正弦交流电路的相量表示法..
简述正弦交流电的三种表示方法
简述正弦交流电的三种表示方法1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写:引言部分是文章的开篇，目的是为读者提供对后续内容的整体了解。
在这篇文章中，我们将讨论正弦交流电的三种表示方法。
正弦交流电是工程技术领域中常见的电信号类型之一，广泛应用于电力系统、电子电路和通信系统等领域。
正弦交流电具有周期性的特点，可以表示为周期性变化的信号。
对于正弦交流电的表示方法，研究者们提出了多种不同的方式。
本文将详细介绍其中的三种主要表示方法，分别是：1. 直角坐标系表示法：通过在直角坐标系中绘制电压或电流随时间的变化曲线，来表示正弦交流电的变化规律。
这种方法直观且易于理解，可以清晰展示电压或电流的振幅、频率和相位等重要参数。
2. 极坐标系表示法：将正弦交流电视为一个旋转的向量，通过描述其振幅和相位差来表示。
极坐标系表示法适用于描述相位关系的问题，对于分析电路中的相位差和频率变化等现象非常有用。
3. 复数表示法：利用复数的实部和虚部，将正弦交流电转化为复数形式进行表示。
这种表示方法在电路分析和计算中非常高效，可以通过简单的复数运算得到电流和电压的各种参数，极大地简化了电路分析的过程。
本文将分别对上述三种表示方法进行详细阐述，分析其优缺点以及适用场景，旨在让读者全面了解正弦交流电的不同表示方法，并为进一步深入研究和应用提供参考。
接下来，我们将介绍文章的结构以及各个章节的具体内容。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指整篇文章内容的组织和安排方式，它包括了引言、正文和结论三个主要部分。
通过清晰的文章结构，读者可以更好地理解文章的内容，把握文章的逻辑关系和主旨。
引言部分为文章提供了一个引人注目的开篇，引发读者的兴趣，并对正文的内容进行简单概述。
在这个部分，我们将对正弦交流电的三种表示方法进行简要的介绍。
正文部分是文章的重点，用来详细阐述正弦交流电的三种表示方法。
在正文中，我们将分别介绍第一种、第二种和第三种表示方法，详细讲解它们的原理、特点和应用场景。
10.正弦交流电路的相量表示法
I 2＝ 1590 0 j15(V )
＝100 20 100 2 (V ) U
指数表示法：
复数形式：
I cos jI sin I i i
I (cos j sin ) I i i
j
欧拉公式：
e
cos j sin
j i I Ie
课前提问
1、什么是旋转矢量？为什么提出旋转矢量？ 2、什么是相量和相量图？ 3、复数的四种表示方法是什么？
正弦量的相量表示法
教学任务： • 会画相量图
• 能够用复数的三种形式表示正弦量
回顾正弦交流电路的描述方法：
1. 瞬时值（三角函数法）： i I m sin t i
Im
2. 波形图法：
6
旋转矢量的加法
化简：一个电路中只有一种频 率。 要素。 三要素退化为两个 固定位置
B A
C
i
i
正弦量
t
对应
相量图
I m
i
初始相量
相量：电工学中用来表示正弦量大小和相位的矢量。记作 I
相量图表示法：
314t 48)V ， 例： 已知： u1 (t ) 100sin(
求：
有理数
复数：
a bj I
极坐标表示法：
最大值： 有效值：
I I m m i
o
i
I m
i(t ) 2 I sin( t i ) I I i
有效值相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
优点：方便乘除运算。
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
第四章-正弦交流电路的相量法
.
原理：
+.
I
.
U
IC
.
.
I1
IC
R
jL
j 1 C
12
.
U
.
I
.
IC
-
a）
.
b） I 1
图4-11 功率因数的提高
根据图4-11分析如下:
a）电路图 ； b）相量图
并联电容前，总电流
I
I1
,电压超前电流的相位差为
; 1
并联电容后，总电流
I
I1
IC
,电压超前电流的相位差为 2
因 2 1 故 cos 2 cos 1 首页
U
Z1
+
Z2
•
U2
-
1053.13 -
图4-2 例4-1图
首页
U 2 Z2I (1 j7)1036.87V 7.07 81.87 1036.87 V 70.7 45 V
U1 Z1I (5 j15)1036.87V 15.8171.57 1036.87 V 158.1108.44 V
Y Y
对比可得
Y 1 Z
•
•
当电压、电流关联参考方向时，相量关系式U Z I
也可表示为 U I 或 I YU
Y
首页
二、用复导纳分析并联电路
图4-6所示是多支路并联电路，根据相量形式的基尔霍
夫电流定律，总电流
.
