矩阵投影与最小二乘方法
最小2乘法公式
最小2乘法公式
最小二乘法是一种数学方法，可以用来解决线性回归问题。
线性回归问题是指在给定一堆数据的情况下，寻找一个函数，使得这个函数能够最好地拟合这堆数据。
最小二乘法的目标是使得这个函数的预测值与实际值之间的误差平方和最小。
最小二乘法最早由法国数学家勒让德在19世纪提出，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
通常，最小二乘法的公式可以用矩阵与向量的乘积来表示。
在这个公式中，我们需要用到一些符号：Y：实际值的向量（n行1列）
X：预测值的矩阵（n行p列）
b：回归系数的向量（p行1列）
e：误差的向量（n行1列）
其中，n表示数据的数量，p表示回归系数的数量。
最小二乘法的公式是：
b = (X^TX)^(-1)X^TY
在这个公式中，^T表示转置，^(-1)表示矩阵求逆。
这个公式的核心是矩阵求逆。
如果矩阵没有逆矩阵，我们就无法使用最小二乘法来解决线性回归问题。
此外，如果数据量很大，矩阵
的求逆操作也会变得非常耗时。
因此，在实际应用中，我们需要采用一些基于最小二乘法的变种算法来加速计算。
总体而言，最小二乘法是一个非常有用的数学工具，可以帮助我们解决许多实际问题。
当然，在使用最小二乘法的时候，我们需要注意数据的质量和数量，以及算法的适用范围和参数调整等问题，才能取得最好的效果。
最小二乘法的矩阵解
最小二乘法的矩阵解
最小二乘法是一种常用的线性回归方法，通常用于求解数据中的线性关系。
在实际计算中，最小二乘法有多种求解方法，其中矩阵解法是一种常用的方法。
最小二乘法的矩阵解法，基于矩阵和向量的运算，通过求解矩阵的逆和矩阵乘法等步骤，得到线性回归的系数向量。
具体来说，假设有n组数据，每组数据包含m个自变量和一个因变量，可以将这些数据表示为一个n×(m+1)的矩阵X和一个n×1的向量Y。
则最小二乘法的系数向量β可以通过以下矩阵计算得到：
β=(X^T X)^(-1) X^T Y
其中，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆。
该公式的推导过程可以参考线性代数的相关知识。
最小二乘法的矩阵解法具有计算简单、结果精确等优点，在实际应用中得到了广泛的应用。
需要注意的是，在数据量较大时，矩阵求逆的计算量较大，可能会导致计算效率较低。
此时，可以采用其他的优化方法，如QR分解等，来求解最小二乘法的系数向量。
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矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
线性代数中的正交投影与最小二乘法
线性代数中的正交投影与最小二乘法线性代数是现代数学的一个重要分支，应用广泛而深入。
其中，正交投影和最小二乘法是线性代数中的两个重要概念。
它们在各个领域中有着广泛的应用，并且为我们提供了解决实际问题的有效工具。
本文将介绍线性代数中的正交投影和最小二乘法，并探讨它们的应用。
正交投影是指把一个向量投影到另一个向量上，使投影后的向量与另一个向量垂直。
在三维空间中，我们可以将一个向量投影到另一个向量所在的平面上。
这个过程可以通过向量的内积来实现。
具体而言，给定两个向量u和v，我们可以通过计算向量u在向量v上的投影向量proj_v(u)来实现正交投影。
投影向量的计算公式如下：proj_v(u) = (u · v) / (v · v) * v其中，·表示向量的内积。
通过计算内积和向量的长度，我们可以得到一个与向量v垂直的投影向量。
正交投影在计算机图形学、信号处理等领域具有广泛应用。
例如，在计算机图形学中，正交投影可以帮助我们实现三维模型在屏幕上的投影效果。
最小二乘法是一种用于求解线性方程组过程中的一种数值算法。
当线性方程组没有解时，最小二乘法可以求解一个“最接近解”。
最小二乘法的基本思想是通过最小化残差向量的范数来求解近似解。
在实际应用中，最小二乘法被广泛用于数据拟合、参数估计等领域。
例如，在工程领域中，我们经常需要通过实验数据拟合一个函数模型。
最小二乘法可以帮助我们找到一个最匹配实验数据的函数模型。
最小二乘法的应用需要先构建一个线性方程组，然后求解该方程组。
令A为一个m×n的矩阵，x为一个n×1的向量，b为一个m×1的向量。
线性方程组可以表示为Ax=b的形式。
