初中尺规作图详细讲解含图)

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2020年中考数学必考考点 专题32 尺规作图(含解析)

2020年中考数学必考考点 专题32 尺规作图(含解析)

专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义:只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作,完成画图的一种作图方法.尺规作图可以要求写作图步骤,也可以要求不一定要写作图步骤,但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知线段的垂直平分线;(4)作已知角的角平分线;(5)过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法:写出已知,求作,作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。

4.中考要求:(1)能完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形.(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.(4)了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明).专题典型题考法及解析【例题1】(2019•湖南长沙)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是()A.20°B.30°C.45°D.60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°,由中垂线性质知DA=DB,即∠DAB=∠B=30°,从而得出答案.在△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°,由作图可知MN为AB的中垂线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=30°。

【例题2】(2019山东枣庄)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.【答案】见解析。

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

尺规作图一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中,我们把只限定用直尺(无刻度)和圆规来画图的方法,称为尺规作图.其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段;圆规用来作圆和圆弧.由此可知,尺规作图与一般的画图不同,一般画图可以动用一切画图工具,包括三角尺、量角器等,在操作过程中可以度量,但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.2.基本作图:(1)用尺规作一条线段等于已知线段;(2)用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图,可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言:①过点×、点×作直线××;或作直线××;或作射线××;②连结两点××;或连结××;③延长××到点×;或延长(反向延长)××到点×,使××=××;或延长××交××于点×;2.用圆规作图的几何语言:①在××上截取××=××;②以点×为圆心,××的长为半径作圆(或弧);③以点×为圆心,××的长为半径作弧,交××于点×;④分别以点×、点×为圆心,以××、××的长为半径作弧,两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤:1.已知:当作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;2.求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;3.作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法.在目前,我们只要能够写出已知,求作,作法三步(另外还有第四步证明)就可以了,而且在许多中考作图题中,又往往只要求保留作图痕迹,不需要写出作法,可见在解作图题时,保留作图痕迹很重要.尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

