【全国百强名校】长郡中学高一期中考试试卷-数学(附答案)

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湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-<<，{}220B x x x =-<，则AB =（）A. ()10-， B. ()02， C. ()20-， D. ()22-，【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB .【详解】由()2220x x x x -=-<，解得02x <<，所以()0,2A B =.故选：B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.函数()f x =的定义域为（） A. (]30-， B. ()31-， C. ()3-∞-，D.()(]331-∞--，，【答案】A 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意，12030x x ⎧-≥⎨+>⎩，解得30x -<≤.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.3.若函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（）A. （﹣∞，2)B. （0，2）C. （0，12] D. [12，2）【答案】C 【解析】【分析】函数f （x ）＝()()()2111a xx ax x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩在R 上是增函数，等价于当1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，当1x <时，()1f x ax =+是增函数；另外还要满足()f x 在分界点1x =处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即12+≤-a a ，通过解不等式组，可确定a 的取值范围. 【详解】由1x ≥时，()(2)=-f x a x 是增函数，得20a ->，即2a <；由1x <时，()1f x ax =+是增函数，得0a >；又()f x 的定义域为R ，所以在1x =应有12+≤-a a ，即12a ≤，综上，实数a 的取值范围是1(0,]2，故选C. 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（） A. y x = B. y ＝2x -C. y ＝|x|D. 1y x=【答案】C 【解析】【分析】逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.【详解】对于A ， y x =，为奇函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于C ， y x =，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于D ，1y x=，为奇函数，不符合题意；故选C.【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.5.函数[]211,1y x x x =-+∈-，的最大值与最小值之和（） A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5【答案】B 【解析】【分析】先求出函数的对称轴，判断其在[]1,1-上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。

湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题高一期中考试本试卷分第Ⅰ卷﹙选择题﹚和第Ⅱ卷﹙非选择题﹚两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷第一部分：听力（共两小节，满分30分）该部分分为第一、第二两节，注意，做题时，请先将答案标在试卷上，该部分录音内容结束后，你将有两分钟的时间将你的答案转涂到客观题答题卡上。

第一节（共5题：每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，井标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题，每段对话仅读一遍。

1. What programs does the woman prefer?A. Talk shows.B. Sports programs.C. Cooking programs.2. What does the woman ask the man to do?A. Have dinner.B. Pick up a gift.C. Look at a piece of jewelry.3. What does the man usually take with him on vacation?A. A suitcase.B. A backpack.C.A sports bag.4. How does Anna feel about chemistry?A. Worried.B. Confident.C. Hopeless.5. Why did the man choose the guitar?A. He needs a cheap instrument.B. He wants to be like his friends.C. He thinks it is cool to play the guitar.第二节（共15题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题解析(解析版)

一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，则()U A B ð为（）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C 【解析】试题分析：由题意得{0,4}U A =ð，所以{}()0,2,4U A B =ð，故选C ．考点：集合的运算．2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（） A ．xy e -= B ．3y x =C ．ln y x =D ．||y x =【答案】B考点：函数的单调性．3.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{}(,)|,x y x R y R ∈∈，映射f ：A B →使集合A 中的元素(,)x y 映射成集合B 中的元素(,)x y x y +-，则在映射f 下，象(2,1)的原象是（） A ．()3,1 B ．31(,)22C ．31(,)22-D ．(1,3)【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，令21x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得31,22x y ==，即在映射f 下，象(2,1)的原象是31(,)22，故选B ．考点：映射的概念及其应用．4.设集合{}|02M x x =≤≤，{}|02N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有（） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】试题分析：根据映射的概念，可知能表示为M 到N 的函数关系的只有②③，故选B ．考点：映射的概念．5.下列各对函数中，是同一函数的是（）A ．()f x =，()g x =B ．||()x f x x =，1,0()1,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2()f x =，212()(n g x -=（n 为正整数）D ．()f x =，()g x =【答案】C考点：同一函数的概念． 6.函数||x y x x=+的图象是（）【答案】D 【解析】试题分析：由函数||x y x x=+，可知，当0x >时，1y x =+，当0x <时，1y x =-，根据一次函数的图象可知，函数||x y x x=+的图象为选项D ，故选D ．考点：函数的图象．7.已知函数()ln 38f x x x =+-的零点[]0,x a b ∈，且1b a -=（a ，b N +∈），则a b +=（） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】A考点：函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，函数值的求解，函数零点的存在性定理及函数零点的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记函数零点的存性性定理和准确求解函数值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 8.若()f x =，则()f x 的定义域为（）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1(,)2+∞D ．(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x =0211x <-<，解得112x <<，所以函数的定义域为1(,1)2，故选A ．考点：函数的定义域．9.若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则1()2f 的值为（） A ．3log 2- B ．2log 3-C ．19D【答案】A 【解析】试题分析：由函数()y f x =是函数3xy =的反函数，所以()3log f x x =，所以3311()log log 222f ==-，故选A ．考点：指数函数与对数函数的概念及应用． 10.已知幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（） A ．16 B ．116 C ．2D ．12【答案】D考点：幂函数的解析式及应用．11.函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点为（） A ．()0,4 B ．()0,1C ．7(1,)2-D ．(1,4)-【答案】A 【解析】试题分析：由函数()2log (1)3x a f x x =+++，令0x =，解得0(0)2log (01)34a f =+++=，所以函数()2log (1)3x a f x x =+++恒过定点()0,4，故选A ．考点：函数过定点问题．12.已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =，则（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质．13.已知函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（） A ．()2,3 B ．()1,3C ．[2,3)D ．[]1,3【答案】C 【解析】试题分析：由函数2(1)(0)()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩在(,)-∞+∞上是减函数，则10302a a a -<⎧⎪-<⎨⎪≥⎩，解得23a ≤<，故选C ．考点：分段函数的单调性．14.若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(,4)-∞ B ．(4,4]-C ．(,4)[2,)-∞-+∞ D ．[4,4)-【答案】D 【解析】试题分析：令23t x ax a =--，则由函数2()log f x t =在区间(,2]-∞-上是减函数，可得函数t 在区间(,2]-∞-上是减函数且(2)0t ->，所以有22(2)4230at a a ⎧≤-⎪⎨⎪-=-+>⎩解得44a -≤<，故选D ．考点：复合函数的单调性及其应用．【方法点晴】本题主要考查了复合函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的单调性及其应用，二次函数的图象与性质，复合函数的单调性等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中根据复合函数单调性的判定方法——同增异减和正确理解对数函数的定义域是解答的关键，试题比较基础，属于基础题． 15.已知函数1()1f x x=-（0x >），若存在实数a ，b （a b <），使()y f x =的定义域为(),a b 时，值域为(,)ma mb ，则实数m 的取值范围是（） A ．14m 【答案】B考点：函数性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的定义域与函数的值域，函数的单调性与函数值域之间的关系等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数学转化思想和二次函数性质的应用，本题的解答中熟练掌握一元二次函数的图象与性质及判别式与根的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5小题，每题3分，满分15分．）16.计算21log 32.51log 6.25lg ln 2100++++= ．【答案】132【解析】试题分析：由222511log 3log 61422.5521113log 6.25lg 2log lg(10)ln 221610022e +-++=+++=-++=．考点：对数的运算．17.设2()2f x ax bx =++是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 的值域是．【答案】[]10,2-考点：函数的奇偶性的应用．18.一次函数()f x 是减函数，且满足[]()41f f x x =-，则()f x = ．【答案】21x -+ 【解析】试题分析：因为一次函数()f x 是减函数，设()(0)f x ax b a =+<，所以[]2()()()41f f x f ax b a ax b b a x ab b x =+=++=++=-，所以24,1a ab b =+=，解得2,1a b =-=，所以函数的解析式为()f x =21x -+．考点：函数的解析式．19.某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是年（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）．【答案】2020 【解析】试题分析：设第n 年开始超过200万元，则2016130(112%)200n -⨯+>，化简得(2016)lg1.12lg 2lg1.3n ->-，所以2016 3.8n ->，取2020n =，所以开始超过200万元的年份为2020年．考点：等比数列的应用问题．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的应用问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式及其应用，不等式的性质，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理能力与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题意得到关于年份的函数解析式是解答的关键．20.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间x (0)x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，32()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时，丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）【答案】③④⑤考点：函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中涉及到指数函数、幂函数、一次函数和对数型函数的增长速度以及各类基本初等函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据各类基本初等函数，利用取特值验证结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.设a R ∈，集合A R =，{}2|(2)2(2)30B x R a x a x =∈-+--<．（1）若3a =，求集合B （用区间表示）；（2）若A B =，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()3,1B =-；（2）(1,2]-．试题解析：（1）3a =时，2230x x +-<，解得31x -<<， ∴集合()3,1B =-．（2）当A B R ==时，（i ）当20a -=，即2a =时，30-<符合题意；（ii ）当20a -≠，则有220,4(2)12(2)0,a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩解得12a -<<．综上，a 的取值范围为(1,2]-．考点：集合的运算．22.已知函数22()3px f x q x +=-是奇函数，且5(2)3f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,1)上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】（1）222()3x f x x+=-；（2）单调递增，证明见解析．【解析】试题分析：（1）由()f x 是奇函数，得对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，列出方程即可求解q 的值，再由5(2)3f =-，解得p 的值，即可得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可判定和证明函数的单调性．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有()()f x f x -=-，即222233px px q x q x++=-+-，整理得33q x q x +=-+，∴0q =，又∵5(2)3f =-，∴425(2)63p f +==--，解得2p =，∴所求的解析式为222()3x f x x +=-．（2）由（1）可得22221()()33x f x x x x+==-+-，设1201x x <<<，则由于122121211()()()()3f x f x x x x x ⎡⎤-=+-+⎢⎥⎣⎦2121211()()3x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦1221122()3x x x x x x ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦121221()(1)3x x x x =--12121212()3x x x x x x -=-⋅ ，因此，当1201x x <<<时，1201x x <<，从而得到12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， ∴(0,1)是()f x 的递增区间．考点：函数的奇偶性的应用及单调性的判定． 23.已知函数()2xf x =，||1()22x g x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．【答案】（1）(2,3]；（2）2log (1x =．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+，因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202x x --=，当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202x x --=，整理得2(2)2210x x-⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =+．考点：指数函数的图象与性质．24.物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为1C θ︒，空气温度为0C θ︒，则min t 后物体的温度()f t 满足：010()()kt f t e θθθ-=+-⨯（其中k 为正的常数，2.71828e =…为自然对数的底数），现有65C ︒的物体，放在15C ︒的空气中冷却，5min 以后物体的温度是45C ︒．（1）求k 的值；（2）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是25.8C ︒？【答案】（1）15ln 53k =；（2）15min ．试题解析：（1）由题意可知，1=65θ，015θ=，当5t =时，45θ=，于是535k e -=，化简得35ln 5k -=，即15ln 53k =．（2）由（1）可知()1550kt f t e-=+（其中15ln 53k =）， ∴由25.81550kt e -=+，得27125kt e -=，结合15ln 53k =，得5327()5125t =，得15t =． ∴从开始冷却，经过15min 物体的温度是25.8C ︒．考点：函数的实际应用问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质的应用，函数解析式的求解，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题意建立函数关系式，利用指数函数与对数函数的性质解答是求解的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．25.已知函数()|1|2f x x x x =-+．（1）当3a =时，求方程()f x m =的解的个数；（2）若()f x 在(4,2)-上单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）当6m =或254时，方程有两个解，当6m <或254m >时，方程一个解，当2564m <<时，方程有三个解；（2）6a ≤-或2a ≥-．试题解析：（1）当3a =时，22,3,()5, 3.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ 当6m =或254时，方程有两个解；当6m <或254m >时，方程一个解；当2564m <<时，方程有三个解．（2）22(2),,()(2),.x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩ ①22a a -≤且22a a +≥，即22a -≤≤，()f x 在R 单调递增，满足题意； ②22a a ->且22a a +≥，即2a <-， ()f x 在(,)a -∞和2(,)2a -+∞上单调递增， ∵()f x 在(4,2)-上单调递增，∴2a ≥或242a -≤-， ∴6a ≤-； ③22a a ->且22a a +<，即2a <-且2a >，舍去； ④22a a -≤且22a a +<，即2a >， ()f x 在2(,)2a +-∞和(,)a +∞上单调递增，因为()f x 在(4,2)-上单调递增，所以222a +≥或4a ≤-，所以2a >．综上，6a ≤-或2a ≥-．考点：函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的性质，一元二次函数的图象与性质的应用，方程解的个数的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想与分类讨论思想的应用，本题的解答中去掉绝对值号，得到分段函数的解析式，利用二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．。