最小二乘法的求解过程可以通过求解以下正规方程组来实现：A^T * A * x = A^T * b其中，A^T表示A的转置。
正规方程可以通过矩阵的转置、相乘和求解线性方程组来求解近似解x。
最小二乘法在信号处理、统计学以及计算机视觉等领域都有重要应用。
单应矩阵和投影矩阵
单应矩阵和投影矩阵单应矩阵和投影矩阵一、单应矩阵单应矩阵是在计算机视觉、模式识别和计算机图形学等领域中广泛应用的一种数学工具。
它用于描述在二维或三维空间中的平面或立体物体之间的映射关系。
单应矩阵可以将一个空间中的点映射到另一个空间中的点，从而实现图像处理和计算机图形学中的许多应用。
列表一：单应矩阵的定义和表示1.1 定义单应矩阵，也称为齐次变换矩阵或投影矩阵，是指将一个空间中的点映射到另一个空间中的点的线性变换。
1.2 表示单应矩阵可以用一个矩阵来表示，形如H = [h1, h2, h3]，其中hi表示单应矩阵的每一列。
列表二：单应矩阵的应用2.1 相机校正在计算机视觉中，相机校正是一项重要任务。
通过计算相机的单应矩阵，可以校正相机的畸变，提高图像的质量。
2.2 特征匹配在图像处理中，特征匹配是一项基本任务。
通过计算两幅图像的单应矩阵，可以找到两幅图像中相同特征点的对应关系，从而实现图像拼接、图像配准等算法。
2.3 三维重建在计算机图形学中，三维重建是一项核心技术。
通过计算多幅图像的单应矩阵，可以恢复出物体的三维结构，实现三维重建和虚拟现实等应用。
列表三：单应矩阵的计算方法3.1 最小二乘法最小二乘法是求解单应矩阵的一种常用方法。
它通过最小化残差的平方和，找到使得映射误差最小的单应矩阵。
3.2 直接线性变换法直接线性变换法是求解单应矩阵的另一种方法。
它通过对标定点的坐标进行线性变换，得到标定点在图像中的坐标，从而求解出单应矩阵。
二、投影矩阵投影矩阵是一种线性变换矩阵，用于将物体映射到一个较小的维度的空间中。
它在计算机图形学和机器学习等领域中有广泛的应用。
列表四：投影矩阵的定义和表示4.1 定义投影矩阵是指将一个空间中的点映射到另一个较小维度的空间中的线性变换。
4.2 表示投影矩阵可以用一个矩阵来表示，形如P = [p1, p2, p3]，其中pi表示投影矩阵的每一列。
列表五：投影矩阵的应用5.1 降维在机器学习中，降维是一项重要任务。
最小二乘法(least sqaure method)
最小二乘法（least sqauremethod）专栏文章汇总文章结构如下：1：最小二乘法的原理与要解决的问题2 ：最小二乘法的矩阵法解法3：最小二乘法的几何解释4：最小二乘法的局限性和适用场景5：案例python实现6：参考文献1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta_nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
矩阵理论作业3：最小二乘法拟合
用最小二乘法确定m 次拟合多项式()m y P x =摘 要在实际问题中测得的实验数据有时需要较简单的函数逼近来解 , 最小二乘法拟合在解决这类问题的数据处理和误差分析中应用非常广泛 ,已成为这类问题数据处理的重要且可靠的技术手段。
本文针对最小二乘法的多项式拟合，进行了拟合曲线系数矩阵的理论公式推导，并由matlab 工具实现了拟合函数的编程。
然后在实际数据上进行了应用，并通过对结果的比较分析得出了结论，旨在提升对这种在工程中应用广泛的方法的理解和应用能力。
关键字：最小二乘法 多项式 拟合引言最小二乘拟合是一种数学上的近似和优化，利用某种方法由已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间距离的平方和达到最小。
最小二乘拟合在工程中具有普遍应用，是数据分析的重要方法。
最小二乘法拟合的模型有很多种，其中多项式拟合模型应用比较广泛。
()m P x 表示次数不高于m 次的多项式。
本文结合线性代数中有关矩阵的运算等知识[2]，在最小二乘法多项式拟合基本公式的推导[1][3]基础上，应用matlab 工具进行编程实现[3]，并对实际的例子进行一次、二次及多次拟合，做出拟合曲线。
实验发现，程序运行良好，基本可以很好地进行数据拟合分析。
最小二乘法基本原理对于一组给定数据点1122(,),(,),,(,)N N x y x y x y ，求一个次数不高于m 次的多项式2012()m m m y a a x a x a x P x =++++= (1)使得拟合出的近似曲线尽可能反映所给数据点的变化趋势（一般来说m N ）。
