正方形的性质及判定复习课程

正方形的性质及判定

正方形的性质

及判定

板块名称 中考考试要求层次

A

B

C

正方形

会识别正方形

掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题

会用正方形的知识解决有关问题

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形的性质

正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．

③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）

3．正方形的判定

判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．

1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系

2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。

4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点

教学目标

知识点睛

中考要求

正

方形

菱形

矩形平行四边形

重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用

一、正方形的性质

【铺垫】正方形有条对称轴．

【例1】☆⑴已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则:

BDEF ABCD

S S=

正方形正方形

⑵如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且

20

AE AF AF

⊥=

，，则BE的长为

F

E

D

C

B

A

⑶如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，

若1

AG=，2

BF=，90

GEF

∠=︒，则GF的长为．

【例2】☆将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点

12

...

n

A A A

，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

A5

A4

A3

A2

A1

【例3】☆如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE，P是CE上任意一点，PM BC

⊥于M，PN BD

⊥于N，则PM PN

+的值为

例题精讲

重、难点

P

N

M

E D

C

B

A

【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．

E

D

C

B

A

【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：

AP EF =.

F E

P

D

C

B A

【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交

于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．

M N C

D

O B A

【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=

P

D

C

B

A

【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：

BEF ∆是等腰直角三角形．

G

E H D

F

C

B

A

【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角

线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．

N

M

F

E

D

C

B

A

【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相

交于点F ，则AFD ∠=

F

E

D

C

B

A

【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结

BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．

3

14

2

F

E G

H

C

D

B

A

【巩固】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，

求证DF DE =．

G

F

E

B

D

A

【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，

BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.