巧思妙解
一元一次方程之巧思妙解
一元一次方程之巧思妙解
解一元一次方程的通常步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、把系数化为1.但是对于有些具备特殊性的一元一次方程，我们完全可以打破常规，灵活、巧妙地变通解题步骤，避繁就简，使解题过程简捷明了. 下面介绍几种技巧，供同学们参考.
一、巧去括号
分析：如果按例1使括号前的系数依次相乘，解题过程会变得非常复杂.这时要充分利用方程特点，将方程两边同乘以或除以某数，是括号前的系数变成1，从而去掉括号.
解：方程两边同乘以3，去掉大括号，然后
二、巧拆项
分析：观察方程的特点，可先将每个含有分母的多项式拆开，分类合并，可简化过程.
分析：观察各项未知数的系数和常数
三、巧换元
分析：将（x-1）看成一个整体，用换元法，可大大简化运算.
四、巧用分式的基本性质
分析：若直接去分母较繁，观察本题可先用分数的基本性质，使化分数和去分母一次到位，从而避免了繁杂的运算.
五、巧分组通分
分析：观察四个分母的数字特点，采用移项后分组通分，即将分母是21和14的两项放在一组，另外两项成一组，可巧解方程.
分析：注意到左边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数3，左边的第二项和右边的第一项中的分母有公约数4，移项局部通分，可简化解题过程.。
巧思妙解
巧思妙解
在“图形变换”这一单元里，我们利用旋转图形，绘制出了很多很美的图案，让我们赏心悦目。
其实，在解决一些比较难的题时，利用旋转的知识，将图形进行变换，会使很复杂的题，变得非常容易。
【趣题点击】
用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，
一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，
一张黄色的正方形纸片，如图所示拼成一个
直角三角形。
问红、蓝两张三角形纸片面积
之和是多少
【解题锦囊】
这道题乍一看好像缺少条件，每个三角形只告诉一个条件是绝对不能求出它的面积的。
但是，只要我们认真分析这道题的问题，它为什么要我们求蓝色与红色的和呢？是不是蓝色的面积与红色的面积有什么联系？想想它为什么要告诉我们黄色的是正方形，于是，我们很快就能找到
蓝色的与红色的它们的联系，就是它们分别有一
条直角边是一样长的。
然后，利用我们学过的旋
转知识，将红色的三角形绕A 点旋转，如右图，
这时，蓝色与红色三角形的面积之和就是一个大
三角形了，它的面积是：29×49÷2＝710.5
知道了利用旋转解题很重要吧。
那就试试。
两个边长为2cm 的正方形，其中一个的顶点在另一个的中心上如下图，求这两个正方形不重合部分的面积和。
（提示：图中两个阴影部分的面积相等。
）
49 29。
立体几何巧思妙解之割补法
立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。
一 、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。
如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。
若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。
巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH A CB S -，1//,EF AA ∴Q 异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。
故选C 。
二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC ，234,10,241PA BC PB AC PC AB ======，则三棱锥子P —ABC 的体积为（ ）。