中考数学考点一遍过考点20尺规作图含解析

中考数学考点一遍过考点20尺规作图含解析

考点 20 尺规作图一、尺规作图1.尺规作图的定义在几何里,把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图.2.五种基本作图(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作一个角的平分线;(4)作一条线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线.3.根据基本作图作三角形(1)已知三角形的三边,求作三角形;(2)已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;(3)已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;(4)已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形;(5)已知直角三角形一直角边和斜边,求作直角三角形.4.与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);(2)作三角形的内切圆.5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型.6.作图题的一般步骤(1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论.其中步骤(3)(4)(5)(6)一般不作要求,但作图中一定要保留作图痕迹.二、尺规作图的方法1.尺规作图的关键(1)先分析题目,读懂题意,判断题目要求作什么;(2)读懂题意后,再运用几种基本作图方法解决问题.2.根据已知条件作等腰三角形或直角三角形求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点,作图依据是三角形全等的判定,常借助基本作图来完成,如作直角三角形就先作一个直角.考向一基本作图1.最基本、最常用的尺规作图,通常称为基本作图.2.基本作图有五种:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作一个角的平分线;(4)作一条线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线.典例 1 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长(大于12AB)为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线M N交AB于点D,交BC于点E,连接C D,下列结论错误的是A.AD=BD B.BD=CDC.∠A=∠BED D.∠ECD=∠EDC【答案】 D【解析】∵M N为A B的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°,∵∠ACB=90°,∴C D=BD,∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°,∴∠A=∠BED,∵∠A≠60°,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠EDC.故选D.典例 2 如图,已知∠MAN,点B在射线A M上.(1)尺规作图:①在A N上取一点C,使BC=BA;②作∠MBC的平分线BD,(保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,求证:BD∥AN.【解析】(1)①以B点为圆心,B A长为半径画弧交AN于C点;如图,点C即为所求作;②利用基本作图作B D平分∠MBC;如图,B D即为所求作;(2)先利用等腰三角形的性质得∠A=∠BCA,再利用角平分线的定义得到∠MBD=∠CBD,然后根据三角形外角性质可得∠MBD=∠A,最后利用平行线的判定得到结论.∵AB=AC,∴∠A=∠BCA,∵BD平分∠MBC,∴∠MB=D∠CBD,∵∠MBC=∠A+∠BCA,即∠MBD+∠CBD=∠A+∠BCA,∴∠MBD=∠A,∴BD∥AN.1.根据下图中尺规作图的痕迹,可判断A D一定为三角形的A.角平分线B.中线C.高线D.都有可能2.(1)请你用尺规作图,作A D平分∠BAC,交B C于点D(要求:保留作图痕迹);(2)∠ADC的度数.考向二复杂作图利用五种基本作图作较复杂图形.典例2如图,在同一平面内四个点A,B,C,D.(1)利用尺规,按下面的要求作图.要求:不写画法,保留作图痕迹,不必写结论.①作射线AC;②连接AB,BC,BD,线段B D与射线AC相交于点O;③在线段AC上作一条线段C F,使C F=AC–BD.(2)观察(1)题得到的图形,我们发现线段AB+BC>AC,得出这个结论的依据是__________.【答案】见解析.【解析】(1)①如图所示,射线A C即为所求;②如图所示,线段AB,BC,BD即为所求;③如图所示,线段CF即为所求;(2)根据两点之间,线段最短,可得AB+BC>AC.故答案为:两点之间,线段最短.3.作图题:学过用尺规作线段与角后,就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来.比如给定一个△ABC,可以这样来画:先作一条与AB相等的线段A′B′,然后作∠B′A′C′=∠BAC,再作线段A′C′=AC,最后连接B′C′,这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了.请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来.(请保留作图痕迹)1.根据已知条件作符合条件的三角形,在作图过程中主要依据是A.用尺规作一条线段等于已知线段B.用尺规作一个角等于已知角C.用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角D.不能确定2.下列作图属于尺规作图的是A.画线段MN=3 cmB.用量角器画出∠AOB的平分线C.用三角尺作过点A垂直于直线l 的直线D.已知∠α,用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使∠AOB=2∠α3.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,C A为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.下列叙述正确的是A.BH垂直平分线段AD B.A C平分∠BADC.S△ABC=BC·AH D.AB=AD4.如图,点C在∠AOB的O B边上,用尺规作出了∠AOB=∠NCB,作图痕迹中,弧F G是A.以点C为圆心,O D为半径的弧B.以点C为圆心,DM为半径的弧C.以点E为圆心,O D为半径的弧D.以点E为圆心,DM为半径的弧5.如图,△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC长为半径画弧,分别交AB、AC于点E、F;②分别以点E、F为圆心,大于12EF长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交B C边于点D.则∠ADC的度数为A.65°B.60°C.55°D.45°6.如图,△ABC为等边三角形,要在△ABC外部取一点D,使得△ABC和△DBC全等,下面是两名同学做法:甲:①作∠A的角平分线l;②以B为圆心,BC长为半径画弧,交l于点D,点D即为所求;乙:①过点B作平行于AC的直线l;②过点C作平行于AB的直线m,交l于点D,点D即为所求.A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确7.在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以A,B为圆心,大于12AB的长为半径画弧,相交于两点M,N;②作直线MN交A C于点D,连接BD.若C D=BC,∠A=35°,则∠C=__________.8.如图,在△ABC中,AB=A C.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为__________度.9.按要求用尺规作图(要求:不写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论)已知:线段AB;求作:线段A B的垂直平分线MN.10.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,(1)尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于D点(保留作图痕迹,不写作法)(2)若∠C=30°,求证:D C=D B.1.(2019?河南)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于12A C长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交A D于点F,交A C于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为A.2 2 B.4 C.3 D.102.(2019?包头)如图,在Rt △ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、A C于点D,E,再分别以点D、E为圆心,大于12D E为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边B C于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是A.1 B.32C.2 D.523.(2019?北京)已知锐角∠AOB,如图,(1)在射线O A上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作?PQ ,交射线OB于点D,连接C D;(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交?PQ于点M,N;(3)连接O M,MN.根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是A.∠COM=∠COD B.若OM=MN.则∠AOB=20°C.MN∥CD D.MN=3CD4.(2019?广西)如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG的度数为A.40°B.45°C.50°D.60°5.(2019?新疆)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以点B 为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,B C于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线B P交A C于点D.则下列说法中不正确的是A.BP是∠ABC的平分线B.AD=BDC.S△CBD∶S△ABD=1∶3 D.C D= 12 BD6.(2019?荆州)如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,O N上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:连接AC,B D交于点E,作射线OE,则射线O E平分∠MO.N有以下几条几何性质:①矩形的四个角都是直角,②矩形的对角线互相平分,③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据是A.①②B.①③C.②③D.①②③7.(2019?河北)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是A.B.C.D.8.(2019?长沙)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交B C于点D,连接AD,则∠CAD的度数是A.20°B.30°C.45°D.60°9.(2019?襄阳)如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的一半的长为半径画弧,两弧分别交于C,D两点,连接AC,BC,AD,BD,则四边形ADBC一定是A.正方形B.矩形C.梯形D.菱形10.(2019?广东)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,D E交A C于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若A DDB=2,求A EEC的值.11.(2019?长春)如图,在△ABC中,ACB 为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使ADC 2 B ,则符合要求的作图痕迹是A.B.C.D.12.(2019?贵阳)如图,在△ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别以点B,D为圆心,大于12B D长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E.若AE=2,BE=1,则E C的长度是A.2 B.3C.3 D.513.(2019?宜昌)通过如下尺规作图,能确定点D 是BC 边中点的是A.B.C.D.14.(2019?潍坊)如图,已知AOB.按照以下步骤作图:①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB的两边于C,D两点,连接CD;②分别以点C,D为圆心,以大于线段OC的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点E,连接CE,DE;③连接OE交CD于点M.下列结论中错误的是A.CEO DEO B.CM MDC.OCD ECD D.1 S四边形CD OEOCED215.(2019?东营)如图,在RtV ABC中,ACB90,分别以点B和点C为圆心,大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交AB于点F,交BC于点G,连接CF.若AC3,CG2,则CF的长为A.52B.3C.2D.7 216.(2019?宁夏)如图,在Rt△ABC中,C90,以顶点B为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.若A30,则S△S△BCDABD__________.17.(2019?贵港)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法):如图,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.18.(2019?玉林)如图,已知等腰△ABC顶角A30.(1)在A C上作一点D,使AD BD(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明,最后用黑色墨水笔加墨);(2)求证:△BCD是等腰三角形.19.(2019?长春)图①、图②、图③均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且EFG90.20.(2019?哈尔滨)图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出以AC为底边的等腰直角△ABC,点B在小正方形顶点上;(2)在图2中画出以AC为腰的等腰△ACD,点D在小正方形的顶点上,且△ACD的面积为8.21.(2019?济宁)如图,点M和点N在AOB内部.(1)请你作出点P,使点P到点M和点N的距离相等,且到AOB两边的距离也相等(保留作图痕迹,不写作法);(2)请说明作图理由.22.(2019?河池)如图,AB为e O的直径,点C在e O上.(1)尺规作图:作BAC的平分线,与e O交于点D;连接OD,交BC于点E(不写作法,只保留作图痕迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑);(2)探究OE与AC的位置及数量关系,并证明你的结论.23.(2019?赤峰)已知:AC是Y ABCD的对角线.(1)用直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线,与AD 相交于点E,连接CE.(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,若AB 3,BC 5,求△DCE 的周长.24.(2019?杭州)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与B C边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.25.(2019?吉林)图①,图②均为4×4 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图①中已画出线段AB,在图②中已画出线段C D,其中A、B、C、D均为格点,按下列要求画图:(1)在图①中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F 为格点;(2)在图②中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGD,H且G,H为格点,∠CGD=∠CHD=90°.26.(2019?武汉)如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD 的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列画图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.(1)如图1,过点A画线段AF,使A F∥D C,且AF=D C.(2)如图1,在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC.(3)如图2,过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.27.(2019?江西)在△ABC中,AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹).(1)在图1中作弦E F,使EF∥BC;(2)在图2中以B C为边作一个45°的圆周角.变式拓展1.【答案】B【解析】由作图的痕迹可知:点D是线段BC的中点,∴线段AD是△ABC的中线,故选B.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=40°.2.【解析】(1)如图,AD为所作;(2)∵∠C=90°,∠B=40°.∴∠BAC=90°–40°=50°,∵A D平分∠BAC,∴∠BAD= 12∠BAC=25°,∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+25°=65°.3.【解析】首先作一条射线,进而截取AB=A′B′,∠CAB=∠C′A′B′,进而截取AC=A′C′,进而得出答案.如图所示:△A′B′C′即为所求.考点冲关1.【答案】C【解析】根据已知条件作符合条件的三角形,需要使三角形的要素符合要求,或者是作边等于已知线段,或者是作角等于已知角,故选C.2.【答案】D【解析】选项A,画线段MN=3 cm,需要知道长度,而尺规作图中的直尺是没有长度的,错误;选项B,用量角器画出∠AOB的平分线,量角器不在尺规作图的工具里,错误;选项C,用三角尺作过点A垂直于直线l 的直线,三角尺也不在作图工具里,错误;选项D,正确.故选D.3.【答案】A【解析】由作法可得BH为线段AD的垂直平分线,故选A.4.【答案】D【解析】作图痕迹中,弧F G是以点E为圆心,DM为半径的弧,故选D.5.【答案】A【解析】由题意得AG为∠CAB的角平分线,则∠ADC=25°,∵∠C=90°,∴∠ADC=65°,故选A.6.【答案】A【解析】(甲)如图一所示,∵△ABC为等边三角形,AD是∠BAC的角平分线,∴∠BEA=90°,∴∠BED=90°,∴∠BEA=∠BED=90°,由甲的作法可知,AB=BD,A B=BDABC=DBC∴∠ABC=∠DBC,在△ABC与△DBC中,,BC BC=∴△ABC≌△DBC,故甲的作法正确;(乙)如图二所示,∵BD ∥AC ,C D ∥AB ,∴∠ ABC =∠DCB ,∠ACB =∠DBC ,ABC = DCB在△ABC 和△ DCB 中,BC =CB,ACB = DBC∴△ABC ≌△DCB (ASA ),∴乙的作法是正确的.故选 A . 7.【答案】 40°【解析】∵根据作图过程和痕迹发现 MN 垂直平分 AB , ∴D A =D B ,∴∠ DBA =∠A =35°,∵C D =BC ,∴∠ CDB =∠CBD =2∠A =70°,∴∠ C =40°, 故答案为: 40°. 8.【答案】 37【解析】∵ AB =AC ,∠A =32°, ∴∠ABC =∠ACB =74°, 又∵BC =D C ,∴∠CDB =∠CBD = 1 2∠ACB =37°,故答案为: 37. 9.【解析】作法:(1)分别以 A ,B 点为圆心,以大于A B 2的长为半径作弧,两弧相交于 M ,N 两点;(2)作直线 MN ,MN 即为线段 AB 的垂直平分线.10.【解析】( 1)射线 BD 即为所求.(2)∵∠ A =90°,∠ C =30°,∴∠ABC =90°﹣30°=60°,∵BD 平分∠ ABC ,∴∠CBD = 1 2∠ABC =30°, ∴∠C =∠CBD =30°,∴D C =D B .直通中考1.【答案】 A【解析】如图,连接 FC ,则 AF =FC .∵AD ∥BC ,∴∠ FAO =∠BCO .FAO BCOOA OC在△FOA 与△ BOC 中, ,∴△ FOA ≌△BOC (ASA ),∴ A F =BC =3,AOF COB∴FC =AF =3,FD =AD - A F =4-3=1.在△ FDC 中,∵∠ D =90°,∴ CD2+D F 2=FC 2,∴C D 2+12=32,∴C D =2 2 .故选 A .2.【答案】 C【解析】由作法得 AG 平分∠ BAC ,∴G 点到 A C 的距离等于 BG 的长,即 G 点到 AC 的距离为 1,所以△ ACG 的面积 =1 2 ×4×1=2.故选 C .3.【答案】 D【解析】由作图知 C M =C D =D N ,∴∠ COM =∠COD ,故 A 选项正确;∵O M =ON =MN ,∴△ OMN 是等边三角形,∴∠ MO =N 60° ,∵C M =C D =D N ,∴∠MOA =∠AOB =∠BON = 1 3 ∠MO =N 20° ,故 B 选项正确;∵∠MO =A ∠AOB =∠BON =20° ,∴∠ OCD =∠OC =M 80° ,∴∠ MCD =160° ,1 2 又∠CMN =∠AON =20° ,∴∠ MCD +∠CMN =180° ,∴ MN ∥C D ,故C 选项正确;∵MC +C D +D N >MN ,且 C M =C D =D N ,∴3C D >MN ,故 D 选项错误,故选 D .4.【答案】 C【解析】由作法得 C G ⊥AB ,∵AC =BC ,∴CG 平分∠ ACB ,∠A =∠B ,∵∠ ACB =180° -40 ° -40° =100° , ∴∠BCG = 1 2∠ACB =50° .故选 C .5.【答案】 C【解析】由作法得 B D 平分∠ ABC ,所以 A 选项的结论正确;∵∠C =90° ,∠ A =30° ,∴∠ ABC =60° ,∴∠ ABD =30° =∠A ,∴AD =BD ,所以 B 选项的结论正确; ∵∠CBD = 1 2 ∠ABC =30° ,∴ BD =2C D ,所以D 选项的结论正确;∴AD =2C D ,∴S △ABD =2S △CBD ,所以 C 选项的结论错误.故选 C .6.【答案】 C【解析】∵四边形 ABCD 为矩形,∴ AE =C E ,而 OA =OC ,∴OE 为∠AOC 的平分线.故选 C .7.【答案】 C【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点,由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线,从而可用直尺成功找到三角形外心.故选 C .8.【答案】 B【解析】在△ ABC 中,∵∠ B =30° ,∠ C =90° ,∴∠ BAC =180° - ∠B -∠C =60° ,由作图可知 MN 为 AB 的中垂线,∴D A=D B,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠CAD=∠BAC- ∠DAB=30°,故选B.9.【答案】D【解析】由作图可知:AC=AD=BC=BD,∴四边形ACBD是菱形,故选D.10.【解析】(1)如图,∠ADE为所作.(2)∵∠ADE=∠B,∴D E∥BC,∴A E ADEC DB=2.11.【答案】B【解析】∵ADC 2 B且ADC B BCD ,∴B BCD ,∴DB DC ,∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点,故选B.12.【答案】D【解析】由作法得C E⊥AB,则∠AEC=90°,AC=AB=BE+AE=2+1=3,在Rt△ACE中,C E= 32 22 5 .故选D.13.【答案】A【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC 的中点.由此可知:选项 A 符合条件,故选A.14.【答案】C【解析】由作图步骤可得:OE 是AOB 的角平分线,∴∠COE=∠DOE,∵OC=OD,OE=OE,O M=O M,∴△COE≌△DOE,∴∠CEO=∠DEO,∵∠COE=∠DOE,OC=OD,∴C M=DM,OM⊥C D,∴S 四边形OCED=S△CO+E S△DOE= 1 1 1OE CM OE DM CD OE ,2 2 2但不能得出OCD ECD ,∴A、B、D选项正确,不符合题意,C选项错误,符合题意,故选C.15.【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ,∴FB FC ,CG BG 2,FG BC ,∵ACB 90 ,∴FG∥AC ,∴BF CF ,∴CF 为斜边AB 上的中线,∵AB 32 42 5,∴1 5CF AB .故选A.2 216.【答案】1 2【解析】由作法得BD 平分ABC,∵∠C 90 ,A 30 ,∴ABC 60 ,∴ABD CBD 30 ,∴DA DB ,在Rt△BCD 中,BD 2CD ,∴AD 2CD ,∴S△BCDS△ABD12.故答案为:12.17.【解析】如图,△DEF 即为所求.18.【解析】(1)如图,点D为所作.(2)∵AB AC,∴1ABC C(18036)72,2∵DA DB,∴ABD A36,∴BDC A ABD363672,∴BDC C,∴△BCD是等腰三角形.19.【解析】(1)如图①所示,△ABM即为所求.(2)如图②所示,△CDN即为所求.(3)如图③所示,四边形EFGH即为所求.20.【解析】(1)作AC的垂直平分线,作以AC为直径的圆,垂直平分线与圆的交点即为点B.(2)以C为圆心,AC为半径作圆,格点即为点D.21.【解析】(1)如图,作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点,即点P到点M和点N的距离相等,且到AOB两边的距离也相等.(2)理由:角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等.22.【解析】(1)如图所示:(2)O E∥AC,1 OE AC.2理由如下:∵AD平分BAC,∴1 BAD BAC,2∵1 BAD BOD,2∴BOD BAC,∴OE∥AC,∵OA OB,∴OE为△ABC的中位线,∴OE∥AC,1 OE AC.223.【解析】(1)如图,CE为所作.(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD BC5,CD AB3,∵点E在线段AC的垂直平分线上,∴EA EC,∴△DCE的周长CE DE CD EA DE CD AD CD538.24.【解析】(1)∵线段A B的垂直平分线与BC边交于点P,∴PA=PB,∴∠B=∠BAP,∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B.(2)根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA,∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,∴∠BQA=2∠B,∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°.25.【解析】(1)如图,菱形AEBF即为所求.(2)如图,四边形CGDH即为所求.26.【解析】(1)如图所示,线段AF即为所求.(2)如图所示,点G即为所求.(3)如图所示,线段EM即为所求.27.【解析】(1)如图1,EF为所作.(2)如图2,∠BCD为所作.。

