信号与系统习题(DOC)

1，某系统（7，4）码

)

()(01201230123456c c c m m m m c c c c c c c ==c 其三位校验

位与信息位的关系为：

231013210

210c m m m c m m m c m m m

=++⎧⎪

=++⎨⎪=++⎩ （1）求对应的生成矩阵和校验矩阵；

（2）计算该码的最小距离；

（3）列出可纠差错图案和对应的伴随式； （4）若接收码字R =1110011，求发码。

解：（1） 10001100

10001100101110001101G ⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

101110011100100111001H ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（2） d min =3 （3）

（4）. RH T =[001] 接收出错

E =0000001 R+E=C = 1110010 (发码)

2.

已知(),X Y 的联合概率(),p x y 为： 求()H X ，()H Y ，(),H X Y ，();I X Y 解:

(0)2/3p x == (1)1/3p x ==

(0)1/3p y == (1)2/3p y ==

()()(1/3,2/3)H X H Y H ===0.918 bit/symbol (),(1/3,1/3,1/3)H X Y H ==1.585 bit/symbol

01

X Y

011/31/30

1/3

();()()(,)I X Y H X H Y H X Y =+-=0.251 bit/symbol

3.一阶齐次马尔可夫信源消息集},,{321a a a X ∈，

状态集},,{321S S S S

∈，且令3

,2,1,==i a S i i ，条件转移概率为

[

]

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=03132313131214141)/(i j S a P ，(1)画出该马氏链的状态转移图；

(2)计算信源的极限熵。 解：(1)

（2）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=++=+=++=++132132

311212331

2311411332231141w w w w w w w w w w w w w w →⎪⎩⎪

⎨⎧===3.03.04.03

21w w w H(X|S 1) =H (1/4,1/4,1/2)=1.5比特/符号

H(X|S 2)=H (1/3,1/3,1/3)=1.585比特/符号

H(X|S 3)=H (2/3,1/3)= 0.918比特/符号

()

3

|0.4 1.50.3 1.5850.30.918 1.3511

H

w H X S i i

i ==⨯+⨯+⨯=∑∞=比特/符号 4.若有一信源⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡2.08.021x x P X ，每秒钟发出2.55个信源符号。 将此信源的输出符号送入某一个二元信道中进行传输 （假设信道是无噪无损的，容量为1bit/二元符号）， 而信道每秒钟只传递2个二元符号。 （1） 试问信源不通过编码（即x 10,x 2

1在信道中传输）

（2） 能否直接与信道连接？

（3） 若通过适当编码能否在此信道中进行无失真传输？

（4） 试构造一种哈夫曼编码(两个符号一起编码)， （5） 使该信源可以在此信道中无失真传输。

解：（1）不能，此时信源符号通过0，1在信道中传输，2.55二元符号/s>2二元符号/s （2）从信息率进行比较， 2.55*(0.8,0.2)H = 1.84 < 1*2 可以进行无失真传输 （3）4

1

0.640.16*20.2*3i i i K p K ===++=∑ 1.56 二元符号/2个信源符号

此时 1.56/2*2.55=1.989二元符号/s < 2二元符号/s 5.

两个BSC 信道的级联如右图所示： （1）写出信道转移矩阵； （2）求这个信道的信道容量。

解： （1）

22122211(1)2(1)112(1)(1)P PP ε

εεεεεεεε

εεεεεεε--⎡⎤

-+-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥----+⎣⎦⎣⎦⎣⎦

（2） 22log 2((1))C H εε=--+

6.设随机变量

}1,0{},{21==x x X 和}1,0{},{21==y y Y 的联合概率空间为

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/18/38/38/1),(),(),(),(22122111y x y x y x y x P XY XY 定义一个新的随机变量Y X Z

⨯=(普通乘积)

（1） 计算熵H （X ），H （Y ），H （Z ），H （XZ ），H （YZ ），以及H （XYZ ）；

（2） 计算条件熵 H （X|Y ），H （Y|X ），H （X|Z ），H （Z|X ），H （Y|Z ），H （Z|Y ），H （X|YZ ），H

（Y|XZ ）以及H （Z|XY ）；

x 1x 1x 1x 2x 2x 1x 2x 2

0.64

1

011100101

0.64

1

（3） 计算平均互信息量I （X ；Y ），I （X ：Z ），I （Y ：Z ），I （X ；Y|Z ），I （Y ；Z|X ）以及I （X ：，

Z|Y ）。

解：（1）

1

2log 2/12log 2/1)(12log 2/12log 2/1)(2222=+==+=Y H X H

8

/1008/308/308/1111

110101100011010001000XYZ

8

/18/71

0Z

8log 8/1)7/8(log 8/7)(22+=Z H 8

/18/302/111

100100XZ

8log 8/1)3/8(log 8/32log 2/1)(222++=XZ H 8

/18/302/111

100100YZ

8log 8/1)3/8(log 8/32log 2/1)(222++=YZ H

（2）

))3/4(log 4/34log 4/1(2/1))3/4(log 4/34log 4/1(2/1)|(2222+++=Y X H ))3/4(log 4/34log 4/1(2/1))3/4(log 4/34log 4/1(2/1)|(2222+++=X Y H

)1log 10log 0(8/1))3/7(log 7/3)4/7(log 7/4(8/7)|(2222+++=Z X H )4log 4/1)3/4(log 4/3(2/1)0log 01log 1(2/1)|(2222+++=X Z H