4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。
若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。
巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。
PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。
巧思妙解巧思妙解100例
巧思妙解巧思妙解100例巧思妙解100例巧思妙解100例这个寒假,挖读了一本数学阅读,名叫《巧思妙解100例》。
这本书里的王小聪和唐小东等人，都是数学高手，他们以一个又一个生动、有趣的故事来向我们展现了许多典型的题目。
这本书我看过一遍后，还想再看一遍。
书里的题目丰富多彩，有乘除法的知识，有随机应变的找规律，有十分有趣的几何知识，有混合运算知识，还有字母与方程.......这些题目都会让你在读故事中获得快乐和许多解题思路与突破口。
这本书里的题目可都是经典例题。
例如，“通过第一题的角逐，有四分之一的同学被淘汰了；紧接着是第二题，剩下的三分之一也被淘汰了；最后一道题过后，剩下人数的二分之一也被淘汰了，剩下了30人。
你知道一共有多少人参加比赛吗？”这一题给我们介绍了如何正确地使用倒推法进行推算，得到最初的数量。
又例如，“张、刘、李三位老师在语文、数学、美术三门课中，每人各教一门。
张老师说：‘我不教数学。
’刘老师说：‘我既不教语文也不教数学。
’请你说出这三位老师各教什么课？”让我们更进一步熟悉了假设和推理的应用......在整本书里，除了例题以外，还不乏一些有意思的幽默搞笑。
就像“‘是123！‘我的也是123！’大家都喊了起来。
‘就是就是，这123就像是如来佛的手掌，所有的数都逃不出啊！’”这本《巧思妙解100例》十分有趣。
希望大家有时间也来读读这本书。
巧思妙解100例相关内容:雪趣大年初一，爸爸一起床，便惊叫道下雪了！我一听，急急忙忙穿上衣服，冲到阳台观赏雪景。
窗外，一片白茫茫，房顶披上了银装，大地铺上了白毛毯，花园里的树枝上缀满了毛茸茸的雪花，远远望去，真是忽如一度春风来，千树万树梨花开呀！...生活需要情趣语文老师曾扼腕叹息：你们的生活太单调了，是呀，以学业为最终使命的我们，无意间，丢掉了许多生活的乐趣。
平凡生活，也需要些许爱好作为点缀，才不会显得乏味苍白。
生物老师曾要求我们观察一株绿色开花植物的生长过程。
数学巧思妙解活动感想
数学巧思妙解活动感想数学是一门充满智慧和趣味的学科，它需要我们思维敏捷、逻辑清晰，同时也需要我们具备丰富的想象力和创造力。
在日常学习和生活中，我们经常会遇到一些让人头疼的数学难题，有时候我们会觉得数学很难，但是只要我们用心去思考，一定能够找到解题的方法。
数学巧思妙解活动正是为了激发学生对数学的兴趣和热爱而设计的，通过这个活动，我不仅收获了解题的技巧，还找到了乐趣，下面就来分享一下我的感想。
数学巧思妙解活动是一次集思广益的活动，对参与者的数学思维和解题能力提出了很高的要求。
在活动中，我们遇到了一些非常有难度的数学问题，有的是数学题，有的是数学游戏，有的是数学推理，每一道题都需要我们细心地去分析和思考，不仅需要我们具备扎实的数学基础，还需要我们灵活运用各种解题方法。
有时候，我们会用到一些在课堂上学不到的方法，比如巧妙地利用数学定理和公式，或者灵活地运用逻辑推理和数学思维，这些都让我受益匪浅。
在活动中，我发现了一些有趣的解题技巧，比如数学游戏中的“数学对抗战”，这个游戏需要我们根据给定的数字，通过加减乘除等运算符号，使得表达式的值等于给定的目标数字。
在游戏中，我发现了一种快速解题的方法，就是利用数学定理和公式，把目标数字拆分成一系列的数字，然后通过运算符号把这些数字组合起来，得到目标数字。
这种方法不仅让我解题更快，还可以锻炼我的思维能力和计算能力。
另外，在解题过程中，我还发现了一些有趣的规律和技巧，比如利用数学归纳法和递推关系，来描述一些数列的特点和规律，这些都给了我很大的启发。
