北京大学研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题及答案 2复习进程

证明： 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
证：
对任意的 ，以及 ，有
因此
对任意的 ，和 ，有
因此
可知 是 的一个子空间。
记 ，其中 ， ，
对任意的 ，有 ，即 所有向量都能用向量组 线性表出
设一组数 ，满足 ，亦即
可得 ，向量组 线性无关
综上向量组 是 的一组基
5．（1）设实数域 上 级矩阵 的 元为 （ ）。在实数域上 维线性空间 中，对于 ，令 。试问： 是不是 上的一个内积，写出理由。
3．设数域 上的 级矩阵 的 元为
（1）.求 ;
(2).当 时， .求齐次线性方程组 的解空间的维数和一个基。
解：
(1)
Hale Waihona Puke Baidu若 ，
若 ，
若 ，
(2)
若 ，则 ，方程组 只有零解，其解空间维数为0
若 ，则由(1)知道 的任意一个3级子式的行列式为0，而 的一个2级子式 的行列式为 ，从而
于是方程组 解空间的维数是 ，取向量组 ，其中 ， ，
可知 ，其中 是 阶单位矩阵， 是一个 的矩阵，从而
并且对任意的 ，有
因此 都属于方程组 解空间，从而是方程组 解空间的一组基
4．（1）设数域 上 级矩阵，对任意正整数 ，求
[C是什么？]
（2）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上 级矩阵 称为循环矩阵。用 表示 上所有 级循环矩阵组成的集合。
2) 时，曲线方程为 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 ，即
3) 时， ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为
4) 时，曲线方程为 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为
5) 时， ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为
6) 时，曲线方程为 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 ，即
7) 时， ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为
从而 到 上的正交投影轨迹的方程就是
2．在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状： .
对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；
对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：
记 ，容易验证 ，因此直角坐标变换 是一个正交变换
在这个变换下，曲线方程变为
1) 时， ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为
所以 是 上的一个内积
(2)由于 正定， ，可得 ， ， ，
由 知方程组 解空间 的维数为 ， 同时也是 的属于0特征值的特征子空间
由 ， 和 ，知 是 的特征值， 是B的属于特征值 的特征向量
设 的属于这个特征值的特征子空间为 ，由 ， ，所以
即 ，而 ， ， 的一组基为
，因此 没有其他特征值， 是 的唯一非零特征值，也是 最大的特征向量
（2）设 是 级正定矩阵（ ） ，且 是非零列向量。令 ，求 的最大特征值以及 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基
解：
(1) 是 上的一个内积，证明如下：
容易验证 是 上的一个双线性函数
对 中任意的非零向量 ，
令 ，是 上的一个多项式函数，有
可得
若 ，由于 在 上连续，则必有 ，
则 ，即 ，与 是 中非零向量矛盾。所以 ，
北京大学2005数学专业研究生高等代数与解析几何。
1．在直角坐标系中，求直线 到平面 的正交投影轨迹的方程。
其中B是常数
解：
可以验证点 ，从而
把 写成参数方程： ，任取其上一点 ，设该点到 上的投影为点
整理即知， 到 上的正交投影轨迹满足方程
由于 ，上述方程表示一条直线，而 和 不同时成立，因此 到 上的正交投影轨迹是一条直线
6．设 是数域 上 维线性空间 上的一个线性变换，用 表示 上的恒等变换，证明：
证明：
记
其中 ，
因此 ，
于是