高考数学专题复习与策略专题平面解析几何突破点圆锥曲线中的综合问题专题限时集训理

专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题

[建议用时：45分钟]

1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C

：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，

F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°.

图15­4

(1)求椭圆C 的方程；

(2)如图15­4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

[解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 2

3＝1.4分

(2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k x －1，x 24＋y

23

＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2

－12＝0.5分

因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)，

D (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝8k 2

4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2

－124k 2＋3.6分

因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2

x 2－2

(x －2)，

令x ＝3，可得M ⎝

⎛

⎭⎪⎫

3，

y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分 直线PF 2的斜率为k ′＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 1

x 1－2＋y 2x 2－2－0

3－1

＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＋x 2＋4＝14·2kx 1x 2－3k x 1＋x 2＋4k x 1x 2－2x 1＋x 2＋4

＝14·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 2

4k 2＋3＋4k

4k 2－124k 2

＋3－2·8k 2

4k 2＋3＋4＝－3

4k

， 所以k ·k ′为定值－3

4

.12分

2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点P (a ，

b )与F 1，F 2围成等腰三角形，且S △PF 1F 2＝ 3.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线x ＝－4与QA ，QB 分别交于M ，N 两点． (i)当QF 1→＝λMN →

时，求Q 点坐标；

(ⅱ)过点M ，N ，F 1三点的圆是否经过x 轴上不同于点F 1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．

[解] (1)F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题意可得F 1F 2＝PF 2，∴(a －c )2

＋b 2

＝4c 2

.1分 由S △PF 1F 2＝3可得，1

2

·2c ·b ＝bc ＝ 3.2分

两式联立解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 2

3＝1.4分

(2)(ⅰ)∵QF 1→＝λMN →

，∴QF 1∥MN ，∴QF 1⊥x 轴.5分 由(1)知，c 2

＝1，∴F 1(－1,0)．

设Q (－1，y )，则有14＋y 2

3＝1，∴y ＝±32，∴Q ⎝

⎛⎭⎪⎫－1，±32.7分 (ⅱ)设Q (x 0，y 0)，则k QA ＝

y 0x 0＋2，直线QA 的方程为y ＝y 0

x 0＋2

(x ＋2)．

令x ＝－4得M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 0x 0＋2.9分

同理k QB ＝

y 0x 0－2，直线QB 的方程为y ＝y 0

x 0－2

(x －2)，

得N 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－4，－6y 0x 0－2，10分

MN ＝⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪－6y 0x 0－2－－2y 0x 0＋2＝3x 0＋4|y 0|.11分 设圆心坐标为O (m ，n )，若x 轴上存在定点E (λ，0)满足条件，则有

m ＝λ－12，n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 0x 0－2＋－2y 0x 0＋2＝

3x 0＋1

y 0

.12分

由题意可得(m ＋4)2

＋

MN 2

4

＝n 2

＋

EF 21

4

，13分

代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42＋14

·9x 0＋42

y 20＝

9x 0＋1

2

y 20

＋

λ＋1

2

4

.

即⎝ ⎛⎭

⎪⎫λ－12＋42－λ＋1

2

4＝

36x 0＋1

2

－9x 0＋42

4y 20

＝

9

3x 2

0－12

4y 2

＝－9， 整理得λ＝－7，

∴x 轴上存在点E (－7,0)满足题意.14分

3．(2016·淄博二模)已知点⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，64是等轴双曲线C ：y 2a 2－x 2

a 2＝1上一点，抛物线x 2

＝

2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 的一个焦点重合．

图15­5

(1)求抛物线的方程；

(2)若点P 是抛物线上的动点，点A ，B 在x 轴上，圆x 2

＋(y －1)2

＝1内切于△PAB ，求△PAB 面积的最小值．

[解] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫1

2，64代入双曲线可得，38a 2－14a 2＝1，

解得a 2＝18，c 2＝a 2＋a 2

＝14

，2分

由题意可知，p 2＝12

，p ＝1，所以抛物线方程为x 2

＝2y .4分

(2)设P (x 0，y 0)，A (m,0)，B (n,0)，不妨设n ＞m . 直线PA 的方程：y ＝

y 0

x 0－m

(x －m )，

化简得y 0x ＋(m －x 0)y －my 0＝0.6分 又圆心(0,1)到PA 的距离为1，

|m －x 0－my 0|

y 20

＋m －x 0

2

＝1，

上式化简得(y 2

0－2y 0)m 2

＋2x 0y 0m －y 2

0＝0， 同理有(y 2

0－2y 0)n 2

＋2x 0y 0n －y 2

0＝08分

所以m ＋n ＝－2x 0y 0y 20－2y 0＝－2x 0y 0－2，mn ＝－y 2

0y 20－2y 0＝－y 0

y 0－2，

则(m －n )2

＝4x 2

0＋4y 2

0－8y 0

y 0－22

.10分