.
.
.
I I1 I2 In
.
.
.
Y1 U1 Y2 U2 Yn Un
因并联电容前后电路消耗的有功功率是相等的,故
并联电容前
P UI1 cos 1
第六章正弦交流电第二节正弦量的相量表示法及其运算
相量法复数的表达式一个复数Z 有以下四种表达式。
1．直角坐标式(代数式)Z = a + j b式中，a 叫做复数Z 的实部，b 叫做复数Z 的虚部。
在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。
任意一个复数都可以在复平面上表示出来。
例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。
2．三角函数式在图9-1中，复数Z 与x 轴的夹角为 θ，因此可以写成Z = a + j b = |Z |(cos θ + jsin θ)式中|Z |叫做复数Z 的模，又称为Z 的绝对值，也可用r 表示，即22|Z | b a r +==θ 叫作复数Z 的辐角，从图9-1中可以看出⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<+π-><-π>=)0 0( arctan )0 0( arctan )0( arctan b a a b b a a b a a b ，，θ 复数Z 的实部a 、虚部b 与模|Z |构成一个直角三角形。
3．指数式利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即Z =|Z |(cos θ + jsin θ) =|Z |e j θ4．极坐标式(相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z =|Z |/θ以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。
复数的四则运算设Z 1= a + j b =|Z 1|/α ，Z 2 = c + j d = |Z 2|/β ，复数的运算规则为1．加减法 Z 1 ± Z 2 = (a ± c ) + j(b ± d )2．乘法 Z 1 · Z 2 = |Z 1| · |Z 2|/α + β3．除法21Z Z =4．乘方 nn Z Z 11=/n α正弦量的复数表示法正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。
电工技术：正弦交流电的相量表示法
同频率正弦量的相量运算：知识点小结
两个同频率的正弦交流电相加（减）： 方法一：都化成相量，变为复数的相加（减） 方法二：相量图法（平行四边形或首尾相接法）
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如
i
-Im
O
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin ( t 1 )
实际应用更多的是有效值形式的相量表示！
一、正弦量的相量表示法
2.注意事项 （1）表示正弦量的复数称相量
（2）相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
u U m sin ( ω t ψ) ＝
（3）一个正弦量与一个复数是一一对应的关系。 （4）只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
ψ
正弦交流电的相量运算
同频率正弦量的相量运算
• 同频率正弦量相加减
同频率的两个正弦量相位差为一些 特殊角时，用相量图中的几何关系 很方便求相量和、相量差。 例:题3： 已知 解：
正弦交流电的相量表示法(2)
正弦量的表示法：
解析式： i(t ) I m sin(t ) A
i
Im
最大值相量： I m I m
有效值相量： I I
最大值： I m
I
Im
I
有效值： I
平均值：
I
I
电工基础
例：写出下列正弦量的相量形式：
i1 (t ) 5 2 sin(t 53.1) A
2
虚数
用 j 代替
虚部 实部
i
B a jb
j
复数 A a jb 代数式
0
D
b
A
C a jb
D a jb
复数的模
r
0
1
r a 2 b2
复数矢量与实轴正方向的夹角
a
C
0
取值在正180度到负180度之间
a r cos
0
电工基础
三、正弦量的相量表示法： re j r cos jr sin
Im
t
正弦交流电
I me j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
用 I me
I me
j (t )
代
jt
替
I m sin(t ) I mt
加减用代 数式运算
A B a1 jb1 a2 jb2 (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B a1 jb1 (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B
A
A B
A
B B
1
1
15、正弦交流电的相量表示法cos
i1 i3
i2
i1(t) = 4 cos(t+00 ) A i2(t) = 3 cos(t +90 o )A
i3 = i1 + i2
