抽象函数问题解法

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抽象函数定义域三种题型及解法

抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域．分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域：由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]，再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}．四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。

抽象函数问题求解的常用方法

抽象函数问题求解的常用方法
高中数学中，抽象函数的解题方法主要包括以下几个方面：
1.确定定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是解题的基础，需要根据题目中给出的条件进行确定。

2.运用函数性质：抽象函数和一般的函数一样，具有诸如奇偶性、周期性、单调性等函数性质。

在解题过程中，可以根据这些性质进行分析和推导，从而得出结论。

3.运用复合函数的性质：抽象函数可能会出现复合函数的形式，运用复合函数的性质可以将抽象函数化简，从而更加方便进行分析和计算。

4.利用函数的图像特征：抽象函数的图像特征包括零点、极值、拐点等，在解题过程中可以结合图像特征进行分析，进一步确定函数的性质和变化趋势。

需要注意的是，抽象函数作为高中数学中的一个较为高级的知识点，需要学生掌握一定的数学基础和思维方法，例如函数图像的绘制、导数和微积分等知识。

因此，在学习抽象函数时，需要逐步扩充自己的数学知识面，并不断提高自己的数学思维能力和分析能力。

关于抽象函数问题的解法

抽象函数问题有关解法一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

三类抽象函数问题的解法分析

解题宝典由于抽象函数没有具体的函数解析式，所以抽象函数问题一般具有较强的抽象性，解题时往往要仔细研究已知关系式和函数的性质，才能找到解题的突破口.下面结合实例，谈一谈三类抽象函数的解法.一、判断抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性主要是利用函数单调性的定义.可首先设x 1＞x 2，并将其代入已知关系式中，构造出f ()x 1-f ()x 2、f ()x 1f ()x 2，并确定f ()x 1-f ()x 2与0、f ()x 1f ()x 2与1之间的大小关系，以便根据函数单调性的定义判断出抽象函数的单调性.一般地，若f ()x 1>f ()x 2，则函数单调递增；若f ()x 1<f ()x 2，则函数单调递减.对于复合函数，需遵从“同增异减”原则进行判断.例1.已知f (x )的定义域为R ,f ()x +y +1=f ()x +f (y ),f æèöø12=0.当x >12时，f (x )<0.试判断f (x )的单调性.解：设x 1,x 2∈R ，且x 1<x 2，可得x 2-x 1>0，∴x 2-x 1+12>12，∴f (x 2-x 1+12)<0.f ()x 2-f ()x 1=f ()x 2-x 1-1=f ()x 2-x 1+f æèöø12-1=f (x 2-x 1+12)<0，∴f ()x 2<f ()x 1,即函数f (x )在R 上为减函数.解答本题主要运用了函数单调性的定义，设出x 1<x 2，并根据已知关系式判断出f ()x 2、f ()x 1的大小关系即可判断出函数的单调性.二、比较抽象函数值的大小由于抽象函数没有具体的解析式，因此要比较抽象函数值的大小，需灵活运用函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性.解题时，需先根据已知条件和关系式，将需要比较的函数值转化为类似于f ()x 0的形式，然后根据奇偶性、周期性、对称性将所要比较的函数值进行代换，使其自变量在同一个单调区间内，再根据函数的单调性来比较两个函数值的大小.例2.已知偶函数f ()x 在[]2,4上单调递减，请比较f æèçöø÷log 128与f æèçöø÷3log 3π2的大小.分析：先化简x 1=log 128、x 2=3log 3π2，然后根据函数f ()x 是偶函数，将x 1、x 2转化到已知区间[]2,4上，再根据函数的单调性进行比较.解：log 128=-3，3log3π2π24，∵f ()x 是偶函数，∴f ()x =f ()-x ，∴f ()3=f ()-3，∵3>π24，且在区间[]2,4上函数f ()x 单调递减，∴f ()3<f æèçöø÷π24，∴f æèçöø÷log 128<f æèçöø÷33π2.三、解抽象函数不等式抽象函数不等式问题具有较强的综合性.解答此类问题的关键是根据函数的性质和已知关系式将函数符号“f ”去掉，将抽象函数不等式转化为常规不等式来求解.在去掉函数符号“f ”的过程中，要灵活运用函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性.例3.已知f ()x 在()0,+∞上单调递增，解不等式f ()x >f (8(x -2)).解：根据题意可知，f ()x 在()0,+∞上单调递增，可得ìíîïïx >0，8()x -2>0，x >8()x -2，解得2<x <167，故不等式f ()x >f (8(x -2))的解集为{}x |2<x <167.在解答本题时，需将f ()x 、f (8(x -2))的自变量置于定义域内，然后根据函数的单调性去掉函数符号“f ”，从而得到不等式组,解该不等式组即可求得不等式的解.虽然抽象函数问题看起来比较难，但是我们只要根据已知关系式、已知条件以及单调性、周期性、奇偶性的定义明确函数性质，再通过转化、等量代换便能轻松求得问题的答案.（作者单位：41。