中考数学考点:五种基本尺规作图

中考数学考点:五种基本尺规作图

中考数学考点:五种基本尺规作图
在几何中,我们把只限定用直尺(无刻度)和圆规来画图的方法,称为尺规作图。

其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段;圆规用来作圆和圆弧.由此可知,尺规作图与一般的画图不同,一般画图可以动用一切画图工具,包括三角尺、量角器等,在操作过程中可以度量,但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的.
基本考点:
(1)用尺规作一条线段等于已知线段;
(2)用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图,可以作两条线段或两个角的和或差.。

(完整)初中数学总复习尺规作图

(完整)初中数学总复习尺规作图

尺规作图尺规作图的定义:尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图五种基本作图:1、作一条线段等于已知线段;2、作一个角等于已知角;3、作已知线段的垂直平分线;4、作已知角的角平分线;5、过一点作已知直线的垂线;题目一:作一条线段等于已知线段。

已知:如图,线段 a . 求作:线段AB,使AB = a . 作法:①作射线AP ;②在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

题目二:作已知线段的中点。

已知:如图,线段MN. 求作:点O ,使MO=NO (即O 是MN 的中点)作法:①分别以M、N 为圆心,大于1/2MN 的相同线段为半径画弧,两弧相交于P,Q ;②连接PQ 交MN 于O .则点O 就是所求作的MN的中点。

(试问:PQ 与MN有何关系?)题目三:作已知角的角平分线。

已知:如图,∠AOB ,求作:射线OP, 使∠ AOP =∠ BOP (即OP 平分∠ AOB )作法:①以O 为圆心,任意长度为半径画弧,分别交OA ,OB 于M,N;②分别以M 、N为圆心,大于1/2MN 的相同线段为半径画弧,两弧交∠ AOB 内于P;③作射线OP。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

题目四:作一个角等于已知角。

(请自己写出“已知”“求作”并作出图形,不写作法)题目五:已知三边作三角形。

已知:如图,线段a,b,c.求作:△ ABC ,使AB = c ,AC = b ,BC = a. 作法:① 作线段AB = c ;② 以 A 为圆心 b 为半径作弧,以 B 为圆心a 为半径作弧与前弧相交于C;③连接AC ,BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

题目六:已知两边及夹角作三角形。

已知:如图,线段m ,n, ∠ . 求作:△ABC,使∠A= ∠ ,AB=m ,AC=n. 作法:① 作∠ A= ∠ ;② 在AB 上截取AB=m ,AC=n ;③连接BC 。

则△ABC 就是所求作的三角形。

题目七:已知两角及夹边作三角形已知:如图,∠ ,∠ ,线段m .求作:△ABC,使∠A= ∠,∠ B= ∠,AB=m.作法:① 作线段AB=m ;② 在AB 的同旁作∠ A= ∠ ,作∠ B=∠∠A 与∠B 的另一边相交于C则△ABC 就是所求作的图形(三角形)一、尺规基本作图归纳1、作一条线段等于已知线段;2、作一个角等于已知角;3、作角的平分线;4、作线段的中垂线;5、已知三边 ,两边和其夹角或两角和其夹边作三角形 ;6、已知底边和底边上的高作等腰三角形;7、过直线上一点作直线的垂线;8、过直线外一点作直线的垂线 .例题:1、如图 ,有一破残的轮片 ,现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件 ,请你根据所学的有关知识 ,设计一种方案 ,确定这个圆形零件的半径 .2、 如图:107国道OA 和320国道 OB 在某市相交于点 O,在∠AOB 的内部有工厂 C 和D,现要修建一个货站 P,使P 到OA 、 OB 的距离相等且 PC=PD, 用尺规作出货站 P 的位置 (不写作法 ,保留作图痕迹 ,写出结论 )3、要求到三条公路的距离相等,问满足要求的加油站地址有几种情况?A公路两两个加油站,6、过直线外一点 A 作圆 O的切线4、过点 C 作一条线平行于 AB ;5、过不在同一直线上的三点 A 、 B 、C 作圆 O ;二、几何画图 :1、只利用一把有刻度的直尺 ,用度量的方法 ,按下列要求画图 : 1)画等腰三角形 ABC 的对称轴 : 2)画∠ AOB 的对称轴2、有一个未知圆心的圆形工件 .现只允许用一块三角板(注:不允许用三角板上的刻度)画出该工件表面上的一条直径并定出圆心 .要求在图上保留画图痕迹,写出画法 .3、某校有一个正方形的花坛,现要将它分成形状和面积都相同的四块种上不同颜色的花卉,请你帮助设计至少三种不同的 方案,分别画在下面正方形图形上(用尺规作图或画图均可,但要尽可能准确些、美观些) .4、某村一块若干亩土地的图形是Δ ABC ,现决定把这块土地平均分给四位 “花农”种植,请你帮他们分一分,提供至少两种 分法。

第28讲 尺规作图-中考数学一轮复习知识考点ppt(27张)

第28讲 尺规作图-中考数学一轮复习知识考点ppt(27张)

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【思路分析】(1)根据题干要求,可知点E在边BC的垂直平分线上. (2)根据矩形对边平行及等边对等角可得△EBC中其余两角的度数,再根据 三角形内角和定理,即可求得∠BEC的大小.
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尺规作图题的三种考查类型
1.直接作图:作角的平分线,作线段的垂直平分线,作一个角等于已知角等,直
(4)过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
根据以上作图步骤,请你证明∠A′O′B′=∠AOB.
证明:连接C′D′,由作图步骤可知,
O'C' OC,
在△C′O′D′和△COD中,O'D' OD, ∴△C′O′D′≌△COD(SSS)C. 'D' CD,
∴∠C′O′D′=∠COD,即∠A′O′B′=∠AOB.
第七章 图形与变换
第28讲 尺规作图
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知识点1 尺规作图及其基本步骤 1.定义:只用①___直__尺_____和②___圆__规_____来完成画图,称为尺规作图.
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2.基本步骤: (1)已知:写出已知的线段和角,画出图形. (2)求作:求作什么图形,使它符合什么条件. (3)作法:运用五种基本尺规作图,保留作图③_痕__迹_______. (4)证明:验证所作图形的正确性. (5)结论:对所作的图形下结论.
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(2)连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系.
(2)线段EF和AC的数量关系为EF=
1 2
AC,位置关系为EF∥AC.
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命题点 尺规作图
1.(随州中考)如图,用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心,

初中几何尺规作图的基本方法与技巧

初中几何尺规作图的基本方法与技巧

初中几何尺规作图的基本方法与技巧一、基本概念1.尺规作图:在几何里,用没有刻度的直尺和圆规来画图,叫做尺规作图。

2.基本作图:最基本、最常用的尺规作图,通常称基本作图。

3.五种常用的基本作图:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)平分已知角;(4)作线段的垂直平分线.(5)经过一点作已知直线的垂线4.掌握以下几何作图语句:(1)过点×、点×作直线××;或作直线××,或作射线××;(2)连结两点×、×;或连结××;(3)在××上截取××=××;(4)以点×为圆心,××为半径作圆(或弧);(5)以点×为圆心,××为半径作弧,交××于点×;(6)分别以点×、点×为圆心,以××、××为半径作弧,两弧相交于点××;(7)延长××到点×,或延长××到点×,使××=××.5.学过基本作图后,在以后的作图中,遇到属于基本作图的地方,只须用一句话概括叙述就可以了,如:(1)作线段××=××;(2)作∠×××=∠×××;(3)作××(射线)平分∠×××;(4)过点×作××⊥××,垂足为×;(5)作线段××的垂直平分线××.二、五种基本作图方法演示尺规作图的基本步骤和作图语言:一、作线段等于已知线段:已知:线段a求作:线段AB,使AB=a作法:1.作射线AC2.在射线AC上截取AB=a ,则线段AB就是所要求作的线段二、作角等于已知角:已知:∠AOB求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.作法:(1)作射线O′A′(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB 于点D(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′(5)过点D′作射线O′B′,∠A′O′B′就是所求作的角三、作角的平分线:已知:∠AOB,求作:∠AOB内部射线OC,使:∠AOC=∠BOC作法:(1)在OA和OB上,分别截取OD、OE,使OD=OE(2)分别以D、E为圆心,大于1/2DE的长为半径作弧,在∠AOB 内,两弧交于点C(3)作射线OC,OC就是所求作的射线四、作线段的垂直平分线(中垂线)或中点:已知:线段AB求作:线段AB的垂直平分线作法:(1)分别以A、B为圆心,以大于AB的一半为半径在AB两侧画弧,分别相交于E、F两点(2)经过E、F,作直线EF(作直线EF交AB于点O)直线EF就是所求作的垂直平分线(点O就是所求作的中点)五、过直线外一点作直线的垂线:(1)已知点在直线外已知:直线a、及直线a外一点A(画出直线a、点A)求作:直线a的垂线直线b,使得直线b经过点A作法:(1)以点A为圆心,以适当长为半径画弧,交直线a于点C、D.(2)以点C为圆心,以AD长为半径在直线另一侧画弧(3)以点D为圆心,以AD长为半径在直线另一侧画弧,交前一条弧于点B.(4)经过点A、B作直线AB,直线AB就是所画的垂线b(如图)(2)已知点在直线上已知:直线a、及直线a上一点A求作:直线a的垂线直线b,使得直线b经过点A作法:(1)以A为圆心,任一线段的长为半径画弧,交a于C、B 两点(2)点C为圆心,以大于CB一半的长为半径画弧;(3)以点B为圆心,以同样的长为半径画弧,两弧的交点分别记为M、N(4)经过M、N,作直线MN直线MN就是所求作的垂线b常用的作图语言:(1)过点×、×作线段或射线、直线;(2)连结两点××;(3)在线段××或射线××上截取××=××;(4)以点×为圆心,以××的长为半径作圆(或画弧),交××于点×;(5)分别以点×,点×为圆心,以××,××的长为半径作弧,两弧相交于点×;(6)延长××到点×,使××=××。

浙教版八年级上专题1.6 尺规作图-重难点题型(含解析)

浙教版八年级上专题1.6 尺规作图-重难点题型(含解析)