2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一(下)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 复数5i−2的共轭复数是( )A. i +2B. i −2C. −2−iD. 2−i2. 当23<m <1时，复数m(3+i)−(2+i)在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −3b ⃗ ，则( )A. A 、B 、D 三点共线B. A 、B 、C 三点共线C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线4. 已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 等边三角形ABC 的边长为1，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ =( )A. 3B. −3C. 32D. −326. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知asinA −bsinB =4csinC ，cosA =−14，则bc =( )A. 6B. 5C. 4D. 37. 如图，某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果正方体的棱长是60cm ，那么石凳的体积是( )A. 144000cm 3B. 180000cm 3C. 36000cm 3D. 72000cm 38. 如图，圆锥PO 的底面直径和高均为a ，过PO 的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几A. 5πa332B. 5πa396C. πa332D. πa3969.一个菱形的边长为4cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为()A. 8√3 cm2B. 4√3 cm2C. 2√6 cm2D. √6 cm210.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √22B. √32C. √52D. √7211.复数z1、z2满足z1=m+(4−m2)i，z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R)，并且z1=z2，则λ的取值范围是()A. [−1,1]B. [−916,1] C. [−916,7] D. [916,1]12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()A. 8√6πB. 4√6πC. 2√6πD. √6π二、多选题（本大题共3小题，共9.0分）13.下列关于直线与平面间的位置关系的命题判断正确的是()A. 若空间中四条直线l1、l2、l3、l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3、l3⊥l4，则l1、l4的位置关系不确定B. 设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件C. 直线l1、l2互相平行的一个充分不必要的条件是l1、l2都垂直于同一个平面D. 已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊂α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l14.下列关于空间角的判断正确的是()A. 如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等B. 两条平行直线与同一个平面所成的角相等C. 一条直线与两条异面直线中的一条所成角为90°，那么该直线与另一直线所成角D. 如果平面α//平面α1，如果平面β//平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补15.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题()A. 有水的部分始终呈棱柱形B. 没有水的部分始终呈棱柱形C. 水面EFGH所在四边形的面积为定值D. 棱A1D1始终与水面所在平面平行E. 当容器倾斜如图(3)所示时，BE⋅BF是定值三、单空题（本大题共5小题，共15.0分）16.已知复数z与(z+2)2−8i均是纯虚数，则z=______ ．17.已知2i−3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根，则实数p=______．18.已知a⃗=(4,2)，则与a⃗垂直的单位向量的坐标为______．19.已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边，边BC上的中线长记为m a，则m a=______(用a、b、c表示结果)．20.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H 分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用的材料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g．四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C+√3asin C−b−c=0．(1)求A；(2)若a=2，△ABC的面积为√3，求b，c．22.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直，M是CD⏜上异于C、D的点．(1)证明：DM⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD？说明理由．23. 已知△P 1P 2P 3，向量OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 满足条件OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求证：△P 1P 2P 3是等边三角形．24. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且∠BAP =∠CDP =90°．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA =PD =AB =DC ，∠APD =90°，且四棱锥P −ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．25. 如图，在四棱锥P—ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD =2，AD =3，(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH//平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数5i−2=5(−i−2)22−i 2=−2−i ，∴共轭复数是−2+i 故选：B ．首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数．复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．2.【答案】D【解析】【分析】本题是对复数的代数形式最基本的考查．化简成代数形式，再根据m 的范围确定．【解答】解：m(3+i)−(2+i)=(3m −2)+(m −1)i ，又∵23< m <1，∴3m −2>0，m −1<0， ∴所对应的点在第四象限，故选D ．3.【答案】A【解析】解：∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −3b ⃗ ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，根据平面向量的线性运算与共线定理，证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，即可得出结论．本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，是基础题目．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．利用两个向量数量积的定义求出e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ，再求出|a ⃗ |，|b ⃗ |，a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，根据cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |，求得则a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角θ的值．【解答】解：∵已知e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12，设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，θ∈(0°,180°)，∵|a ⃗ |=√(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=√4e 1⃗⃗⃗ 2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=√7，|b ⃗ |=√(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )2=√9e 1⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +4e 2⃗⃗⃗ 2=√7， a ⃗ ⋅b ⃗ =(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )⋅(−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )=−6e 1⃗⃗⃗ 2+e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 2=−6+12+2=−72， ∴cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−72√7⋅√7=−12，∴θ=120°，故选：C ．5.【答案】D【解析】解：由题意可得，<a ⃗ ,b ⃗ >=<a ⃗ ,c ⃗ >==2π3 ∴a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ =1×1×(−12)×3=−32故选D先确定出各向量的夹角，然后根据向量的数量积的定义即可求解本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是准确确定出向量的夹角【解析】【分析】本题考查了正弦定理、余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设该三角形外接圆的半径为R，根据正弦定理有：又asinA−bsinB=4csinC，∴a·a2R −b·b2R=4c·c2R,即a2=4c2+b2，又，∴{a2−b2=4c2cosA=b2+c2−a22bc=−14，解得bc=6，故选A．7.【答案】B【解析】解：由题意可知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，体积是8×13×12×30×30×30=36000cm3；正方体的体积为60×60×60=216000cm3；则石凳的体积是216000−36000=180000cm3．故选：B．由已知求得正方体的体积，减去八个正三棱锥的体积得答案．本题考查正方体与三棱锥体积的求法，是基础的计算题．8.【答案】B【解析】解：圆锥SO的底面半径为a2，高为a，则圆柱PO的底面半径是a4，高为a2，∴V SO=13π(a2)2⋅a=a312π，V圆柱=π(a4)2⋅a2=a232π，∴剩下几何体的体积是a3π12−a3π32=5πa396．故选：B．通过圆锥的底面半径和高，分别求出圆柱和圆锥的体积，然后求解即可．本题考查圆柱与圆锥体积的求法，考查计算能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：解法一、菱形ABCD的边长为4cm，内角为60°，画出它的平面直观图，如图四边形A′B′C′D′所示：在菱形ABCD中，BD=4，AC=4√3，在四边形A′B′C′D′中，B′D′=12B′D′=2，AC=A′C′，所以四边形A′B′C′D′的面积为12A′C′⋅B′D′⋅sin45°=12×2×4√3×√22=2√6(cm2).解法二、菱形ABCD的边长为4cm，内角为60°，所以对角线AC=4√3，BD=4，菱形ABCD的面积为S=12×4√3×4=8√3，该菱形的平面直观图面积为S′=2√2=√32√2=2√6(cm2)故选：C．解法一、画出菱形的平面直观图，计算平面直观图的面积即可．解法二、根据原图形与平面直观图的面积比为2√2：1，计算直观图的面积即可．本题考查了平面图形的直观图与原图形面积的计算问题，熟记面积比是快速解题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，属于基础题．作出异面直线所成的角，然后求出其正切值即可．【解答】解：如下图，取DD 1的中点F ，连接EF ，AF ，因为E ，F 为CC 1，DD 1的中点，ABCD −A 1B 1C 1D 1为正方体，所以EF//CD ，所以∠AEF 为异面直线AE 与CD 所成角或其补角，由正方体可得EF ⊥平面ADD 1A 1，所以EF ⊥AF ，设正方体的棱长为1，则EF =1，AF =√1+14=√52，所以tan∠AEF =√52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为√52．故选C ．11.【答案】C【解析】解：∵z 1=z 2，∴{m =2cosθ4−m 2=λ+3sinθ，化为4sin 2θ=λ+3sinθ， ∴λ=4(sinθ−38)2−916，∵−1≤sinθ≤1，∴当sinθ=38时，λ取得最小值−916；当sinθ=−1时，λ取得最大值7． ∴−916≤λ≤7．∴λ的取值范围是[−916,7]．故选：C ．利用z 1=z 2，可得{m =2cosθ4−m 2=λ+3sinθ，化为λ=4(sinθ−38)2−916，利用−1≤sinθ≤1和二次函数的单调性即可得出．本题考查了复数相等、正弦函数的单调性、二次函数的单调性，属于基础题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查球的体积的求法，涉及到余弦定理．设∠PAC =θ，PA =PB =PC =2x ，EC =y ，根据余弦定理以及勾股定理证明三条侧棱两两互相垂直，即可求出球O 的体积．【解答】解：设∠PAC =θ，PA =PB =PC =2x ，EC =y ，因为E ，F 分别是PA ，AB 的中点，所以EF =12PB =x ，AE =x ，在△PAC 中，cosθ=4x 2+4−4x 22×2x×2=12x ，在△EAC 中，cosθ=x 2+4−y 22×2x，整理得x 2−y 2=−2，①因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以CF =√3，又∠CEF =90°，则x 2+y 2=3，②，由①②得x=√2，2所以PA=PB=PC=√2，所以PA2+PB2=4=AB2，即PA⊥PB，同理可得PA⊥PC，PB⊥PC，则PA、PB、PC两两垂直，则球O是以PA为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为√2+2+2=√6，所以球O的体积为．故选D．13.【答案】ABD【解析】解：对于A：空间中四条直线l1、l2、l3、l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3、l3⊥l4，则l1、l4的位置关系不确定，故A正确；对于B：设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，由“l⊥α”则“l⊥m且l⊥n”，但是当“l⊥m且l⊥n”则“l⊥α”(没有说直线m和n相交)不一定成立，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件，故B正确；对于C：直线l1、l2互相平行的一个充分必要的条件是l1、l2都垂直于同一个平面，故C 错误；对于D：已知m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊂α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l，故D正确；故选：ABD．直接利用线面平行和垂直的判定和性质，法向量，和面面垂直的应用判定A、B、C、D 的结论．本题考查的知识要点：线面平行和垂直的判定和性质，法向量，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．14.【答案】BD【解析】解：如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，所以A不正确；两条平行直线与同一个平面所成的角相等，满足直线与平面所成角的性质，所以B正确；一条直线与两条异面直线中的一条所成角为90°，那么该直线与另一直线所成角的范围是[0°,90°]，所以C不正确；如果平面α//平面α1，如果平面β//平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补，满足二面角的定义，所以D正确；故选：BD．利用空间角的性质，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，空间角的判断，考查空间心里，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．15.【答案】ABDE【解析】解：∵棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余没相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形∴通过棱柱特征，AB正确．∵水面EFGH所在四边形的面积，从图2，图3我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化，∴EFGH所在四边形的面积是变化的．C不对∵棱A1D1始终与BC平行，BC与水面始终平行，∴D正确．∵水的体积是不变的，高始终是BC也不变．底面也不会，即BE⋅BF是定值．∴D正确．所以正确的是：ABDE．故选：ABDE．由题意抓住棱柱形的特征进行判断，观察即可得到答案．本题考查了棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余梅相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，同时考查对空间的想象力和图象变形的灵活处理能力．属于中档题．16.【答案】−2i【解析】解：设z=ai，a∈R，∴(z+2)2−8i=(ai+2)2−8i=4+4ai−a2−8i=(4−a2)+(4a−8)i，∵它是纯虚数，∴a=−2故答案为：−2i．两个复数都是纯虚数，可设z ，化简(z +2)2−8i ，可求出z ．本题考查复数的分类，及复数的运算，是基础题．17.【答案】12【解析】解：∵2i −3是关于x 的方程2x 2+px +26=0的一个根，∴由实系数一元二次方程虚根成对原理可得，−2i −3是关于x 的方程2x 2+px +26=0的另一个根，则(2i −3)+(−2i −3)=−p2，得p =12．故答案为：12．由已知结合实系数一元二次方程虚根成对原理求得方程2x 2+px +26=0的另一个根，再由根与系数的关系求解p 值．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题．18.【答案】(√55,−2√55)或(−√55,2√55)．【解析】解：设与a⃗ 垂直的单位向量n ⃗ =(x,y)．则{4x +2y =0x 2+y 2=1，解得{x =√55y =−2√55或{x =−√55y =2√55．故答案为(√55,−2√55)或(−√55,2√55)．设出与a ⃗ 垂直的单位向量的坐标，由题意列方程组{4x +2y =0x 2+y 2=1，求解后即可得到答案．本题考查了数量积判断两个平面向量垂直的关系，考查了单位向量的概念，训练了方程组的解法，是基础题．19.【答案】√c 22+b 22−a 24【解析】解：如图，以B 点为原点，以BC 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，则有B(0,0)，C(a,0)，BC中点D 坐标为(a2,0)，设A 点坐标为(x,y)，可得x 2+y 2=c 2，(a −x)2+y 2=b 2，可得：m a 2=|AD|2=(a2−x)2+y 2=x 2+y 2−ax +a 24=c 2+a 24−ax ，由{x 2+y 2=c 2(a −x)2+y 2=b 2，可得ax =c 2+a 2−b 22，所以m a2=c 2+a 24−c 2+a 2−b 22=c 22+b 22−a 24，可得m a =√c 22+b 22−a 24．故答案为：√c 22+b 22−a 24．以B 点为原点，以BC 方向为x 轴正方向建立直角坐标系，设A 点坐标为(x,y)，可得m a 2=|AD|2=c 2+a 24−ax ，由{x 2+y 2=c 2(a −x)2+y 2=b 2，可得ax =c 2+a 2−b 22，从而可求m a 2=c 22+b 22−a 24，即可得解m a 的值．本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．20.【答案】118.8【解析】【分析】本题考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，属于拔高题．该模型体积为V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V O−EFGH =132(cm 3)，再由3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．【解答】解：该模型为长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，挖去四棱锥O −EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，AB =BC =6cm ，AA 1=4cm ， ∴该模型体积为：V ABCD−A 1B 1C 1D 1−V O−EFGH=6×6×4−13×(4×6−4×12×3×2)×3=144−12=132(cm 3)，∵3D 打印所用原料密度为0.9g/cm 3，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9=118.8(g)．故答案为118.8．21.【答案】解：(1)△ABC中，acosC+√3asinC−b−c=0，利用正弦定理可得sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC，化简可得√3sinA−cosA=1，，又0<A<π，故A=π3．(2)若a=2，△ABC的面积为12bc⋅sinA=√34bc=√3，∴bc=4，①由余弦定理得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosA=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，∴b+c=4，②结合①②解得b=c=2．【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)根据条件，由正弦定理可得sinAcosC+√3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+ sinC，化简求解A即可；(2)若a=2，由△ABC的面积√3，求得bc=4①；再利用余弦定理可得b+c=4②，结合①②求得b和c的值．22.【答案】解：(1)证明：根据题意，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为半圆弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，BC⊂平面BMC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC；(2)当P为AM的中点时，MC//平面PBD．证明如下：连结AC 交BD 于O.因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC//OP.MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC//平面PBD ．【解析】(1)通过平面CMD ⊥平面ABCD ，推出BC ⊥平面CMD ，得到BC ⊥DM.证明DM ⊥CM.即可证明DM ⊥平面BMC ．(2)连结AC 交BD 于O.说明O 为AC 中点．连结OP ，证明MC//OP.即可说明MC//平面PBD ．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题．23.【答案】证明：根据题意，设|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，若OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2，变形可得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t22，则有(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3t2，则|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，同理可得：|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，则有|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即△P 1P 2P 3是等边三角形．【解析】根据题意，设|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，由OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 可得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形可得OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−t22，进而求出(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2的值，即可得|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，同理可得|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3t ，即可得证明．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．24.【答案】证明：(1)∠BAP =∠CDP =90°，即AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，又AB//CD ， ∴AB ⊥PD ，∵PA ∩PD =P ，PA ，PD ⊂平面PAD ， ∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：(2)设PA =PD =AB =DC =a ，取AD 中点O ，连结PO ，由(1)知AB⊥平面PAD，又OP⊂平面PAD，∴AB⊥PO，∵PA=PD，∠APD=90°，∴PO⊥AD，AD=√a2+a2=√2a，PO=√22a，又AB，AD⊂平面ABCD，AB∩AD=A，∴PO⊥平面ABCD，∵四棱锥P−ABCD的体积为83，由AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，得AB⊥AD，又AB=DC，AB//CD所以四边形ABCD为矩形=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，∴PB=PC=√4+4=2√2，由上述可知△PAD,△PAB,△PCD都是直角三角形，△PBC是等腰三角形该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×√PB2−(BC2)2=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√8−2=6+2√3．【解析】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法．(1)推导出AB⊥PA，CD⊥PD，从而AB⊥PD，进而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．(2)设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，由AB⊥PO，PO⊥AD，得PO⊥底面ABCD，且AD=√2a，PO=√22a，由四棱锥P−ABCD的体积为83，求出a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积．25.【答案】证明：(1)如图：证明：连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，又由BG=PG，得GH//PD，∵GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴GH//平面PAD；(2)证明：取棱PC中点N，连接DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN⊂平面PCD，∴DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，∴DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN=D，CD⊂平面PCD，DN⊂平面PCD，∴PA⊥平面PCD；(3)解：连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD=2，且N为PC中点，∴DN=√3，又DN⊥平面PAC，，DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN=DNDA =√33．∴直线AD与平面PAC所成角的正弦值为√33．【解析】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于拔高题．(1)连接BD，由题意得AC∩BD=H，BH=DH，由BG=PG，得GH//PD，由此能证明GH//平面PAD；(2)取棱PC中点N，连接DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面PAC，进而DN⊥PA，再上PA⊥CD，能证明PA⊥平面PCD；(3)连接AN，由DN⊥平面PAC，知∠DAN是直线AD与平面PAC所成角，由此能求出直线AD与平面PAC所成角的正弦值．第21页，共21页。