那么，就要求()m P x 在所有数据点i x 上的偏差()i m i i P x y δ=-，(=12i N ，，，) (2)都较小。
为达到这个目标，令偏差的平方和最小，即2211()[()]min N Nimiii i P x y δ===-=∑∑ (3)称这种方法为最小二乘法，利用这一原则确定拟合多项式()m P x 的方法即为最小二乘法多项式拟合。
投影矩阵、最小二乘法和SVD分解
投影矩阵、最小二乘法和SVD 分解 投影矩阵广泛地应用在数学相关学科的各种证明中，但是由于其概念比较抽象，所以比较难理解。
这篇文章主要从最小二乘法的推导导出投影矩阵，并且应用SVD 分解，写出常用的几种投影矩阵的形式。
问题的提出 已知有一个这样的方程组： Ax b =
其中，,,m n n A R x b R ⨯∈∈
● 当m=n 时，且()ran A n =时，这是一个适定方程组，有唯一解1x A b -=
● 当m <n 时，或者()ran A n <时，这是一个欠定方程组，有无穷多个解。
对于这种情况，我们使用()ran A 中与b 距离最近的向量对应的x 作为最小二乘解。
而相应的()ran A 中的这个向量就是b 在空间()ran A 中的投影。
最小二乘法
几何解法。
最小二乘法的正交化解法
最小二乘法的正交化解法
最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，其目的是找到一条曲线或者超平面，使得该曲线或者超平面与数据点的误差最小。
在最小二乘法中，我们通常使用矩阵运算来求解，但是当数据的维度很高时，矩阵可能会出现奇异现象，导致无法求解。
这时候，我们可以使用正交化解法来解决这个问题。
正交化解法是一种将高维数据转换为低维数据的方法，其基本思想是将原始数据投影到一个新的坐标系中，使得每个坐标轴之间互相垂直，从而消除数据之间的相关性。
在正交化解法中，我们通常采用Gram-Schmidt正交化方法，该方法通过一系列基变换，使得原始数据集变成一个正交基。
在求解最小二乘法时，我们可以先将数据进行正交化，并且只保留前k个正交基，也就是说，我们可以把高维数据转换为低维数据，从而避免了矩阵奇异现象的问题。
在这个低维空间中，我们可以使用普通的矩阵运算求解最小二乘法问题。
总之，正交化解法是解决高维数据最小二乘法问题的一种有效方法，它可以将高维数据转换为低维数据，从而避免了矩阵奇异现象的问题，同时也可以提高求解效率。
- 1 -。
最小二乘法及其应用
（3-2-4）
这就是书中例2-4-1中所得到的法方程 若使用配方法，则有：
g(x) xT AT Ax 2bT Ax bTb
( AT Ax ATb)T ( AT A)1( AT Ax ATb)
bTb bT A( AT A)1 ATb
min AT Ax ATb
可以看出，
gmin bT b bT A( AT A)1 AT b
本例中介绍的两个向量求导公式中，
提到了对于向量x求导的梯度算符 x ,我
们还可以引入对矩阵 A aij 求导的梯度算
符 A
：
a11
L
a12
a1n
L
A
L
L L L
L
L
L
（3-2-5）
an1 an2 L ann
需要说明的是，算符A 只有作用在关于 aij 的标量函数上才有意义。例如对于二次型
在上述解法中，卡享南-洛厄维变换被 选用并不是偶然的，因为这种变换消除了 原始信号x的诸分量间的相关性，从而使 数据压缩能遵循均方误差最小的准则实施。 上述数据压缩方法告诉我们应该压缩掉y 中那些方差大的分量，这称为数据压缩的 方差准则。
J1(A) || Y XA ||2 tr[(Y XA)T (Y XA)] min （3-3-12）
式（3-3-12）的形式与（3-3-9）类似，但 应注意在此处 J1(A)是标量函数。她可以
完全类似于式（3-3-10）那样来配方而求 解，也可体用求导法来求解。由于
J1( A) tr(Y TY ) 2tr(Y T XA) tr(AT X T XA) （3-3-13）
M
M
A
yT (m) xT (m)
或简记为
向量在张成的子空间上的投影_解释说明
向量在张成的子空间上的投影解释说明1. 引言1.1 概述向量在张成的子空间上的投影是线性代数中一个重要的概念和理论。
在实际应用中，我们常常需要将一个向量投影到一个由其他向量所张成的子空间上，以便于问题求解或者数据分析等目的。
向量投影可以帮助我们理解向量之间的关系，并且对于降低计算维度、优化问题求解等方面有着广泛的应用。