尺规作图4大题型【题型1 作一个角等于已知角】【例1】(2021春•华龙区期末)画图题(要求:保留作图痕迹,不需要写作法)如图,已知∠AOB和OB上一点C.(1)作∠AOB的对顶角∠EOF;(2)在射线OB的下方,作∠OCD,使∠OCD=∠AOB.【变式1-1】(2021春•中原区校级期中)如图,已知∠1,∠2(∠1>∠2),求作∠ABC,使∠ABC=∠1﹣∠2.不写作法,保留作图痕迹.【变式1-2】(2021春•碑林区校级月考)伊顿公馆东区天然气的管道出现了故障,秦华天然气公司工作人员已确定故障点C在道路AB的右侧,且在线路BD方向上,如图所示.又测得∠BAC=∠α(α为如图中的已知角),请你用尺规作图法在下面的示意图中确定出故障点C的位置.(不写作法,只保留作图痕迹)【变式1-3】(2021春•茂南区校级月考)如图,△ABC中,∠ACB>∠ABC.(1)尺规作图:在∠ACB的内部作∠ACD,使∠ACD=∠ABC,射线CD交AB于点D(保留作图痕迹,不写作法);(2)若∠A=60°,∠B=40°,求∠BDC的度数.【题型2 作一条线段的垂直平分线】【例2】(2021春•碑林区校级期中)在△ABC中,∠C>∠B、请用尺规作图法,在AB上找一点P,使∠PCB=∠B.(保留作图痕迹,不写作法.)【变式2-1】(2021•碑林区校级模拟)尺规作图:如图,已知△ABC.请在AC边上找一点D,使△ABD的周长等于AB+AC.(保留作图痕迹,不写作法)【变式2-2】(2021春•长安区期末)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):如图,直线m表示一条公路,A、B表示两所大学,要在公路旁修建一个车站P,使车站到两所大学的距离相等.(1)请用尺规在图上找出点P;(2)请说明你作图的依据.【变式2-3】(2020秋•金川区校级期末)如图,电信部门要在S区修建一座发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,发射塔应建在什么位置?在图上标出它的位置.(尺规作图)【题型3 过已知直线外一点作该直线的垂直平分线】【例3】(2020秋•川汇区期中)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线MN和直线外一点P.求作:MN的垂线,使它经过点P.(1)分步骤写出作图过程;(2)说出所作直线就是求作垂线的理由.【变式3-1】(2021春•碑林区校级期中)尺规作图:在△ABC的边AB上作出点D,使得线段CD最短.【变式3-2】(2020春•黑河期中)对于下面每个三角形,过顶点A画出中线和高.(用尺规规范画图,否则不计分)【变式3-3】(2021春•重庆期中)如图,AB∥CD,点E是CD上一点,∠AEC=52°,EF平分∠AED交AB于点F.(1)过点F作FG⊥CD,垂足为G.(要求:按尺规作图方法在答题卡上完成作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)求∠AFE的度数.【题型4 作三角形】【例4】(2021春•沙坪坝区校级期末)作图题(要求:用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).已知:∠α,∠β,线段c(如图所示).求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=2c.【变式4-1】(2021春•和平区期末)尺规作图:(不写作法,保留作图痕迹)已知:线段a,c,∠α.求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠BAC=∠α.【变式4-2】(2020春•市北区期末)已知:线段a,直线l及l外一点A.求作:Rt△ABC,使∠ACB=90°,且顶点B、C在直线l上,斜边AB=a.【变式4-3】(2020秋•曹县期末)如图,已知线段a和∠α,求作Rt△ABC,使∠C=90°,BC=a,∠ABC ∠α(使用直尺和圆规,并保留作图痕迹).尺规作图-重难点题型【题型1 作一个角等于已知角】【例1】(2021春•华龙区期末)画图题(要求:保留作图痕迹,不需要写作法)如图,已知∠AOB和OB上一点C.(1)作∠AOB的对顶角∠EOF;(2)在射线OB的下方,作∠OCD,使∠OCD=∠AOB.【分析】(1)分别延长AO、BO得到它的对顶角;(2)利用基本作图作∠OCD=∠AOB.【解答】解:(1)如图,∠EOF为所作;(2)如图,∠OCD为所作.【变式1-1】(2021春•中原区校级期中)如图,已知∠1,∠2(∠1>∠2),求作∠ABC,使∠ABC =∠1﹣∠2.不写作法,保留作图痕迹.【分析】先作∠ABD=∠1,再作∠COD=∠2,则∠ABC满足条件.【解答】解:如图,∠ABC为所作.【变式1-2】(2021春•碑林区校级月考)伊顿公馆东区天然气的管道出现了故障,秦华天然气公司工作人员已确定故障点C在道路AB的右侧,且在线路BD方向上,如图所示.又测得∠BAC=∠α(α为如图中的已知角),请你用尺规作图法在下面的示意图中确定出故障点C的位置.(不写作法,只保留作图痕迹)【分析】作∠BAC=α,射线AC交BD于C,点C即为所求作.【解答】解:如图,点C即为所求作.【变式1-3】(2021春•茂南区校级月考)如图,△ABC中,∠ACB>∠ABC.(1)尺规作图:在∠ACB的内部作∠ACD,使∠ACD=∠ABC,射线CD交AB于点D(保留作图痕迹,不写作法);(2)若∠A=60°,∠B=40°,求∠BDC的度数.【分析】(1)利用基本作图,作∠ACD=∠B即可;(2)先利用三角形内角和计算出∠ACB的度数,再根据角平分线的定义得到∠ACD的度数,然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数.【解答】解:(1)如图,∠ACD为所作;(2)∵∠A=60°,∠B=40°,∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD∠ACB=40°,∴∠BDC=∠A+∠ACD=60°+40°=100°.【题型2 作一条线段的垂直平分线】【例2】(2021春•碑林区校级期中)在△ABC中,∠C>∠B、请用尺规作图法,在AB上找一点P,使∠PCB=∠B.(保留作图痕迹,不写作法.)【分析】作线段BC的垂直平分线交AB于点P,点P即为所求作.【解答】解:如图,点P即为所求作.【变式2-1】(2021•碑林区校级模拟)尺规作图:如图,已知△ABC.请在AC边上找一点D,使△ABD的周长等于AB+AC.(保留作图痕迹,不写作法)【分析】作线段BC的垂直平分线交AC于点D,连接BD即可.【解答】解:如图,点D即为所求作.【变式2-2】(2021春•长安区期末)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):如图,直线m表示一条公路,A、B表示两所大学,要在公路旁修建一个车站P,使车站到两所大学的距离相等.(1)请用尺规在图上找出点P;(2)请说明你作图的依据.【分析】(1)作线段AB的垂直平分线MN交直线m于点P,连接PA,PB.(2)根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可.【解答】解:(1)如图,点P即为所求.(2)∵MN垂直平分线段AB,∴PA=PB(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等).【变式2-3】(2020秋•金川区校级期末)如图,电信部门要在S区修建一座发射塔.按照设计要求,发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条高速公路m和n的距离也必须相等,发射塔应建在什么位置?在图上标出它的位置.(尺规作图)【分析】根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等;线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,可得答案.【解答】解:作∠mon的角平分线,作AB的垂直平分线,得,∠mon的角平分线与AB的垂直平分线的交点C即为所求得点.【题型3 过已知直线外一点作该直线的垂直平分线】【例3】(2020秋•川汇区期中)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知:直线MN和直线外一点P.求作:MN的垂线,使它经过点P.(1)分步骤写出作图过程;(2)说出所作直线就是求作垂线的理由.【分析】(1)首先根据题意写出已知求作,进而根据过直线外一点向直线作垂线即可.(2)只要证明直线PF是线段DE的垂直平分线即可;【解答】解:(1)作法:①任意取一点K,使K和P在AB的两旁.②以P为圆心,PK的长为半径作弧,交MN于点D和E.③分别以D和E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F,④作直线PF.直线PF就是所求的垂线.(2)理由:由作图可知:PD=PE,DF=EF,∴直线PF是线段DE的垂直平分线.∴PF⊥MN.【变式3-1】(2021春•碑林区校级期中)尺规作图:在△ABC的边AB上作出点D,使得线段CD最短.【分析】根据垂线段最短过点C作CD⊥AB于点D即可.【解答】解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,所以点D即为所求.【变式3-2】(2020春•黑河期中)对于下面每个三角形,过顶点A画出中线和高.(用尺规规范画图,否则不计分)【分析】根据尺规作图即可过每个三角形的顶点A画出中线和高.【解答】解:如图,线段AD、线段AE是每个三角形的高和中线.AD、AE即为所求.【变式3-3】(2021春•重庆期中)如图,AB∥CD,点E是CD上一点,∠AEC=52°,EF平分∠AED 交AB于点F.(1)过点F作FG⊥CD,垂足为G.(要求:按尺规作图方法在答题卡上完成作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)求∠AFE的度数.【分析】(1)根据要求作出图形即可.(2)求出∠DEF,利用平行线的性质求解即可.【解答】解:(1)如图,直线FG即为所求作.(2)∵EF平分∠AED,∴∠AEF=∠DEF(180°﹣∠AEC)=64°,∵CD∥AB,∴∠AFE=∠DEF=64°.【题型4 作三角形】【例4】(2021春•沙坪坝区校级期末)作图题(要求:用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).已知:∠α,∠β,线段c(如图所示).求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=2c.【分析】作射线AM,在射线AM上截取AB,使得AB=2c,在AB的上方作∠EAB=α,∠FBA=β,AE交BF于点C.【解答】解:如图,△ABC即为所求.【变式4-1】(2021春•和平区期末)尺规作图:(不写作法,保留作图痕迹)已知:线段a,c,∠α.求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠BAC=∠α.【分析】作∠MAN=α,在射线AM上截取AB,使得AB=c,以B为圆心,c为半径作弧交AN 于C,C′,连接BC,BC′,△ABC或△ABC′即为所求.【解答】解:如图,△ABC或△ABC′即为所求.【变式4-2】(2020春•市北区期末)已知:线段a,直线l及l外一点A.求作:Rt△ABC,使∠ACB =90°,且顶点B、C在直线l上,斜边AB=a.【分析】先过点A作直线l的垂线,垂足为C,再以点A为圆心,线段a的长为半径画弧交直线l 于点B,即可得Rt△ABC.【解答】解:如图,Rt△ABC即为所求.【变式4-3】(2020秋•曹县期末)如图,已知线段a和∠α,求作Rt△ABC,使∠C=90°,BC=a,∠ABC∠α(使用直尺和圆规,并保留作图痕迹).【分析】根据已知条件先作∠C=90°,BC=a,再作∠ABC∠α即可.【解答】解:如图所示,Rt△ABC即为所求.。

