三角函数教材分析

三角函数教材分析学号::105012011112 姓名：冯远翔 班级:教师3-2班一、内容组织1、内容简介本章内容主要包括三角寒素任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用.三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础.本章内容可以看成是数学中“函数”一章的延伸和拓展，因此，在学习过程中药注意体会三角函数与一般函数之间的关系，即共性与个性的关系.三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具.三角函数也属于函数范畴，那么，之前学习函数时所研究函数的图像及性质，对于三角函数同样的需要研究.函数的种类很多，而三角函数则是函数研究几何的一种工具，通过角度来认识代数关系.三角函数同样有函数的三要素、符号和表达式.为了更好的学习三角函数，教材引进了任意角和弧度制的概念作为基础认识.本节教材重点研究三角函数的诱导公式、三角函数线、三角函数()b x A y ++=ϕωsin 的奇偶性，单调性、周期性、最大和最小值. 以下是三角函数的定义.设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()y x P ,1，由 于角απ+的终边与角α的终边关于原点对称，角απ+的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于原点O 对称，因此点2P 的坐标是()y x --,，由三角函数的定义得：y =αsin x =αcos xy=αtan y -=+)sin(απ x -=+)cos(απ xy=+)tan(απ 从而得到：公式一 公式二公式三 公式四我们可以用下面一段话来概括公式一道四：)(2Z k k ∈•+πα，α-απ±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.如图，设任意角α的终边与单位位圆的交点1P 的坐标为),(y x .由于角απ-2的终边与角α的终边关于直线x y =对称.角απ-2的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于直线x y =对称,因此2P 的坐标为),(x y .于是我们有x =αcos y =αsin y =-)2cos(απ x =-)2sin(απ从而得到公式五 公式六ααπsin )sin(-=+ ααπsin )cos(-=+ααπtan )tan(=+ααsin )sin(-=-ααcos )cos(=-ααtan )tan(-=-ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=- απαsin )2sin(=*+k απαcos )2cos(=*+k απαtan )2tan(=*+k 其中Z k ∈x=-)2sin(απy =-)2cos(απααπsin )2cos(-=+ααπcos )2sin(=+（由于⎪⎭⎫⎝⎛--=+αππαπ22，则由公式四及公式五得到公式六） 公式五及六可以概括如下απ±2的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.利川公式五.或公式六，.可以实现正弦函数和余弦函数之间的转化，公式一到六都叫故诱导公式.由前面的例子可以看出，函数b x A y ++=)sin(ϕω及函数b x A y ++=)cos(ϕω（其中A ，ω，ϕ为常数，且0≠A ,0>ω）的周期仅与自变量的系数有关（1）周期性 其周期为ωπ2=T .（2）奇偶性观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称，由诱导公式ααααcos )cos(,sin )sin(=--=-，可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.（3）单调性我们可以先在正弦函数的一个周期区间上（如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,2ππ）讨论他们的单调性，再利用他们的周期性，将他们的单调性扩展到整个定义域上.正弦函数在每一个闭区间)(22,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ上都是增函数，其值从1-增大到1；每一个闭区间)(223,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ上都是增函数，其值从1增大到1-. （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当)(22Z k k ∈+ππ取得最大值1，当且仅当)(22Z k k ∈+-ππ取得最小值1-.正弦函数当且仅当)(2Z k k ∈π取得最大值1，当且仅当)(2Z k k ∈+ππ取得最小值1-. 2、来龙去脉在初中，学生没有学习过三角函数，而是学习了一次函数、二次函数、反比例函数等简单的函数类型.