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)

2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)24．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．56．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1-B ．1C ．2-D ．27．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2> B ．321.2 1.2--< C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1AB =，2，3}，{2}AB =的集合B = ．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = ．18．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是． 19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则(A B = )A ．(1,0)-B ．(0,2)C ．(2,0)-D ．(2,2)-【解答】解：{|12}A x x =-<<，{|20}B x x =-<<，则(1,0)AB =-．故选：A ．2．函数()f x =+的定义域为( )A ．(3-，0]B ．(3-，1]C ．(-∞，3)(3--⋃，0]D ．(-∞，3)(3--⋃，1]【解答】解：根据题意：12030x x ⎧-⎨+>⎩…，解得：30x -<… ∴定义域为(3-，0]故选：A ．3．若函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则a 的取值范围为( )A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．1(0,]2D ．1[,2)2【解答】解：根据题意，函数(2),1()1,1a x x f x ax x -⎧=⎨+<⎩…，在R 上是增函数，则有20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪+-⎩…，解可得：102a <…，即a 的取值范围为(0，1]2；故选：C ．4．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数的是( )A ．y x =B ．2y x =-C ．||y x =D ．1y x=【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y x =为正比例函数，不是偶函数，不符合题意；对于B ，2y x =-，为二次函数，是偶函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；对于C ，,0||,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩…，是偶函数，又在(0,)+∞上为增函数，符合题意；对于D ，1y x=，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C ．5．函数21y x x =-+，[1x ∈-，1]的最大值与最小值之和为( ) A ．1.75B ．3.75C ．4D ．5【解答】解：函数21y x x =-+，对称轴为12x =， 13()24min y f ==，(1)3f -=，f （1）1=，故最大值为3，最小值为0.75 所以最大值和最小值的和为3.75，故选：B ．6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0x ∈，1]时，()2x f x m =-，则(1)(f -= ) A ．1- B ．1C ．2-D ．2【解答】解：()f x 为奇函数且[0x ∈，1]时()2x f x m =-，(0)10f m ∴=-=， 1m ∴=，f （1）211=-=， (1)f f ∴-=-（1）1=-．故选：A ．7．下列不等式成立的是( ) A ．231.2 1.2>B ．321.2 1.2--<C ． 1.2 1.2log 2log 3>D ．0.20.2log 2log 3<【解答】解：函数x y a =，1a >时，函数是增函数，231.2 1.2∴>不正确；321.2 1.2--<正确；函数 1.2log y x =，是增函数， 1.2 1.2log 2log 3∴>不正确；函数0.2log y x =是减函数，0.20.2log 2log 3∴<不正确；故选：B ．8．设251()3a =，432b =，21log 3c =，则( )A ．b a c <，21log 03c =<，则c a b <<．故选：D ．9．函数25()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞【解答】解：由220x x ->得2x >或0x <，即函数的定义域为(-∞，0)(2⋃，)+∞，设22t x x =-，则5log y t =是增函数，则要求()f x 的单调递增区间，即求22t x x =-的单调递增区间， 22t x x =-的单调递增区间为(2,)+∞， ()f x ∴的单调递增区间为(2,)+∞，故选：B ．10．已知幂函数()y f x =的图象过点1(2，则f （4）的值为( )A ．14B ．2C ．4D ．116【解答】解：设幂函数为()f x x α=，()y f x =的图象过点1(2，∴121()222αα--===∴12α=． 12()f x x ∴=，f ∴（4）1242===，故选：B ．11．已知函数()log (1)a f x x =+（其中1)a >，则()0f x <的解集为( ) A ．(1,)-+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(1,0)-【解答】解：1a >时，函数()log (1)a f x x =+在定义域上单调递增， ∴不等式()0f x <可化为011x <+<，解得10x -<<，∴所求不等式的解集为(1,0)-．故选：D ．12．若()f x 为奇函数，且0x 是()x y f x e =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点( )A ．()1x y f x e =+B ．()1x y f x e -=--C ．()1x y f x e =-D ．()1x y f x e =-+【解答】解：0x 是()x y f x e =-的一个零点，00()0x f x e ∴-=，又()f x 为奇函数，00()()f x f x ∴-=-，00()0x f x e ∴---=，即00()0x f x e -+=，故000()()10x x x f x e f x ee--+-+==；故0x -一定是()1x y f x e =+的零点，故选：A ．13．若函数()(1)(3)()f x lg x lg x lg a x =-+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．13a <…或134a =B ．1334a <… C ．1a …或134a =D ．134a >【解答】解：原题等价于{213530x x x a x a<<-++=<，当△0=时，135,42a x ==；当△0>，即134a <时，令2()53g x x x a =-++，满足(1)0(3)0g g >⎧⎨⎩…，解得13a <…．综上，实数a 的取值范围为13a <…或134a =．故选：A ．14．若方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >或12a <-B ．112a -<<C ．12a >-D ．1a <【解答】解：方程222(2)0x x lg a a ---=有一个正根和一个负根， ∴两根之积2(2)0lg a a --<，故2(2)0lg a a ->，221a a ∴->，求得1a >或12a <-，故选：A ．15．函数()g x 的图象如图所示，则方程3(())0g g x =的实数根个数为( )A ．3B ．6C ．9D ．12【解答】解：令3t x =，()u g t =，则由3(())0g g x =，有()0g u =，由图象知有三个根1u ，2u ，3u ，分别令1()u g t =，2()u g t =，3()u g t =，解出有9个t 符合方程，在令3t x =解出相应x 的根的个数为9个，故选：C ．二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上． 16．设集合{1A =，2}，则满足{1A B =，2，3}，{2}AB =的集合B = {2，3} ．【解答】解：{1A =，2}，{1AB =，2，3}，{2}A B =，2B ∴∈，3B ∈，1B ∉， {2B ∴=，3}．故答案为：{2，3}．17．已知函数(22)32f x x +=+，且f （a ）4=，则a = 3．【解答】解：(22)32f x x +=+，令22x t +=，则22t x -=， 232()3222t t f t --∴=+=， f ∴（a ）3242a -==，则103a =．故答案为：10318．已知3()3f x x x =+，x R ∈，且2(2)()0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 (2,1)- ．【解答】解：因为3()()3()f x x x f x -=--=-，所以是奇函数，且递增，且2(2)()0f a f a -+<，即22(2)()()f a f a f a -<-=-， 22a a -<-，220a a +-<，所以(2,1)a ∈-，故答案为：(2,1)-．19．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤 7 次．（参考数据：20.3010)lg ≈ 【解答】解：设至少需过滤的次数为n ，则由题意可得0.640.05n …，即0.640.05nlg lg …，0.0552121,301060.642(81)62260.30102lg lg lg n lg lg lg ----∴====--⨯- (706)再由n 为正整数可得n 的最小值为7，故答案为：7．20．若规定集合1{M a =，2a ，⋯，*}()n a n N ∈的子集1{i a ，2i a ，}(*)m i a m N ⋯∈为M 的第k 个子集，其中12111222n i i i k ---=++⋯+，则M 的第25个子集是 1{a ，4a ，5}a ．【解答】解：由题意得，M 的第k 个子集，且12111222n i i i k ---=++⋯+，又03411415125222222---=++=++，所以M 的第25个子集是1{a ，4a ，5}a ，故答案为：1{a ，4a ，5}a ．三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．计算：（1）5log 2log 2545lg lg ++；（2）已知1122x x-+=，求22165x x x x --+-+-的值．【解答】解：（1）3144333-==；∴5log 2log 2545lg lg ++；143115log 310022244lg -=++=-++=；（2）1122x x-+=，111222()23x x x x --∴+=+-=；2212()27x x x x --∴+=+-=；∴22167615352x x x x --+--==-+--． 22．已知2lg a =，3lg b =，试用a ，b 表示12log 5．【解答】解：125121log 5122232lg lg alg lg lg a b--===++．23．科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122(04,0)x x y m x m -=+>剟．（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，当2m =，则12225x x -+=，解得1x =或1x =-；由0x …，1x ∴=，故经过1时间，温度为5摄氏度．（2）由题意得1222x x m -+…对一切0x …恒成立，则由20x >，得22x m …，令2x t -=则01t <…，2211()222()22f t t t t =-+=--+，当12t =时，取得最大值为12． 12m ∴…，故的取值范围为1[2，)+∞． 24．集合2{(,)|2}A x y y x mx ==++，{(,)|10B x y x y =-+=，02}x 剟．若A B ≠∅，求实数m 的取值范围．【解答】解：联立得：221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩，消去y 得：221x mx x ++=+，即2(1)10x m x +-+=，[0x ∈，2]，由题设知2()(1)1f x x m x =+-+，[0x ∈，2]必有零点，分两种情况考虑：()i 若在[0，2]只有一个零点，则f （2）0<，即32m <-；或2(1)401022m m ⎧--=⎪⎨-⎪⎩剟，解得：1m =-； ()ii 若在[0，2]有两个零点，则(2)010220f m ⎧⎪-⎪<-<⎨⎪>⎪⎩…，解得：312m -<-…，由()()i ii 知：1m -…．25．已知函数()f x ，对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，f （3）的值；（2）当810x -剟时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解答】解：（1）对于任意的x ，y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，则(0)0f =，1(1)2f =-．令1x y ==，则(11)f f +=（1）f +（1），f ∴（2）1=-； (21)f f ∴+=（2）f +（1）；即3(3)2f =-．（2）令y x =-，则()()()(0)0f x x f x f x f -=+-==，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴为奇函数，任取1x ，2x R ∈，且12x x <，210x x ->，则21()0f x x -<，212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<，21()()f x f x ∴<，所以()f x 在R 上为减函数，故当810x -剟时，()(8)2(4)4(2)4max f x f f f f =-=-=-=-（2）4=， ()(10)10min f x f f ==（1）5=-．故当810x -剟时，函数()f x 的最大值是4，最小值是5-．。