初中数学 尺规作图

初中数学 尺规作图
解:如答图1,所作图形即为所求.
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答图1
第七单元 图形与变换
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(2) 在 (1) 所 作 的 图 中 , 若 ∠ BAD = 45° , 且 ∠ CAD = 2 ∠ BAC , 证 明:△BEF为等边三角形.
证明:∵AC=AD,AF平分∠CAD,
∴∠CAF=∠DAF,AF⊥CD.
∴∠AFC=90°.
第七单元 图形与变换
步骤与原理
已知:直线 AB 和 AB 外一点 C,求作:AB
的垂线,使它经过点 C
过一 点作 已知 直线 的垂
线
点 在 直 线 外
作法:1.任意取点 K,使点 K 和点 C 在 AB
的两旁;2.以点 C 为圆心,CK 长为半径画
弧,交 AB 于点 D,E;3.分别以点 D,E 为
于点D和点E,若∠B=50°,则∠CAD的度数是
A.30° C.50°
B.40° D.60°
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( A)
第七单元 图形与变换
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2.如图,已知平行四边形AOBC的顶点O(0,0),B(4,0),C(5, 3 ),
∠AOB=60°,点B在x轴正半轴上,按以下步骤作图:①分别以点O,A
为圆心,大于
初中数学 尺规作图
知识梳理
河南中考
核心知识
第七单元 图形与变换
人教:七上P125-131 八上P35-42,P48-50,P62-63 北师:七下P55-57 八下P18-19,P25-26 华师:八上P85-92
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知识梳理
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第七单元 图形与变换
一、五种基本尺规作图
步骤与原理
作一条线段等 作法:1.作射线AM;2.以点A为圆

【中考数学考点复习】第一节 尺规作图 课件(23张PPT)

【中考数学考点复习】第一节  尺规作图 课件(23张PPT)
段的垂
直平分
线(已 知线段 结论:AB⊥l
, AB)
AO=OB
到线段两
1.分别以点A,B为圆心,大于
个端点距
1
__2_A__B___的长为半径,在AB两侧 离相等的
作弧,两弧交于两点;
点在这条
2.连接两弧交点所成直线l即为所求 线段的垂
作的垂直平分线
直平分线

第一节 尺规作图
类型
步骤
五种基本 尺规作图
第一节 尺规作图
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成都10年真题及拓展
尺规作图的相关计算
1. 如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点 B 和点 C 为圆心,
以大于 12BC 的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和 N;②作直线 MN 交
AC 于点 D,连接 BD.若 AC=6,AD=2,则 BD 的长为( C )
A.2
的两侧;
到线段两 2.以点P为圆心,PM的长为半径作弧
个端点距 ,交直线l于点A和点B,可得到PA=
PB;
离相等的
1
3大.分于别2以AB点A、点B为圆心,以
点在这条 线段的垂
________长为半径作弧,交点M的
直平分线
同侧于点N,可得到AN=BN;

4连接PN,则直线PN即为所求作的垂
线
第一节 尺规作图
长为( C )
A.252 3 C.20
B.12 3 D.15
第9题图
第一节 尺规作图
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10.人教版初中数学教科书八年级上册第 35-36 页告诉我们作一个三角 形与已知三角形全等的方法: 已知:△ABC. 求作:△A′B′C′,使得△A′B′C′≌△ABC. 作法:如图.

重庆市2019届中考数学一轮复习《5.4尺规作图》讲解含答案.doc

重庆市2019届中考数学一轮复习《5.4尺规作图》讲解含答案.doc

第四节尺规作图课标呈现——指引方向1.能用尺规完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线:过一点作已知直线的垂线.2.会利用基本作图作三角形:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形:已知底边及底边上的高线作等腰三角形:已知一直角边和斜边作直角三角形.3.会利用基本作图完成:过不在同一直线上的三点作圆:作三角形的外接圆、内切圆:作圆的内接正方形和正六边形.4.在尺规作图中,了解作图的原理,保留作图的痕迹,不要求写出作法,考点梳理——夯实基础1.格作图:利用平移、旋转、轴对称、中心对称、位似在格中作图称为格作图2.尺规作图(1)尺规作图的定义:在几何里把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图,称为尺规作图,最基本最常用的尺规作图,称为基本作图.(2)五种基本尺规作图:①作一条线段等于已知线段;②作一个角等于已知角:③作一个角的角平分线:④作线段的垂直平分线:⑤经过一点作已知直线的垂线.(3)尺规作图的步骤:①已知:写出已知的线段和角,画出图形:②求作:求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化:③作法:应用五种基本作图,叙述时不需要重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹:④证明:为了验证所作图形的正确性,把图作出后,根据有关的定义、定理等并结合作法证明所作图形完全符合题设条件,⑤对所作图形下结论.(4)作三角形:①已知三边作三角形;②已知两边及其夹角作三角形:③已知两角及其夹边作三角形:④已知底边及底边上的高作等腰三角形.(5)探究如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.考点精析——专题突破【例1】(2019四川巴中)如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图,请根据条件画出变换后的三角形.(1)将△ABC向有平移2个单位得到△A1B1C1;(2)与△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2.(3)与△ABC关于原点对称的图形△A3B3C3.【答案】解题点拨:作图平移变换、轴对称、中心对称,图略【例2】(2019四川凉山州)如图,在边长为1的正方形格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(4,3)、B(4,1),把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1 B1C.(1)画出△A 1B 1C ,直接写出点A 1、B 1的坐标;(2)求在旋转过程中,△ABC 所扫过的面积.【答案】解题点拨:(1)根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置,然后顺次连接即可,根据A 、B 的坐标建立坐标系,据此写出点A 1、B 1的坐标;(2)利用勾股定理求出AC 酌长,根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和,然后列式进行计算即可.解:(1)所求作△A 1B 1C 如图所示:由A(4,3)、B(4,1)可建立如图所示坐标系,则点Ai 的坐标为(-1,4),点Bi 的坐标为(1,4); (2)∵AC=22222313AB BC +=+=,∠ACA 1=90°∴在旋转过程中,△ABC 所扫过的面积为:S 扇形CAA 1+S△ABC 290(13)1323602π⋅=+⨯⨯ 1334π=+【例3】(2019育才)两个城镇A 、B 与两条公路ME ,MF 位置如图所示,其中ME 是东西方向的公路.现电信部门需在C 处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等,到两条公路ME ,MF 的距离也必须相等,且在∠FME 的内部,那么点C 应选在何处?请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C .(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)【答案】解题点拨:此题考查了尺规作图,正确的作出图形是解答本题的关键.到A、B距离相等则作线段AB的垂直平分线,到ME、MF距离相等则作∠FME的角平分线,它们的交点即为所求.解:答案如图:1.(2019浙江舟山)数掌活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是 ( )【答案】A2.(2019湖北宜昌)任意一条线段EF,其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示,若连接EH、HF、FG,GE,则下列结论中,不一定正确的是 ( )A.△EGH为等腰三角形 B.△EGF为等边三角形C.四边形EGFH为菱形 D.△EHF为等腰三角形第2题【答案】B3.(2019吉林长春)如图,在△ABC中,AB>AC,按以下步骤作图:分别以点B和点C为圆心,大于BC 一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于点D;连结CD.若AB=6,AC=4,则△ACD 的周长为.第3题【答案】104.已知:如图,∠α,∠β,线段m.求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=m.第4题【答案】解:如图所示,△ABC即为所求.第4题答案图A组基础训练一、选择题1.(2019河北)如图,已知△ABC(AC<BC),用尺规在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是 ( )第1题【答案】B2.(2019重庆育才)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A'O'B′=∠AOB的依据是( )A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS第2题【答案】C3.(2019西大附中)如图,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,相交于点C,D,则直线CD即为所求.连结AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是 ( )A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形第3题【答案】B4.(2019河北)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹,步骤1:以C 为圆心,CA 为半径画弧①;步骤2:以B 为圆心,BA 为半径画弧②,与弧①交于点D ;步骤3:连接AD ,交BC 延长线于点H 。

中考数学复习专题25:尺规作图(含中考真题解析)

中考数学复习专题25:尺规作图(含中考真题解析)