如何解答抽象函数问题

解题宝典抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x ，y 都有f ()x +y =f ()x +f ()y ，当x >0时恒有f ()x >0，且f ()-1=-2，求函数f ()x 在区间[]-2,1上的值域.解:令x 1=y ，x 2=x +y ，可得x 2-x 1>0，∵f ()x 2-f ()x 1=f ()()x 2-x 1+x 1-f ()x 1=f ()x 2-x 1+f ()x 1-f ()x 1>0，∴f ()x 1<f ()x 2，可得f ()x 在R 上单调递增，∴当x ∈[]-2,1时，f ()-2≤f ()x ≤f ()1，∵f ()-2=f ()-1-1=f ()-1+f ()-1=-4，f ()1=f ()-1+2=f ()-1+f ()2=f ()-1+f ()1+f ()1=2，∴f ()x 在区间[]-2,1上的值域为[]-4,2.解答本题，需对已知关系式f ()x +y =f ()x +f ()y 进行赋值，令x 1=y ，x 2=x +y ，通过等量代换判断出f ()x 2-f ()x 1的符号，便可判断出函数f ()x 的单调性.再根据函数的单调性，即可求得抽象函数的值域.二、抽象函数的单调性问题抽象函数的单调性问题通常要求根据已知关系式或函数的性质判断函数的单调性，求得函数的单调区间.解答此类问题，需灵活运用单调性的定义.解题的基本思路为：①在定义域内任选两个数x 1、x 2，且使x 1＜x 2，②结合已知条件，化简f ()x 2-f ()x 1或f ()x 2f ()x 1，并将其与0、1比较，③得出结论.若f ()x 2>f ()x 1，则函数在定义域上单调递增；若f ()x 2<f ()x 1，则函数f ()x 单调递减.例2.已知对任意x ∈R ，恒有f ()x >0，当x >0时，f ()x >1.对任意x ,y ∈R ，均有f ()x +y =f ()x f ()y ，试证明：f ()x 在R 上单调递增.分析：我们需先设出x 1，x 2，然后通过等量代换，判断出f ()x 2f ()x 1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f ()x 在R 上单调递增.证明：令x 1<x 2，则f ()x 2>0，f ()x 1>0，x 2-x 1>0，f ()x 2f ()x 1=f ()x 2-x 1+x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1f ()x 1f ()x 1=f ()x 2-x 1>1,所以f ()x 2>f ()x 1，故函数f ()x 在R 上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x =0、1、-1、-x 等，并将其代入式子中，以便判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.若f ()-x =f ()x ，则函数为偶函数；若f ()-x =-f ()x ，则该函数为奇函数.例3.若函数f ()x ，g ()x 的定义域为R ，对于任意x ,y ∈R ，均有f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y ，且f ()0≠0，试判断函数f ()x 的奇偶性.解:令x =y =0，由f (x +y )+f ()x -y =2f ()x f ()y 可得2f 2()0=2f ()0，因为f ()0≠0，所以f ()0=1，令x =0，可得f ()0+y +f ()0-y =2f ()0f ()y =2f ()y ，则f ()y =f ()-y ，故函数f ()x 为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x =y =0，通过多次赋值，才能判断出f ()-x 与f ()x 之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼41。