高一数学下学期期中试题含解析 32

长郡中学2021-2021学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题〔本大题一一共15小题，每一小题3分，一共45分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.以下四条直线，其倾斜角最大的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比拟其倾斜角的大小，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、2x﹣y+1＝0，其斜率k1＝2，倾斜角θ1为锐角，对于B、x+2y+3＝0，其斜率k2，倾斜角θ2为钝角，对于C、x+y+1＝0，其斜率k3＝﹣1，倾斜角θ3为135°，对于D、x+1＝0，倾斜角θ4为90°，而k2＞k3，故θ2＞θ3，应选：B．【点睛】此题考察直线斜率与倾斜角的关系，关键是掌握直线的斜率与倾斜角的关系．的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，那么其直观图的面积是原来正三角形面积的〔〕A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍【答案】A【解析】【分析】由中正△ABC的边长为a，可得正△ABC的面积，进而根据斜二测画法的规那么求得△ABC的直观图的面积，作比可得答案．【详解】∵△ABC的边长为a，故正△ABC的面积S，∵采用斜二测画法后，底边长为a，而高为a，∴面积S′，∴S′S，应选：A．【点睛】此题考察的知识点是斜二测法画直观图，其中纯熟掌握斜二测画法的规那么是解答的关键，属于根底题.中，异面直线与所成角为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由∥可知异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，在等边三角形中易得结果.【详解】解：∵∥，∴异面直线AD1，BD所成的角为∠DB，∵△DB为等边三角形，∴∠DB＝60°．∴异面直线与所成角为60°应选：C．【点睛】此题考察两异面直线所成角的求法，是根底题，解题时要注意空间思维才能的培养．与两个不同平面，以下命题正确的选项是〔〕A. 假设，那么B. 假设，那么C. 假设，那么D. 假设，那么【答案】B【解析】【分析】在A中，可能也可能；在B中，由线面垂直的性质定理得；在C中，可能l⊥m，也可能；在D中，可能也可能【详解】由l，m为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，知：在A中，假设，那么可能也可能，故A错误；在B中，假设，那么由线面垂直的性质定理得故B正确；在C中，假设，那么可能l⊥m，也可能,故C错误；在D中，假设，那么可能，也可能，故D错误．应选：B．【点睛】此题考察命题真假的判断，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察推理论证才能、空间想象才能，是中档题．的公切线的条数为 ( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有4条公切线．【详解】∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆C1与圆C2相离，有4条公切线．应选：A．【点睛】此题考察了两圆的公切线的条数，属中档题．6.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的间隔为4，那么这个球的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图形，利用直角三角形直接得半径，求体积．【详解】如图，由题意可知，圆面的直径为6，那么O′A＝3，又OO′＝4，∴R＝OA＝5，∴，应选：C．【点睛】此题考察了球的体积公式及垂径定理的应用，属于根底题．和之间的间隔是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，两直线平行，得m=6，所以可化成，因此两直线的间隔为=，综合应选A考点：两平行线间的间隔公式；所表示的直线〔〕A. 恒过定点B. 恒过定点C. 恒过点和点D. 都是平行直线【解析】【分析】方程〔a﹣1〕x﹣y+2a+1＝0化为：a〔x+2〕﹣x﹣y+1＝0，令，解出即可得出．【详解】方程〔a﹣1〕x﹣y+2a+1＝0化为：a〔x+2〕﹣x﹣y+1＝0，令，解得x＝﹣2，y＝3．所表示的直线恒过点〔﹣2，3〕．应选：B．【点睛】此题考察了直线系方程的解法，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．中，点，点在圆上，那么的最大值为〔〕A. 3B.C.D. 4【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的三角形法那么转化为求||，再根据两边之和大于等于第三边可得最大值．【详解】∵||＝||≤|OB|+|OA|＝22，应选：C．【点睛】此题考察了考察了向量减法的运算法那么，向量在几何中的应用问题，属于中档题．10.在△ABC中，假设a2=b2+c2-bc，bc=4，那么△ABC的面积为〔〕A. B. 1 C. D. 2【答案】C试题分析：由结合余弦定理，可得，那么．故答案选C．考点：余弦定理，同角间根本关系式，三角形面积公式．的三内角分别为，满足，那么的形状为〔〕A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰或者直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角范围得到，再结合三角函数正弦图像得到结果.【详解】在△ABC中，内角A、B满足,，根据正弦函数的图像的性质得到或者故三角形是等腰三角形或者者直角三角形.故答案为：D.【点睛】这个题目考察了三角函数的性质以及三角形内角和性质,属于根底题.表示圆，那么实数k的取值范围是〔〕A. B. C. D. 或者【解析】【分析】由方程表示一个圆得到k2﹣k﹣6＞0，求出解集即可得到k的取值范围．【详解】方程表示圆，那么有,即k2﹣k﹣6＞0，即〔k﹣3〕〔k+2〕＞0可化为或者，解得k＞3或者k＜﹣2，应选：D．【点睛】此题考察了圆的一般方程，掌握二元二次方程为圆时的条件，会求一元二次不等式的解集，是一道综合题．与直线始终有公一共点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出两个函数的图象，观察图象，利用直线与圆相切可得b的一个临界值，进而求得结论. 【详解】∵y表示在x轴上方的局部〔包括x轴上的点〕，作出函数y与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时，，即得,结合图像可知，又当直线过〔1，0〕时，b=-1，假设曲线与直线始终有公一共点，那么﹣1.应选：A．【点睛】此题考察了直线与圆的位置关系，考察了数形结合思想，属于中档题．14.一个几何体的三视图如下图，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，那么该几何体的外接球的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，几何体为三棱锥，且一边垂直于底面，将该三棱锥补成棱长为2、1、1的长方体，再根据长方体性质求外接球的半径即可．【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥，且底面为直角三角形(形状与俯视图一样)，侧棱垂直于底面，将该三棱锥补成棱长为2、1、1的长方体,其外接球的直径为2R．那么该几何体的外接球的体积为V．应选：D．【点睛】此题考察的知识点是由三视图求体积，解决此题的关键是得到该几何体的形状．属于中档题．圆.点分别是圆上的动点，为直线上的动点，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对称的性质，结合两点之间的间隔最短，即可求解．【详解】依题意可知圆C1的圆心〔5，﹣2〕，r＝2，圆C2的圆心〔7，﹣1〕，R＝5，如下图：对于直线y＝x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，那么问题可转化为求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，即可看作直线y＝x上一点到两定点间隔之和的最小值减去7，又C1关于直线y＝x对称的点为C1′〔﹣2，5〕，由平面几何的知识易知当C1′与P、C2一共线时，|PC1|+|PC2|获得最小值，即直线y＝x上一点到两定点间隔之和获得最小值为|C1′C2|∴|PA|+|PB|的最小值为＝﹣7．应选：C．【点睛】此题考察了圆关于直线的对称的圆的求法，动点的最值问题，考察了点与点的间隔公式的运用，是中档题．二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题3分，一共15分.〕且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________【答案】或者【解析】【分析】当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式．当直线不过原点时，设直线的方程为，把P代入直线的方程，求出m值，可得直线方程．【详解】当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为y x，即3x-2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为，把P〔2，3〕代入直线的方程得m＝5，故求得的直线方程为x+y﹣5＝0，综上，满足条件的直线方程为3x-2y=0或者x+y﹣5＝0．故答案为3x-2y=0或者x+y﹣5＝0．．【点睛】此题考察直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，注意考虑截距为0的情况．，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的底面圆的直径为___________【答案】6【解析】【分析】利用圆锥的外表积公式即可求出圆锥的底面半径．【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr＝πl，∴l＝2r，∵圆锥的外表积为πr2+πrl＝πr2+2πr2＝27π，∴r2＝9，即r，2r=6，故答案为：．【点睛】此题主要考察圆锥的外表积公式以及应用，利用条件建立母线和半径之间的关系是解决此题的关键，考察学生的运算才能．是圆内部一点，那么过点最短的弦所在的直线方程是___________ 【答案】【解析】【分析】先求出圆心和半径，由于点P在圆内，故当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短．求得弦所在直线的斜率，用点斜式求弦所在的直线的方程．【详解】圆〔x﹣2〕2+〔y﹣1〕2＝4，表示以C〔2，1〕为圆心，半径等于的圆，所以点P在圆内，故当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短．此时弦CP所在直线的斜率为：1，故过P的最短弦所在的直线方程为y﹣2＝﹣〔x﹣3〕，即x+y﹣5＝0．故答案为：x+y﹣5＝0．【点睛】此题主要考察直线和圆相交的性质，点与圆的位置关系，用点斜式求直线的方程．判断当弦所在的直线和线段CP垂直时，弦长最短，是解题的关键，属于中档题．中，，那么直线与平面所成角的正弦值是________________【答案】【解析】【分析】过C1作C1H D1C，又C1H，那么C1H面那么∠C1BH即为直线BC1与平面A1BCD1所成角,在直角三角形C1HB中，可得结果.【详解】∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝1，∴BC1，过C1作C1H D1C，又面DCC1D1那么C1H，那么C1H面连接HB，那么∠C1BH即为直线BC1与平面A1BCD1所成角,又C1H==，∴sin∠C1BH．故答案为．【点睛】此题考察直线与平面所成角的正弦值的作法及求法，考察了线面垂直的断定，属于中档题．1，高为，点P是底面圆周上一点，那么一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，那么绕行的最短间隔是___．【答案】【解析】【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形，那么对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短间隔，即CP 的长是蚂蚁爬行的最短路程，求出CD长，根据垂径定理求出PC=2CD，即可得出答案．【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形，那么对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短间隔，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D，弧PC的长是2π⋅1=2π，那么侧面展开图的圆心角是，∴∠DAC=，∵AC=3，∴，所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为：.【点睛】考察了平面展开﹣最短途径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．此题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面〞，用勾股定理解决．三、解答题〔本大题一一共5小题，每一小题8分，一共40分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕，.(1)假设，求的值；(2)假设，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×〔m﹣2〕+m×3＝0，由此求得m的值．〔2〕利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m的值．【详解】〔1〕∵直线l1：x+my+6＝0，l2：〔m﹣2〕x+3y+2m＝0，由l1⊥l2 ，可得1×〔m﹣2〕+m×3＝0，解得．〔2〕由题意可知m不等于0,由l1∥l2 可得，解得m＝﹣1．【点睛】此题主要考察两直线平行、垂直的条件，属于根底题．22.如图，在直三棱柱中，，，是的中点．〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设异面直线与所成角为，求直三棱柱的体积.【答案】〔1〕见证明；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由中的几何体为直三棱柱，，是的中点，结合直三棱柱的几何特征以及等腰三角形三线合一的性质，易得平面，〔2〕根据异面直线所成角的定义，以及角的大小，求得，利用柱体的体积公式求得结果.【详解】〔1〕证明：由，得，而平面平面，平面平面，平面.又平面，平面平面.〔2〕解：连接，由知是异面直线与所成角,，易知是正三角形，依题意得，，三棱柱的体积为.【点睛】该题考察的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的断定，异面直线所成的角，柱体的体积公式，属于简单题目.过，两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)假设直线过点且被圆截得的线段长为，求的方程.【答案】〔1〕；〔2〕或者【解析】【分析】〔1〕根据题意，设圆C的圆心为〔a，b〕，半径为r，结合题意可得关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值，将其值代入圆的方程即可得答案；〔2〕根据题意，分斜率存在和斜率不存在两种情况：①当直线l的斜率不存在时，满足题意，②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，由点到直线的间隔公式求得k的值，即可得直线的方程，综合即可得答案．【详解】〔Ⅰ〕根据题意，设圆C的圆心为〔a，b〕，半径为r，那么圆C方程为〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2，又由圆C过A〔﹣2，2〕，B〔2，6〕两点，且圆心C在直线3x+y＝0上，那么有，解可得a＝﹣2，b＝6，r2＝16，那么圆C的方程为〔x+2〕2+〔y﹣6〕2＝16；〔2〕根据题意，设直线l与圆C交与MN两点，那么|MN|＝4，设D是线段MN的中点，那么有CD⊥MN，那么|MD|＝2，|MC|＝4．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2．当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x＝0，满足题意，当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，那么直线l的方程为：y﹣5＝kx，即kx﹣y+5＝0．由点C到直线MN的间隔公式：2，解可得k，此时直线l的方程为3x﹣4y+20＝0．故所求直线l的方程为x＝0或者3x﹣4y+20＝0．【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，涉及两点间的间隔公式，点到直线的间隔公式，圆的HY方程，属于中档题．中，角的三条对边分别为，.(1)求；(2)点在边上，，，，求.【答案】〔1〕；〔2〕2【解析】【分析】〔1〕由题意利用正弦定理与三角恒等变换求出sin B与cos B的关系，得出tan B的值，从而求出B的值；〔2〕根据互补的两角正弦值相等，得到sin∠ADB＝sin∠ADC的值，再利用正弦、余弦定理求得AD、AC的值．【详解】〔1〕由b cos C b sin C＝a，利用正弦定理得：sin B cos C sin B sin C＝sin A，即sin B cos C sin B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，得sin B sin C＝cos B sin C，又C∈〔0，π〕，所以sin C≠0，所以sin B＝cos B，得tan B，又B∈〔0，π〕，所以B；〔2〕如下图，由cos∠ADC，∠ADC∈〔0，π〕，所以sin∠ADC，由因为∠ADB＝π﹣∠ADC，所以sin∠ADB＝sin∠ADC；在△ABD中，由正弦定理得，，且AB＝4，B，所以AD；在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC24，解得AC＝2．【点睛】此题考察理解三角形的应用问题，涉及正余弦定理的应用，也考察了三角恒等变换应用问题，是中档题．25.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的大小.【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕【解析】试题分析：〔1〕证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的断定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；〔2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3〕空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，施行几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中断定定理与性质定理条件要完备．试题解析：〔I〕记与的交点为，连接，∵、分别是的中点，是矩形∴四边形是平行四边形，∴∥，∵平面平面，∴∥平面6分〔Ⅱ〕在平面中过作于，连接，∵∴平面，∴是在平面上的射影，由三垂线定理点得∴是二面角的平面角，在中，，∴二面角的大小为8分另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，那么，，，，，，设与交于点，那么〔I〕易得：，那么∥，由面，故∥面；〔Ⅱ〕取面的一个法向量为，面的一个法向量为，那么，故二面角的大小为．考点：证明线面平行及求二面角励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

