自控第三章答案

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解： 针对参考输入： 系统开环传递函数为 1 s(T1s 1)(Tm s 1 k kt ) 系统为 1型 。
针 对 扰 动 输 入 ， 系 统型 的为 扰 动 作 用 点 前 前 向 通 道 环及 节反 馈 环 节 所 含 积 分 环 节 的 重。 数这 里 0型 。
B3.38 已知调速控制系统的结构图，如图B3.38所示。试用广 义误差系数法分析在单位阶跃输入信号作用下，折算至输出 端和折算至输入端时系统的稳态误差。
0 s1
（ 18K 10 ） 3 18K 8
可 得 具 有 Re { i } 2 稳 定 裕 量 时 ， K的 取 值 范 围 为 ： 10 （ 18 K 10 ） K 0 18 3 8 18K 8 0 K 18 矛盾
B3.18设单位反馈系统的开环传递函数
G(s) K 1 1 s(1 s)(1 s) 3 6
试确定：（ 1 ） K 的稳定取值范围；（ 2 ）若要求具有 Re ｛ λ i ｝＜－ 1 的稳定裕量， K的取值范围如何；（ 3）若 要求稳定裕量为Re｛λ i｝＜－2，K的取值范围有何改变？ 并分析比较（2）、（3）两项所得的结果。
由 题 图 可 得 ， 系 统 的征 特方 程 ：
2 D（s） s 2 4K d s 4K p s 2 2n s n 0
稳定域： 二 阶 系 统 稳 定 的 充 要件 条 为(s )的 各 项 系 数 同 号 。 故系统的稳定域为 K d 0且K P 0 即 参 数 平 面 的 第 一 象（ 限不 包 括 坐 标 轴 ） ， 不稳定域： K d 0或 K p 0 即参数平面的第 2 ~ 4象 限 （ 包 括 坐 标 轴 ） 。
解： 1 1 折算到输入： ess 0.91 1 k 1 20 0.005 0.91 折算到输出： ess 182 0.005
B3.43 对于图B3.43所示系统，试在Kp-Kd参数平面上画出下 列区域：(1)不稳定域；(2)稳定域；(3)临界阻尼的轨迹；(4) 过阻尼的区域；(5)欠阻尼的区域；(6)抛物线误差系数Ka=40 的轨迹；(7)无阻尼自然振荡频率ωn＝40rad/s的轨迹。
（ 2 ） 令 s s1 1 代 入 特 征 方 程 可 得 ：
3 2 （s 1 1 ） 9 （s 1 1 ） 18 （s 1 1 ） 18K 0
即： 0 K 9
3 2 或 s1 6s1 3s1 18K 10 0
由劳思表：
3 s1 2 s1
1 20 4 100
s1 s0 故系统是稳定的。
(3)s4+4s3+13s2＋36s+K=0
解
（ 1 ） 劳思判据： s4 s3 s2 s1 s0 1 4 4 K 13 36 K K 0
36 K K
36 K 0 若系统稳定，则 0 K 36 K 0
B3.15 分析图B3.15所示的两个系统，引入与不引入反馈时 系统的稳定性 。
这说明，无论 K怎样取值，系统不可能 具有 Re { i } 2的稳定裕量。
综 上 所 述 ： 通 常 稳 定量 裕要 求 越 高 ， K的 最 大 允 许 值 就 越 小 ； 当 稳 定 裕 量 要 求高 过时 （ 如 { i } 2 ），特征方程出 现系数为负的 (或 缺 项 )， 系 统 成 为 结 构 性 不 定 稳的 ， 即 无 论K为 何 值 ， 系 统 都 是 不 定 稳的 。
解 10(s 1) 不 引 入 反 馈 (s ) s(s 1)(s 5) 显然不稳定。 引 入 反 馈 D(s ) s(s 1)(s 5) 10(s 1) 0 由 劳 斯 判 据 可 知 ， 系闭 统环 稳 定 。
解 不 引 入 反 馈 显 然 不 稳。 定 引 入 反 馈 D(s) s(s 1)(s 5) 5s 10 0 由 劳 斯 判 据 可 知 ， 系闭 统环 仍 然 不 稳 定 。
2
B3.33 已知单位反馈系统的开环传递函数G(s)或闭环传递函 数 Φ (s) 如下所示。当输入信号分别为 1(t) 、 t 和 t2 时，试求 系统的Kp、Kv、Ka值以及相应的跟踪稳态(终值)误差：
( 2)由 G (s )
7(s 1) s(s 4)(s 2 2s 2)
(c)当r(t ) t 2u s (t )时 ， 用 长 除 法 ， 将 误 差 传函 递数 展 开 s 的 升 幂 级 数 ： 1 e (s ) 1 G (s ) 8s 10s 2 6s 3 s 4 7 15s 10s 2 6s 3 s 4 1.143s 1.0207 s 2 于 是 ： C0 0 C1 1.143 而 rs (t ) t 2， 故 2C1t 2C 2 2.286t 2.0414 s (t ) 2t , r