但是学生有学习过平面几何以及函数的基本知识，这为以后的学习打下了基础.初中学习的相似三角形、全等三角形、平角、直角、特殊角等通过这些认识了教的应用、到高中，初次学习三角函数，是在学习了函数的概念及其性质之后，知道三角函数为任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.运用函数的相关知识来理解三角函数则更加清晰明了.另外，高中的三角函数是从几何图形抽象为代数语言，其形式更加严密、更加准确，但也更加难懂，着也是高中数学的特点.今后，学生还将学习三角恒等变换、解三角形等等知识都需要运用到三角函数的知识来解决.并且更加深入的了解三角函数在学习、生活、工作中的应用.重新认识三角函数在高中知识体系中的地位与作用.3、核心内容三角函数的核心与函数的核心是有不同，函数的概念的核心是函数的对应法则，具有相同的定义域和对应法则的函数是同一函数，但是三角函数是周期函数，并且其几何性质改变了三角函数的函数着一特点.就是可以有不同的对应法则是同一个函数.三角函数的核心在于在对应法则在最简的时候同时有相同的定义域，呢么才是同一个函数.另外，三角函数的诱导公式决定了这一性质.在三角变换中、截三角形等问题中其对应法则的唯一性与多样性是特别注意的.另外一方面，三角函数一般是在任意角与弧度制的基础上运算更加快捷，但是不能只知道运用弧度制来做，需要变通才行.而三角函数的其他性质都与函数的概念及性质类似的可以认识学习.4、三角函数的属性与层次三角函数的概念与性质是逐步形成并深化的，它的属性有概念、表示、性质、运算，在中学，没有三角哈数的概念，但是学习了基本初等函数的知识，为高中的学习做好了准备.三角函数本身也是函数，它具备函数所以的内容，并且还具有自身的独特性.它是高中学习的一个超越函数，运用牙就函数的方法来研究三角函数，通过直观的几何背景，总结出运用比例值来表示角，规定弧度制来刻画这一命题.再探究其表示方法、函数线图像、函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等.在这一层次探索三角函数的本质特性.不同于其他函数的，是它有自己的领域.用代数的符号来解决几何中一些难题.从角度过度到弧度，这是跨领域的桥梁.运用数形结合的思想来了解几何背后的代数问题.三角函数的个特殊的函数体系，在纵轴上的有限于在横轴上的无限体现了数学的自然美.更体现出其特殊.5、学习三角函数概念与性质的关键环节对三角函数的概念的认识，应明确(1）三角函数也是函数，它具备函数的任何条件.同样有哈数的三要素（定义域、对应法则、值域）.(2）深刻理解三角函数的定义域为整个实数域.因为受弧度制的影响或没有清楚地分开弧度与角度的关系，导致理解错误.(3）因为三角函数具有周期性，其正弦和余弦是可以通过变换转化的，因此，对应法则不一定相同但也可能是同一个函数.(4）对三角函数的本质要认识清楚.任意角的函数值可能相同，也可能不同.正角与负角只是方向的相反.图像的平移，伸缩变换要通过亲自动手才鞥深刻的体会到三角函数的变换过程.对三角函数基本性质的教学与函数的教学相似.关键是强调研究函数性质的“三部曲“，建立研究函数性质的策略知识.具体地，研究三角函数性质是的”三部曲“如下1)观察图像，发现函数图像特征；2)结合图、表，用自然语言描述函数图像特征；3)用数学的符号语言定义函数的性质.6、不同的概念体系人教 B 版——先以研究正弦函数为重点，从研究的方法到产生的结论，形成完整的研究过程.苏教版突出了三角函数周期性的地位，更符合新课标的要求.人教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的.三角函数出现了周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数概念的抽象，造成了一个学习难点.而对三角函数周期性的理解，又关系到求极值点和单调性的学习.因此，周期性体现了三角函数性质的特殊性.二、学生理解1、学生理解三角函数概念及性质的基础学生在学习了函数的概念及性质后再学习三角函数，他们会把函数的知识套用到三角函数上，这样做其实是正确的.但是，要注意的是，三角函数又具有它自身的特点，三角函数的本质是角度对应任意两边的比值为因变量的函数.初学者没有抓住三角函数的这样的特点，很难理解它的符号含义.学生在初中已经学习过函数的三种表示方法，在函数的概念及性质那一节中又学习了函数和映射，对三角函数的认识提高了很多.但是，三角函数在一开始首先介绍任意角和弧度制，旨在让学生从新的角度来认识三角函数，区别于普通函数的概念.弧度制的引入为更好的解决三角函数定义域中实数与角度的关系，更利于计算.在之后的章节里则很轻易的运用以前学过的函数知识解决了三角函单调性、周期性、奇偶性、最值等问题. 2、学生自发的方法（1）求三角函数值，代入化简求值是学生自发解决；（2）类比函数的概念及性质，学习了解三角函数的概念及性质；（3）对三角函数单调性和周期性的判断，学生会自发通过画图进行治肝炎判断； （4）对三角函数奇偶性的判断，学生会组发同哟图像对称型进行直观判断； （5）研究函数的最大、最小智时，学生会自发借助数形结合思想进行简单判断. 3、学生的学习能力限度在学习了函数的概念之后，大多数学生会通过类比到三角函数学习.