高等代数试题及答案

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试试卷

112

3

1n n

n a a a a a -⎤⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的循环矩阵的集合，的子空间.

BA . 1λ

授课教师命题教师或

命题负责人签字年月日院系负责人签

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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷

五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x .

六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,,是V 上的线性变换，且=

.

证明:

的值域与核都是

的不变子空间.

七(10分)设2n 阶矩阵a

b a b A b a

b

a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢

⎥

=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足

()()0p f q f =(零变换)

求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f

S q f =⊕==

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案

一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√

二.解：A =⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1111111111111111，

3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：

11111

,,,)'2222α＝(

，2α＝，

3α＝

，4'α＝.

所以正交阵1

212

102610

2

T ⎡⎢⎢⎢⎢⎢

⎥=⎢⎢-

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

而40'00T AT ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 三.证：(1) ,.A B M ∀∈ 验证,A B kA M +∈即可.

(2) 令1101

01

0011

0n E D E -⎡⎤

⎢⎥

⎢

⎥⎛⎫

⎢

⎥== ⎪⎢⎥⎝⎭

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，D 为循环阵， 00n k k k

E D E -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，(k E 为k 阶单位阵) 则2

1,,

,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++

++，令112(),n n f x a a x a x -=++有

()A f D =.

B M ∀∈，必P ∃上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真.

()()()()AB f D g D g D f D BA ∴===

(3)由上可知：2

1,,,

,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =.

四.解：A 的行列式因子为3

3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==.

所以，不变因子为3

3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3

(2)λ+，

因而A 的Jordan 标准形为21212J -⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

五．证："":()()()

()()()0f x g x q x f A g A q A ⇐=∴==

""⇒：()0,()0f A g A ==

设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ∂<∂. 所以0()()()()f A g A q A r A =+＝, 因而()0r A =. 因为()g x 为最小多项式，所以()0r x =.()|()g x f x ∴. 六．证：在

的核0V 中任取一向量ξ，则

()(

)()()00ξξξξ→

→

====

=

所以ξ在下的像是零，即0V ξ∈．即证明了0V 是

的不变子空间．

在

的值域V 中任取一向量η，则

()()V ηη=∈.

因此，V 也是的不变子空间．

综上，的值域与核都是的不变子空间．

七．解：22

()n

E A a b λλ⎡⎤-=--⎣⎦

当0b =时，由于A aE O -=，()A m x x a ∴=-

当0b ≠时，由于22

()A aE b E O --=，22()()A m x x a b ∴=--

八．证：先证V W S =+，显然，W S V +⊂

(),()p x q x 互素，(),()[],u x v x p x ∴∃∈使得()()()()1u x p x v x q x +=

()()()()u f p f v f q f ε∴+=（单位变换） ,()()()()V p f u f q f v f αααα∀∈+= 设111()(),()()()[()]0q f v f p f p f q f v f W ααααα→

===∴∈ 222()(),

()()()[()]0p f u f q f q f p f u f S ααααα→

===∴∈

V W S V W S ∴⊂+∴=+

再证：W S +是直和

,()0,()0

()()()()0{0}W S p f q f u f p f v f q f W

S V W S

αααααα→

→

→

→

∀∈==∴=+=∴=∴=⊕