利用三角函数公式 利用波形图
相量法
§5.2 - 5.3 正弦交流电的相量表示
内容： 1、正弦量的相量表示 2、两类约束的相量形式 时数： 2 学时 要求：会用相量图和复数表示正弦交流电， 并能运用相量进行两个正弦量的四则 运算及乘方开方运算。复述基尔霍夫 定律相量形式及欧姆定律相量形式的 内容。
4 0 .8 j 4 0 .6 3 .2 j 2 .4
o U 2 3 53
B
u2
–
3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 )
o o
3 cos 53 j 3 sin 53
o
o
u3 5 2 cos t V
3 0 .6 j 3 0 .8
5 0 0 I3
i3(t) = 5
2 cos t A
例2
i1
i3
相 量 图 法
i2
i3 = i1 + i 2
i1(t) = 4 i2(t) = 3
0
)A 2 cos(t + 37°
2 cos(t – 53°)A
+j
I 1 4 37
I1
I 2 3 53
0 I 3 5 0
0
I 1 4 37
I 2 3 53
4 cos 37 0 j 4 sin 37 0 3.2 j 2.4 I1
0 0 I 2 3 cos( 53 ) j 3 sin( 53 ) 1.8 j 5
电工技术：正弦交流电的相量表示法(1)
I 560 A
I
60
U
30
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，可不画坐标轴。
二、相量图
例题1: 将 u1、u2 用相量表示,并画出相 量图。
解:
(1) 相量式
220 20V U 1
110 45 V U 2
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
一、正弦量的相量表示法：正误判断
1.已知：
u 220 sin(ω t 45)V
3.已知：
4 e j30 A I
• 220 U 45 V 2 有效值
？
4 2 sin (ω t 30 )A
瞬时值形式
？
复数形式
j45
220 e45 V U m
2.已知：
正弦交流电的相量表示法
正弦交流电有哪些表达形式？
（1）正弦函数（瞬时值表达式）如
i I m sin (ω t ψ )
Im
（2）正弦曲线波形，如i源自 -ImO
2
T
t
t
这两种表达形式直观，但运算繁琐，绘制困难。
正弦交流电为什么要用相量表示？
两个正弦量
i1 2 I1m sin(t 1 )
u2 110 2sin(ω t 450 ) V
(2) 相量图
+j
U 2
U2
超前 U1
U 1
+1
45 20
正弦交流电的相量表示法（1）：知识点小结
（1）正弦交流电用相量（复数）表示方法
u U m sin ( ω t ψ )
（2）相量图
U U ψ
U
正弦量的基本特征及相量表示法KCLCVL及元件伏安关系的-精选文档
3.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度
初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U sin( t ) m u
相位差为：
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i I sin( t ) m i
代数型
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三角函数型
指数型
极坐标型
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复数的四则运算： a ja a 设两复数为： A 1 2 1
B b jb b 1 2 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则A=B 。 (2)加减运算： A B ( a b ) j ( a b ) 1 1 2 2
根据有效值的定义有： I
2 T2 RT 0i Rdt
周期电流的有效值为： I
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1 T 2 0 i dt T
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对于正弦电流，因
i ( t ) I sin t ( ) m i
所以正弦电流的有效值为：
I
3.1 正弦量的基本概念及其相量表
示法
Biblioteka 3.2 KCL、KVL及元件伏安关系 的相量形式 3.3 正弦交流电路的一般分析方法 3.4 正弦电路的功率 3.5 电路中的谐振
跳转到第一页
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3.1 正弦量的基本概 念及其相量表示法
第3章 正弦交流电路 学习要点
实验六 正弦稳态交流电路相量的研究
实验六正弦稳态交流电路相量的研究一、实验目的1. 了解交流电路中的相量概念。
2. 掌握相量合成、加减、旋转的方法。
3. 学会使用矢量图解法求解交流电路问题。
二、实验原理交流电路所涉及的量大都是随时间而变化的量，如电压、电流等。
在正弦稳态下，这些随时间而变化的量可以用相量来代替，从而方便地进行计算和分析。