然而，三角函数特别于其他函数的是它的定义域和对应法则，定义域通常会用弧度制，对应法则为超越函数符号.在没有真正认识三角函数的本质及其内容很难理解.三角函数的函数性质的研究需要学生动手去做.三角函数的变换很容易混淆，左右平移的方向、伸缩的正负方向都容易做错. 4、具体内容的难易正弦函数、余弦函数、正切函数等各个三角函数的定义，三角函数的单调性、平移变换、伸缩变换、对称性、诱导公式都是三角函数教学的重点.高中一开始接触三角函数符号很难理解它的含义，没有认识到三角函数的几何意义，对三角函数的认识与掌握有一定的难度.三角函数的变换常常会使得学生晕头转向，错误的判断变换的方向和大小，由于新学习的任意角与弧度制不够熟悉，无法直接从几何角度的维度过度到代数运算的层面.由于三角函数的定义域一般为角度，那么第一节中介绍的任意角及其周期性，再结合三角函数变换中很容易导致学生遗漏所求得的角度.与必修一学习的函数的概念及其性质相似，三角函数的概念及其性质的研究方法也可以通过同样的方式来探索，往往通过给出几个特殊具体的几何图形归结出三甲函数，让学生通过观察获得函数的几何定义或函数性质的直观认识，在利用图表探究函数的数量关系特征，并通过代数运算，验证法相的数量特征对定义域中的数用弧度制更加的方便灵活，最后概括道一般而形成基本性质的定义. 5、学生典型误解与认知重组（1）关于符号x x x tan ,sin ,cos 等等，tan cos/sin/是函数，x x x tan ,sin ,cos 是将tan cos/sin/施加于x 的结果，在学习过函数的前提下，学生知识对tan cos/sin/的含义不熟悉.在三角函数的计算过程中学生很可能会对同一个三角函数值y 对应的x 产生遗漏，因为三角函数是一个周期函数，在三角函数的定义域内，多个因变量可以对应同一个函数值.三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.（2）三角函数是周期函数，也是对称型函数，它的周期与对称轴的求解比较简单，，而特殊的地方在于变换，很多学生会凭借着初中学习过得函数知识来模仿学习三角函数，平移变换和伸缩变换的教学特别要注意，学生很容易走入一个误区就是，增加x 就是向正方向变换，减少x 就是向负方向变换.显然，平移变换和伸缩变换都不属于上述情况，而是相反.当我们用惯性思维去思考的时候可能会不如愿.所以，在这里需要学生认知重组，用数量关系的变化认识变量的增减性，体会三角函数的变换规律.（3）三角函数的导公式也是一个难点，诱导公式的变换可以使得三角函数之间互相转化，使得不相同的函数存在唯一的对应法则.如果死记硬背三角公式，那么三角公式又太多，因此，造成学生学习三角函数的苦恼.然而，其实诱导公式的记忆并不需要背很多，只要多加练习三角函数之间的转化就能熟练地掌握它了.三、效果评估1、典型题目及其变式（1）若角α满足条件0sin2<α，0sin cos <-αα，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：B解析：0cos 2sin sin2<=ααα ∴0cos sin <αα即αsin 与αcos 异号，∴α在二、四象限，又0sin cos <-αα ∴ααsin cos <由图4—5，满足题意的角α应在第二象限 变式：（2）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案：B解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°， ∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B.（3）在()π2,0内，ααcos sin <使成立的x 取值范围为（ ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛45,2,4.ππππ A⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4.ππB ⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4.ππC ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛23,45,4.ππππ D 答案：C解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，图4—5由图4—6可得C 答案.图4—6 图4—7解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）（3）若αsin ＞αtan ＞αcot （－2π＜α＜2π)，则α∈（ ） A.（－2π，－4π） B.（－4π，0）C.（0，4π）D.（4π，2π）答案：B解法一：取α＝±3π，±6π代入求出αsin 、αtan 、αcot 之值，易知α＝－6π适合，又只有－6π∈（－4π，0），故答案为B. 