关于抽象函数有关问题的解法

求证：偶函数。为
：一＋：（＋）３＋）：ｌ三）＋）：）（一
证明：ｘＯ则已知等式变为ｆ）ｆｙ２（ｆ）令＝，（＋（）ｆ）ｙｙ一＝０（……①
又‘ ＋：＋．一三ｉｆｒ＝｛
’
．
在① 中令ｙ０２（）２（＝则ｆ－ｆ）Ｏｏ
学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：
一
．
．
ｘ＋（）三￣ｆｘ－（ｘ＝一二： ……② ）ｇ一：二：ｘ（）ｇ）－－ｔＩ
显
＋ ②即可消去ｇ）（，ｘ求出函数ｆ）（＝ｘ
再代人①求出
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例６设ｘ的定义域为自然数集，满足条件ｆ＋）ｘ＋＋：）且（１）ｘ（
ｘ，ｆ）１求）ｙ（＝，ｘ。及１解：．（）义域为Ｎ，ｙｌ ‘ｆ的定 ’ｘ取＝，ｆ＋）ｆ）ｘ１则有（１（＋＋ｘ＝ｘ
‘ ． ’
解：１ｍ＋１ｍ）得ｆ一）ｆ－由一）一＜Ｏ（ｍ＜一（ｍ）１１，
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抽象函数的常见解法

抽象函数的常见解法抽象函数的常见解法2019年3月抽象函数是指函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法均未给出，只给出函数记号f(x)的一类函数. 这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。

因此，这类问题在高中数学的各类考试中经常出现。

下面谈谈这类问题常见的几种解法：一、赋值法先以特殊值作尝试，在探索中发现题中条件遵循某些规律或特点, 从而使问题得以解决。

这类问题经常出现, 要认真理解其解题的要领和方法。

例1设函数f(x)的定义域为自然数集，若f(x+y) = f(x)+f(y)+x 对任意自然数x,y 恒成立，且f(1) = 1，求f(x)的解析式。

分析:当令y=1时, 可得f(x＋1)=f(x)＋x ＋1, 这相似于数列中的递推关系, 再利用相应的递推关系可求出函数的解析式。

解：令y = 1, 则f(x+1) = f(x)+f(1)+x = f(x)+x+1，∴ f(1) = 1f(2)= f(1) +2f(3) = f(2) +3…f(n) = f(n－1) +nn(n+1)各式相加得：f(n) = 1+2+3+…+n = 2∴ f(x) = x(x+1) 2例2已知函数f(x)满足f(x+y)＋f(x－y) = 2 f(x) · f(y)，x ∈R,y ∈R, 且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数。

分析: 当令 x=y=0时, 可得f(0)=1,再利用题中条件变形求解。

证明：令x = y = 0∴ f(0) +f(0) = 2f 2 (0)∵ f(0) ≠ 0, ∴ f(0) = 1令 x = 0 , 则 f(y) + f(－y) = 2f(0) · f(y)∴ f(－y) = f(y), ∵ y∈R,∴ f(x)是偶函数例3 已知函数f(x)的定义域为(0 , + ∞ )，对任意x > 0, y> 0恒有f(xy) = f(x) + f(y)1求证：当x > 0时, f( ) = －f(x) x1分析:当令x=y=1时, 可得f(1)=0,再灵活运用f(1)=f(x· )可求得。

抽象函数问题有关解法

抽象函数问题有关解法（7）一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=- 2.凑配法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。

抽象函数常见题型和解法

抽象函数的常见题型及解法一、抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是：由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是：由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

抽象函数几类问题的解题方法与技巧

一、求解析式的一般方法 1、换元法例1：已知f(x+1)=x 2-2x 求f(x)解：令t=x+1则x=t-1 f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t 2-4t-3∴f(x)=x 2-4x-3换元法是解决抽象函数问题的基本方法，换元法包括显性换元法和隐性换元法。