除了解题技巧，数学巧思妙解活动还让我找到了解题的乐趣。
在活动中，我发现了一种解题的快感，当我成功解出一道难题时，我会感到一种成就感和满足感，这种感觉让我更加热爱数学，也让我更加努力地去学习和思考。
有时候，我会和同学一起合作解题，我们互相讨论和交流，通过不断地碰撞和思考，我们会找到更好的解题方法，这种合作解题的过程让我觉得很有趣，也让我受益匪浅。
巧思妙解求个数
个， 得到俯 视 图中每 个小正方形 相应位 置上 的正 方
体货箱 的个数 （ 如图 ７ ， ）于是求得这些 正方体货箱的个 数是 １＋ ２＋１＋１ ３＋ ＋１＝９故选 Ｃ这堆正方体小货 ． ．
零 ① ３
①２ ①１
１
３ ２
数依次为 ３ ２ １ 将数字填入俯视 图中从上 到下 的 ， ，， 每行小正方形中， 图 ６ 如 所示每个小正方形内不带
４７
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
形的个数依次为 ２ １１ 将数字填入俯视 图中从 左 ，， ，
．
菇 ， 荔
中学数 学杂 志
２ １ 第 ４期 ００年
圈 的数 字． 取 图 ６中每个小正方形 内填人的一对数 中较小 的
观察左视图， 从左到右每列 中的小正方形的个数
依次为 １２将数字填入俯视 图中从上到下 的每行小正 ，， 方形 中， 图 ２中每个 小正方形 内不带圈的数字 如
② １ ②
２
立方块组成的几何体 的三视图 ， 能不能求出这个几
何体 所需 的小 立方 块 呢？
我们 可 以先根 据 主视 图和左 视 图确 定 出俯视 图
中每 个小 正方 形相 应位 置上 的小 正 方 块 的个 数 ， 再
①１ ①
２
１
＿
１ １ １
求出组成这个几何体所需小正方块的个数． 具体方
法如 下 ：
２
第 一步 ： 根据 主视 图 ， 出从 左 到右 每列 中小 正 数
方 形 的个数 ， 在俯 视 图从 左 到 右相 应 的列 中的 每 个
１ １ １
主
俯 视
巧思妙解小学二年级数学应用题
小学二年级数学应用题（巧思妙解）1、一群小朋友在游乐场里划船，原有28人，走里5人又来了17人，现在有多少人？2、仓库里有一些水泥，用去26包，又运来45包，现在仓库里有水泥93包。
仓库里原来有多少包？3、一辆公交车里原有27人，到站点后下去6人，又上来13人，现在车上有多少人？4、广场上插的红旗比黄旗多22面，红旗再添14面，黄旗再添18面，现在哪种旗多？多多少面？5、公园里原来的杨树比柳树少13科，今年植树节那天，又栽了18棵杨树和15棵柳树，现在杨树和柳树哪个多？多多少棵？6、水果店原来苹果比梨树多7筐，又运来12筐和一些苹果，现在苹果还比梨多4筐，又运来了多少筐苹果？7、有三根铁丝，第一根比第二根长10厘米，第二根比第三根短5厘米，已知第三根长15厘米，三根铁丝一共长多少米？8、有一个书架，中层有书32本，比下层少10本比上层多7本，三层一共有书多少本？9、二年级一班有学生54人，比二年级二班多3人，比二年级三班少4人，三个班一共有多少人？10、一瓶水，连瓶重121克，倒掉一半水后连瓶重71克，瓶重多少克？水重多少克？11、一筐香蕉，连筐重25千克，卖出一半香蕉后连筐重13千克。
筐重多少千克？香蕉重多少千克？12、一桶油连桶重42千克，用去一半油后，连桶重23克。
油重多少千克？桶重多少千克？13、小树苗艺术团原有60人，今年暑期有15名同学毕业了，又有13名同学新加入了艺术团，小树苗艺术团现在有多少人？14、一桶水，连桶重36千克，用去一半后，连桶重20千克，满桶水重多少千克？15、操场上有8面黄旗，红旗比黄旗多6面，有多少面红旗？绿旗比黄旗和红旗的总数少2面，有绿旗多少面? 16、商场里有42个红皮球和25个花皮球。
早上有6个人买去19个皮球，现在商店里有多少个皮球？17、菜场原来青菜比萝卜多7筐，后又运来12筐萝卜和9筐青菜，现在青菜多还是萝卜多？多几筐？18、幼儿园有水果糖30块，还有一些奶糖。
巧学妙思 开窍 有解-概述说明以及解释