长沙市长郡中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题含解析

属中档题. 12．ACD
【分析】连接 EF ，即可得到四边形 FEA1D1 为平行四边形，从而判断 A，显然 A1E 与 HF 为
相交直线，即可判断 B，根据线面平行的判定定理证明 C，D；【详解】解：连接 FE，因为 E，F 为 AB，CD 的中点，故 FE 平行且等于 AD.
由题意知 AD 平行且等于 A1D1 ，故 FE 平行且等于 A1D1 ，所以四边形 FEA1D1 为平行四边形，所以 A1E//D1F ，故 A 正确；显然 A1E 与 HF 为相交直线，故 B 错误；因为 EG//IF ，同时 IF 在平面 D1IF 内，且 EG 不在平面 D1IF 内，所以 EG// 平面 D1IF ，故 C 正确；因为 A1E//D1F ，同时 D1F 在平面 D1FGB1 内，且 A1E 不在平面 D1FGB1 内，所以 A1E// 平面 D1FGB1 ，故 D 正确. 故选：ACD.
，得
3
2 2
2
3
，
sin B sin 2B
32 2 2 3 ，故 cos B
sin B 2sin B cos B
6. 3
故选： D .
7．D
【分析】根据复数的运算法则，化简复数 2 2a 4 a i ，根据题列出不等式组，即可求解.
5
5
【详解】由题意，复数
2 ai 1 2i
2 ai1 2i 1 2i1 2i
【详解】因为点 M ，故过点 M 有无数条直线与平行，故 AB 错误；过点 M 有且只有一个平面与平行，故 C 正确， D 错误. 故选： C .
6．D 【分析】根据正弦定理，结合角度关系，带值计算即可.
答案第 1 页，共 12 页
【详解】在△

【百强校】2016-2017学年湖南长沙长郡中学高一上学期期中数学试卷(带解析)

绝密★启用前【百强校】2016-2017学年湖南长沙长郡中学高一上学期期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：75分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知函数（），若存在实数，（），使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．且D ．2、若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．3、已知函数在上是减函数，则实数的取值范A ．B ．C ．D ．4、已知，，，则（）A ．B ．C ．D ．5、函数恒过定点为（）A ．B ．C ．D ．6、已知幂函数的图象经过点，则的值等于（）A ．16B ．C ．D ．7、若函数是函数的反函数，则的值为（）A ．B ．C ．D ．8、若，则的定义域为（）A ．B ．C ．D ．9、已知函数的零点，且（，），则（）A ．5B ．4C ．3D ．210、函数的图象是（）11、下列各对函数中，是同一函数的是（） A ．，B ．，C ．，（为正整数）D ．，12、设集合，，从到有四种对应如图所示：其中能表示为到的函数关系的有（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④13、设集合和都是坐标平面上的点集，映射：使集合中的元素映射成集合中的元素，则在映射下，象的原象是（）A ．B ．C ．D ．14、下列函数中，定义域是且为增函数的是（） A ．B ．C ．D ．15、已知全集，集合，，则为（）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）16、甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面； ②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）17、某公司为激励创新，计算逐年加大研发奖金投入，若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是年（参考数据：，，）．18、一次函数是减函数，且满足，则．19、设是定义在上的偶函数，则的值域是．20、计算．三、解答题（题型注释）21、已知函数．（1）当时，求方程的解的个数；（2）若在上单调递增，求的取值范围．22、物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，如果物体的初始温度为，空气温度为，则后物体的温度满足：（其中为正的常数，为自然对数的底数），现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是．（1）求的值；（2）求从开始冷却，经过多少时间物体的温度是？23、已知函数，．（1）求函数的值域；（2）求满足方程的的值．24、已知函数是奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明．25、设，集合，．（1）若，求集合（用区间表示）；（2）若，求实数的取值范围．参考答案1、B2、D3、C4、C5、A6、D7、A8、A9、A10、D11、C12、B13、B14、B15、C17、18、19、20、21、（1）当或时，方程有两个解，当或时，方程一个解，当时，方程有三个解；（2）或．22、（1）；（2）．23、（1）；（2）．24、（1）；（2）单调递增，证明见解析．25、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：因为函数（）为定义域内的单调递增函数，要使得的定义域为时，值域为，则，即为方程的两个实数根，整理得有两个不相等的实数根，所以，则，解得，又由题设中给出的区间可知，所以实数的取值范围是，故选B．考点：函数性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的定义域与函数的值域，函数的单调性与函数值域之间的关系等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数学转化思想和二次函数性质的应用，本题的解答中熟练掌握一元二次函数的图象与性质及判别式与根的关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．2、试题分析：令，则由函数在区间上是减函数，可得函数在区间上是减函数且，所以有解得，故选D．考点：复合函数的单调性及其应用．【方法点晴】本题主要考查了复合函数的单调性及其应用问题，其中解答中涉及到对数函数的单调性及其应用，二次函数的图象与性质，复合函数的单调性等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中根据复合函数单调性的判定方法——同增异减和正确理解对数函数的定义域是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．3、试题分析：由函数在上是减函数，则，解得，故选C．考点：分段函数的单调性．4、试题分析：由指数函数与对数函数的图象与性质，可知，，，所以，故选C．考点：指数函数与对数函数的性质．5、试题分析：由函数，令，解得，所以函数恒过定点，故选A．考点：函数过定点问题．6、试题分析：由幂函数的图象经过点，即，解得，即函数，所以，故选D．考点：幂函数的解析式及应用．7、试题分析：由函数是函数的反函数，所以，所以，故选A．考点：指数函数与对数函数的概念及应用．8、试题分析：由题意得，函数满足，解得，所以函数的定义域为，故选A．考点：函数的定义域．9、试题分析：因为，可得函数上的增函数，而且，即，所以函数有唯一的零点，且满足题意，所以，即，故选A．考点：函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质，函数值的求解，函数零点的存在性定理及函数零点的概念等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记函数零点的存性性定理和准确求解函数值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．10、试题分析：由函数，可知，当时，，当时，，根据一次函数的图象可知，函数的图象为选项D，故选D．考点：函数的图象．11、试题分析：由题意得，函数和的对应法则是不同的，所以不是同一函数；函数的定义域为，函数的定义域为，所以不是同一函数；函数的定义域为，的定义域为或，所以不是同一函数，故选C．考点：同一函数的概念．12、试题分析：根据映射的概念，可知能表示为到的函数关系的只有②③，故选B．考点：映射的概念．13、试题分析：由题意得，令，解得，即在映射下，象的原象是，故选B．考点：映射的概念及其应用．14、试题分析：由题意得，根据幂函数，当，幂函数单调递增，可得函数是定义域是且为增函数，故选B．考点：函数的单调性．15、试题分析：由题意得，所以，故选C．考点：集合的运算．16、试题分析：路程关于时间的函数关系式分别为，，，，它们相应的函数模型分别是指数函数，幂函数，一次函数和对数函数模型；①当时，，所以结论不正确；②因为指数型的增长速度对于幂函数的增长速度，所以时，甲总会超过乙的，所以结论不正确；③根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当时甲乙丙丁四个物体重合，从而可知当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，所以该结论正确；④结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，所以该结论正确；⑤指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，所以该结论正确，所以正确的是③④⑤．考点：函数模型的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中涉及到指数函数、幂函数、一次函数和对数型函数的增长速度以及各类基本初等函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据各类基本初等函数，利用取特值验证结论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．17、试题分析：设第年开始超过万元，则，化简得，所以，取，所以开始超过万元的年份为年．考点：等比数列的应用问题．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的应用问题，其中解答中涉及到等比数列的通项公式及其应用，不等式的性质，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理能力与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中根据题意得到关于年份的函数解析式是解答的关键．18、试题分析：因为一次函数是减函数，设，所以，所以，解得，所以函数的解析式为．考点：函数的解析式．19、试题分析：由题意得，函数是定义在上的偶函数，则，且，解得，即，所以函数的值域为．考点：函数的奇偶性的应用．20、试题分析：由．考点：对数的运算．21、试题分析：（1）当时，得分类讨论即可判定方程解的个数；（2）由在上单调递增，借助二次函数的图象与性质，可分四种情况分类讨论，求的实数的取值范围．试题解析：（1）当时，当或时，方程有两个解；当或时，方程一个解；当时，方程有三个解．（2）①且，即，在单调递增，满足题意；②且，即，在和上单调递增，∵在上单调递增，∴或，∴；③且，即且，舍去；④且，即，在和上单调递增，因为在上单调递增，所以或，所以．综上，或．考点：函数的性质的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的性质，一元二次函数的图象与性质的应用，方程解的个数的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想与分类讨论思想的应用，本题的解答中去掉绝对值号，得到分段函数的解析式，利用二次函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．22、试题分析：（1）通过，，当时，，代入公式计算，即可求解的值；（2）由（1）的函数表达式，得，求得，即可得到结论．试题解析：（1）由题意可知，，，当时，，于是，化简得，即．（2）由（1）可知（其中），∴由，得，结合，得，得．∴从开始冷却，经过物体的温度是．考点：函数的实际应用问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质的应用，函数解析式的求解，对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题意建立函数关系式，利用指数函数与对数函数的性质解答是求解的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．23、试题分析：（1）化简函数的解析为，根据，即可求解函数的值域；（2）由，得，整理得到，即可求解方程的解．试题解析：（1），因为，所以，即，故的值域是．（2）由，得，当时，显然不满足方程，即只有时满足，整理得，，故，因为，所以，即．考点：指数函数的图象与性质．24、试题分析：（1）由是奇函数，得对定义域内的任意的，都有，列出方程即可求解的值，再由，解得的值，即可得到函数的解析式；（2）利用函数的单调性的定义，即可判定和证明函数的单调性．试题解析：（1）∵是奇函数，∴对定义域内的任意的，都有，即，整理得，∴，又∵，∴，解得，∴所求的解析式为．（2）由（1）可得，设，则由于，因此，当时，，从而得到，即，∴是的递增区间．考点：函数的奇偶性的应用及单调性的判定．25、试题分析：（1）由时，得，解得，即可解结合；（2）当时，根据和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．试题解析：（1）时，，解得，∴集合．（2）当时，（i）当，即时，符合题意；（ii）当，则有解得．综上，的取值范围为．考点：集合的运算．。