2、方程组法例2：若函数f(x)满足f(x)+2f(x1)=3x ，求f(x) 解：令x=x 1则f(x 1)+2f(x)= x 3 f(x)+2f(x 1)=3x ＝＞f(x)= x 2-x2f(x)+f(x 1)=x 3∴f(x)= x2-x例3 .例43、待定系数法例5：如果f[f(x)]=2x-1则一次函数f(x)=______ 解：f(x)是一次函数∴不妨设f(x)=ax+b(a ≠0)则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b 又已知f[f(x)]=2x-1例6：已知f(x)是多项式函数，解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

二、判断奇偶性的一般方法在奇偶性的求解中，常用方法是赋值法，赋值法中常见的赋值有-1、0、1。

例7 定义在（-1、1）上的函数f(x)满足。

（1）对任意x、y∈ (-1、1) 都有f(x)+f(y)=f()（2）当x∈ (-1、0) 时,有f(x)＞0求证（I）f(x)是奇函数,（II）f(证明：（1）令x=y=0，则2f(0)=f(0) ∴f(0)=0令y=-x，则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(=f(0)=0∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)是奇函数例8定义在R上的函数f(x)，对任意 x,y属于R,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0（1）求证f(0)=1 （2）求证y=f(x)是偶函数证明：（1）令x=y=0∴f(0)+f(0)=2×f(0)2∵f(0)≠0∴f(0)=1(2)令x=0则f(0+y)+ f(0-y)=2 f(0)f(y)f(y)+f(-y)=2f(y) ＝＞f(-y)=f(y) ＝＞y=f(x)是偶函数例9.对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+1)=f(0)+2f[(1)]2,三、单调性的求解方法例6：定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x 、y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时，f(x)＜0恒成立。

抽象函数常见题型解法

教学实践2014-05不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即为抽象函数。

一般形式为y=f（x），或许还附有定义域、值域等，如，y=f（x），（x>0，y>0）。

由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象集于一身，所以在各地高考试题中不断出现；学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就这类问题的解法归类如下：题型一：求抽象函数的定义域例1.已知函数f（x-1）的定义域为［0，3］，求f［log12（3-x）的定义域。

解析：自变量x的取值范围即为函数的定义域，因此函数f（x-1）中x-1∈［-1，2］，所以log12（3-x）∈［-1，2］，所求定义域为［1，114］一般情况下，函数y=f（x）定义域为［a，b］，则函数y=f（g（x））的定义域为不等式a≤g（x）≤b的解集；函数y=f（g（x））的定义域［a，b］，则函数y=f（x）定义域为g（x）（x∈［a，b］）的值域。

题型二：求抽象函数值例2.已知函数f（x）满足：当x>4时，f（x）=（12）x，当x<4时，f（x）=f（x+1），求f（2+log23）的值。

解析：首先判断2+log23∈［3，4］，再根据当x<4时，f（x）=f（x+ 1）得f（2+log23）=f（3+log23），所以f（2+log23）=（12）3+log23=124。

题型三：求抽象函数的解析式例3.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=1x-1，求f（x）和g（x）。

解析：用-x代换x得：f（-x）+g（-x）=1-x-1，由于已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以-f（x）+g（x）=1-x-1，与已知条件解方程组即可得f（x）和g（x）解析式.题型四：判断或证明抽象函数的奇偶性例4.已知函数f（x）（x∈R，x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），试判断函数f（x）的奇偶性。

