuur uuu r 2 3 2 3 得 AC ⋅ CD ＝0，即 y＝ 3 ，则 D (0， 3 ，0),
uuu r 1 3 ∴ CD ＝ (－ 2， 6 ，0).
uuu r 1 又 AE ＝ ( 4 ，
3 4
1 ， 2)，
uuu uuur r 1 1 3 3 AE ⋅ CD ＝ − 2 × 4 + 6 × 4 = 0 ， ∴ uuu uuur r 即 AE ⊥ CD ，即 AE⊥CD.
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
第02讲一向量法证明平行与垂直知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向星证明空间中的垂直关系宜线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向星方法证明线线与面面的平行关系利用向星方法证明线线垂直平面的法向星利用向星方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲-向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识Si井一・直线的方向向量与直线的向量方程1.点的位置向量在空间中，我们取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量成来表示，我们把向量质称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任一直线I的位置可以由I上的一个定点A以及一个定方向确定，如图，点村是直线，上的一点，向量或表示直线［的方向向量，则对于直线［上任一点户，有步弟，这样点工和向量成,不仅可以确定直线，的位置，还可具体表示出/上的任意点;直线I上的向量S以及与3共线的向量叫做i的方向向量・3.直线I的向量方程直线上任意一点P定存在实数，，使得衣=龙①，①式可以看做直线［的参数方程，直线f的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点。
，点户在直线［上的充要条件是存在唯一的实数，满足等式灵=鬲*②，如果在，上取后=株，则上式可以化为灸=扇以刀=函硕赤-&)=(1-!)宓H房①；①②③都叫做空间直线的向量参数方程.二•平面的法向量1.平面法向量的定义已知平面a，如果向量成的基线与平面a垂直，则向量成叫作平面”的法向量或者说向量成与平面a正交.2.平面法向量的性质(1)平面“上的一个法向量垂直于平面“共面的所有向量；(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行.三.用向量方法证明空间中的平行关系1.牺平行设直线4房的方向向量分别是'，5，则要证明4"《或4与"重合，只需要证明加,即M疗.2.线面平行(1)设直线，的方向向量是a,平面。
的法向量是元，要证明〃r/,只需要证明Sz；=o;(2)根据线面平行的判定定理：如果直线(平面夕卜)与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明2直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行.已知两个不共线向量名逡与平面“共面，一条直线］的一个方向向量为亍，则由共面向量定理，可得E或［在位内9存在两个实数W,使土戒+>£.3平行(1借能求出平面s月的法向量元足，要证明耻，只需要证明河即可.(2)由面面平行的判定定理：要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量相与与平面“共面，则由两平面平行的判定与性质，得。
空间中直线、平面的平行
空间中直线、平面的平行课程标准学习目标1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行的判定定理1.能用直线的方向向量和平面的法向量刻画直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行.2.能分析和解决一些立体几何中有关平行的问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点 用空间向量描述空间线面的平行关系设直线l 1,l 2的方向向量分别为u 1,u 2,平面α,β的法向量分别为n 1,n 2,则 平行关系 对应线面图形满足条件线线平行 l 1与l 2l 1∥l 2⇔ ⇔∃λ∈R,使得u 1=线面 平行 l 1与α (l 1⊄α)l 1∥α⇔ ⇔u 1·n 1=面面平行α与βα∥β⇔ ⇔∃λ∈R,使得n 1=【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( )(2)若向量n 1,n 2均为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行. ( ) (3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行. ( ) (4)若两条不同直线l 1,l 2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l 1∥l 2. ( ) (5)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.( )探究点一 空间向量与平行关系 例1 (1)如图1-4-8所示,图1-4-8,则MN与平正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=√2a3面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内(2)已知l∥α,且l的一个方向向量为m=(2,-8,1),平面α的一个法向量为n=(1,y,2),则y=.(3)设平面α的一个法向量为m=(1,2,-2),平面β的一个法向量为n=(-2,-4,k),若α∥β,则k=.探究点二利用空间向量证明平行关系例2 如图1-4-9,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.证明:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.图1-4-9变式1 如图1-4-10所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP 的中点,N为DE的中点,DM=1DB,DA=DP=1,CD=2.求证:MN∥AP.4图1-4-10变式2 如图1-4-11所示,四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:平面QMN∥平面PAD.图1-4-11[素养小结]证明线、面平行问题的方法:(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示,且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.拓展[2020·衡阳高二检测] 如图1-4-12所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=AC=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.图1-4-121.已知直线l1的一个方向向量为v1=(1,2,3),直线l2的一个方向向量为v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ=()A.1B.2C.3D.42.[2021·安徽滁州九校高二期末] 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,l⊄α,则使l∥α成立的是()A.a=(1,-1,2),n=(-1,1,-2)B.a=(2,-1,3),n=(-1,1,1)C.a=(1,1,0),n=(2,-1,0)D.a=(1,-2,1),n=(1,1,2)3.