专题25 尺规作图☞解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1.画一条线段等于已知线段会用尺规作图法完成五种基本作图,了解五种基本作图的理由,会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程.2.画一个角等于已知角3.画线段的垂直平分线4.过已知点画已知直线的垂线5.画角平分线会利用基本作图画较简单的图形.1.画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形.2.画圆会利用基本作图画圆.☞2年中考【2015年题组】1.如图,已知△ABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正确的是()A.B.C.D.【答案】D.第1 页共32 页考点:作图—复杂作图.考点:作图—复杂作图.2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以点A和B为圆心,以相同的长(大于12AB)为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN交AB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是(下列结论错误的是( )A.AD=BD B.BD=CD C.∠A=∠BED D.∠ECD=∠EDC 【答案】D.【解析】【解析】试题分析:∵MN为AB的垂直平分线,∴AD=BD,∠BDE=90°;∵∠ACB=90°,∴CD=BD;∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°,∴∠A=∠BED;∵∠A≠60°,AC≠AD,∴EC≠ED,∴∠ECD≠∠EDC.故选D.考点:1.作图—基本作图;2.线段垂直平分线的性质;3.直角三角形斜边上的中线..直角三角形斜边上的中线. 3.如图,C,D分别是线段AB,AC的中点,分别以点C,D为圆心,BC长为半径画弧,两弧交于点M,测量∠AMB的度数,结果为(的度数,结果为( )A.80°B.90°C.100°D.105°【答案】B.【解析】【解析】试题分析:如图,试题分析:如图,AB是以点C为圆心,BC长为半径的圆的直径,因为直径对的圆周角是90°,所以∠AMB=90°,所以测量∠AMB的度数,结果为90°.故选B.考点:1.等腰三角形的性质;2.作图—基本作图.基本作图.4.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF.的长是( )若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是(A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D.基本作图.考点:1.平行线分线段成比例;2.菱形的判定与性质;3.作图—基本作图.5.数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是( )规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(A.B.C.D.【答案】A.考点:作图—基本作图.考点:作图—基本作图.6.数学课上,老师让学生尺规作图画Rt △ABC ,使其斜边AB=c ,一条直角边BC=a .小明的作法如图所示,你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是(是直角的依据是( )A .勾股定理.勾股定理B .直径所对的圆心角是直角.直径所对的圆心角是直角C .勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理D .90°的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径 【答案】B . 【解析】【解析】试题分析:由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点,以O 为圆心,AB 为半径作圆,然后以B 为圆心BC=a 为半径花弧与圆O 交于一点C ,故∠ACB 是直径所对的圆周角,所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是:直径所对的圆心角是直角.故选B . 考点:1.作图—复杂作图;2.勾股定理的逆定理;3.圆周 角定理.角定理.7.如图,将线段AB 放在边长为1的小正方形网格,点A 点B 均落在格点上,请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ,使AP=3172,并保留作图痕迹.(备注:本题只是找点不是证明,∴只需连接一对角线就行)证明,∴只需连接一对角线就行)【答案】作图见试题解析.【答案】作图见试题解析.考点:作图—应用与设计作图.考点:作图—应用与设计作图.8.)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:小芸的作法如下:小芸的作法如下:老师说:“小芸的作法正确.”请回答:小芸的作图依据是 .请回答:小芸的作图依据是【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上;两点确定一条直线..作图题.考点:1.作图—基本作图;2.作图题.9.已知⊙O为△ABC的外接圆,圆心O在AB上.上.(1)在图1中,用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D(保留作图痕迹,不写作法与证明);(2)如图2,设∠BAC 的平分线AD 交BC 于E ,⊙O 半径为5,AC=4,连接OD 交BC 于F .①求证:OD ⊥BC ; ②求EF 的长.的长.【答案】(1)作图见试题解析;(2)①证明见试题解析;②3217.【解析】【解析】 试题分析:(1)按照作角平分线的方法作出即可;)按照作角平分线的方法作出即可;(2)①由AD 是∠BAC 的平分线,得到CD BD =,再由垂径定理推论可得到结论;,再由垂径定理推论可得到结论;②由勾股定理求得CF 的长,然后根据平行线分线段成比例定理求得34EFFD CEAC==,即可求得37EF CF =,继而求得EF 的长.的长.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质;3.勾股定理;4.圆周.压轴题.角定理;5.作图—复杂作图;6.压轴题.10.如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)【答案】答案见试题解析.【答案】答案见试题解析.【解析】【解析】试题分析:①以A为圆心,以3为半径作弧,交AD、AB两点,连接即可;②连接AC,在AC上,以A为端点,截取1.5个单位,过这个点作AC的垂线,交AD、AB两点,连接即可;③以A为端点在AB上截取试题解析:满足条件的所有图形如图所示:试题解析:满足条件的所有图形如图所示:考点:1.作图—应用与设计作图;2.等腰三角形的判定;3.勾股定理;4.正方形的性质;5.综合题;6.压轴题..压轴题.11.图①是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形.(1)如图②,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹);(2)在(1)的前提下,连接OD ,已知OA=5,若扇形OAD (∠AOD <180°)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于 .【答案】(1)作图见试题解析;(2)158.【解析】【解析】 试题分析:(1)作AE 的垂直平分线交⊙O 于C ,G ,作∠AOG ,∠EOG 的角平分线,分别交⊙O 于H ,F ,反向延长,反向延长 FO ,HO ,分别交⊙O 于D ,B 顺次连接A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H ,八边形ABCDEFGH 即为所求;即为所求; (2)由八边形ABCDEFGH 是正八边形,求得∠AOD 的度数,得到AD 的长,设这个圆锥底面圆的半径为R ,根据圆的周长的公式即可求得结论.,根据圆的周长的公式即可求得结论. 试题解析:(1)如图所示,八边形ABCDEFGH 即为所求;即为所求;(2)∵八边形ABCDEFGH 是正八边形,∴∠AOD=3608×3=135°,∵OA=5,∴AD 的长=1355180p ´=154p ,设这个圆锥底面圆的半径为R ,∴2πR=154p,∴R=158,即这个圆锥底面圆的半径为158.故答案为:158.考点:1.正多边形和圆;2.圆锥的计算;3.作图—复杂作图.复杂作图.12.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm 的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注:不同的分法,面积可以相等)等腰直角三角形面积(注:不同的分法,面积可以相等)【答案】答案见试题解析.【答案】答案见试题解析.(2)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC、BD的交点,连接OE、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可;分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可;(3)正方形ABCD中,F、H分别是BC、DA的中点,O是AC、BD的交点,连接HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可;得到的最小等腰直角三角形面积即可;(4)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC的中点,I是AO的中点,连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.试题解析:根据分析,可得:试题解析:根据分析,可得:..操作型.考点:1.作图—应用与设计作图;2.操作型.13.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(AB).(要求保留作图痕迹,不写作法)(1)用直尺和圆规作出AB所在圆的圆心O;(要求保留作图痕迹,不写作法)所在圆的半径.(2)若AB的中点C到弦AB的距离为20m,AB=80m,求AB所在圆的半径.【答案】(1)作图见试题解析;(2)50m.试题解析:(1)如图1,点O为所求;为所求;(2)连接OA,OC,OC交AB于D,如图2,∵C为AB的中点,∴OC⊥AB,∴AD=BD=12AB=40,设⊙O的半径为r,则OA=r,OD=OD﹣CD=r﹣20,在Rt△OAD中,∵222OA OD BD=+,∴222(20)40r r=-+,解得r=50,即AB所在圆的半径是50m.考点:1.作图—复杂作图;2.勾股定理;3.垂径定理的应用;4.作图题..作图题.14.如图,一块余料ABCD,AD∥BC,现进行如下操作:以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点G,H;再分别以点G,H为圆心,大于12GH的长为半径画弧,两弧在∠ABC内部相交于点O,画射线BO,交AD于点E.(1)求证:AB=AE;(2)若∠A=100°,求∠EBC的度数.的度数.【答案】(1)证明见试题解析;(2)40°.°.考点:1.作图—基本作图;2.等腰三角形的判定与性质..等腰三角形的判定与性质.15.如图,射线P A切⊙O于点A,连接PO.(1)在PO的上方作射线PC,使∠OPC=∠OP A(用尺规在原图中作,保留痕迹,不写作法),并证明PC是⊙O的切线;的切线;(2)在(1)的条件下,若PC切⊙O于点B,AB=AP=4,求AB的长.的长.【答案】(1)作图见试题解析,证明见试题解析;(2)839p.【解析】【解析】试题分析:(1)按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可,连接OA,作OB⊥PC,由角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线;的切线;(2)先证明△P AB是等边三角形,则∠APB=60°,进而∠POA=60°,在Rt△AOP中求出OA,用弧长公式计算即可.,用弧长公式计算即可.试题解析:(1)作图如右图,作图如右图,连接连接OA,过O作OB⊥PC,∵P A切⊙O于点A,∴OA⊥P A,又∵∠OPC=∠OP A ,OB ⊥PC ,∴OA=OB ,即d=r ,∴PC 是⊙O 的切线;的切线;(2)∵P A 、PC 是⊙O 的切线,∴PA=PB ,又∵AB=AP=4,∴△P AB 是等边三角形,∴∠APB=60°,∴∠AOB=120°,∠POA=60°,在Rt △AOP 中,tan60°tan60°==4OA ,∴OA=433,∴431203180AB l p ´´==839p .考点:1.切线的判定与性质;2.弧长的计算;3.作图—基本作图.基本作图.16.如图,AC 是⊙O 的直径,点B 在⊙O 上,∠ACB=30°.(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD ,交AC 于点E ,交⊙O 于点D ,连接CD (保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)所作的图形中,求△ABE 与△CDE 的面积之比.的面积之比.【答案】(1)作图见试题解析;(2)12.试题解析:(1)如图所示;)如图所示;考点:1.作图—复杂作图;2.圆周角定理..圆周角定理.17.)图①,图②,图③都是4×4×44的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1.在图①,图②中已画出线段AB,在图③中已画出点A.按下列要求画图:图:为一边画一个等腰三角形;(1)在图①中,以格点为顶点,AB为一边画一个等腰三角形;为一边画一个正方形;(2)在图②中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;(3)在图③中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上,画一个面积最大的正方形.)作图见试题解析.【答案】(1)作图见试题解析;(2)作图见试题解析;(3)作图见试题解析.【解析】【解析】的等腰三角形即可; 试题分析:(1)根据勾股定理,结合网格结构,作出两边分别为5的等腰三角形即可;的正方形;(2)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出边长为5的正方形;(3)根据勾股定理逆定理,结合网格结构,作出最长的线段作为正方形的边长即可.个:试题解析:(1)如图①,符合条件的C点有5个:;的面积最大.(3)如图③,边长为10的正方形ABCD的面积最大..考点:作图—应用与设计作图.考点:作图—应用与设计作图.18.)图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均,每个小正方形的顶点叫做格点.为1,每个小正方形的顶点叫做格点.(1)在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上,且∠MON=90°;(2)在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍,并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形,且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).【答案】(1)答案见试题解析;(2)答案见试题解析.)答案见试题解析.所示;试题解析:(1)如图1所示;(2)如图2、3所示;所示;考点:作图—应用与设计作图.考点:作图—应用与设计作图. 19.)