巧学妙思开窍有解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述巧学妙思，开窍有解，这个主题引发了对知识获取和思维拓展的思考。
在现代社会，知识越来越重要，而独立思考和创新能力也成为了衡量个人能力的重要标准。
本文旨在探索巧学妙思的方法和技巧，以帮助读者开启自己的思维门户，提升解决问题的能力。
学习和思考是人类不断进步的基石，而巧妙地学习和思考则是人们追求进步的关键。
在这个信息爆炸的时代，获取知识的途径变得更加多样化，但要如何巧妙地学习和思考却是一个值得探讨的问题。
巧学妙思的意义在于，它不仅仅是传统学习的简单堆积和机械化地思考，而是通过创新的学习方法和思维模式来提高学习和思考的效果。
在本文的下一部分中，我们将会探讨三个要点，以帮助读者更好地理解巧学妙思的方法。
第一个要点将介绍如何利用多元化的学习途径，如书籍、网络、社交媒体等来拓展自己的知识视野。
第二个要点将探讨如何运用创新的学习技巧，如思维导图、归纳总结等，来提高学习的效果。
第三个要点将分享一些巧妙的思维方法和技巧，如侧写法、逆向思维等，来拓展自己的思维边界。
总结一下，巧学妙思是一种重要的学习和思考方式，它可以帮助我们更好地获取知识和解决问题。
通过多元化的学习途径、创新的学习技巧以及巧妙的思维方法，我们可以开启自己的思维门户，提高解决问题的能力。
在未来，随着科技的发展和社会的进步，巧学妙思将会变得越发重要。
因此，我们应该持续关注并积极探索巧学妙思的方法，以在迅猛变化的时代中不断进步和成长。
1.2 文章结构文章结构部分是展示整篇文章的逻辑框架和组织结构。
通过清晰的结构，读者可以更好地理解文章内容，并更容易获取所需信息。
本文的结构如下：2. 正文2.1 第一个要点2.2 第二个要点2.3 第三个要点文章的正文部分是重点，将详细探讨巧学妙思，如何开窍以及如何得出解决方法。
这三个要点将分别介绍。
首先，在2.1节，我们将探讨第一个要点。
该要点将涉及巧妙学习的重要性，以及如何培养巧思和创造力。
舍去“多余”条件巧思妙解
般解法 由 “ 原计划 每天用糖 １ ０ 千克 ”和计划２ ５０ 月份用糖 ２ ８
天 ，求得计划 用糖 千克 数为 ：１ ０ ８ ４ ０ ０（ 克 ） 由 “ ５ ０Ｘ２ ＝ ２ ０ 千 。 原计 划每天用糖 １ ０ 千克 ”和 “ 天节约 用糖２ ％ ” ，求得 实际 每天用 ０ ５ 每 ０
２ 、机床厂加 工一批机 床 ，计 划每 天加工１ Ｏ ，６ 台 ２ 天可 以完成 任 务。 由于工人的积极性高 ，实际用５ 天就 完成 了任务 ，工作效 率提高了
几分之几７
３ ｌ
１ １
【 ×（一吉）】 ２＝ （ 。这样， 素 １ 一８７ 天） 便除去了 “５０ １０千克” 这个
“ 多余 ”条件。
练 习：
１ 、某化肥 厂要生 产一批化 肥 ，原计 划每 天生产８ 吨 ，１ 天可 以 ０ Ｏ
＾
完 成任务。实 际用７ｔ Ｕ 的 工作效率提高了 － ￣ 苦， ｌ － ２ 几分之几？
糖 的千 克数 ：１ ０ ０× （ 一 ） ２ ０（ 克 ） 又 由所 求的前 两个 ５ １ 士 ：１ ０ 千 。 条件 ，求得计划用糖千克数可供实际所用的天数：４ ０ ０ ０ ３ ２ ０ ÷１ ０ ＝ ５ ２
（ ）。最后 求得 实际 可 多用 的天 数 ：３ — ８ ７（ ） 综合 算式 天 ５ ２＝ 天 。
米数 为 ：１ ０ ÷８ ９ 米 ），修完 剩下 的公路还 要 的天 数为 ： ０Ｘ ８ ＝ ０（
１８ ０ ０÷９ ＝１ （ ）。 ０ 天 ２
巧 妙解 法 如 果 除去 “ ８ ０ ”这 个 “ １０ 米 多余 ” 的条件 ，你 会发
， ）
现 ：根据８ 天修 了全长的专可 以知道 ，修完这条公路共用天数为 ：
巧思妙解的两个途径_一般化与特殊化
ak b k
k= 2
( a1 + a2 +
2
2
+ a k ) ( b 1+ b 2 +
2
2
2
+ b k)
2
收稿日期 : 2006- 10- 11
<
1 1 a 1 b 1 a1 b 1 + a 2 b 2 +
+ a n bn
.