[2020·天津滨海新区高二期末] 已知直线l的一个方向向量为m=(-2,-8,1),平面α的一个法,2,且l∥α,则实数t=.向量为n=t,124.如图1-4-13所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.求证:CE∥平面C1E1F.图1-4-13空间中直线、平面的平行参考答案【课前预习】知识点u1∥u2λu2u1⊥n10n1∥n2λn2诊断分析(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√[解析] (1)若两条直线平行,则它们的方向向量也平行,故它们的方向向量的方向相同或相反.故正确.(2)若向量n 1,n 2均为平面α的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线可能重合,也可能平行.故错误.(3)由线面平行的判定定理知,若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.故正确.(4)因为b=-2a ,所以l 1∥l 2.故正确.(5)若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.故正确. 【课中探究】探究点一例1 (1)B (2)12 (3)4 [解析] (1)以C 1为坐标原点,分别以C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略).由A 1M=AN=√2a3,可得M a ,23a ,a3,N23a ,23a ,a ,故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a 3,0,23a ,易知平面B 1BCC 1的一个法向量为n=(0,1,0),故MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,即MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n.又MN ⊄平面BB 1C 1C ,所以MN ∥平面BB 1C 1C.故选B .(2)∵l ∥α,∴l 的方向向量m=(2,-8,1)与平面α的法向量n=(1,y ,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,∴y=12. (3)由α∥β得1-2=2-4=-2k,解得k=4.探究点二例2 证明:(1)如图所示,建立空间直角坐标系,则有D (0,0,0),A (2,0,0),C 1(0,2,2),E (2,2,1),F (0,0,1),B 1(2,2,2), 则FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1). 设n 1=(x 1,y 1,z 1)是平面ADE 的法向量, 则{n 1⊥DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即{n 1·DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1=0,n 1·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 1+z 1=0,取z 1=2,则平面ADE 的一个法向量为n 1=(0,-1,2). 因为FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=-2+2=0, 所以FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1.又FC 1⊄平面ADE ,所以FC 1∥平面ADE.(2)由(1)知,FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0). 设n 2=(x 2,y 2,z 2)是平面B 1C 1F 的法向量, 由n 2⊥FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 得{n 2·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2+z 2=0,n 2·C 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2=0,取z 2=2,则平面B 1C 1F 的一个法向量为n 2=(0,-1,2). 因为n 1=n 2,所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.变式1 证明:方法一:如图所示,以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (1,0,0),B (1,2,0),P (0,0,1), E 0,1,12,N 0,12,14,M14,12,0,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-14,0,14, 则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故MN ∥AP. 方法二:由题意可得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AP⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以MN ∥AP.变式2 证明:(1)如图,以A 为原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,设AB=b ,AD=d ,则B (b ,0,0),D (0,d ,0),P (0,0,d ),C (b ,d ,0). 因为M ,N ,Q 分别是PC ,AB ,CD 的中点, 所以Mb 2,d 2,d2,N b2,0,0,Q b 2,d ,0,所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-d 2,-d 2. 因为平面PAD 的一个法向量为m=(1,0,0), 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m=0,即MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m , 又因为MN 不在平面PAD 内,所以MN ∥平面PAD. (2)由(1)知,QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-d ,0), 所以QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m=0,所以QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m , 又QN 不在平面PAD 内,所以QN ∥平面PAD. 又因为MN ∩QN=N ,所以平面MNQ ∥平面PAD.拓展 解:方法一:当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC.证明如下:因为BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+32(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=32AE⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BF⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,又BF ⊄平面AEC ,所以BF ∥平面AEC. 方法二:如图,以A 为坐标原点,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.