解法二：先由αsin <αtan 得：α∈（－2π，0），再由αtan ＞αcot 得:α∈（－4π，0） 评述：本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系. (4)函数y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是（ ） A.6π B.2π C.32π D.3π答案：C解析：y ＝4sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）＝5［54sin （3x ＋4π）＋53cos （3x ＋4π）］＝5sin （3x ＋4π＋ϕ）（其中tan ϕ＝43） 所以函数y ＝sin （3x ＋4π）＋3cos （3x ＋4π）的最小正周期是T ＝32π.故应选C.评述：本题考查了a sin α＋b cos α＝22b a +sin （α＋ϕ），其中sin ϕ＝22ba b +，cos ϕ＝22ba a +，及正弦函数的周期性.（5）tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____. 答案：3 解析：tan60°=︒︒-︒+︒40tan 20tan 140tan 20tan ，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.（6）函数x x y cos )62sin(π-=的最小值是 .答案：43-解析：21)62sin(21662sin 21cos 6sin --=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππx x x x y ，当162sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx 时，函数有最小值，y 最小4321121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--评述：本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性（或值域）. 2、典型解题方法及使用范围（7）已知函数x x y cos sin 3+=，R x ∈1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；2）该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? .解：（1）()R x x x x x x x x y ∈+=+=+=+=),6sin(2)6sin cos 6cos(sin 2cos sin 3cos sin 3πππy 取得最大值必须且只需,,226Z k k x ∈+=+πππ即Z k k x ∈+=,23ππ所以，当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为｛Z k k x ∈+=,23ππ｝2）变换的步骤是：①把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6sin(π+=x y 的图象； ②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数)6sin(2π+=x y 的图象；经过这样的变换就得到x x y cos sin 3+=函数的图象.评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.已知函数12()log (sin cos )f x x x =-1)求它的定义域和值域； 2)求它的单调区间； 3)判断它的奇偶性； 4)判断它的周期性.解1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及52244k x k ππππ+<<+，k∈Z ∴ 函数定义域为)452,42(ππππ++k k ，k ∈Z ∵sin cos )4x x x π--∴当x ∈5(2,2)44k k ππππ++时，0sin()14x π<-≤∴0sin cos x x <-121log 2y -≥∴ 函数值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21;2)函数)(x f 在定义域内单调递减，因为对数函数的底数为121<； 3）∵()f x 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,.∴()f x 不具备奇偶性; 4）∵ )()2(x f x f =+π∴ 函数f(x)最小正周期为2π注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分x x cos sin -的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分x x cos sin +的符号. （8） 已知)(325cos 35cos sin 5)(2R x x x x x f ∈+-= 1）求)(x f 的最小正周期； 2）求)(x f 单调区间；3）求)(x f 图象的对称轴，对称中心。