求解抽象函数问题的思路

探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

抽象函数常见题型和解法

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例析求解抽象函数问题的几种途径

解题宝典抽象函数问题对同学们的抽象思维能力和分析能力有较高的要求.抽象函数问题中往往不会给出具体的函数解析式，要求我们根据已知条件求函数的单调区间、最值、定义域，解函数不等式.下面结合实例，谈一谈解答抽象函数问题的几种途径.一、利用函数的单调性对于一些有关抽象函数的值域、单调区间、函数不等式、单调性问题，通常需根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，进一步利用函数的单调性解题.在利用函数的单调性解题时，往往要先根据题意确定函数的定义域，判断抽象函数的单调性和单调区间，再根据函数的单调性建立关系式.例1.函数f()x是定义在R上的奇函数，且满足以下两个条件：①对任意x、y∈R，都有f()x+y=f()x+f()y；②当x>0时，f()x<0，且f()1=-2.则函数f()x在区间[]-3,3上的值域为_____.解：设x1,x2∈[]-3,3，且x1>x2，则f()x1-f()x2=f()x1+f()-x2=f()x1-x2<0，所以f()x1<f()x2，则函数f()x在区间[]-3,3上是减函数，所以f()x max=f()-3=-f()3=-f()1+2=-f()1-f()1+1=-3f()1=6，f()x min=f()3=-f()-3=-6，即函数f()x在区间[]-3,3上的值域为[]-6,6.我们根据函数单调性的定义，先令x1,x2∈[]-3,3，x1>x2；然后将f()x1-f()x2，判断出差式的符号，即可判断出函数的单调性；再根据函数在[]-3,3上的单调性确定函数的最值点，即可解题.对于闭区间上的函数最值问题，通常要重点关注区间端点值，由函数的单调性可知函数的最值往往在区间端点处取得.例2.已知函数f()x对于任意正数a,b都有f()ab=f()a⋅f()b，且f()0=1，当x>1时，f()x>1，若f()x⋅f()5-x>1，求x的取值范围.解：令x1,x2∈()0,+∞，x1<x2，则f()x2f()x1=f()x2x1⋅x1f()x1=f()x2x1f()x1f()x1=f()x2x1，因为x2x1>1，所以f()x2f()x1=f()x2x1>1，f()x2>f()x1，可知函数f()x在()0,+∞上单调递增，因为f()ab=f()a f()b，所以不等式f()x f()5-x>1等价于f()x()5-x>f()0，可得x()5-x>0，解得0<x<5，故x的取值范围为()0,5.首先将f()x1、f()x2作商，即可根据函数单调性的定义判断出抽象函数在()0,+∞上的单调性；然后利用函数的单调性去掉f()x()5-x>f()0中函数符号“f”，将不等式转化为常规不等式，即可通过解不等式求得问题的答案.解函数不等式，通常要将不等式中的自变量转化到同一单调区间内，才能根据函数的单调性将问题转化为常规不等式问题.二、换元对于含有复杂式子、复合函数的抽象函数问题，往39往要采用换元法求解.即将复杂的式子、复合函数中的某一部分式子用一个新元替换，即可将函数简化，根据函数的性质、定义域求得问题的答案.例3.已知函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，求函数y =f ()x +3的定义域.解：由函数y =f ()2x 的定义域为[]-1,1，可知-1≤x ≤1，∴-2≤2x ≤2，设t =2x ，∴y =f ()t 的定义域为[]-2,2，令t =x +3，可得-2≤x +3≤2，解得-5≤x ≤-1，∴函数y =f ()x +3的定义域为[]-5,-1.函数y =f ()2x 、y =f ()x +3均为复合函数，而y =f ()2x 中的2x ，y =f ()x +3中的x +3均与y =f ()x 中的x 的意义相同，于是令t =x +3，并将t 替换2x ，通过等量代换，求得函数y =f ()x +3的定义域.三、数形结合数形结合法是解答函数问题的重要思想方法.在解答抽象函数问题时，我们可以先根据已知条件确定抽象函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性；然后画出相应的函数图象，以明确函数图象的变化趋势，尤其要关注函数的最高点、最低点、单调区间、对称轴、对称中心、周期；再建立新的关系式，即可求得问题的答案.例4.已知f ()x 在R 上是奇函数，在区间[]0,2上单调递增，且f ()x -4=-f ()x .若方程f ()x =m ()m >0在区间[]-8,8上有四个不相等的根x 1、x 2、x 3、x 4，求x 1+x 2+x 3+x 4的值.图1解：∵f ()x 在R 上是奇函数且满足f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -4=f ()-x ，f ()4-x =f ()x ，∴函数的对称轴为直线x =±2，且f ()0=0，∵f ()x -4=-f ()x ，∴f ()x -8=f ()x ，∴函数的周期为8，∵函数f ()x 在区间[]0,2上单调递增，∴函数f ()x 在区间[]-2,2上单调递增，令x 1<x 2<x 3<x 4，根据图象的对称性可知x 1+x 2=-12，x 3+x 4=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=-12+4=-8.解答本题，需先根据已知条件确定函数的对称轴、周期以及单调性；然后画出f ()x 的大致图象，即可通过研究图象的变化情况，确定f ()x 与函数y =m 在区间[]-8,8上的4个交点的位置；再结合图象的对称性，求出x 1+x 2+x 3+x 4的值.例5.设函数f ()x 满足f ()2+x =f ()2-x ，f ()x 在[)2,+∞上是减函数，若f ()3x -1>f ()x +3，则x 的取值范围是_________.解：由题意知f ()x 的图象关于直线x =2对称，∵f ()x 在[)2,+∞上是减函数，∴f ()x 在()-∞,2上是增函数，其图象如图2所示.图2∵f ()3x -1>f ()x +3，可知点()3x -1,0到点()2,0的距离比点()x +3,0到点()2,0的距离小，∴||()3x -1-2<||()x +3-2，将不等式两边的式子平方并化简得：2x 2-5x -2<0，解得：12<x <2，∴x 的取值范围为()12,2.首先根据已知关系式确定函数的对称轴x =2和函数的单调性，即可画出函数的图象；然后结合图象，比较出点()3x -1,0和点()x +3,0到点()2,0的距离的大小关系，进而得到新不等式，通过解不等式得到x 的取值范围.解答抽象函数的问题方法很多，同学们只需根据已知条件和解题需求，进行赋值、换元、画图，灵活运用函数的性质，选择合适的方法，即可快速获得问题的答案.（作者单位：安徽省临泉第一中学）解题宝典40。