1.2 文章结构本文将从理论基础、投影计算方法、实际应用举例以及结论和展望几个方面进行讨论。
首先，我们将介绍向量和子空间的定义，以及张成子空间的概念，为后续讨论打下基础。
然后，我们将详细介绍向量在张成子空间上的投影理论，并介绍正交投影法、最小二乘法投影以及投影矩阵的求解方法。
接下来，我们会通过图像处理中的案例、数据分析中的案例以及物理学中的案例来说明向量投影在实际应用中起到的作用和特点。
最后，我们将总结文章主要内容与发现，并探讨可能的进一步研究方向。
1.3 目的本文的目的在于深入解释和说明向量在张成的子空间上的投影，帮助读者理解向量投影的基本概念、原理和计算方法。
通过具体实例的介绍，我们将展示向量投影在不同领域中的应用，并对其特点进行探讨。
此外，我们也希望通过文章的撰写可以推动进一步针对向量投影的研究和应用发展。
2. 理论基础2.1 向量和子空间的定义在线性代数中，向量是指具有大小和方向的量，可以用来表示某个物理量或概念。
一个向量可以用一组有序的数（或参数）表示，并且可以进行加法运算和标量乘法运算。
子空间是指在给定的向量空间中，存在着满足线性组合封闭性质的子集。
换句话说，对于任意属于该子空间的两个向量，它们的线性组合也属于该子空间。
2.2 张成子空间的概念在向量空间中，若考虑一个由一组给定向量所生成（即线性组合得到）的所有可能向量构成的集合，则这个集合就称为张成子空间。
对于维数为n的向量空间，其张成子空间最高维度为n。
当一个张成子空间与整个向量空间相等时，我们称之为全射。
2.3 向量在张成子空间上的投影理论投影是指将一个对象映射到另一个对象上去。
最小二乘法解的矩阵形式推导
最小二乘法解的矩阵形式推导最小二乘法（Least Squares Method）是一种用于求解线性方程组中的未知参数的方法。
在线性回归中，可以使用最小二乘法来拟合数据，得到线性模型的参数。
矩阵形式的最小二乘法解法如下：假设有一个线性方程组Ax = b，其中A 是m×n 的矩阵，x 是n×1 的未知参数向量，b 是m×1 的常数向量。
为了求解最小二乘解，我们可以将x 拆分为两个向量x1 和x2，其中x1 是A 的列空间的投影在x 上的向量，x2 是A 的零空间上的一个向量。
因为对于任意向量x，x 可以唯一地表示为x = x1 + x2。
我们可以将A 的列向量表示为a1, a2, ..., an，将x1 表示为c1a1 + c2a2 + ... + canan，其中c1, c2, ..., cn 是常数。
因此，x1 就是A 的列向量的线性组合，使得Ax1 尽可能地接近b。
我们可以定义向量e = b - Ax1，它是b 在A 的列空间上的投影的残差向量。
我们的目标是最小化e 的平方，即使得||e||^2 最小。
因此，我们可以将最小二乘问题转化为以下优化问题：minimize ||e||^2 = ||b - Ax1||^2我们可以通过求解以下矩阵方程组来得到最小二乘解：A^T(Ax - b) = 0将x 拆分为x1 和x2，我们可以得到以下矩阵方程组：A^T(Ax1 - b) = 0Ax2 = 0第一个方程可以转化为：A^T(Ac1a1 + Ac2a2 + ... + Acnan - b) = 0(A^TA)c = A^Tb其中，c 是向量(c1, c2, ..., cn)^T，(c1a1 + c2a2 + ... + canan) 是x1。
我们可以使用矩阵的逆来求解c：c = (A^TA)^(-1)A^Tb最终的最小二乘解为x = x1 + x2 = c1a1 + c2a2 + ... + canan + x2。
一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)
一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。
比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。
类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。
但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。
比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。
于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。
