工程力学第六章

F =100kN q =38.105kN/m
9/13/2009
Engineering Mechanics
Chap4
10
6.2 梁弯曲时的内力和内力图
6.2.1 剪力和弯矩
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
A a
F
B
F
x
0 ,
FRAx 0
FRAxA FRAy
Chap4
14
例6-1 图示梁的计算简图.已知 F1、F2,且 F2 > F1 ,尺寸a、b、c和
l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩. 解： （1）求梁的支反力 FRA 和 FRB
M
A
0
FRA
A
a
F1
C E
F2
D F
FRB
B
FRB l F1a F2b 0
ql 2
FRA
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
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Chap4
Fb FRA FS ( x ) (0 x a ) (1) l A Fa FS ( x ) ( a x l ) ( 3) l
由（1）,（3）两式可知，AC、 CB两段梁的剪力图各是一条平行于 x
F
27
2.梁 件
以弯曲变形为主的杆
3.平面弯曲 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.
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5
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
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将坐标原点取在梁的左端
FRA
A
F
FRB
B b x
AC段
C a x l
Fb FS ( x ) (0 x a ) l Fb M ( x) x (0 x a ) l
CB段
(1) ( 2)
Fb F ( l b) Fa FS ( x ) F ( a x l ) ( 3) l l l Fb Fa M ( x) x F ( x a) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l l
FRB
B b x
C a x l
轴的直线.
Fb M ( x) x ( 0 x a ) ( 2) l Fa M ( x) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l
由（2），（4）式可知，AC、 CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.
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弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
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x
O
O
例6-2 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁
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的剪力图和弯矩图.
A
F
B x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
l
FS ( x ) F M ( x ) Fx
(a x l )
AC,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线. AC段 x = 0 ,
Ma x=a, M C左 l Mb CB段 x = a, M C 右 l
A
FRAy
A A
FRAx A
固定端(clamped support or fixed end)
FRy FRx
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M
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8
5.静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
简支梁
FSF FRB 0 M F FRB d 0
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解得：
FSF FRB
-
M F FRB d +
Chap4
18
6.2.2 剪力方程和弯矩方程
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，
分别称作剪力方程和弯矩方程.
1.剪力方程 2.弯矩方程
2
l/2
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Chap4
24
q
由图可见，此梁在跨中截
A B
x
面上的弯矩值为最大
FRA
ql/2
l
FRB
M max
ql 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上
剪力绝对值为最大
+
l/2
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ql 8
2
FS max
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ql 2
FS= FS(x) M= M(x)
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6.2.3
剪力图和弯矩图
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x)
M(x)
x FS 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
Chap4
22
ql FS ( x ) qx 2
剪力图为一倾斜直线
q
(0 x l )
A
x
B
l
FRA
FRB
ql x=0 处 ， FS 2 x= l 处 , F ql S 2
绘出剪力图
ql/2
+
ql/2
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x qlx qx M ( x ) FRA x qx 2 2 2
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例6-5 图示的简支梁在 C点处受矩为M的集中力偶作用.
试作此梁的的剪力图和弯矩图.
解：求梁的支反力
M M FRA FRB l l 将坐标原点取在梁的左端.
因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程
FRA
A a
M
FRB
C b l B
M FS ( x ) (0 x l ) (1) l
FSE FRA
+
M E FRA c +
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FRA
A
a
F1
C
F2 FSF
D B MF F d d
FRB
B
E
c b
F
l
计算F点横截面处的剪力FSF 和弯矩MF .
F 0, M 0,
y F
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FRA
A c E
FSE
ME
FSE ME
E
F1
C a-c b-c l-c
F2
D
FRB
B
取右段为研究对象
Fy 0
解得
F SE FRB F 1 F 2 0
M E 0 FRB (l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
弯矩图为一条二次抛物线
2
23
(0 x l )
q
x 0， M 0 x l, M 0
A
x
B l
FRA
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
l 得驻点 x 2
ql l 弯矩的极值 M max M x 2 8
绘出弯矩图
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+
2
ql 8
由(1)式画出整个梁的剪力图 是一条平行于 x 轴的直线.
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M l
+
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AC 段和 BC 段的弯矩方程不同 AC段
M M ( x) x (0 x a ) l
M FRA
A a x C b x l
Ma l
FRB
B
CB段
M M M ( x ) x M (l x ) l l
M
B
0
c
b l
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FRA F1 ( l a ) F2 ( l b) l FRB
d
F1a F2b l
Chap4
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记 E 截面处的剪力为 FSE 和弯矩 ME ，且假设
FRA A
a
F1 C E
F2 D F
FSE 和弯矩ME 的指向和转
向均为正值.
B
c
d
b l
Fy 0 ,
FRA FS E 0
M E 0,
M E FRA c 0
FRA
A c
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Chap4
FSE
E
解得 FSE FRA
ME
M E FRA c
1
第6章
梁的弯曲
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Chap4
2
6–1
平面弯曲的工程实例与力学模型
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Chap4
3
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Chap4
4
◎ 基本概念
1.弯曲变形 （1） 受力特征 外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线. （2） 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.
剪力
FRAxA FRAy
x
m
F
B
m
弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩 M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 FS M
C
FRB
直于截面的内力偶矩.
2. 剪力 FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
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FRAy
M
C
F
FS
FRB
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Chap4
l
Fa M A 0 , FRB l F (l a ) Fy 0 , FRAy l
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F
B
FRB
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求内力——截面法
Fy 0 , M
C
FS FRAy
0 ,
F (l a ) l M FRAy x
F SA左 0
(0 x l )
FS
x
(0 x l )
M F
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Chap4
x
F SA右 F
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例6-3 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载 用.试作此梁的剪力图和弯矩图.
解： （1） 求支反力
A
qBaidu Nhomakorabea
B
x
FRA FRB
(simply supported beam)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
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起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度
的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁 的计算简图.
Fb l
+
Fa l
+
Chap4
Fba l
在集中荷载作用处的左,右
两侧截面上剪力值(图)有突变, 突变值等于集中荷载F. 弯矩图 形成尖角,该处弯矩值最大.
FRA
A a x
F
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FRB
B b x
C
l
Fb l
+
Fa l
+
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Fba l
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例6-4 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F 作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图. FRA 解: （1）求梁的支反力
A
F
FRB
B b
FRA
Fb l
FRB
Fa l
C
a l
因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力 方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端
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Chap4
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6
4.梁的力学模型的简化 （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型
集中力偶 分布载荷
（3） 支座的类型
A A
A
可动铰支座
FRA
A
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Chap4
7
固定铰支座 (pin support)
Chap4
FS
m dx
-
m
FS
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（2）弯矩正负号
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部
受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
-
m
m
（受压）
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（1）剪力正负号
+
m
FS
使dx 微段有左端向上而右端向下的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为正.或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正. 使dx微段有左端向下而右端向上的相对 错动时,横截面m-m上的剪力为负.或使dx微 段有逆时针转动趋势的剪力为负.
m
dx
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