中考专题-·新定义问题 (1)

中考数学二轮复习·新定义问题
1. (2016北京西城区一模29) 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”．
（1）如图1，已知点()13A ，，()11
B ，，连接AB ①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是 ； ②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为___________________；
（2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为
3
2
，圆心E 在直
线l y =+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围； （3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT ∆的“阴影点”，直接写出NQT ∆的周长的最
小值．
1
1
图1 图2
图3
2. (2016北京通州区一模29)对于⊙P 及一个矩形给出如下定义：如果⊙P 上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P 是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 2），顶点C 、
D 在x 轴上，且OC =OD. （1）当⊙P 的半径为4
时，
①在P 1（0，3-），P 2（
3），P 3（-，1）中可以成为矩形ABCD 的“等距圆”的圆心 的是_________________________； ②如果点P 在直线13
y x =-
+上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”
，求点P 的坐标； （2）已知点P 在y 轴上，且⊙P 是矩形ABCD 的“等距圆”
，如果⊙P 与直线AD 没有公共点，直接写出点P 的纵坐标m 的取值范围.
3. (2016年北京延庆区一模28) 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0
y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩
≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），
点（－5，6）的“妫川伴侣”为点（－5，－6）． （1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；
② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3
y x
=
的图象上，那么这个点 是 （填“点A ”或“点B ”）．
（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；
② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”，求点N 的坐标．
（3）如果点P 在函数2
4y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．
4. (2016年北京燕山区一模29)在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：若点P 在图形M 上，点Q 在图形N 上，称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的密距，记为(),d M N ．特别地，若图形M ，N 有公共点，规定(),0d M N =． (1) 如图1，⊙O 的半径为2，
①点A (0，1)，B (4，3)，则d (A ，⊙O )＝ ，d (B ，⊙O )＝ ．
②已知直线l ：b x y +=4
3与⊙O 的密距d (l ，⊙O )＝56
，求b 的值．
(2)如图2，C 为x 轴正半轴上一点，⊙C 的半径为1，直线3
3433+=x y －与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ，线段．．DE 与⊙C 的密距d (DE ，⊙C )<2
1
．请直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围．
()
中考二轮复习·新定义题型参考答案
1. 解：
2. （1）当⊙P 的半径为4时， ① P1（0，3-），P2
（3）；
② 由题意可知：B
（2）、D
，0）,
发现直线1y x =+经过点B 、D.
∴直线13
y x =-
+与y 轴的交点E 为（0，1）
， ∵矩形ABCD 且OC=OD. ∴点E 到矩形ABCD 四个顶点距离相等
∴PE=4，△BFE ≌△DOE
∴OE=EF=1，∴2
22221ED EO OD =+=+=∴2ED =；∴EB =ED =2，
当点P 在x 轴下方时，可证△DNP ≌△DOE ，∴DN =OD OE =PN =1， ∴点P 的坐标为（-1）；
当点P 在x 轴上方时，可证△EPM ∽△EBF ，∴PM =2BF =ME =2EF =2， ∴点P 的坐标为（-，3）. （2）11m <<m ≠1.
3. 解：（1）①（2，1）；…………………………………………………………………1分
② 点B ．…………………………………………………………………………2分 （2）① M （－1，2）；…………………………………………………………………3分
② 当m +1≥0，即m ≥－1时，由题意得N （m +1，2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=2，
解得m =－2（舍）. ……………………………………………………………4分 当m +1＜0，即m ＜－1时，由题意得N （m +1，－2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=－2，
解得m =－6. ……………………………………………………………………5分 ∴N （－5，－2）．………………………………………………………6分
（3）2≤a ＜．……………………………………………………………………7分
4. 解：(1) ①d (A ，⊙O )＝1，d (B ，⊙O )＝3． …………………………2分
②如图，设直线l ：b x y +=4
3
与x 轴，y
∴P (－b 3
4，0)，Q (0，b )．
过点O 作OH ⊥l 于点H ，OH 交⊙O 于点G ，
当0>b 时，OQ ＝b ，PQ ＝b 3
5
，
sin ∠OPQ ＝
PQ OQ ＝5
3
， ∴OH ＝OP •sin ∠OPQ ＝b 3
4
×53＝b 54． ………………………3分
∵ d (l ，⊙O )＝GH ＝
5
6， ∴OH ＝OG ＋GH ＝2＋56＝5
16
， ………………………4分
即b 54＝5
16， ∴4=b ． ………………………5分 当0<b 时，同理可得4－=b ．
∴4±=b ． ………………………6分 （3）2
11
1<<m ． ………………………8分。