那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。
为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。
后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。
证明这个理论并不难。
我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。
相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。
最小二乘法之投影法
1.3 最小二乘应用
最小二乘法是求解最优化问题的一种有效而方便的方 法。信号处理中有许多问题可归结为最优化问题，因此最 小二乘法是信号处理的重要工具之一。
1-4 应用举例
1-4-1 系统辨识 设有如图1-4-1所示的系统T。当输入n个数据 x1 , x2 ,, xn 时，输出为y，且有下列线性关系：
x1
y
则问题成为求 a1 , a2 , an 使之满足
a1 x1 (k ) a2 x2 (k ) an xn (k ) y(k ) k 1, 2, m
（1-4-2）
T T y [ y (1), y (2),..., y ( m )] , a [ a ,...m p 矩阵，X为 m n 矩阵。当 上述方程无解时，问题就转化成为求A使 下列正定矩阵达到极小：
T J A）（ （ Y - XA） （ Y - XA） min
Y=XA
（1-4-8）
（1-4-9）
问题（1-4-9）可以用配方法来求解：
J A） （ Y T Y AT X T Y Y T XA AT X T XA Y Y Y X （X X） X Y
1 3 A= 5 2 4 6
x1 X= x 2
A X=b
5 8 b= 1 0
则：
matlab实现矛盾方程组的语句 利用左除法：x=A\b 语句如下： A=[1,2;3,4;5,6] b=[5;8;10] x=A\b x= 2.6667 3.9167
n i i 0 i 1
xa
i i 1
n
i
- b aj ,
j=1,...n
(1-1-10)
此即
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法
矩阵方程ax＝b最小二乘解的解法
最小二乘解是线性代数研究中最为常用和熟悉的一种求解方法，用来求解矩阵方程ax=b 的解。
它适用于解决一些“未知参数大于等于等式数”的问题，其最主要的特点是所得结果可以保证为整体最优解，且它的优化性、稳定性和易得性等方面也是比较好的。
求解矩阵方程ax＝b的最小二乘解的方法非常容易理解和使用，首先，将ax=b问题变换成一个最小二乘问题，这是由对误差σ=(ax−b)T(ax−b)求偏导得到的。
接着，求解偏导数极大值方程可以得到一个线性方程组，其最优解就是最小二乘解。
最后，也可以将求解到的线性方程用特征值分解的方法求解来得到最小二乘解。
在很多实际的工程问题中，都可以用最小二乘解来解决，它的易得性、稳定性、准确性等优点都是它十分极受欢迎的原因。
此外，同时也是一种重要的基础知识，必须为很多问题的解决做好准备。
总之，最小二乘解是一种常见的求解方法，用来求解矩阵方程ax＝b。
他在很多实际的工程中会有着很大的用处，如果我们，能够充分的理解使用，一定可以达到更好的效果。
推导最小二乘法的两种方法
推导最小二乘法的两种方法最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于拟合数据，并找到最佳的拟合直线或曲线。
它通过最小化实际观测值与模型预测值之间的残差平方和来实现拟合。
方法一：几何推导首先，假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，要找到一条直线y = mx + b，使得这条直线与数据点的残差平方和最小。
我们可以利用几何推导来得到该直线的斜率m和截距b。
1. 首先计算数据点的均值(x_mean, y_mean)：x_mean = (x1 + x2 + ... + xn) / ny_mean = (y1 + y2 + ... + yn) / n2. 计算斜率m：numerator = (x1 - x_mean)*(y1 - y_mean) + (x2 - x_mean)*(y2 - y_mean) + ... + (xn - x_mean)*(yn - y_mean)denominator = (x1 - x_mean)^2 + (x2 - x_mean)^2 + ... + (xn - x_mean)^2m = numerator / denominator3. 计算截距b：b = y_mean - m*x_mean方法二：矩阵推导另一种推导最小二乘法的方法是使用矩阵。