对于一般的随时间而变化的量 a(t)，其相量可以表示为：$A=\frac{2}{T}∫^{T/2}_{-T/2} a(t)cosω_0tdt+j \frac{2}{T}∫^{T/2}_{-T/2}a(t)sinω_0tdt$其中 $T=\frac{2π}{ω_0}$ 为一个周期，$ω_0=\frac{2π}{T}$ 为角频率。
这里所求的相量 A 是一个复数，它的实部表示信号在电路中的电压或电流的有效值，虚部表示信号在电路中的相位。
在交流电路中，有时需要将不同的相量合成为一个新的相量，或将一个相量分解为两个相互垂直的相量，或改变一个相量的大小和方向。
下面介绍相量合成、加减、旋转的方法：（1）相量的合成：设有两个相量 $A_1$ 和 $A_2$，其大小和方向分别为 $|A_1|$、$\varphi_1$ 和$|A_2|$、$\varphi_2$，则它们的和为：$A=A_1+A_2=|A_1|cos\varphi_1+j|A_1|sin\varphi_1+|A_2|cos\varphi_2+j|A_2|sin\va rphi_2=|A|cos\varphi+j|A|sin\varphi$其中，$|A|=\sqrt{|A_1|^2+|A_2|^2-2|A_1||A_2|cos(\varphi_1-\varphi_2)}$当需要改变一个相量的大小和方向时，可以进行相量的旋转操作。
设有一个相量 A，大小为 |A|，方向为 $\varphi_A$，现将其旋转一个角度θ，则旋转后的相量 A' 大小为 |A|，方向为 $\varphi_A+\theta$，可利用欧拉公式进行计算：即，$A'=Ae^{j\theta}$其中，e 为自然对数的底数。
正弦交流电的三种表示法
03
相量图上的角度表示正弦交流电的相位差。
相量图应用
01
02
03
用于分析正弦交流电的合成与 分解。
用于计算正弦交流电的相位差 和合成振幅。
用于分析正弦交流电路中的电 压和电流关系。
04
三种表示法的比较与转换
表示法的优缺点比较
瞬时值表示法
优点是直观，能反映正弦交流电 的即时值；缺点是计算复杂，无 法直接用于电路分析。
确定坐标轴
选择适当的横轴和纵轴，横轴表示时间，纵轴表示电流或电 压。
绘制正弦曲线
根据正弦函数的特性，以适当的幅度和相位在坐标轴上绘制 正弦曲线。
标记参数
在图上标出峰值、频率等参数，以便解读。
波形图解读
观察波形形状
通过观察波形图的形状，可以了解电流或电压随时间的变化情况。
识别峰值和零点
正弦波有一个最大值和一个最小值，以及无限多个零点，这些都可以在波形图上识别出来。
最大值与有效值的关系
$E = sqrt{2}E_{rms}$
表示法转换的应用场景
电气工程
在电气工程中，正弦交流电的三 种表示法都有广泛的应用，如电
压、电流的测量和计算等。
通信技术
在通信技术中，由于信号的传输和 处理通常涉及到正弦交流电，因此 三种表示法的转换十分重要。
自动控制
在自动控制系统中，需要对各种传 感器输出的正弦交流电信号进行处 理和分析，因此需要掌握三种表示 法的转换方法。
有功值表示法
表示交流电在电阻性负载中消耗的平 均功率。
表达式
Eavg = Emsin^2(ωt)，其中Eavg为平 均值。
无功值表示
无功值表示法
表示交流电在感性或容性负载中交换的能量。
正弦交流电的表示方法
电压瞬时值表达式为：u2202sin(314t60) 电流瞬时值表达式为：i222sin(314t30) 相位差为：60(30)90
所以电压超前电流 9 0 ，二者相位关系为正交。
例： 已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为1000 Hz的正弦电流其相量形msint I m I m 0 0 电阻的电压
则 u R R m isI i t U n m si tn与电流瞬时值
最大值、有效值 UmRIm 或
Um
U
U
R
m
Im I
U
m
0 0 、有效值、最
大值都满足欧 姆定律。
2. 电压电流的相位关系
1.电压、电流关系
uC
瞬时值 设：uUms iω nt
则 i C du U 最m i大 值C Im ω 、CU 1有ωm 效c 值Im ω o XtC dt I s m s X容C抗ω i(t n 1C)9 ) (电最姆0 电流大定容有值律的效满形电值足式压、欧。与
正弦交流电路的表示方法有瞬时值表示法和相 量表示法。
2.1.1 正弦交流电的瞬时值表示法
正弦量： 正弦电压、电流等物理量统称为正弦量。
规定电流参考方向如图
i
iR
a
b
i Im si n t ( i)
+
0
i
t
振幅
角频率
正半周： 初相角 电流实际方向与参考方向相同
正弦量的三要素
负半周：
我国和大多数国家采用50Hz作为电力工业标准 频率(简称工频)，少数国家采用60Hz。
二、瞬时值、幅值、有效值
描述正弦量数值大小的参数：
正弦交流电表示法
正弦交流电的表示法2.1.2 正弦量的相量表示法如前所述，一个正弦量由幅值、角频率和初相位三个要素确定，而正弦量的这些特征，可以用正弦波和三角函数表示出来。
除此之外，还可以用相量表示，复数是相量的基础。
（1）复数如图2-6所示，一复数A，a1为其实部，a2为其虚部，a为其长度，则复数A可用四种形式来表示：图2-6 复平面上表示复数A①代数式A=a1+j a2（2-8）为虚单位。