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a∈R，若集合M={1,a}，N={−1,0,1}，则“a=0”是“M⊆N”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.下列命题是全称量词命题且为真命题的是A. ∀a，b∈R，a2+b2<0B. 菱形的两条对角线相等C. ∃x0∈R，x20=x0D. 一次函数的图象是直线3.设全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x|3<x<8,x∈N}，则下图中的阴影部分表示的集合是A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,2,3}D. {4,5,6,7}4.若函数f(x)=4x2−kx−8在[5,8]上是单调函数，则实数k的取值范围是A. (−∞,40)B. (−∞,40]∪[64,+∞)C. [40,64]D. [64,+∞)5.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|13<x<12}，则不等式cx2+bx+a>0的解集为A. {x|−12<x<−13}B. {x|x>3或x<2}C. {x|2<x<3}D. {x|−3<x<−2}6.已知关于x的不等式2x+2x−a≥7在区间(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为A. 1B. 32C. 2 D. 527.17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=a×10n(1≤a<10,n∈Z)的形式，这便是科学记数法，若两边取常用对数，则有lg N=n+lg a.现给出部分常用对数值(如下表)，则可以估计22023的最高位的数值为真数x2345678910lg x(近0.301030.477120.602060.698970.778150.845100.903090.95424 1.000似值)A. 6B. 7C. 8D. 98.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=−x2+2x，函数f(x)={x,x≤0,g(x),x>0,若f(2−x2 )>f(x)，则实数x的取值范围是A. (−2,1)B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。

精品：【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

湖南省长郡中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线30l y ++=的倾斜角α为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 【答案】C 【解析】试题分析：直线30l y ++=的斜率=k 120αα=∴=︒tan ．故选C ．考点：1、直线的斜率；2、直线的倾斜角．2.直线2y mx m -=+经过一定点,则该点的坐标为（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,2D ．()2,1 【答案】A3.在空间直角坐标系中，点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则OB 等于（）A C ．【答案】B 【解析】试题分析：因为点B 是()1,2,3A 在yOz 坐标平面内的射影，所以(0,1,2)B ，=B ．考点：空间中两点间的距离公式．4.若三直线2380,10x y x y ++=--=和0x ky +=相交于一点，则k =（） A ．2- B ．12- C ．2 D ．12【答案】B 【解析】试题分析：由238010++=⎧⎨--=⎩x y x y ，解得12=-⎧⎨=-⎩x y ，代入直线0x ky +=得，12=-k .故选B ．考点：两直线的交点坐标．5.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A ．若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ B ．若,l l m α⊥ ，则m α⊥ C ．若,l m αα⊂ ，则l m D ．若,l m αα ，则l m 【答案】B【思路点睛】在A 中，若m 为α内的任意一条直线，则由直线与平面垂直的定义可知l α⊥；在C 中，若m 在过直线l 的平面内，则由线面平行的性质定理可知l m ；在D 中，若,αα⊥⊥l m ，则由线面垂直的性质定理可知l m .本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面的位置关系的判断和空间想象能力，属于中档题．6.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1AA 、AB 、1BB 、11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】B 【解析】试题分析: 如图，连接1111,,A B BC AC ，则1111==A B BC AC ，因为11//,//EF A B GH BC ，所以异面直线EF 与GH 所成的角等于60︒．故选B ．考点：异面直线所成的角．7.如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④ 【答案】D8.过点()2,1的直线中，被圆22240x y x y +-+=截得的最长弦所在直线方程为（）A ．350x y --=B ．370x y +-=C ．350x y +-=D ．310x y -+= 【答案】A【解析】试题分析: 圆22240x y x y +-+=的圆心为(1,2)-，所以过()2,1的直径所在直线的斜率为3，所以被圆22240x y x y +-+=截得的最长弦所在直线方程为13(2)-=-y x ，即350x y --=.故选A ．考点：直线与圆的位置关系．9.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B10.与圆221:4470O x y x y ++-+=和222:410130O x y y y +--+=都相切的直线条数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】B 【解析】试题分析: 圆11(2,2),1-=O r ，22(2,5),4=O r ，∴12125==+O O r r ，∴圆1O 和圆2O 外相切，所以与圆1O 和圆2O 相切的直线有3条.故选B ．考点：1、直线与圆的位置关系；2、两圆的位置关系．11.若直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则实数m 的值为（） A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．1-或2- 【答案】A 【解析】试题分析:因为直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，所以11228+-=≠m m m ，即1=m .故选A ．考点：两直线平行的判定．12.已知a 、b 、c 是ABC ∆中内角A 、B 、C 的对边，且1,5,a b c ===，则ABC ∆的面积S =（） A ．32B ． 2C ．3 D. 4 【答案】B13.如图所示，在四边形ABCD 中，,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒ ，将ABD ∆ 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体A BCD -，则在四面体A BCD -中，下列说法正确的是（）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABD 【答案】D 【解析】试题分析:在四边形ABCD 中，,,45,90AD BC AD AB BCD BAD =∠=︒∠=︒ ，∴⊥BD CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面 ABD 平面=BCD BD ，∴⊥CD 平面ABD ，又⊂CD 平面BCD ，∴平面ADC ⊥平面ABD ．故选D ．考点：平面与平面垂直的判定．14.在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A AC =∠=∠的取值范围为（）A ．(B ．(C ．(]0,2D ．【答案】D 【解析】试题分析: 在锐角ABC ∆中，1,2=∠=∠BC B A ，∴32ππ<<A ，且022π<<A ，64ππ∴<<A，故cos <<A ．由正弦定理可得1sin sin 2=bA A，∴2cos =b A<<b ．故选D ．考点：1、正弦定理；2、三角函数的性质；3、二倍角公式．【思路点睛】由条件可得32ππ<<A ，且022π<<A ，故64ππ<<Acos <<A ，由正弦定理可得 2cos =b A ，从而得到 b 的取值范围．求得64ππ<<A 是解本题的关键．本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，三角函数的性质，二倍角公式的应用，考查学生的转化与化归思想和计算能力，属于中档题．15.在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 反射后又回到原点P （如图），若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于（） A ．2 B ．1 C ．83 D ．43【答案】D 【解析】试题分析: 建立如图所示的坐标系，可得(4,0),(0,4)B C ，故直线BC 的方程为4+=x y ，∆ABC 的重心为004040(,)33++++，设(,0)P a ，其中04<<a ，则点P 关于直线BC 的对称点1(,)P x y ，满足04220(1)1++⎧+=⎪⎪⎨-⎪-=-⎪-⎩a x y y x a ，解得44=⎧⎨=-⎩x y a ，即1(4,4)-P a ，易得P 关于y 轴的对称点2(,0)-Pa ，由光的反射原理可知12,,,P Q R P 四点共线，直线QR 的斜率为4044()4---==--+a ak a a，故直线QR 的方程为4()4-=++a y x a a ，由于直线QR 过∆ABC 的重心44(,)33），代入化简可得2340-=a a ，解得43=a ，或0=a （舍去），故4(,0)3P ，故43=AP ．故选D ．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．【思路点睛】建立坐标系，设点P 的坐标，可得P 关于直线BC 的对称点1P 的坐标，和P 关于y 轴的对称点2P 的坐标，由12,,,P Q R P 四点共线可得直线的方程，由于过∆ABC 的重心，代入可得关于a 的方程，解之可得P 的坐标，进而可得AP 的值．本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共55分）二、填空题（本大题共5小题，每题3分，满分15分．）16.如图所示，'''Rt A B C ∆为水平方置的ABC ∆的直观图，其中'''',''''1A C B C B O O C ⊥==，则ABC ∆的面积为．【答案】【解析】试题分析：'''',''''1⊥== A C B C B O OC ''∴=OA 2,∴==⊥OA BC OA BC ，∴∆ABC 的面积为11222∆=⋅=⨯⨯=ABC S BC OA .所以答案应填：考点：斜二测画法．17.在ABC ∆中，75,45AB A B =∠=︒∠=︒，则AC = ．【答案】218.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．【答案】60︒ 【解析】试题分析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，所以底面边长为，底面面积是12，设正四棱锥的高为h ，则112123⨯=h ，解得3=h ，所以侧面与底面所成角二面角的正切tan α=，所以侧面与底面所成的二面角等于60︒.所以答案应填：60︒．考点：1、棱锥的体积；2、二面角的求法．19.已知直线l 经过点()4,3P --，且被圆()()221225x y +++=截得的弦长为8，则直线l 的方程是．【答案】40+=x 或43250x y ++=考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式．【易错点睛】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可，注意直线的斜率不存在的情况，容易疏忽，产生错误．本题考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式的应用，属于基础题．20.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线:0l ax by +=的距离为线l 的倾斜角的取值范围是．【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的斜率与倾斜角；3、点到直线的距离公式．【思路点睛】求出圆心为()2,2C ，半径=r ，根据圆的性质可得：当圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为由此利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式加以计算，即可得到直线l 的倾斜角的取值范围．本题考查了直线和圆的位置关系、直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式以及直线倾斜角与斜率的关系等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.直角三角形边长分别是3,4,5cm cm cm ，绕斜边旋转一周形成一个几何体，求这个几何体的表面积和体积. 【答案】8448=V=55ππS 表，．【解析】试题分析：直角三角形绕斜边旋转一周形成几何体是两个同底的圆锥，底面半径是斜边上的高，对应母线长分别是两直角边的长的组合体，利用圆锥的表面积和体积公式求解即可．试题解析：绕斜边旋转一周形成的几何体是两个同底的圆锥，底面半径为125，高分别是95和165对应母线长分别是3和4，所以()2128411248=34V=555355S ππππ⎛⎫+⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭表，.考点：旋转体．22.已知直线经过两条直线1:3450l x y +-=和2:2380l x y -+=的交点M . （1）若直线l 与直线220x y ++=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线'l 与直线1l 关于点()1,1-对称，求直线'l 的方程. 【答案】（１）250x y -+=；（２）3470x y ++=．23.在如图所示几何体中，四边形ABCD 为正方形，ABE ∆为等腰直角三角形，90BAE ∠=︒，且AD AE ⊥.（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）求直线EC 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13．【解析】试题分析：（1）由AE AB ⊥，AE AD ⊥，可证AE ⊥平面ABCD ，从而AE DB ⊥，又DB AC ⊥，所以DB ⊥平面AEC ，再利用面面垂直的判定定理证得平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AC 与BD 交点为O ，先证明OEC ∠为EC 与平面BED 所成角，再利用余弦定理求出OEC ∠即可．试题解析：（1）由已知可知AE AB ⊥，又AE AD ⊥，所以AE ⊥平面ABCD ，所以AE DB ⊥，又ABCD 为正方形，所以DB AC ⊥，所以DB ⊥平面AEC ，而BD ⊂平面BED ，故有平面AEC ⊥平面BED .【方法点睛】本题主要考查的是线面、面面垂直的判定和线面所成的角，属于中档题．证明面面垂直的关键是证明线线垂直，再证明线面垂直，常用方法有定义法，面面垂直的判定定理，向量法；证明线线垂直常用的方法是等腰三角形底边上的高线，菱形对角线互相垂直，勾股定理，线面垂直的定义．求线面角的一般步骤是：一作出线面角，二证明，三求线面角的大小.24.在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 2sin c A =.（1）求角C 的值；（2）若c =ABC S ∆=a b +的值. 【答案】（1）3π；（2）5．（2）3c C π==，由面积公式，得1sin 23ab π=，即6ab =.① 由余弦定理,得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=.② 由②变形得()237a b ab +=+.③将①代入③得()225a b +=,故5a b +=.考点：1、正弦定理；2、余弦定理．25.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴右侧，且与直线20x +=相切.（1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交不同两点,A B 且 OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22240x y x -+=≠；（2）M 12⎛ ⎝或1,2⎛ ⎝，OAB ∆的面积的最大值是12. 【解析】试题分析：（1）设圆心是()()00,00x x >，由直线20x +=于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求0x ，进而可求圆C 的方程；（2）把点(),M m n 代入圆的方程可得，,m n的方程，结合原点到直线:1l mx ny +=的距离1<h ，可求m 的范围，根据弦长公式求出AB ，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值．试题解析：（1）设圆心是()()00,00x x >，它到直线20x +=的距离是2d ，解得02x =或06x =-(舍去),所以所求圆C 的方程是()()22240x y x -+=≠.【方法点睛】求圆的方程的常用方法有待定系数法和几何法：（1）用待定系数法求圆的方程的步骤：①根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式，若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解；②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程；③解方程组，求出,,a b r 或,,D E F 的值，代入所设方程，即得所求圆的方程.（2）几何法主要是确定圆心坐标和半径.本题主要考查了圆的方程的求法、直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式以及直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力，属于中档题．。