我们可以将数据点表示为矩阵X和向量y，并通过求解线性方程组X^T*X*w = X^T*y来得到拟合直线的参数w。
1. 构建矩阵X和向量y：X = [[1, x1], [1, x2], ..., [1, xn]]y = [y1, y2, ..., yn]2. 计算参数w：w = (X^T*X)^(-1) * X^T * y总结通过几何推导或矩阵推导，我们可以得到最小二乘法的两种求解方法。
这些方法在数据拟合和回归分析中广泛应用，可以帮助我们找到最佳的拟合曲线，并进行相关的预测与分析。
矩阵简介与最小二乘法
min f (a,b)
a ,b
2 ( ax b y ) i i i 1
n
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
最小二乘法
对自变量a,b求导，并令其为0：
n f a 2 (axi b y i ) xi 0 i 1 n f 2 (ax b y ) 0 i i b i 1
矩阵简介与最小二乘法
耿修瑞
中国科学院电子学研究所
gengxr@
2017.2
矩阵简介 最小二乘法
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
矩阵简介
历史
矩阵的雏形最早出现在东汉前期的《九章 算术》。从莱布尼茨1693年首次使用行列 式开始，到 1750 年 Gramer 法则问世，到 1820年高斯（Gauss）提出消元法。人们 还 没 有 矩 阵 的 概 念 。 直 到 1851 年 ， Sylvester 首先使用了矩阵一词， 1855 年 Cayley给出矩阵的乘法定义，矩阵才在英 国出现。在20世纪，当人们认为有限维度 的矩阵已经终结的时候，计算机的出现， 让矩阵代数获得新生。直到今天，矩阵代 数仍然是计算机科学家和控制科学家爱不 释手的工具。
矩阵简介
2. 反射变换： T x1, x 2 x1, x 2
1 0 T 0 1
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
矩阵简介
3. 旋转变换：T x , x cos x
1 2 1
sin x 2, sin x1 cos x 2
中国科学院空间信息处理与应用系统技术重点实验室
， ，
最小二乘法
最小二乘法的矩阵解法
线性代数及其应用（最小二乘、PCA、SVD）
线性代数及其应⽤（最⼩⼆乘、PCA、SVD）第六章正交性与最⼩⼆乘正交投影（可以⽤于正交化、解释最⼩⼆乘，QR分解⽤于最⼩⼆乘）最⼩⼆乘也是唯⼀的正交化⽅法使⽤正交基计算投影（⽤于最⼩⼆乘）QR分解（使⽤正交化⽅法）最⼩⼆乘问题的⼏何描述（寻找距离最近的投影）有唯⼀解的条件另⼀种解法其他曲线的最⼩⼆乘拟合对称矩阵和⼆次型将多种像素重新线性组合，使得合成的图像景象差异更加明显。
对称矩阵的对⾓化特征值分解可以⽤于数据压缩（只需要⼤的特征值和对应的特征向量就可以近似原来的矩阵）主轴定理（去掉⼆次型的交叉项）通过特征值求解⼆次型最⼤值有条件限制时求解最⼤值（单位球上的向量，在第⼆⼤特征值特征向量⽅向取得）使⽤⼆次型求解最⼤拉伸⽅向注意Av是A的列空间的正交基注意Av是A的列空间的正交基奇异值分解的步骤莫尔逆矩阵：直接得到b在A的列空间的正交投影，直接求解最⼩⼆乘x主成分分析（正交回归）：可以使得不同维度分量组合后的⽅差最⼤，或者是得到使得投影后⽅差最⼤的⽅向。
计算协⽅差矩阵的特征值，⽤对应的特征向量作为权值将原变量线性组合，使得组合后的变量⽅差最⼤。
PCA把原先的n个特征⽤数⽬更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最⼤化样本⽅差，尽量使新的m个特征互不相关。
计算⽅法：1.有m个d-维数据，每个d维数据表⽰为列向量，将列向量拼成m列。
得到d⾏m列的矩阵。
2.计算协⽅差矩阵。
3.计算S的特征值和特征向量。
（）4.选取前k个最⼤特征根对应的特征向量，得到矩阵5.AX相乘得到投影矩阵。