②三角函数式令复数A的模|A|=a，φ角是复数A的辐角，有A=｜A｜（cosφ+jsinφ）=a（cosφ+jsinφ）（2-9）式中，，，③指数式根据欧拉公式e jφ=cosφ+jsinφA=a e jφ（2-10）④极坐标式极坐标式是复数指数式的简写，这四种复数的表示形式，可以相互转换。
复数的指数形式（或极坐标形式）与复数的三角函数式之间可以通过欧拉公式进行转换，指数形式（或极坐标形式）要变换成代数式可以通过欧拉公式进行转换；代数式变换成指数形式（或极坐标形式）可以通过式（2-9）进行转换。
（2）正弦量的相量表示用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法，即用复数的模来表示正弦量的幅值（最大值或有效值），用复数的辐角来表示正弦量的初相位。
只有同频率的正弦量用相量进行分析计算才有意义，它使得正弦交流电路的分析和计算变得更为简单。
在线性正弦交流电路中，各部分的电流和电压都是同频率的正弦量。
因为频率不变，所以可以用相量来表示正弦量。
正弦量的相量形式是用大写字母上面加小圆点表示。
例如，“”“”“”等。
同理，可自行写出和相量。
相量、、称为有效值相量，、、称为最大值相量或幅值相量。
相量在复平面上的几何图形叫做相量图，如图2-7所示。
图2-7 正弦量的相量图同频率的正弦量，由于它们之间相位的相对位置不变，即相位差不变，因此可以将它们的相量画在同一个坐标上。
不同频率的正弦量，用相量表示时，不能画在同一相量图上。
（3）相量运算相量的运算规则符合复数运算中的交换律、结合律和分配律等。
电工电子技术正弦交流电路
复数的四种形式
(1)复数的代数形式 (2) 复数的三角形式 (3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式
A a jb
A r cos jrsin
A re j
A r
复数的运算法则
设有两个复数分别为：A a a a1 ja2
B b b b1 jb2
A、B加、减、乘、除时运算公式如下：
利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之 间的加、减运算及其电路分析。举例如下：
已知u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U2 sin t 2 ，求u u1 u2。
利用相量图辅助分析， 根据平行四边形法则， 由相
U 量图可以清楚地看出：根据直角三角
U2
U1sinψ1+U2sinψ2 形的勾股弦定理：
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
A B (a1 b1) j(a2 b2 )
A • B ab a b
A B
a b
a
b
显然，复数相加、减时用代数形式比较方便；复数 相乘、除时用极坐标形式比较方便。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！
如何把代数 形式变换成 极坐标形式 ？
极坐标形式又 如何化为代数 形式？
相量等于正弦量 的说法对吗？ 正弦量的解析式 和相量式之间能 用等号吗？
利用几何图形关系，如 6 j8 62 82 arctan8 1053.1
6
利用三角函数关系，如 1053.1 10 cos53.1 j10 sin 53.1
电路分析基础：正弦量的相量表示法
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
| A |
a2 b2
θ arctg b
a
或
a | A | cosθ
b | A | sinθ
图解法
复数运算
Im
(1)加减运算——采用代数形式
A2
若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2
0
则 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
| A1 | ej(θ1θ 2 ) | A2 |
| A1 | | A2 |
θ125 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5
解
原式 180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
Im
(t i )
正弦量
复数
3. 复数及运算
A=a+jb
复数A的表示形式
Im
b
A
0
a Re
A a jb
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
正弦交流电路的相量表示法
3
3
I
100 / 6
/3
220
U 23
u 正弦量
对应
相量图 U
t
例4
已知： u1(t) 100sin(314t 48)V ，
u2 (t) 50sin(314t 45)V
求： u u1 u2
U1
解： 瞬时值相加很繁琐
U
采用相量图法计算：
48
45
结果：u Um sin(t )
U 2
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
U I
2、相量式的书写方式：
模用最大值表示 ，则用符号： Um 、Im、E. m 模用有效值表示，则用符号： U 、I、E.