高一数学抽象函数常见题型解法综述

高一数学抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数f(某2)的定义域是［1，2］，求f（某）的定义域。

22解：f(某2)的定义域是［1，2］，是指1某2，所以f(某2)中的某满足1某4从而函数f（某）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数f((某))的定义域是A，求f（某）的定义域问题，相当于已知f((某))中某的取值范围为A，据此求(某)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3某)]的定义域。

例2.已知函数f(某)的定义域是[12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[1，2]中，解：f(某)的定义域是[1由此可得1log1(3某)2()3某()21221211某114所以函数f[log1(3某)]的定义域是[1，211]4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（某）的定义域是A，求函数f((某))的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知(某)的值域B，且BA，据此求某的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3.已知定义域为R的函数f（某），同时满足下列条件：①f(2)1，f(6)1；②f(某y)f(某)f(y)，5求f（3），f（9）的值。

解：取某2，y3，得f(6)f(2)f(3)欲求的f（3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4.设函数f（某）定义于实数集上，对于任意实数某、y，f(某y)f(某)f(y)总成立，且存在某1某2，使得f(某1)f(某2)，求函数f(某)的值域。

解：令某y0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。

若f(0)0，则f(某)f(某0)f(某)f(0)0，对任意某R均成立，这与存在实数某1某2，使得f(某1)f(某2)成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。

抽象函数问题求解的几种常用求法

抽象函数问题求解的几种常用求法抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数。

如函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特定的运算性质等。

它是高中数学函数部分的难点，由于抽象函数没有具体的解析式作为载体，因此理解起来比较困难，那么怎样求解抽象函数问题呢？以下介绍几种解抽象函数问题的方法。

一．特殊化方法1. 在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，如将x 换成x -或将x 换成1x 等。

2. 在求函数值时，可用特殊值（如0或1或-1）“代入” 例1.已知()f x 满足()123363f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。

解：先令3u x =，解出3u x =，于是有：()1232f u f u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭-----------①再以1u代替u 得：()1223f f u u u ⎛⎫+=⎪⎝⎭------------②联立①、②式解方程组，并消去1f u ⎛⎫⎪⎝⎭，解得()6455u f u u=-即所求解析式为：()6455x f x x=-例2. 若对一切自然数a 、b 都有()()()f a b f a f b ab +=++且()11f =，求()f x 的解析式。