如图,已知Rt △ACB 中,∠C =90°,∠BAC =45°. (1)(4分)用尺规作图,在CA 的延长线上截取AD =AB ,并连接BD (不写作法,保留作图痕迹); (2)(4分)求∠BDC 的度数;的度数; (3)(4分)定义:在直角三角形中,一个锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即的对边的邻边A A A ÐÐ=cot ,根据定义,利用图形求cot22.5°的值.的值.【答案】(1)答案见试题解析;(2)22.5°;(3)21+.试题解析:(1)如图,)如图,(2)∵AD=AB ,∴∠ADB=∠ABD ,而∠BAC=∠ADB+∠ABD ,∴∠ADB=12∠BAC=12×45°45°=22.5°=22.5°,即∠BDC 的度数为22.5°;(3)设AC=x ,∵∠C=90°,∠BAC=45°,∴△ACB 为等腰直角三角形,∴BC=AC=x ,AB=2AC=2x ,∴AD=AB=2x ,∴CD=2x x +=(21)x +,在Rt △BCD 中,cot∠BDC=DC BC =(21)xx+=21+,即cot22.5°cot22.5°==21+. 考点:1.作图—复杂作图;2.解直角三角形;3.新定义;4.综合题..综合题.20.)如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°.(1)尺规作图:作⊙C ,使它与AB 相切于点D ,与AC 相交于点E ,保留作图痕迹,不写作法,请标明字母;作法,请标明字母;(2)在你按(1)中要求所作的图中,若BC=3,∠A=30°,求DE 的长.的长.【答案】(1)作图见试题解析;(2)32p .试题解析:(1)如图,)如图,⊙C 为所求;为所求;(2)∵⊙C 切AB 于D ,∴CD ⊥AB ,∴∠ADC=90°,∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°30°=60°=60°,∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°,在Rt △BCD 中,∵cos ∠BCD=CD BC ,∴CD=3cos30°CD=3cos30°==332,∴DE 的长=33602180p ×=32p. 考点:1.作图—复杂作图;2.切线的性质;3.弧长的计算;4.作图题..作图题.21.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠DAC 是△ABC 的一个外角.的一个外角. 实验与操作:实验与操作:根据要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法) (1)作∠DAC 的平分线AM ;(2)作线段AC 的垂直平分线,与AM 交于点F ,与BC 边交于点E ,连接AE ,CF . 猜想并判断四边形AECF 的形状并加以证明.的形状并加以证明.【答案】(1)作图见试题解析;(2)作图见试题解析,四边形AECF 的形状为菱形.的形状为菱形. 【解析】【解析】考点:1.作图—复杂作图;2.角平分线的性质;3.线段垂直平分线的性质;4.作图题;5.探究型;6.菱形的判定..菱形的判定.22.在边长为1的小正方形组成的方格纸中,的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a ,边界上的格点数为b ,则格点多边形的面积可表示为1-+=nb ma S ,其中m ,n 为常数.为常数. (1)在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;、菱形;(2)利用(1)中的格点多边形确定m ,n 的值.的值.【答案】(1)答案见试题解析;(2)112m n =ìïí=ïî.(2)∵格点多边形内的格点数为a ,边界上的格点数为b ,则格点多边形的面积可表示为:1-+=nb ma S ,其中m , n 为常数,为常数,∴三角形:3816S m n =+-=,平行四边形:3816S m n =+-=,菱形:5416S m n =+-=,则38165416m n m n +-=ìí+-=î,解得:112m n =ìïí=ïî. 考点:作图—应用与设计作图.考点:作图—应用与设计作图.23.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为a ,b ,c ,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度.的整数个单位长度. (1)用记号(a ,b ,c )(a≤b≤c )表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形.个单位长度的一个三角形.请列举出所有满足条件的三角形.(2)用直尺和圆规作出三边满足a <b <c 的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).【答案】(1)共9种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4);(2)答案见试题解析.)答案见试题解析. 【解析】【解析】 试题分析:(1)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形;)应用列举法,根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形;(2)首先判断满足条件的三角形只有一个:a=2,b=3,c=4,再作图:①作射线AB ,且取AB=4;②以点A 为圆心,3为半径画弧;以点B 为圆心,2为半径画弧,两弧交于点C ; ③连接AC 、BC .则△ABC 即为满足条件的三角形.即为满足条件的三角形.考点:1.作图—应用与设计作图;2.三角形三边关系..三角形三边关系.24.各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形..各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何计算如何计算它的面积?奥地利数学家皮克(G•Pick ,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式121-+=b a S ,其中a 表示多边形内部的格点数,b 表示多边形边界上的格点数,S 表示多边形的面积.如图,4=a ,6=b ,616214=-´+=S .(1)请在图中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积.个格点,并写出它的面积.(2)请在图乙中画一个格点三角形,使它的面积为27,且每条边上除顶点外无其它格点.(注:图甲、图乙在答题纸上)(注:图甲、图乙在答题纸上)【答案】. 【解析】【解析】 试题分析:(1)根据皮克公式画图计算即可;)根据皮克公式画图计算即可;(2)根据题意可知a=3,b=3,画出满足题意的图形即可.,画出满足题意的图形即可. 试题解析:(1)方法不唯一,如图①或图②所示:)方法不唯一,如图①或图②所示:(2)方法不唯一,如图③或图④所示:)方法不唯一,如图③或图④所示:考点:作图—应用与设计作图.考点:作图—应用与设计作图. 25.【问题提出】【问题提出】用n 根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?,能搭成多少种不同的等腰三角形? 【问题探究】【问题探究】不妨假设能搭成m 种不同的等腰三角形,为探究m 与n 之间的关系,我们可以先从特殊入手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论.手,通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论. 【探究一】【探究一】(1)用3根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? 此时,显然能搭成一种等腰三角形.此时,显然能搭成一种等腰三角形.所以,当n=3时,m=1.(2)用4根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况,不能搭成三角形.根木棒这一种情况,不能搭成三角形. 所以,当n=4时,m=0.(3)用5根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? 若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒,则不能搭成三角形.根木棒,则不能搭成三角形.若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒,则能搭成一种等腰三角形.根木棒,则能搭成一种等腰三角形. 所以,当n=5时,m=1.(4)用6根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒,则不能搭成三角形.根木棒,则不能搭成三角形.若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形.根木棒,则能搭成一种等腰三角形.所以,当n=6时,m=1. 综上所述,可得:表①综上所述,可得:表①n 3 4 5 6 m 1 0 1 1 【探究二】【探究二】(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形?根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的三角形? (仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)(仿照上述探究方法,写出解答过程,并将结果填在表②中)(2)用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形? (只需把结果填在表②中)(只需把结果填在表②中) 表②表②n 7 8 9 10 m 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究,…【问题解决】:用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?(设n是正整数,把结果填在表③中)分别等于4k﹣1,4k,4k+1,4k+2,其中k是正整数,把结果填在表③中)表③表③n 4k﹣1 4k 4k+1 4k+2 m 【问题应用】:(写能搭成多少种不同的等腰三角形?(写用2016根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余),能搭成多少种不同的等腰三角形?根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)(只填结果)出解答过程),其中面积最大的等腰三角形每腰用了,其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒.(只填结果)【答案】【探究二】:2;1;2;2;【问题解决】:k;k﹣1;k;k;【问题应用】:672.根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?试题解析:(1)用7根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?此时,能搭成二种等腰三角形,即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒,则能搭成一种等腰三角形三角形根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?用10根相同的木棒搭一个三角形,能搭成多少种不同的等腰三角形?根木棒,则能搭成一种等腰三角形分成3根木棒、3根木棒和4根木棒,则能搭成一种等腰三角形根木棒,则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒,则能搭成一种等腰三角形所以,当n=10时,m=2.故答案为:2;1;2;2.问题解决:由规律可知,答案为:k;k﹣1;k;k.问题应用:2016÷2016÷4=5044=504,504﹣1=503,当三角形是等边三角形时,面积最大,2016÷2016÷3=6723=672,∴用2016根相同的木棒搭一个三角形,能搭成503种不同的等腰三角形,其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒.根木棒.考点:1.作图—应用与设计作图;2.三角形三边关系;3.等腰三角形的判定与性质;4.探究型;5.综合题;6.压轴题..压轴题.【2014年题组】年题组】1.)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A ′O ′B ′=∠AOB 的依据是( )A .SASB .SSSC .ASAD .AAS 【答案】B .考点:作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.考点:作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.2.模)如图,AD 为⊙O 的直径,作⊙O 的内接正三角形ABC ,甲、乙两人的作法分别如下:下:甲:①作OD 的垂直平分线,交⊙O 于B ,C 两点.两点. ②连接AB ,AC .△ABC 即为所求作的三角形.即为所求作的三角形.乙:①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.两点.即为所求作的三角形.②连接AB,BC,CA.△ABC即为所求作的三角形.对于甲、乙两人的作法,可判断( )对于甲、乙两人的作法,可判断(A.甲、乙均正确.甲、乙均错误.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误C.甲正确,乙错误.甲错误,乙正确.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确【答案】A.【解析】【解析】试题分析:根据甲的思路,作出图形如下:试题分析:根据甲的思路,作出图形如下:连接OB,BD,∵OD=BD,OD=OB,∴OD=BD=OB,∴△BOD为等边三角形,∴∠OBD=∠BOD=60°,又BC垂直平分OD,∴OM=DM,∴BM为∠OBD的平分线,∴∠OBM=∠DBM=30°,又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,∴∠BAO=∠ABO=30°,∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,同理∠ACB=60°,∴∠BAC=60°,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,∴△ABC 为等边三角形,故乙作法正确,故选A 考点:垂径定理;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.度角的直角三角形.3.)如图,BC与CD重合,∠ABC=∠CDE=90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑),并直接写出旋转角度是,并直接写出旋转角度是 .【答案】90°.°.【解析】【解析】试题分析:如图所示:旋转角度是90°.°.考点:作图-旋转变换.旋转变换.4.)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:中,按以下步骤作图:①分别以B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;两点;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为的度数为 【答案】105°.°.考点:作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.考点:作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.5.)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于12AC长为半径画弧,。