3注.3 正意弦：量在的相实量际表应示用法 中，模更多采用有效值表示
27
注 意：
1) 相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i Imsin(ω t ψ) Ie jψ Iψ
例4 、某正弦电压 u 20 2 sin t 30 V，求其相量表达式。
解.
U 20 cos 30 j sin 30 2030 V
15
例4：将下列相量化为极坐标形式、三角函数式，并写 出对应的正弦电流。
解
I1 42 32 5A
I2 (4)2 (3)2 5A
1
arctan 3 4
37
2
arctan
3 4
37
180
143
•
I1
537
A
•
I2
5
143
A
5(cos 37 j sin 37 ) A 5[cos(143 ) j sin(143 )]A
i1 5 2 sin(t 37 ) A
正弦量的相量表示法
4－１ 正弦交流电路的分析方法一、用向量表示正弦量表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。
一、正弦量的旋转矢量表示1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量，称为相量。
如：•m I 、•m U 、•m E 。
有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。
如：•I 、•U 、•E 。
2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。
二、同频率正弦量的加、减确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。
１、 相量作图法的步骤：先用出相量1•I 和2•I ，而后以1•I 和2•I 为邻边作一平行四边形，其对角线即为合成电流i 的相量•I 。
•I 的长度为有效值，•I 与横轴正方向的夹角即为初相ψ。
２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： •••••-+=-=)(2121I I I I I３、三角形法求矢量加、减两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。
两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。
多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。
三、相量的复数表示式把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。
jb a I +=•其中，a----实部，b----虚部ψψsin ,cos I b I a ==则：()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=•， 式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角a b tg b a I =+=ψ,22复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：ψψ∠==•I Ie I j复数和正弦量之间也是一一对应的关系，表示正弦量的复数称为相量表示式，也简称相量，以后述及相量，若进行运算指复数运算，若作图指位置在初始时间的相量图。
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* 该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影为： u(t ) U m sin t u 是正弦量u在t时刻的值 y
u
A
O
ω
u1
x
O
Um
ω t1
ψ
ωt
旋转向量包含了正弦量的三个要素，故可以用它来表示正弦量
在正弦稳态交流电路中，各正弦量的频率与电源 频率相同。通常，该频率是已知的，故只需确定 正弦量的振幅和初相就能将它表达。（用三个要 素中的二个要素来描述即可） 故正弦量可用旋转有向量A的初始有向线段来表示
设相量
+j
则：
I ψ I
1 90 I ψ I ψ 90 o jI
+1
I ψ 180 90 I ψ 90 -j I 1 180 I ψ I ψ 180 -I
3.用旋转有向线段表示正弦量
● 在平面坐标上做长度为Um 、角度为 的有向线段 A ● 使有向线段以速度 按逆时针方向旋转. * 旋转有向线段 A，在 t 时刻 的角度为： (t )
jψ
相量式
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
【练习与思考】
用有效值相量表示下列正弦量
i1( t ) 10 2 sin( t 60 )
A A
i2 ( t ) 15 2 cos( 314t 57 ) u( t ) 200 sin t
解：
V
＝ I 10 － 60 ( A) 1
2.1.5
知识链接 正弦电量的相量表示方法
i I m sin t
i
讨论：正弦交流电的表示方法有哪几种？
瞬时值表示
Im
T
波形图表示
t
当遇到正弦电量的加、减等运算时，用这两种表示方法来进 行分析、计算，则麻烦、费时，为此引入了相量表示法，从 而使正弦交流电路的分析和计算大为简化。
解.