PCA把原先的n个特征⽤数⽬更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最⼤化样本⽅差，尽量使新的m个特征互不相关。
最小二乘法原理推导 矩阵
最小二乘法原理推导矩阵最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于在数据中寻找最佳的拟合曲线。
在推导最小二乘法的原理时，我们首先需要定义一些符号和假设。
假设我们有一组数据点，其中包含了自变量（输入变量）x和因变量（输出变量）y。
我们的目标是找到一个拟合曲线，使得拟合曲线和数据点的误差最小化。
为了实现这一目标，我们假设拟合曲线具有以下形式：y = β0 + β1*x其中β0和β1是待求的参数。
接下来，我们可以用平方误差和来衡量拟合曲线与数据点之间的差异。
平方误差和定义如下：E(β0, β1) = Σ(yi - (β0 + β1*xi))^2我们的目标是最小化平方误差和。
为了求解最小二乘法的问题，我们将平方误差和对β0和β1求偏导，并令偏导数为0，然后解方程求出β0和β1的值。
对于β0的偏导数：∂E/∂β0 = Σ2(yi - (β0 + β1*xi))(-1)对于β1的偏导数：∂E/∂β1 = Σ2(yi - (β0 + β1*xi))(-xi)当偏导数为0时，即：Σ(yi - (β0 + β1*xi)) = 0Σ(xi*yi - β0*Σxi - β1*Σxi^2) = 0进一步展开得到：Σxi*yi - β0*Σxi - β1*Σxi^2 = 0Σxi*yi = β0*Σxi + β1*Σxi^2这是一个线性方程组，我们可以用矩阵的形式表示：[Σxi^2 Σxi] [β1] [Σxi*yi][Σxi n] [β0] = [Σyi]其中n是数据点的个数。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到β0和β1的解。
综上所述，最小二乘法的原理是通过最小化拟合曲线与数据点之间的平方误差和来得到最佳的参数估计。
这可以通过求解一个线性方程组来实现。
最终，我们可以得到拟合曲线的参数β0和β1的值。
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题目：《神奇的矩阵——矩阵投影与最小二乘方法》
学校：哈尔滨工程大学
姓名：黎文科
联系方式： QQ群：53937814 联系方式： 190356321@
矩阵投影与最小二乘方法
最小二乘法(Least Squares Method,简记为LSE)是一个比较古老的方法，源于天文学和测地学上的应用需要。
在早期数理统计方法的发展中，这两门科学起了很大的作用。
丹麦统计学家霍尔把它们称为“数理统计学的母亲”。
此后近三百年来，它广泛应用于科学实验与工程技术中。
美国统计史学家斯蒂格勒( S. M. Stigler)指出, 最小二乘方法是19世纪数理统计学的压倒一切的主题。
1815年时,这方法已成为法国、意大利和普鲁士在天文和测地学中的标准工具,到1825年时已在英国普遍使用。
追溯到1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯于其1809年的著作《关于绕日行星运动的理论》中。
在此书中声称他自1799年以来就使用最小二乘方法,由此爆发了一场与勒让德的优先权之争。
近代学者经过对原始文献的研究,认为两人可能是独立发明了这个方法,但首先见于书面形式的，以勒让德为早。
然而,现今教科书和著作中,多把这个发明权归功于高斯。
其原因,除了高斯有更大的名气外,主要可能是因为其正态误差理论对这个方法的重要意义。
勒让德在其著作中,对最小二乘方法的优点有所阐述。
然而,缺少误差分析。
我们不知道,使用这个方法引起的误差如何,就需建立一种误差分析理论。
高斯于1823年在误差e 1 ,… , e n 独立同分布的假定下,证明了最小二乘方法的一个最优性质: 在所有无偏的线性估计类中,最小二乘方法是其中方差最小的！在德国10马克的钞票上有高斯像，并配了一条正态曲线。
在高斯众多伟大的数学成就中挑选了这一条,亦可见这一成就对世界文明的影响。
现行的最小二乘法是勒让德( A. M. Legendre)于1805年在其著作《计算慧星轨道的新方法》中提出的。
它的主要思想就是选择未知参数，使得理论值与观测值之差的平方和达到最小：
2
211
()()m m
i i i H y y ===-=-∑∑理论值观测值
我们现在看来会觉得这个方法似乎平淡无奇,甚至是理所当然的。
这正说明了创造性思维之可贵和不易。