2007 年第 8 期
n
17
ak bk + a k ) ( b1 + b 2+
2
于是 , 不等式的右边可以改写为 8 127 1 8 128= 1- a 14 = 1 1 + + a2 a3 + 1 . a 13
< 1 =
1 2
3+
3
-
3 ( 4- 1) +
1 3 = 2 - n ( n + 1) ( n + 2) . 从而 , 得到 例3
n k= 2
这就由问题特殊性提供了另一个逐项放 大的思路 : a2 a2 1 , 2 2 < 2< a 2 2( a 1 + a 2 ) 2 a 2 a3 a3 1 , 2 2 2 < 2< 3( a 1 + a 2 + a 3 ) 3 a3 a3 a 13 2 2 13( a 1 + a 2 + a 13 1 2 < . 13 a 13 a13
13
=
k= 2 13 k= 2 13
ak (1 + 1 +
2 2
+ 1 ) ( a1 + a2 +
巧思妙解一元一次方程
吉 ） 此 把一 为 个 体移 、并 求 ，简 解 （９因 可 视 一 整 ， 合 再 解可 化 题 一， ９ 项
照
解去 括 ， 一 （ ） （９ ｓ中 号得 吉＋ ＝ ） 古 一 古 一． ９
移 项 ， 一 ＿ ｘ ０ 故 ｘ ０ 得 ＿ ＝ １ ＝ ．
，
四 、 用 相 反 数 的 性 质 巧
总 之 ． 一 元 一 次 方 程 既 要 熟 练 掌 握 解 方 程 的 一 般 方 法 ， 又 不 要 解 但 拘 泥 于 解 方 程 的 常 规 方 法 ， 解 法 僵 化 ， 根 据 题 目 的 特 征 ， 活 变 通 解 使 要 灵 题 步 骤 ． 样才 能收 到事 半功倍 之 效． 这
八 、 项 凑 整 法 移
侈０８
解 方 程 ： ７ ２ｏ ２４ ９ ４
一
一
．
２３
１１ ２３
１１
分 ｓ规 法 先 分 ，细 察注 到 ， 吾 析常 方 是 去 母仔 观 ，意 一 一＝
１故不 去分母 直接 移项 可 得解． ．
解。 移 项 ， ３ 一２ ：１ ｌ， 并 ， ：１ ： 得 ２ ３ １ １ 合 一 得 ．
２ ＋１． ６
＋
１５ ． ＋４
．
Ｏ． ２
０． ５
牛 星 － 猩 虫三 寺堑 一 直 基奎 哇亟 ， 星 丞
的小数 均 可化 为整 数．
量
曼 都 盒 鱼 数 堡 盟
一 砸 旦 子 巾 １
Ｑ
，
丕
５ｘ
＋ —
—
解 方 程 可 化 为 原
即 ２ －２ ｘ ７＋１ ｘ ＝３ ＋８ ＋８ ｘ ． Ｏ
．
２
“巧思妙解”源自递推分析
②假设ｎ 时结论成立 ，ｇ２ ＋ ＝ Ｐ＋
（ ｎＥＮ ． ）
解 ：１ 因 （）
， ） （ ：
（ ０ ， ≤０ 所 以 当 ） 而Ⅱ ， ＞ ∈（ ， ） ０Ｉ时
０； ∈ （ ， ∞） １ ＋ 时 （ ） ｏ 所 ｒ （ ） ＜ ． Ｘ ｘ 在 ｆ
（ ， ） 递 增 ， （ ， ａ） 递 减． ０ １上 在 １＋ 。上
—
ｊ ／ 当 取 ，２ ， １ １ 遍０ ，， …， 并相 ． １３ 一 ｋ ＋２
— — 一 二等价于ｌ ＞ —一 一 １ Ｕ Ｊ—— ／ 一 ｍ ｌ ｌ ｌ —
一
ｋ ２ ＋ （ 一１ ０ ）
— —
＋ｌ ０ １ ＋ 一
－
３＋ ２
， １ ； ，ｐｎ＜ ２ｘ 立． ：ｋ ｌ（｝ （ ） ０ ｇ｜ｘ，－ 成 ．ｘ 令 ＋ Ｊ∈
（ ） 当 遍２， ＜ １ｓ ， 取 ’ ， …并加 ２ ，１＋ ，相， 云…ｎ ｎ ｎ 得争． ＋ｔ（ ＋争… 斛 二） ． ｎ ， ＊ ‘ ２ ＞
，
…
１可 用导数证明 ， （ 过程略 ） 得到
本 没 有 用 到 题 （） 结 论 ， 是 用 数 学 １的 而
归纳 法 证 明．
已 知 函娄
性：
～～ 聃～ 一 琊 ～ 如 （证： … ２明 ） 专 等 ）
（） ２ ＋ 十 ＝ ， 论 函 数 的 单 调 １若 ａ ｂ １０ 讨
２ １２ 然 成 立 ： ＞ｎ ￣
数学教学 通讯（ 教师版 ）
始— — 力 解 哭 题 （ ） 设 置 Ｊ ３ ， （ ） 力 ２作
教学研究＞ 备课参 考
铺．是 值 ．ｊ 垫但赋 —‘ ） ＝（ ｊ． ｎｊ２ ＋／ ＼ ＋＋ 加 得＋＋＋＋＞ｃ 缺 乏 思 路 的指 向性 ， 技 巧 性 较 强 ． ， ÷． 一ｎ ＋ － ｎ “ ， 显得
好题巧思妙解
好的，以下是一些具有巧思妙解的题目：