解：利用特殊值法令1a =，等式变为：()()()()111f b f f b b f b b+=++=++，即：()()11f b f b b +-=+，注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令1b =，有()()2111f f -=+2b =，有()()3221f f -=+1b n =-，有()()()111f n f n n --=-+将以上1n -条等式左右两边分别相加，得：()()()()1123111f n f n n -=++++-+⨯-即：()()()1123111f n n n =+++++-+⨯-()11232n n n -=++++=即所求解析式为：()()12x x f x -=二．函数性质法函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性、特殊点等）反应出来的，抽象函数也是如此。

抽象函数问题常见题型及解法

抽象函数问题常见题型及解法江苏省赣榆县海头高级中学 222111 胡继缙抽象函数是指仅给出函数的某些性质，而不给出函数解析式的函数，解题时可以根据已有的性质，如：周期性、奇偶性、单调性、图象对称性等，采用灵活的方法，如：换元法、赋值法、等价转化法、构造方程（组）或不等式（组）等方法。

本文就这类题型及解法作一简单介绍。

一、求函数解析式求解此类问题，通常利用换元法或利用函数的周期性，构造方程组.例1 已知对非零实数x ，恒有x xf x f 3)1(2)(=-，求)(x f . 解由题意得，用x 1代换x ，可得xx f x f 3)(2)1(=- 于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-x x f xf x x f x f 3)(2)1(3)1(2)( 将)(x f 视作为未知数，解之得xx x f 2)(--=. 例2 已知函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且满足11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.解由题意得，用x -代换x ，得11)()(--=-+-x x g x f ∵)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f将)(x f 视作为未知数，解之得11)(2-=x x f ，1)(2-=x x x g . 二、求函数定义域例3 已知函数)23(+x f 的定义域为（-2，1），求函数)3()(2+-x f x f 的定义域.求解此类问题，通常利用换元法.解令23+=x t ，由)1,2(-∈x ，可得54<<-t∴函数)(x f 的定义域为（-4，5）又由⎩⎨⎧<+<-<<-534542x x ，得25<<-x∴函数)3()(2+-x f x f 的定义域为)2,5(-.三、求函数值求解此类问题，通常利用函数的周期性，将自变量的值化归到给定的区间上.例4 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时， x x f =)(，则)5.7(f 等于（）.（A ）0.5 （B ）-0.5 （C ）1.5 （D ）-1.5解由 )()2(x f x f -=+，可得)()4(x f x f =+∴函数)(x f 是周期函数，且函数最小正周期4=T结合函数是奇函数，则)5.0()5.0()85.0()5.7(f f f f -=-=+-= 又∵10≤≤x 时，x x f =)(∴5.0)5.0(=f ， ∴5.0)5.7(-=f ，故选（B ）.四、求函数最值问题求解此类问题，通常要确定函数在给定的区间上的单调性，利用单调性求最值.例5 设函数)(x f 为奇函数，对任意R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，0)(<x f ，2)1(-=f ，求)(x f 在[-3，3]的最大值和最小值.解设3321≤<≤-x x ，则012>-x x∵)(x f 为奇函数，且当0>x 时，0)(<x f∴0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f∴)()(12x f x f <，∴)(x f 在[-3，3]上是减函数故6)]1()1()1([)]2()1([)3()3(max =++-=+-=-=-=f f f f f f f y 6)3()3(min -=--==f f y .五、求解函数不等式求解此类不等式，通常利用函数的单调性将抽象的函数不等式等价的转化成一般的不等式（组），有时也可借助数形结合的方法.例 6 若)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=.)1(求)1(f 的值. )2(若,1)6(=f 解不等式2)1()3(<-+af a f . 解 )1(令x y =，则0)()()()1(=-==x f x f xx f f . )2(∵对一切0>x ，满足)()()(y f x f yx f -=，且1)6(=f ∴2)1()3(<-+af a f )6(2)()3(f a f a f <++⇔ )6()63()()6()6()3(af a f a f f f a f <+⇔-<-+⇔ 2173300663+-<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧><+⇔a a a a . 例7 若)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数，又0)3(=-f ，则不等式 0)(<⋅x f x 的解集是 .解根据题意，可以作出函数)(x f 的大致图象，如图1. ∵)(x f 是奇函数，且在),0(+∞内是增函数 ∴)3(0)3(f f -==-，∴0)3(=f∴0)(<⋅x f x 03300)(00)(0<<-<<⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>⇔x x x f x x f x 或或 ∴不等式0)(<⋅x f x 的解集为），（），（3003⋃-.。