从一些数学大家未能在这个问题上有所突破,可以看出当时这个问题之困难。
欧拉、拉普拉斯在许多很困难的数学问题上有伟大的建树,但在这个问题上未能成功。
在高斯发表其1809年著作之前，约在1780年左右,拉普拉斯已发现了概率论中的“中心极限定理”。
根据这个定理，大量独立的随机变量之和,若每个变量在和中起的作用都比较小，则和的分布必接近于正态。
测量误差正具有这种性质。
一般地说,随机(而非系统)的测量误差，是出自大量不显著的来源的叠加。
因此，中心极限定理给误差的正态性提供了一种合理的理论解释。
这一点对高斯理论的圆满化很有意义,因为高斯原来的假定(平均数天然合理)总难免给人一种不自然的感觉。
耐人寻味的是,无论是中心极限定理的发明者拉普拉斯,还是早就了解这一结果的高斯,都没有从这个结果的启示中去考察误差分布问题。
对前者而言,可能是出于思维定势的束缚,这对拉普拉斯来说可算不幸,他因此失掉了把这个重要分布冠以自己名字的机会(正态分布这个形式最早是狄莫弗( De Moiv re) 1730年在研究二项概率的近似计算时得出的。
以后也有其他学者使用过,但都没有被冠以他们的名字。
高斯之所以获得这一殊荣,无疑是因为他把正态分布与误差理论联系了起来) 。
可以说,没有高斯的正态误差理论配合, 最小二乘方法的意义和重要性可能还不到其现今所具有的十分之一。
最小二乘方法方法与高斯误差理论的结合,是数理统计史上最重大的成就之一,其影响直到今日也尚未过时！由于本文是主要介绍最小二乘法与矩阵投影之间的关系，对于最小二乘和概率之间的关系，请参看靳志辉的《正态分布的前世今生》。
1,2,,)m 代入22b C Da b C Da =+⎪⎨⎪⎪=+ 令
12111
m a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,12m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
, 则可写成 C A b D A x b
⎛⎫= ⎪⎝⎭
↓
从线性代数的角度来看，就是A 的列向量的线性组合无法充满整个列空间，也就是说Ax=b 这个方程根本没有解。
从图形上也很好理解：根本没有一条直线同时经过所有蓝色的点！所以为了选取最合适的x ，让该等式"尽量成立"，引入残差平方和函数H ：
22
min()min()=min()H e b Ax =-
这也就是最小二乘法的思想。
我们知道，当x 取最优值的时候，Ax 恰好对应图中线上橙色的点，而b 则对应图中蓝色的点，e 的值则应红色的线长。
看到这里你有没有和之前投影的那部分知识联系在一起呢？最小二乘的思想是想如何选取参数x 使得H 最小。
而从向量投影的角度来看这个问题，H 就是向量e 长度的平方，如何才能使e 的长度最小呢？b 和a 1，a 2都是固定的，当然是e 垂直a 1，a 2平面的时候长度最小！换句话说：最小二乘法的解与矩阵投影时对变量求解的目标是一致的！
于是，根据矩阵投影的知识，我们可以直接写出最小二乘法问题的解
1()T T C A A A b D -⎛⎫= ⎪⎝⎭. 其中A 称为结构矩阵,b 称为数据矩阵,T A A 称为信息矩阵,T
A b 称为常数矩阵。
为了定量地给出y C Dt =+与实验数据之间线性关系的符合程度,可以用相关系数r 来衡量.它定义为
11122221111,m m m
i i j i
i j i m m m m i i i i i i i i m a b a b r a b m a a m b b =======-=<>=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥
∑∑∑∑∑∑∑
最小二乘法是从误差拟合角度对回归模型进行参数估计或系统辨识,并在参数估计、系统辨识以及预测、预报等众多领域中得到极为广泛的应用。
在数据拟合领域，最小二乘法及其各种变形的拟合方法包括:一元线性最小二乘法拟合、多元线性拟合、多项式拟合、非线性拟合。
最小二乘法能将从实验中得出的一大堆看上去杂乱无章的数据中找出一定规律,拟合成一条曲线来反映所给数据点总趋势,以消除其局部波动。
它为科研工作者提供了一种非常方便实效的数据处理方法。
随着现代电子计算机的普及与发展，这个占老的方法更加显示出其强大的生命力。
参考文献
1.陈希孺院士，《最小二乘法的历史回顾与现状》
2.靳志辉，《正态分布的前世今生》
3.小班得瑞博客，投影矩阵与最小二乘
4.《最小二乘法的应用研究》。