(2) 91.3 78
(3) 58269
5060 50(cos60 j sin 60 ) 25 j 43.3
91.3 78 91.3 cos(78 ) j sin(78 ) 19 j89.3
虚部与虚部加减，作为结果的虚部
用有向线段加减时，符合平行四边形法则
例：A1=2+j3
A2=4+j4
则
A1+A2=（2+j3）+（4+j4）=6+j7 A1-A2=（2+j3）-（4+j4）=-2-j
正弦量的相量表示法
2) 复数的乘除
模与模乘除，作为结果的模
辐角与辐角加减，作为结果的辐角 如： 则：
1.复数的实部、虚部和模
叫虚单位，数学上用 i 来代表它，因为在电工 中i代表电流，所以改用 j 代表虚单位，即 j = 1
1
令一直角坐标系的横轴表示复数的实
+j b r φ
+1
部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表 示虚部，称为虚轴，以+j为单位。
A
复平面中有一有向线段A，其实部 为a，其虚部为b，有向线段A可用下
A1=a1+jb1 =
r11
·
A2=a2+jb2 = = r1 · r2
r22
A1· A2=
r11
r22
(1 2 )
A1 r11 r1 (1 2 ) A2 r22 r2
正弦量的相量表示法
3) 旋转90度的算子j
j 0 j1 1 90 - j 0 - j1 1 - 90 - 1 j j 1 90 90 1 180
解： I 10030o A
U 220 60o V
试用相量表示i, u .
Um U 70.7V 2
例2. 已知 I 5015 A, f 50Hz .试写出电流的瞬时值表达式。 解：
i 50 2sin(314t 15 ) A
例3
把下列复数化为代数式。
(1) 5060
I 2＝ 15147 (V )
＝100 20 ( V ) U
3.3 正弦量的相量表示法
【例题讲解】
u(t ) 2U sin(t θ )
例1. 已知 i 141.4 sin(314t 30o )A
u 311.1sin(314t 60 )V
o
对应
U U θ
50 45 50 cos 45 j50sin 45 35.4 j35.4 60 - 45 60 cos(45) j 60sin(45) 42.4 j 42.4 30 180 30 cos180 30
3. 复数的运算
1）复数的加减
实部与实部加减，作为结果的实部
四、 正弦量的相量表示法 2. 正弦量的相量表示法
为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的
复数称为相量，并在大写字母上打“.”表示。
设正弦量
u Umsin( ω t ψ )
jψ
相量表示:
Ue U
或
Uψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
U e U ψ U m m m
a
o
面的复数表示为： A=a+jb r 表示复数的大小，称为复数的模。
有向线段的复数表示
正弦量的相量表示法
r
a 2 b2
2. 复数的表示方法
设A为一复数: 在右图的复平面上有如下关系：
+j
注意:正弦量 并不等于复 数
b
A
r
1) 代数式 A =a + jb 2) 三角式
0
a
+1
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
3) 指数式
4) 极坐标式
正弦量的相量表示法
Are
jψ
用的最多的是代数式和极坐标式
A rψ
知识链接
讨论：如何把代数形式变换成极坐标形式？极 坐标形式又如何化为代数形式？
6 j8 10 53.1 6 j8 10 126.9 6 j8 10 - 126.9 6 j8 10 - 53.1
相量表示法也具有幅值、 频率及初相这 3 个主要特征
正弦交流电的3大类表示方法
解析式 波形图ຫໍສະໝຸດ i I m sin t
i
Im
T
t
U
相 量 法
1、相量图
.
I a jb I (cos j sin ) I
2、相量式 （复数 符号法）
具体见下页内容：