三角函数教材分析

三角函数教材分析

学号::105012011112 姓名：冯远翔 班级:教师3-2班

一、内容组织

1、内容简介

本章内容主要包括三角寒素任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、三角函数的图象和性质、三角函数模型及其应用.

三角函数是一种基本初等函数，它是描述周期现象的数学模型，在数学与其他领域中具有重要的作用，三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础.本章内容可以看成是数学中“函数”一章的延伸和拓展，因此，在学习过程中药注意体会三角函数与一般函数之间的关系，即共性与个性的关系.三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数.也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义.三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具.

三角函数也属于函数范畴，那么，之前学习函数时所研究函数的图像及性质，对于三角函数同样的需要研究.函数的种类很多，而三角函数则是函数研究几何的一种工具，通过角度来认识代数关系.三角函数同样有函数的三要素、符号和表达式.

为了更好的学习三角函数，教材引进了任意角和弧度制的概念作为基础认识.本节教材重点研究三角函数的诱导公式、三角函数线、三角函数()b x A y ++=ϕωsin 的奇偶性，单调性、周期性、最大和最小值. 以下是三角函数的定义.

设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为()y x P ,1，由 于角απ+的终边与角α的终边关于原点对称，角απ+的终边与单位圆的交点2P 与点1P 关于原点O 对称，因此点2P 的坐标是()y x --,，由三角函数的定义得：

y =αsin x =αcos x

y

=

αtan y -=+)sin(απ x -=+)cos(απ x

y

=

+)tan(απ 从而得到：

公式一 公式二

公式三 公式四

我们可以用下面一段话来概括公式一道四：

)(2Z k k ∈•+πα，α-απ±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

如图，设任意角α的终边与单位位圆的交点1P 的坐标为),(y x .由于角

απ

-2

的终边与角α的终边关于直线x y =对称.角

απ

-2

的终边与单位圆

的交点2P 与点1P 关于直线x y =对称,因此2P 的坐标为),(x y .于是我们有

x =αcos y =αsin y =-)2cos(

απ x =-)2

sin(απ

从而得到公式五 公式六

ααπsin )sin(-=+ ααπsin )cos(-=+

ααπtan )tan(=+

ααsin )sin(-=-

ααcos )cos(=-

ααtan )tan(-=-

ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=- απαsin )2sin(=*+k απαcos )2cos(=*+k απαtan )2tan(=*+k 其中Z k ∈

x

=-)2sin(απ

y =-)2

cos(απ

α

απ

sin )2

cos(

-=+ααπ

cos )2

sin(

=+

（由于

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=+αππαπ

22，则由公式四及公式五得到公式六） 公式五及六可以概括如下

απ

±2

的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成

锐角时原函数值的符号.

利川公式五.或公式六，.可以实现正弦函数和余弦函数之间的转化，公式一到六都叫故诱导公式.

由前面的例子可以看出，函数b x A y ++=)sin(ϕω及函数b x A y ++=)cos(ϕω（其中A ，ω，ϕ为常数，且0≠A ,0>ω）的周期仅与自变量的系数有关

（1）周期性 其周期为ω

π

2=

T .

（2）奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称，由诱导公式ααααcos )cos(,sin )sin(=--=-，可知：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

（3）单调性

我们可以先在正弦函数的一个周期区间上（如⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-23,2ππ）讨论他们的单调性，再利

用他们的周期性，将他们的单调性扩展到整个定义域上.

正弦函数在每一个闭区间)(22,22Z k k k ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++-ππππ上都是增函数，其值从1-增大到

1；每一个闭区间)(223,22Z k k k ∈⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++ππππ上都是增函数，其值从1增大到1-. （4）最大值与最小值 正弦函数当且仅当

)(22

Z k k ∈+ππ

取得最大值1，

当且仅当)(22

Z k k ∈+-ππ

取得最小

值1-.

正弦函数当且仅当)(2Z k k ∈π取得最大值1，当且仅当)(2Z k k ∈+ππ取得最小值1-. 2、来龙去脉

在初中，学生没有学习过三角函数，而是学习了一次函数、二次函数、反比例函数等简单的函数类型.但是学生有学习过平面几何以及函数的基本知识，这为以后的学习打下了基础.初中学习的相似三角形、全等三角形、平角、直角、特殊角等通过这些认识了教的应用、

到高中，初次学习三角函数，是在学习了函数的概念及其性质之后，知道三角函数为任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.运用函数的相关知识来理解三角函数则更加清晰明了.另外，高中的三角函数是从几何图形抽象为代数语言，其形式更加严密、更加准确，但也更加难懂，着也是高中数学的特点.