1 6
3 18K 10
s1 1
0 s1
28 18K 6 18K 10 5 14 K 即 0.556 K 1.556 9 9
可 得 具 有 Re { i } 1 稳 定 裕 量 时 ， K的 取 值 范 围 为 ： 28 18K 0 18K 10 0 或

10 0.5 2 n t d 0.14s
1 2
100 ％ 16.3％
1 2 tr 0.24s 其 中 ： arctg d 3 0.6s ts 0.8s 5％ 2％ 0.83 N 1.1 5％ 2％
K a 40的 轨 迹 ： 系 统 的 抛 物 线 误 差 系为 数： K a l i ms G (s ) l i ms
2 s0 s0 2
4(K p K d s) s
2
4K p
Kp
临界阻尼
欠阻尼
过阻尼
0
Kd
令 ：K a 4K p 40, 可 得 ： K p 10 ， K a 40 的 轨 迹 为 纵 轴 截 距 K p 10的 水 平 线 。 n 40 的 轨 迹 ： 由特征方程可得： 402 n 4K p， 令 ： n 40 可 得 ： Kp 100 4 故 ：n 40 的 轨 迹 为 纵 轴 截 距 为 ： K p 400 的 水 平 线 。
B3.13 已知系统的特征方程如下所列，试分别用劳斯判据 和赫尔维茨判据分析系统的稳定性，并确定系统稳定时其可 变参数K或T的取值范围。 (1)s3+20s2+9s+100=0 (3)s4+4s3+13s2＋36s+K=0
解
（1） 劳 思 判 据 ： s3 s
2
赫尔维茨判据： 9 100 D2 20 1 100 9 80 0
0.875(s 1) s(0.25s 1)(0.5s 2 s 1) Ka 0
可 知 系 统 为 1 型 的 ， 于 是 K p ， K v K 0.875, （a） 当r(t ) u s (t )时 ， esr 0 1 1 （b） 当r(t ) tus (t )时 ， esr 1.14 K v 0.875
Kp
不稳定
稳定
0
Kd
不稳定
不稳定
临界阻尼轨迹： D（s） s 2 4K d s 4K p 0出 现 重 根 时
2 2 临界阻尼条件为 4： Kd 4 4K p 0 2 即 ：K d K p ,以 纵 轴 为 对 称 轴 的 抛 线 物。 2 过阻尼区： Kd K p 0， 抛 物 线 外 则 区 域 2 欠阻尼区： Kd K p 0， 抛 物 线 内 则 区 域
B3.21 当输入信号为单位阶跃函数时试确定下列系统的各项 暂态性能指标，并概略地绘制其单位阶跃响应曲线：
2 10 100 n ( 2)因 (s ) 2 0.1 2 0.1 2 2 s 10s 100 s 10s 100 s 2 n s n
可得： n 100 10s 1 故 系 统 的 暂 态 性 能 指为 标： tp 0.36s d p e /
(i)
C 2 1.0207, s (t ) 2 r rs( i ) (t ) 0 i 3,4
e sr (t ) Ci rs (t )
B3.34 设控制系统的结构图，如图 B3.34(a) 和 (b) 所示。试 确定对参考输入信号 r(t) 和扰动信号 d(t) 而言，它们分别是 几型系统?
B3.24 已知五个二阶规范系统的闭环极点分布，如图 B3.24 所示。试列表比较它们的暂态性能：响应的快速性，按调节时 间的长短分为快、较快、慢、很慢四档；响应的平稳性，按超 调量的高低分为差、较差、较好、不振荡四档；振荡的频率分 为高、低、无振荡三档。
系统特性 1 2
快速性 较快 较快 快 慢 很慢
解 系统的特征方程为： (s ) 1 G (s ) 0 (1) 由 劳 思 表 ： s3 s2 s1 s0 9 18 2K 18K 1 18 18K 即 ： s 3 9s 2 18s 18K 0
18 2K 0 可得K的稳定取值范围为： 18K 0
ห้องสมุดไป่ตู้
平稳性 较差 差 较好
振荡频率 低 高 低 无振荡 无振荡
3
4 5
不振荡 不振荡
B3.26 设某二阶规范系统的单位阶跃响应曲线，如图B3.26所 示。试确定系统的阻尼比和无阻尼自然振荡频率，以及系统 的开环传递函数。
p e
/ 1 2
100 ％ 1.3 1 30％
0.356 td 0.1s d 31.4 d n 33.6 系 统 为 二 阶 规 范 系 统 开 环 传 递 函 数 为 n 1129 s(s 2n ) s(s 23.9)