则A (0,0,0),B√32a ,-12a ,0,C√32a ,12a ,0,D (0,a ,0),P (0,0,a ),E 0,23a ,13a ,所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,23a ,13a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a ,12a ,0,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a ,12a ,-a ,BP⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32a ,12a ,a . 设PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ =√32aλ,12aλ,-aλ,其中0<λ<1,则BF⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a (λ-1),12a (1+λ),a (1-λ),令BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AE⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a (λ-1),12a (1+λ),a (1-λ),则{ √32a (λ-1)=√32aλ1,12a (1+λ)=12aλ1+23aλ2,a (1-λ)=13aλ2,即{λ-1=λ1,1+λ=λ1+43λ2,1-λ=13λ2. 解得{λ=12,λ1=-12,λ2=32,即当λ=12时,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +32AE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故当F 是PC 的中点时,BF⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又BF ⊄平面AEC ,所以当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC. 【课堂评价】1.B [解析] ∵l 1∥l 2,∴v 1∥v 2,∴1λ=24=36,∴λ=2.2.B [解析] ∵直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,l ⊄α,l ∥α,∴a ·n=0.在A 中,a ·n=-1-1-4=-6,故A 错误;在B 中,a ·n=-2-1+3=0,故B 正确;在C 中,a ·n=2-1=1,故C 错误;在D 中,a ·n=1-2+2=1,故D 错误.故选B .3.-1 [解析] ∵l ∥α,∴m ⊥n ,∴m ·n=-2t-4+2=0,解得t=-1.4.证明:以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=1,则C (0,1,0),E (1,0,1),C 1(0,1,2),F (1,1,1),E 11,12,2. 设平面C 1E 1F 的法向量为n=(x ,y ,z ),易知C 1E 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,-12,0,FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),由{n ·C 1E 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·FC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{x =12y ,x =z ,取x=1,则平面C 1E 1F 的一个法向量为n=(1,2,1).因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),所以n ·CE⃗⃗⃗⃗⃗ =1-2+1=0, 所以CE⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又CE ⊄平面C 1E 1F ,所以CE ∥平面C 1E 1F.。
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用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、
平面与平面平行导学案
一、知识梳理
1、设直线l 1和l 2的方向向量分别是为1v 和2v ，由向量共线条件得l 1∥l 2或l 1与l 2重合⇔1
v
∥2v 。
2、直线与平面平行的条件
已知两个不共线向量1v 、2v
与平面a 共面（图（2）），
一条直线l 的一个方向向量为1v
，则由共面向量定理，
可得l ∥a 或l 在平面a 内⇔存在两个实数x 、y ，使
1v ＝x 1v ＋y 2v 。
3、平面与平面平行的条件
已知两个不共线的向量1v 、2v
与平面a 共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得
a ∥β或a 与β重合⇔1v ∥β且2v
∥β
4、点M 在平面ABC 内的充要条件
由共面向量定理，我们还可得到：如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分
必要条件是，存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM x AB y AC =+
成立。
对于空间任意一点O ，由上式可得(1)O M x y O A xO B yO C =--++
，这也是点M 位于平
面ABC 面内的充要条件。
知识点睛 用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意： （1）若l 1、l 2的方向向量平行，则包括l 1与l 2平行和l 1与l 2重合两种情况。
（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。
例1：如图3－28，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点。
求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12
AD ′。
已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。
求证：
MN∥BD，MN＝1
2 BD。
[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS
在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.
例3]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
如图所示，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 相交于AB ，点M ，N 分别在AE ，BD 上，且AM ＝DN .
求证：MN ∥平面BCE .
堂巩固训练
1．设M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为
( )
A ．(－1,3，－3)
B ．(9,1,1)
C ．(1，－3,3)
D ．(－9，－1，－1) 2．已知A (3，－2,4)，B (0,5，－1)，若OC →＝23
AB →，则C 的坐标是 A ．(2，－143，10
3
)
B ．(－2，143，－10
3
)
C ．(2，－143，－103)
D ．(－2，－143，10
3
)
3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB
→⊥AC →，则λ等于( ) A ．λ＝28 B ．λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14
4．已知a ＝(2，－2,3)，b ＝(4,2，x )，且a ⊥b ，则x ＝____.。