中考数学必考考点专题32尺规作图含解析

中考数学必考考点专题32尺规作图含解析

专题32 尺规作图问题专题知识回顾1.尺规作图的定义:只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作,完成画图的一种作图方法.尺规作图可以要求写作图步骤,也可以要求不一定要写作图步骤,但必须保留作图痕迹。

2.尺规作图的五种基本情况:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作已知线段的垂直平分线;(4)作已知角的角平分线;(5)过一点作已知直线的垂线。

3.对尺规作图题解法:写出已知,求作,作法(不要求写出证明过程)并能给出合情推理。

4.中考要求:(1)能完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线.(2)能利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形.(3)能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.(4)了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明).专题典型题考法及解析【例题1】(2019•湖南长沙)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数是()A.20°B.30°C.45°D.60°【答案】B【解析】根据内角和定理求得∠BAC=60°,由中垂线性质知DA=DB,即∠DAB=∠B=30°,从而得出答案.在△ABC中,∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°,由作图可知MN为AB的中垂线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=30°。

【例题2】(2019山东枣庄)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.【答案】见解析。

初中数学尺规作图专题讲解

初中数学尺规作图专题讲解
初中数学尺规作图专题
八年级下册(北师大版)
尺规作图是起源于古希腊的数学课题, 是指用没有刻度的直 尺和圆规作图。其中直尺必须没有刻度, 只能用来作直线、 线段、 射线或延长线段;圆规可以开至无限宽, 但上面也不 能有刻度, 只能用来作圆和圆弧. 因此, 尺规作图与一般 的画图不同, 一般画图可以动用一切画图工具, 包括三角尺、 量角器等, 在操作过程中可以度量, 但尺规作图在操作过程 中是不可以度量的. 1、尺规作图规范用语
2、尺型(掌握基础才能挑战复杂题型) 基本作图一:作一条线段等于已知线段。
基本作图二:作一个角等于已知角。
基本作图三:作已知线段的垂直平分线。 基本作图四:作已知角的角平分线 基本作图五:过一点作已知直线的垂线。
4、典型例题分析
5、题目练习
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初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象,仅限于直线、圆以及由它们(或一部分)所组成的图形,因此作图的工具,习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法,叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条:⑴经过两已知点可以画一条直线;⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆;或两已知圆,如果相交,可以求出交点;以上三条,叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线;用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题,不管多么复杂,如果能反复应用上述三条作图公法,经过有限的次数,作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题;否则,就称为尺规作图不能问题.历史上,最著名的尺规作图不能问题是:⑴三等分角问题:三等分一个任意角;⑵倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题:作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年,万芝尔(Pierre Laurent Wantzel)首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题;1882年,德国数学家林德曼(Ferdinand Lindemann)证明π是一个超越数(即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数),由此即可推得根号π(即当圆半径1r=时所求正方形的边长)不可能用尺规作出,从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此,仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题:⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规,作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形.·只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,因为正七边形是不能由尺规作出的.·只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因为单用直尺和圆规,是不足以把一个角分成三等份的.·问题的解决:高斯,大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积,解决了两千年来悬而未决的难题.⑵四等分圆周只准许使用圆规,将一个已知圆心的圆周4等分.这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的,向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸:用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图1.只用直尺及生锈圆规作正五边形2.生锈圆规作图,已知两点A、B,找出一点C使得AB BC CA==.3.已知两点A、B,只用半径固定的圆规,求作C使C是线段AB的中点.4.尺规作图,是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年,有人证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出!从已知点作出新点的几种情况:两弧交点、直线与弧交点、两直线交点 ,在已有一个圆的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出!. 五种基本作图:初中数学的五种基本尺规作图为:1.做一线段等于已知线段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分线 4.过一点做一已知线段的垂线5.做一线段的中垂线下面介绍几种常见的尺规作图方法:⑴ 轨迹交点法:解作图题的一种常见方法.解作图题常归结到确定某一个点的位置.如果这两个点的位置是由两个条件确定的,先放弃其中一个条件,那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹;若改变放弃另一个条件,这个点就在另一条轨迹上,故此点便是两个轨迹的交点.这个利用轨迹的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法,或称交轨法、轨迹交截法、轨迹法.【例1】 电信部门要修建一座电视信号发射塔,如下图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等,到两条高速公路m 、n 的距离也必须相等,发射塔P 应修建在什么位置?m【分析】 这是一道实际应用题,关键是转化成数学问题,根据题意知道,点P 应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点P 应是它们的交点.【解析】 ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD 或OE ;⑵ 作线段AB 的垂直平分线FG ;则射线OD ,OE 与直线FG 的交点1C ,2C 就是发射塔的位置.【例2】 在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(4,0),O 是坐标原点,在直线3y x =+上求一点P ,使AOP∆是等腰三角形,这样的P 点有几个?【解析】 首先要清楚点P 需满足两个条件,一是点P 在3y x =+上;二是AOP ∆必须是等腰三角形.其次,寻找P 点要分情况讨论,也就是当OA OP =时,以O 点为圆心,OA 为半径画圆,与直线有两个点1P 、2P ;当OA AP =时,以A 点为圆心,OA 为半径画圆,与直线无交点;当PO PA =时,作OA 的垂直平分线,与直线有一交点3P ,所以总计这样的P 点有3个.【例3】 设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r 的圆,使其与O ⊙及'O ⊙外切.rr【分析】 设M ⊙是符合条件的圆,即其半径为r ,并与O ⊙及'O ⊙外切,显然,点M 是由两个轨迹确定的,即M 点既在以O 为圆心以R r +为半径的圆上,又在以'O 为圆心以'R r +为半径的圆上,因此所求圆的圆心的位置可确定.若O ⊙与'O ⊙相距为b ,当2r b <时,该题无解,当2r b =有唯一解;当2r b >时,有两解.【解析】 以当O ⊙与'O ⊙相距为b ,2r b >时为例:⑴ 作线段OA R r =+,''O B R r =+.⑵ 分别以O ,'O 为圆心,以R r +,'R r +为半径作圆,两圆交于12,M M 两点. ⑶ 连接1OM ,2OM ,分别交以R 为半径的O ⊙于D 、C 两点. ⑷ 分别以12M M ,为圆心,以r 为半径作圆. ∴12,M M ⊙⊙即为所求.【思考】若将例3改为:“设O ⊙与'O ⊙相离,半径分别为R 与'R ,求作半径为r ()r R >的圆,使其与O ⊙ 内切,与'O ⊙外切.”又该怎么作图?⑵ 代数作图法:解作图题时,往往首先归纳为求出某一线段长,而这线段长的表达式能用代数方法求出,然后根据线段长的表达式设计作图步骤.用这种方法作图称为代数作图法.【例4】 只用圆规,不许用直尺,四等分圆周(已知圆心).【分析】 设半径为1..我们的任务就是做出这个长度..1长度自然就出来了.【解析】 具体做法:⑴ 随便画一个圆.设半径为1.⑵ 先六等分圆周.⑶ 以这个距离为半径,分别以两个相对的等分点为圆心,同向作弧,交于一点.(“两个相对的等分点”其实就是直径的两端点啦!两弧交点与“两个相对的等分点”形成的是一个底为2,等腰三角形..) ⑷【例5】 求作一正方形,使其面积等于已知ABC ∆的面积.【分析】 设ABC ∆的底边长为a ,高为h ,关键是在于求出正方形的边长x ,使得212x ah =,所以x 是12a 与h 的比例中项.【解析】 已知:在ABC ∆中,底边长为a ,这个底边上的高为h ,求作:正方形DEFG ,使得:ABC DEFG S S ∆=正方形haDCBANM作法:⑴ 作线段12MD a =;⑵ 在MD 的延长线上取一点N ,使得DN h =;⑶ 取MN 中点O ,以O 为圆心,OM 为半径作O ⊙; ⑷ 过D 作DE MN ⊥,交O ⊙于E , ⑸ 以DE 为一边作正方形DEFG . 正方形DEFG 即为所求.【例6】 在已知直线l 上求作一点M ,使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线,其切线长为a .al【分析】 先利用代数方法求出点M 与圆心O 的距离d ,再以O 为圆心,d 为半径作圆,此圆与直线l 的交点即为所求.【解析】 ⑴ 作Rt OAB ∆,使得:90A ∠=︒,OA r =,AB a =.⑵ 以O 为圆心,OB 为半径作圆.若此圆与直线l 相交,此时有两个交点1M ,2M . 1M ,2M 即为所求.若此圆与直线l 相切,此时只有一个交点M .M 即为所求.若此圆与直线l 相离,此时无交点.即不存在这样的M 点使得过M 作已知半径为r 的O ⊙的切线,其切线长为a .⑶ 旋转法作图:有些作图题,需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度,以使已知图形与所求图形发生联系,从而发现作图途径.【例7】 已知:直线a 、b 、c ,且a b c ∥∥.求作:正ABC ∆,使得A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.c ba D'DCB Acba【分析】 假设ABC ∆是正三角形,且顶点A 、B 、C 三点分别在直线a 、b 、c 上.作AD b ⊥于D ,将ABD ∆绕A 点逆时针旋转60︒后,置于'ACD ∆的位置,此时点'D 的位置可以确定.从而点C 也可以确定.再作60BAC ∠=︒,B 点又可以确定,故符合条件的正三角形可以作出.【解析】 作法:⑴ 在直线a 上取一点A ,过A 作AD b ⊥于点D ; ⑵ 以AD 为一边作正三角形'ADD ; ⑶ 过'D 作''D C AD ⊥,交直线c 于C ;⑷ 以A 为圆心,AC 为半径作弧,交b 于B (使B 与'D 在AC 异侧). ⑸ 连接AB 、AC 、BC 得ABC ∆.ABC ∆即为所求.【例8】 已知:如图,P 为AOB ∠角平分线OM 上一点.求作:PCD ∆,使得90P ∠=︒,PC PD =,且C 在OA 上,D 在OB 上.OD'O【解析】 ⑴ 过P 作PE OB ⊥于E .⑵ 过P 作直线l OB ∥;⑶ 在直线l 上取一点M ,使得PM PE =(或'PM PE =); ⑷ 过M (或'M )作MC l ⊥(或'M C l ⊥),交OA 于C (或'C )点;⑸ 连接PC (或'PC ),过P 作PD PC ⊥(或''PD PC ⊥)交OB 于D (或'D )点. 连接,PD CD (或',''PD C D ). 则PCD ∆(或''PC D ∆)即为所求.⑷ 位似法作图:利用位似变换作图,要作出满足某些条件的图形,可以先放弃一两个条件,作出与其位似的图形,然后利用位似变换,将这个与其位似得图形放大或缩小,以满足全部条件,从而作出满足全部的条件.【例9】 已知:一锐角ABC ∆.求作:一正方形DEFG ,使得D 、E 在BC 边上,F 在AC 边上,G 在AB 边上.C BAG'F'E'D'G FED CBA【分析】 先放弃一个顶点F 在AC 边上的条件,作出与正方形DEFG 位似的正方形''''D E F G ,然后利用位似变换将正方形''''D E F G 放大(或缩小)得到满足全部条件的正方形DEFG .【解析】 作法:⑴ 在AB 边上任取一点'G ,过'G 作''G D BC ⊥于'D⑵ 以''G D 为一边作正方形''''D E F G ,且使'E 在'BD 的延长线上. ⑶ 作直线'BF 交AC 于F .⑷ 过F 分别作''FG F G ∥交AB 于G ;作''FE F E ∥交BC 于E . ⑸ 过G 作''GD G D ∥交BC 于D . 则四边形DEFG 即为所求.⑸ 面积割补法作图:对于等积变形的作图题,通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形,再借助平行线补上一个等底等高的另一个三角形,使面积不变,从而完成所作图形.【例10】 如图,过ABC ∆的底边BC 上一定点,P ,求作一直线l ,使其平分ABC ∆的面积.【分析】 因为中线AM 平分ABC ∆的面积,所以首先作中线AM ,假设PQ 平分ABC ∆的面积,在AMC ∆中先割去AMP ∆,再补上ANP ∆.只要NM AP ∥,则AMP ∆和AMP ∆就同底等高,此时它们的面积就相等了.所以PN 就平分了ABC ∆的面积.【解析】 作法:⑴ 取BC 中点M ,连接,AM AP ; ⑵ 过M 作MN AP ∥交AB 于N ; ⑶ 过P 、N 作直线l . 直线l 即为所求.【例11】 如图:五边形ABCDE 可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成.⑴ 请你作一条直线l ,使直线l 平分五边形ABCDE 的面积; ⑵ 这样的直线有多少条?请你用语言描述出这样的直线.FED CBAMFDCBFD CB【解析】 ⑴ 取梯形AFDE 的中位线MN 的中点O ,再取矩形BCDF 对角线的交点'O ,则经过点O ,'O 的直线l 即为所求;NM P CB Al⑵ 这样的直线有无数条.设⑴中的直线l 交AE 于Q ,交BC 于R ,过线段RQ 中点P ,且与线段AE 、BC 均有交点的直线均可平分五边形ABCDE 的面积.【例12】 (07江苏连云港)如图1,点C 将线段AB 分成两部分,如果AC BCAB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S SS S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线.⑴ 研究小组猜想:在ABC △中,若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线.你认为对吗?为什么?⑵ 请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?⑶ 研究小组在进一步探究中发现:过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线.请你说明理由. ⑷ 如图4,点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点,过点E 作EF AD ∥,交DC 于点F ,显然直线EF 是ABCD 的黄金分割线.请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点.【解析】 ⑴ 直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h .12ADC S AD h =△,12BDC S BD h =△,12ABC S AB h =△,∴ADC ABC S AD S AB =△△,BDC ADC S BDS AD=△△.又∵点D 为边AB 的黄金分割点,∴AD BD AB AD=.∴ADC BDCABC ADCS S S S =△△△△.∴直线CD 是ABC △的黄金分割线.⑵ ∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212S S S ==,即121S S S S ≠,图1A DB图2CAD B图3CF E 图4∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线. ⑶ ∵DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等, ∴DECFCE S S =△△.设直线EF 与CD 交于点G ,∴DGE FGC S S =△△.∴ADCFGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形,BDC BEFC S S =△四边形.又∵ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△,∴BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△. ∴直线EF 也是ABC △的黄金分割线. ⑷ 画法不惟一,现提供两种画法;画法一:如答图1,取EF 中点G ,再过点G 作一直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线.画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ,连接MN ,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线.(答案图1)(答案图2)。

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