抽象函数问题解法

如果一个关于函数f (x )的题目，已知f (x )的性质及f (x )满足的关系式，求证f (x )的其他性质，题目看完了，我们还不知道f (x )的具体的解析式，这就是抽象函数问题。

一般地，抽象函数是指没有（直接或间接）给出具体的解析式，只给出一些函数符号及其满足某些条件的函数。

解决抽象函数问题，我们可以用函数性质、特殊化、模型函数、联想类比转化、数形结合等多种方法。

（1）函数性质法：函数的特征是通过其性质（如单调性、奇偶性、周期性、特殊点等）反映出来的，抽象函数也如此。

我们可以综合利用上述性质，包括借助特殊点布列方程等来解决抽象函数问题。

（2）特殊化法：特殊化法又叫特取法，为达到我们预期的目的，将已知条件进行适当的变换，包括式子的整体变换与具体数字的代换。

如：在研究函数性质时，一般将x 换成-x 或其他代数式；在求值时，用赋值法，常用特殊值0，1，-1代入。

（3）模型函数法：模型函数在解决抽象函数问题中的作用不容忽视。

一方面，可以用借助具体的模型函数解答选择题、填空题等客观题；另一方面，可以用“特例探路”，联想具体的模型函数进行类比、猜想，为解答题等主观题的解决提供思路和方法。

一般地，抽象函数类型有以下几种：①满足关系式：f (x +y )=f (x )+f (y ) （ⅰ）的模型函数为正比例函数f (x )=kx (k ≠0)。

事实上，f (x +y )=k (x +y )=kx +ky =f (x )+f (y )。

令x =y =0，得f (0)=0，故f (x )的图象必过原点；令y =-x ，得0=f (0)=f (x )+f (-x )，即f (-x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数。

（ⅰ）可以推广为f (x +y )=f (x )+f (y )+b (b 是常数），其模型函数为一次函数f (x )=kx -b (k ≠0)。

②满足关系式：f (x +y )=f (x ) f (y ) （ⅱ）的模型函数为指数函数f (x )=a x (a >0，a ≠1）。

抽象函数问题的类型及其解法

f b f a ∴f ( a + b ) = f [ a - ( - b) ] = ( = f - b) f ( a) ・ f ( b) , x x ∴f ( x ) = f ( + ) = f 2 2 f
2
f ( a)
( )
例5 设 f ( x ) 是定义在 [ - 1 , 1 ] 上的奇函数 , 且对任意 a 、 b ∈[ - 1 , 1 ] , 当 a + b ≠ 0
1 ∴ 数列 { f ( n ) } 是首项为 , 公差为 0 . 5 2 的等差数列 , ∴f ( 2005) = 1002 . 5 .
例2 设 f ( x ) 的定义域为 [ 0 , 1 ] a ∈( 0 , 1) 且 f ( 0) = 0 , f ( 1) = 1 , 对所有 x ≤y 有
2
对称 , 特别地 , 当 f ( a + x ) =
f ( a - x ) 时 f ( x ) 的图象关于 x = a 对称 . ( 自
单调性 , 任取 x1 、 x 2 ∈[ - 1 , 1 ] , 当 x1 < x 2 时 , f ( x1 ) - f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f ( - x2 ) = f ( x 1 ) + f ( - x 2) ( x 1 - x2 ) < 0 . 即 f ( x 1 ) < x 1 + ( - x 2)
f ( a ) + f ( b) 时, 都有: a+ b
x
> 0, 解不等式
2
・
x
2
=
x
1 f x2
1 <f x. 4
2
> 0.