长沙市长郡中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)

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长郡中学 2021 - 2022 学年度高一第一学期数学期中考试

绝密★启用前长郡中学2021-2022学年度高一第一学期期中考试满分：100分检测用时：120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和相应的信息填写在答题卡上。

2.答选择题时，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案涂黑；如有改动需擦净后，再选涂其他答案。

3.非选择题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答卷无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷选择题（60分）一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.已知集合U={0，1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，则∁U M=()A.{0，1，2，3，4，5}B.{0，1，2}C.{3，4，5}D.{1，2，3，4，5}2.下列函数是奇函数的是()A.f x =x+1B.f x =x2+1C.f x =x-1x D.f x =x,x∈-1,13.下列图象中不能作为函数图象的是()4.函数f x =x2-2x在下列区间上是减函数的是()A.(-1，3)B.(-∞，1)C.(1，+∞)D.(0，+∞)5.设a，b∈R，P={1，a}，Q={-1，-b}，若P=Q，则a-b=()A.-2B.-1C.0D.16.函数f x =4-xx -3的定义域为()A.-∞,4B.-1,2C.-2,2D.-∞,3 ∪3,47.已知f x =a x (a >0，且a ≠1)，且f (2)>f (3)，则实数a 的取值范围是()A.0<a <1B.a >1C.a <1D.a >08.下列命题为真命题的是()A.若a >b >0，则ac 2>bc 2B.若a >b >0，则a 2>b 2C.若a 1，b >1，且a ≠b ，则a +b ，2ab ，a 2+b 2，2ab 中的最大值是()A.a +bB.2abC.a 2+b 2D.2ab10.关于x 的不等式x 2-4x -6-a ≥0在x 1≤x ≤4 内有解，则实数a 的取值范围是()A.a a ≤-6B.a a ≥-6C.a a ≥-2D.a a ≤-2二、多项选择题：每小题3分，共15分。