1. 有一道数学题，要求解一个复杂方程，但是经过反复尝试，
都无法得到正确的答案。
后来，他发现了一种巧妙的方法，可以快
速准确地解决这个问题。
请问，这个巧妙的方法是什么？
答案：这个巧妙的方法是利用数学中的“对数”和“指数”之
间的关系，将方程转化为一个容易求解的形式。
具体来说，他可能
使用了“换底公式”或者“自然对数”等工具，将方程变形为一种
更易于求解的形式。
2. 有一道物理题，要求计算一个物体的重量。
但是题目中只给
出了物体的质量和重力加速度，而且物体处于一个非惯性系中。
请问，如何利用这些信息计算物体的重量？
答案：在非惯性系中，物体的重量会受到额外的力作用。
这个
额外的力等于物体质量乘以非惯性系的加速度乘积。
因此，要计算
物体的重量，可以先计算出非惯性系的加速度，然后再将其乘上物
体的质量即可。
3. 有一道化学题，要求从一种混合物中分离出一种特定的化学
成分。
但是混合物中的其他成分会对这种化学成分产生干扰。
请问，如何利用化学知识快速分离出这种化学成分？
答案：可以利用化学中的“萃取”方法，将混合物中的特定成
分萃取出来。
具体来说，可以选择一种与目标成分不相互作用的溶剂，将混合物中的目标成分萃取出来，然后再将其分离出来。
以上题目都具有巧思妙解的特性，需要运用所学的知识进行深
入思考和灵活运用才能得到正确答案。
巧思妙解
巧思妙解我的求法，妙广东省佛冈县第一小学六（4）班徐俊杰指导老师：黄秀银同学们，通过圆柱体积的学习，你们都知道圆柱的体积计算公式是：圆柱的体积=底面积高，用字母表示：V柱= S底h。
其实，除了这一计算公式外，圆柱的体积还有另一种求法。
我们先来回忆一下，把圆柱转化成我们所学过的立体图形，体积公式的推导过程是：首先把圆柱的底面分成许多相等的扇形（例如分成16份如图1），然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体（如图2，分成的扇形越多，拼成的立体图形就越接于近长方体），这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，高就是圆柱的高。
因为长方体的体积=底面积高，所以圆柱的体积计算公式是：圆柱的体积=底面积高，用字母表示是：V柱= S底h。
我将拼成的近似长方体的立体图形由竖放变成横放（如图3），由此我就会发现了：这个长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半，高等于圆柱的底面半径，所以圆柱体积的另一种计算公式是：圆柱的体积=圆柱侧面积的底面半径，用字母表示是：V柱=s侧r。
例如：一个圆柱的底面半径是5厘米，侧面积是62.8 平方厘一般解法：运用公式V柱= S底h进行计算。
圆柱的底面周长是：3.14 3 2=31.4（厘米）圆柱的高是：62.8 31.4=2（厘米）圆柱的体积是：3.14 52 2=157（立方厘米）巧妙解法：运用公式V柱=s侧r进行计算。
圆柱的体积是： 62.8 5=157（立方厘米）从上面的例子可以看出，用这两个公式算出的结果是一样的，两者相比，第二种解法非常巧妙。
不过，在实际解题时，我们应该根据题中所给出的具体条件，灵活地选择解题方法。
同学们，刚才所讲的求圆柱体积的新方法你一定学会了吧！那就快来动手试试看！练习：一个圆柱的底面直径是6厘米，侧面积是150.72 平方巧算圆的面积王家鹏一个正方形的面积是10平方米，在它的里面画一个最大的圆，求圆的面积。
图 1 图2方法一：如图1，在学了圆的面积S＝πr2以后，我知道了求圆面积的一般方法，即：先求r，再求S。
数学高考中的巧思妙解
剖析 3：同时按 x 、 y 的降幂（即将 x 、 y 同时作为主元）排列可得
x 2 y 2 xy 3( x y 1) ( x 2 2x 1) ( y 2 2 y 1) ( xy x y 1)
( x 1) 2 ( y 1) 2 ( x 1)( y 1)
x 3 3 3 5 y 1 x 2 x 2 4 2 4 4
2
1 3 5 5 y x 1 ( x 1) 2 . 2 4 4 4 1 1 当且仅当 y x 1 0 ， x 1 0 x 1 ， y 时等号成立. 2 2
( x 3) 2 4( x 2 3x 3) 3( x 1) 2 0 .
2 巧思妙解案例2
你会巧思妙解案例2吗？
数学既是神秘深奥的也是好玩有趣的！这就是数学教师独有的高雅的精 神享受！这就是数学王国对数学教师的最高奖赏！这就是数学迷宫吸引无数 人为之疯狂的魅力所在！试题是专家集体智慧结晶，因而这些试题呈现在我 们面前时显得高雅、高质、高贵，但命制试题又是有规律且可掌控的！应该 说绝大部分试题都是在原有试题（包括教科书例题、习题、高考试题、竞赛 试题乃至国际奥赛试题）上进行高质量加工、改编、拼接、组装、引申、拓 展．只是命题专家精心“无痕”“嫁接”，我们在短时间内难以发现“庐山 真面目”而已，这也是数学高深莫测的缘由之一．一旦寻觅到命制原创试题 专家的意图，顺着思路与构思，我们就可以从源头上找到真正的巧思妙解.
2
二、诠释巧思妙解
思维是人脑对客观事物本质属性和内在联系的概括及间接反映.解题就是一种 思维活动.解题不仅要结果，而且要呈现解题活动的必要过程，更要充分暴露解题 的思维.巧思妙解则是解题的最高境界，因此巧思妙解的构思过程就是思维发散的 历程．而发散思维则指大脑在思维时呈现一种扩散状态的思维模式，主要表现为视 野广阔、多维发散，故而发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维 ．巧思妙解有利于培养学生发散思维，优化思维品质，激发创新意识及创造力． 安振平先生指出：“巧思妙解不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 而是一种高思维层次、高智力水平的艺术，是一种独立于史诗、音乐、绘画之外的 数学美．”罗增儒教授指出：“巧思妙解不是低层次技巧的堆切，而是对知识内容 的深层认识．巧思妙解不是特殊技巧的神秘操作，而是对题目结构特征的充分挖掘 ．”基于此，怎样才能对知识内容达到深层次的认识呢？怎样才能对题目的结构特 征进行充分挖掘呢？
巧思妙解(1)
奇思妙解一个十位数，如果各数位上的数字都不相同，那么就称为“十全数”。
现已知一个十全数能被1、2、3……18整除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是多少？【分析与解答】为描述方便，我们将这个十全数表示为4876abcdef。
为使这个数是2和5的倍数，这个数的个位数字，也就是f，一定为0。
为使这个数是4的倍数，这个数的十位数字，也就是e一定是一个偶数，其它偶数都已经使用，因此e一定是2。
十全数的各位数字的和是45，也就是说无论十个数字如何排序，这个数一定是9的倍数（也就一定是3的倍数）。
也就是说，4876abcd20这个数已经能被1、2、3、4、5、6（6=2×3）、9、10（10=2×5）、12（12=3×4）、15（15=3×5）、18（18=2×9）整除，剩下需要考虑的是7、11、13、16、17（16的倍数一定是8的倍数，因此8不用考虑）。
下面从11的倍数来考虑。
这个数的奇数位数字之和是4+7+a+c+2=13+a+c，这个数的偶数字数字之和是8+6+b+d+0=14+b+d，这两组数的差应是11的倍数，而这两组数的和是45，因此这两组数的差应是11或33（几个数的和与差具有相同的奇偶性）。
当两组数的差是11时，较大的一组数的和应是(45+11)÷2=28，较小的一组数的和应是45-28=17。
当两组数的差是33时，较大的一组数的和应是(45+33)÷2=39，较小的一组数的和应是45-39=6。
（此种情况不可能实现）由于17=13+1+3，28=14+5+9，由此可确定a、c的值应是1或3，b、d的值应是5或9。
由此可写出以下4个数：4876153920487619352048763519204876391520这些数中只有4876391520是符合条件的十全数。
”。
巧思妙解应用题
分 钟 后 工 云再 出 发 ， 经 过 ４ 则 Ｏ分 钟 两 人 相 遇． 李 明 与 问 王 云单 独 走 完 Ａ 全 程 各 需 要 多 少 小 时 ？ Ｂ
分析
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本 题 中 的 数 量 关 系 比较 复 杂 ， 然 可 以设 辅 阎