高一数学下学期期中试题 92

长郡中学2021-2021学年高一数学下学期期中试题一、选择题〔本大题一一共15小题，每一小题3分，一共45分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.以下四条直线，其倾斜角最大的是A. 2x-y+l=0B. x+2y+3=0C.. x+y+l= 0D. x+l = 0a的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，那么其直观图的面积是原来正三角形面积的中，异面直线与BD所成角的大小是l、m与两个不同平面以下命题正确的选项是A.假设那么B.假设那么C.假设，那么D.假设那么与圆的公切线的条数为6.一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的间隔为4，那么这个球的体积为7.两条平行直线3x-4y-3=0和mx-8y+5=0之间的间隔是所表示的直线A.恒过定点(2，3)B.恒过定点〔-2，3〕9.在平面直角坐标系xOy中，点A(1，1)，点B在圆上，那么的最大值为10.在△ABC中，假设那么△ABC的面积为11.假设△ABC的三内角分别为A、B、C，满足sin2A=sin2B，那么△ABC的形状为A.等腰三角形表示圆，那么实数k的取值范围是与直线y=x+b始终有公一共点，那么实数b的取值范围是14. 一个几何体的三视图如下图，其中三个三角形均是直角三角形，图形给出的数据均是直角边的长度，那么该几何体的外接球的体积为圆点A、B分别是圆上的动点，P为直线y=x上的动点，那么的最小值为二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题3分，一共15分.〕★16.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________17.假设圆锥的外表积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，那么这个圆锥的底面圆的直径为________________18.设点P(3，2)是圆内部一点，那么过点P最短的弦所在的直线方程是________________，那么直线与平面所成角的正弦值是________________20.圆锥底面半径为1，高为点P是底面圆周上一点，那么一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，那么绕行的最短间隔是________________三、解答题〔本大题一一共5小题，每一小题8分，一共40分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〕21.〔此题满分是8分〕直线(1)假设求m的值；(2)假设求m的值.22.〔此题满分是8分〕如图，在直三棱柱〔侧棱和底面垂直〕，D是的中点.，(1)求证：平面平面(2)假设异面直线和所成的角为，求直三棱柱的体积.23.〔此题满分是8分〕圆C过A〔-2，2〕，B(2，6)两点，且圆心C在直线3x+y=0上.(1)求圆C的方程；(2)假设直线l过点P(0，5)且被圆C截得的线段长为，求l的方程.24.〔此题满分是8分〕在△ABC中，角A、B、C的三条对边分别为(1)求B；(2)点D在边BC上，AB=4 ，求AC.25.〔此题满分是8分〕如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= AF=1，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求二面角A-DF-B的大小.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【答案】C 【分析】解方程求得集合N ，由并集定义可得结果. 【详解】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=-.故选：C.2．若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A ．0a b ->B ．220a b ->C ．330a b ->D ．11a b< 【答案】B【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.【详解】解：因为a b >，所以22a b >，即22a b >，所以220a b ->，故B 正确；当2,1a b =-=-时，10a b -=-<，故A 错误； 3370a b -=-<，故C 错误；11112a b=->-=，故D 错误. 故选：B.3．已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为( ) A ．3[,1]2- B ．3[,1)(1,1]2--⋃- C ．[3,7]- D ．[3,1)(1,7]--⋃-【答案】B 【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．4．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.【详解】解：因为函数0.4x y =为减函数，所以00.20.610.40.40.4=>>，又因为0.20221a =>=，所以a b c >>.故选：A.5．在直角梯形OABC 中，AB OC ∥，BC OC ⊥，1AB =，2OC BC ==，直线:l x t =截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为S ，则函数()S f t =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据直线l 的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．【详解】由题意可知：当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时，()()11212212f t t t =⨯⨯+-⋅=-；所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩．结合不同段上的函数的性质，可知选项C 符合．故选：C ．6．“1,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦”是“函数()()()212,1315,1x a x x f x a x x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩是定义在R 上的增函数”的（） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求得分段函数在R 上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择.【详解】函数()()()212,1315,1x a x x f x a x x ⎧--+≥⎪=⎨+-<⎪⎩是定义在R 上的增函数的充要条件是： 112310344a a a a -⎧≤⎪⎪+>⎨⎪-≤-⎪⎩，解得1,23a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦. 又1,23⎛⎤- ⎥⎝⎦是1,33⎛⎤- ⎥⎝⎦的真子集，故“1,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦”是“函数()f x 是定义在R 上的增函数”的必要不充分条件. 故选：A .7．()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()1926f x x a x=+-+，若()2f x a ≥-对一切0x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．(],2∞-【答案】B【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时，(0)0f =，此时02a ≥-，解得2a ≤，当0x >时，()11()[9()26]926()f x f x x a x a x x =--=--+-+=++--，1926262x a a a x ++-≥-=（当且仅当19x x =时取等号，即13x =时取等号），即当0x >时，()2f x a ≥，要想若()2f x a ≥-对一切0x >成立，只需222a a a ≥-⇒≥-，综上所述：22a -≤≤，故选：B8．已知函数2()21,(),f x x g x ax x R =-=∈，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记为()max{(),()}M x f x g x =，若()M x 的最小值为12-，则实数a 的值为（） A ．0B ．1±C ．2±D ．2±【答案】B 【解析】先画出两个函数的图象，得到()M x 的图象，根据最小值为12-进行数形结合可知，交点处函数值为12-，计算即得结果. 【详解】依题意，先作两个函数2()21,(),f x x g x ax x R =-=∈的草图，因为()max{(),()}M x f x g x =，故草图如下：可知在交点A 出取得最小值12-，令21212x -=-，得12x =±，故11,22A ⎛⎫±- ⎪⎝⎭，代入直线()g x ax =，得1122a -=±，故1a =±.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数()max{(),()}M x f x g x =的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破.二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的为（）A ．()f x x =B ．()3f x x =C ．()2x f x =D ．()21f x x = 【答案】AC 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】()f x x =，()2x f x =是偶函数，且在()0,+∞上单调递增()3f x x =是奇函数，()21f x x =在()0,+∞上单调递减故选：AC 10．下列说法正确的有（）A ．“0x ∃∈R ，0202x x >”的否定是“x ∀∈R ，22x x ≤”B ．若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则实数m 的取值范围是()4,+∞C ．若a ，b ，c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A ；由命题为假命题可得方程240x x m ++=无解，则Δ0<，即可判断B ；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD. 【详解】解：对于A ，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“0x ∃∈R ，0202x x >”的否定是“x ∀∈R ，22x x ≤”，故A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则方程240x x m ++=无解，所以1640m ∆=-<，解得4m >，所以实数m 的取值范围是()4,+∞，故B 正确；对于C ，当0b =时，22ab cb =，则由a c >不能推出22ab cb >，所以“22ab cb >”的充要条件不是“a c >”，故C 错误；对于D ，若1a >，则101a <<，故由1a >可以推出11a <，若当1a =-时，11a <，则由11a <不可以推出1a >，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故D 正确. 故选：ABD.11．下列说法正确的是（）A ．函数()12x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像恒过定点1,2B ．若不等式220ax x c ++<的解集为{1x x <-或}2x >，则2a c +=C ．函数()f x = 6D ．函数()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】BD【分析】选项A ，根据指数函数的性质即可判断；选项B ，根据一元二次不等式的性质即可判断；选项C ，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断；选项D ，根据复合函数的单调性即可判断.【详解】选项A ，函数()12x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图像恒过定点为(1,1)-，与1,2不符，故A 错；选项B ，不等式220ax x c ++<的解集为{1x x <-或}2x >，故必有2122a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得24a c =-⎧⎨=⎩，进而得到2a c +=，故B 正确；选项C ，()f x =6≥，当且仅当2169x +=，方程无解，故等号不可成立，故C错误；选项D ，函数()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1()2u y =和12u v =，以及22v x x =--+，三个函数复合而成，故所求函数()g x 的单调增区间为函数v 的单调递减区间，且要求0v ≥，而函数v 的单调递减区间为1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，又因为0v ≥，故220x x --+≥，解得(2)(1)0≤x x +-，得21x -≤≤，综上，函数()12g x ⎛= ⎪⎝⎭1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故D 正确故选：BD12．定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】AD【分析】通过利用()t f x =或()t x g =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.【详解】解：对于A 中，设()t g x =，则由()0f g x =⎡⎤⎣⎦，即()0f t =，由图象知方程()0f t =有三个不同的解，设其解为1t ，2t ，3t ，由于()y g x =是减函数，则直线()0y t t a =<<与函数()y g x =只有1个交点，所以方程1()t g x =，2()t g x =，3()t g x =分别有且仅有一个解，所以()0f g x =⎡⎤⎣⎦有三个解，故A 正确；对于B 中，设()t f x =，则由()0g f x =⎡⎤⎣⎦，即()0g t =，由图象可得()0g t =有且仅有一个解，设其解为b ，可知0b a <<，则直线y b =与函数()y f x =只有2个交点，所以方程()f x b =只有两个解，所以方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有两个解，故B 错误；对于C 中，设()t f x =，若()0f f x =⎡⎤⎣⎦，即()0f t =，方程()0f t =有三个不同的解，设其解为1t ，2t ，3t ，设123t t t <<，则由函数()y f x =图象，可知120a t t -<<<，3t a =，由图可知，直线1y t =和直线2y t =分别与函数()y f x =有3个交点，直线3y t a ==与函数()y f x =只有1个交点，所以()1f x t =或()2f x t =或()3f x t =共有7个解，所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦共有七个解，故C 错误；对于D 中，设()t g x =，若()0g g x =⎡⎤⎣⎦，即()0g t =，由图象可得()0g t =有且仅有一个解，设其解为b ，可知0b a <<，因为()y g x =是减函数，则直线y b =与函数()y g x =只有1个交点，所以方程()g x b =只有1解，所以方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦只有一个解，故D 正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =；（2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.三、填空题13．已知集合{}21,2,2A m m m =++，若3A ∈，则实数m 的值为______．【答案】32- 1.5- 【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果.【详解】当23m +=，即1m =时，集合223m m +=，不满足互异性，故舍去；当223m m +=，即1m =（舍）或32m =-，此时122m +=，集合11,,32A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭满足题意.综上所述，实数m 的值为32-. 故答案为：32-. 14．若不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为________. 【答案】(3,0]-【分析】对k 分成0k =和0k ≠两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得k 的取值范围.【详解】当0k =时，308-<，满足题意；当0k ≠时，则00k <⎧⎨∆<⎩，即2034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫-⋅⋅-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：30k -<<，综上：30k -<≤.故答案为：(3,0]-【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.15．已知函数()()2m f x m x =-是幂函数，若()()23980f k f k ++-≤，则实数k 的最大值是______．【答案】6【分析】根据幂函数的定义求出参数m 的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()()2m f x m x =-是幂函数，所以210m m -=⎧⎨≠⎩，解得3m =，所以()3f x x =，因为()()3f x x f x -=-=-，所以函数()3f x x =是R 上的奇函数，又函数()3f x x =在()0,∞+上递增，且在定义域内连续，所以函数()3f x x =在R 上递增，不等式()()23980f k f k ++-≤，即为不等式()()2389f k f k +≤-，所以2389k k +≤-，解得26k ≤≤，所以实数k 的最大值是6.故答案为：6.16．已知函数()24222x a x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数()f x 在[2，＋∞）时的值域包含于函数()f x 在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数()f x 在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数()24,2x g x x x+=≥的值域为A ，函数()2,2x a h x x -=<的值域为B ，因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当[)12,x ∈+∞时，()244x g x x x x+==+，因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以[)4,A =+∞，当()2,2x ∈-∞时，()2,2x a h x x -=< ①当2a ≥时，()2,2a x h x x -=<，此时()22,a B -=+∞，224a -∴<，解得24a ≤<，②当2a <时，()2,2,2a x x a x a h x a x --⎧<=⎨≤<⎩，此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a -⎡⎣，224a -∴≤，解得02a ≤<，综合得04a ≤<.故答案为：04a ≤<【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.四、解答题17．已知集合{}()22A x a x a a =-≤≤+∈R ，11224x B x -⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭． (1)当3a =时，求A B ⋃，()R A B ； (2)若()A B =R R ，求实数a 的取值范围．【答案】(1){}15A B x x ⋃=-<≤，(){}R 25A B x x ⋂=≤≤．(2)[]0,1【分析】（1）先求出集合B ，再根据集合交并补运算求解即可；（2）由题知2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩，进而解不等式即可得答案. 【详解】（1）当3a =时，{}15A x x =≤≤，又因为{}12B x x =-<<，所以{R 1B x =≤-或}2x ≥，所以{}15A B x x ⋃=-<≤，(){}R 25A B x x ⋂=≤≤．（2）因为()A B =R R ，集合{}22A x a x a =-≤≤+，{R 1B x =≤-或}2x ≥，所以21,22,a a -≤-⎧⎨+≥⎩解得01a ≤≤．所以实数a 的取值范围为[]0,1． 18．（1）计算：20.53221820.756427--⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知11223a a -+=，求33132a a a a --+++-的值．【答案】（1）1；（2）65.【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.【详解】（1）20.53221820.756427--⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12232393123919144363216364⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因为11223a a -+=，所以21112227a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，所以()2221247--+=+-=a a a a ，所以()()12233111336522a a a a a a a a a a -----++-+++==+-+-． 19．已知0x >，0y >，9x y xy m +-=．(1)若0m =，求x y +的最小值；(2)若16m =-，求xy 的最小值．【答案】(1)16；(2)64.【分析】（1）根据基本不等式，结合“1”的妙用，即可求得结果；（2）根据基本不等式，结合已知条件，即可求得结果.【详解】（1）根据题意9x y xy +=，所以911x y+=，所以()919101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9911x y y x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即124x y =⎧⎨=⎩时，等号成立，所以x y +的最小值为16．（2）因为916x y xy +-=-，所以916x y xy xy +-=-≥，即16xy -≥t =，则26160t t --≥，所以8t ≥或2t ≤-（舍），8，即64xy ≥，当且仅当9916x y x y xy =⎧⎨+-=-⎩时，即2483x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立，所以xy 的最小值为64．20．已知函数2()4f x x =+．(1)设()()f x g x x=，根据函数单调性的定义证明()g x 在区间(2,)+∞上单调递增； (2)当0a >时，解关于x 的不等式2()(1)2(1)f x a x a x >-++．【答案】(1)证明见详解.(2)当1a =时，2x ≠；当01a <<时，2(,)(,2)x a∈+∞⋃-∞；当1a >时，2(2,)(,)x a ∈+∞⋃-∞.【分析】（1）利用函数单调性的定义、作差法进行证明.（2）根据已知变形，把问题转化为含参的一元二次不等式，对参数进行分类讨论进行求解.【详解】（1）因为2()4f x x =+，所以2()44()f x x g x x x x x +===+，对于任意的12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，12121212124444()()()()()()g x g x x x x x x x x x -=+-+=-+- 2112121212124()(4)()()x x x x x x x x x x x x ---=-+=，由于12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，所以12120,40x x x x -<->，故12()()0g x g x -<，所以()g x 在区间(2,)+∞上单调递增；（2）不等式2()(1)2(1)f x a x a x >-++可化简为22(1)40ax a x -++>，因为0a >，所以上式化简得2()(2)0x x a-->，令2()(2)0x x a--=，解得2x =或2x a =，当22a =时，即1a =时，得2x ≠；当22a >时，即01a <<时，得2(,)(,2)x a ∈+∞⋃-∞；当22a <时，即1a >时，得2(2,)(,)x a∈+∞⋃-∞；综上，当1a =时，2x ≠；当01a <<时，2(,)(,2)x a∈+∞⋃-∞；当1a >时，2(2,)(,)x a∈+∞⋃-∞. 21．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前()*n n ∈N 年的支出成本为()2105n n -万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．(1)写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．【答案】(1)()()()1019f n n n =---，该设备从第2年开始实现总盈利；(2)方案二更合适，理由见解析.【分析】（1）根据题意，直接求得()f n ，令()0f n >，结合n 的取值范围，即可求得结果；（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.【详解】（1）由题意可得()()()()22951059010100901019n n n f n n n n n +-=--=--=---，由()0f n >得19n <<，又*n ∈N ，所以该设备从第2年开始实现总盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额()()221009010516010f n n n n +-=--+=-，当5n =时，()f n 取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为16020180+=万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为()20101090f n n n nn --=+91010010040n n ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当9n n=，即3n =时等号成立；即3n =时，平均盈利额最大，此时()120f n =，此时处理掉设备，总利润为12060180+=万元．综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．22．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足()()12x f x g x --=.（1）求()f x 、()g x ；（2）若方程()()229mf x g x m =++⎡⎤⎣⎦有解，求实数m 的取值范围；（3）若()()()112h x f x g x =+-⎡⎤⎣⎦，且方程()()21202h x k h x k ⎛⎫-++=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有三个解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()22x x f x -=+，()22x x g x -=-；（2）[)10,+∞；（3）{}10,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）由已知条件可得出()f x 、()g x 的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；（2）令222x x t -=+≥，分析可知函数()225F t t mt m =-++在[)2,∞+上有零点，分22m ≤、22m >两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数m 的不等式，综合可得出实数m 的取值范围；（3）作出函数()h x 的图象，分析可知方程()12h x =有两个不等的实根，从而方程()2h x k =有且只有一个根，数形结合可求得实数k 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，由已知可得()()12x f x g x +---=，即()()12x f x g x ++=，所以，()()()()1122x x f x g x f x g x -+⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()2222x x x x f x g x --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩；（2）由()()229mf x g x m =++⎡⎤⎣⎦可得()()224427x x x x m m --+=+++，令222222x x x x t --=+≥⋅=，当且仅当0x =时，等号成立，则2442x x t -=++，故有2250t mt m -++=，其中2t ≥，令()225F t t mt m =-++，其中2t ≥，则函数()F t 在[)2,∞+上有零点，①当22m ≤时，即当4m ≤时，则()F t 在[)2,∞+上单调递增，所以，()()290F t F ≥=>，不合乎题意；②当22m >时，即当4m >时，则有28200m m ∆=--≥，解得10m ≥，此时10m ≥. 综上所述，实数m 的取值范围是[)10,+∞；（3）()()()12,01121221,0x x x x h x f x g x x ⎧-≤⎡⎤=+-=-=⎨⎣⎦->⎩，作出函数()h x 的图象如下图所示：由()()21202h x k h x k ⎛⎫-++=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭可得()()1202h x h x k ⎡⎤-⋅-=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦，由图可知，方程()12h x =有两个不等的实根，由题意可知，方程()2h x k =有且只有一个根，故20k =或21k ≥，解得0k =或12k ≥. 因此，实数k 的取值范围是{}10,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.。

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