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不断提高 ， 出的方程也越来 越简便． 列
复杂 ， 如果从 多角度 去思 考 ， 可以 发现 比较简 单 的等 则
敛 关 系 ， 而 得 到 较 为 简 洁 的方 程 ． 从
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例 ２ 甲 、 两 人 自 Ａ、 两 地 骑 车 相 向 而 行 ， 人 乙 两 相 遇 在 离 地 ８公 里 处． 遇 后 两 人 继 续 前 进 ， 别 到 相 分
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时， 甲走 了 ８公里 ； 第二次相遇 时 ， 甲走 了（ ＋１ ） ０ 公里． 然 ， 二次相遇时 甲 、 第 乙走 过 的路 程之 和是 第 一次相
遇 时 甲 、 走 过 的 路 程 之 和 的 ３倍 ， 而 ， 二 次 相 遇 时 乙 因 第 甲所 走 过 的 路 程 ， 是 第 一 次 相 遇 时 耳所 走 路 程 的 ３ 也 １
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巧思妙解
例谈比较类选择题的解答技巧
广东省兴宁市第一中学刘凯华
典型例题
明末清初的思想家黄宗羲、顾炎武、王夫之三人被称为进步思想家，主要是因为他们
①反对君主专制独裁，主张“人民为主”
②主张“工商皆本”，强调经世致用
③主张推翻帝制，建立人民主权的国家
④对儒学思想进行了总清算，创建了新的思想体系
A.①②
B.①②③
C.②③
D.①②③④
解法点拨
（1）读题联史
上述试题考查内容为明清之际的活跃思想局面，其出现的原因主要有：经济：商品经济发展，资本主义萌芽产生；阶级：工商业者阶层扩大，要求反封建束缚。
政治：阶级矛盾、民族矛盾尖锐；君主专制空前强化并走向腐朽。
思想：理学日益僵化，八股取士，文字狱等扼杀个性，摧残思想，还有西学东渐，近代西方科技传入中国。
其主要代表人物有：李贽、黄宗羲、顾炎武、王夫之等。
其主要特点有：反传统、反教条；反封建专制；带有一定的民主色彩；反映资本主义萌芽时代的要求。
其主要影响有：进步性：构建起有时代特色的思想体系，使我国传统文化重新焕发生机；一定程度上反映了资本主义萌芽要求，具有明显的民主性和进步性，产生了一定的思想启蒙作用，对近代民主思想产生一定影响。
局限性：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础。
其中，特别值得注意的是，明末清初的三大进步思想家指的是黄宗羲、顾炎武、王夫之，李贽不属于此列，三者的共同主张有：抨击君主专制制度；反对重农抑商，提出工商皆本；主张经世致用。
（2）技巧点拨
上述试题属于比较类选择题，其含义指的是：把具有可比性的事件、人物、现象（如著作、典章制度、观点、主张、内容、经济成果、因素、条件）等放在一起或把同类历史现象在不同的历史时期的表现放在一起，通过分析、归纳、比较，找出异（不同）同（相同）点的题型。
其主要类型有：类比性（即同类相比较）和对比性（不同类或性质相反的事件、人物等进行比较）等。
其特点是：在题干中常用“相同”、“共同”、“相似”、“共性”、“不同”、“差异”、“个性”等问句。
其解题方法为：根据题干要求，结合所学知识和有关常识、根据评价历史人物、事件的方法、标准，进行比较，找出两者的相同点或不同点，从被选项中找出正确答案。
迎刃而解
运用上述解题方法并结合所学知识，明末清初三大进步思想家的共同主张有：政治上反对君主专制，经济上主张工商皆本，思想上主张经世致用，故①②正确。
其局限性为：没有提出新的社会制度，未能形成完整的思想体系；没有从根本上突破儒学（理学）的范畴，没有动摇封建统治的理论基础，故③④错误。
所以，A项为正确答案。
经典再练
关于明末清初三位进步思想家的共同点有（）
①都是传统儒学的背叛者②都反对君主专制
③主张都反映了资本主义萌芽时期的要求④都直接推动了后来的资产阶级革命
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③
答案：D。