论正多边形与其外接圆面积差关系

正多边形与其外接圆面积差

【摘要】；这篇论文主要说明了外接圆半径相同的正多边形随着变数（n）的增长，其外接圆的差不成一次函数关系。同时说明了此类多边形的面积随边数增长而增长，且不成一次函数关系。涉及到了正多边形面积的计算。

【关键词】；正多边形、外接圆、面积、计算

一、选题的产生

从多边形的面积中产生了这个选题，正多边形与其外接圆面积差较为难求，但其中应该有规律可循，因此产生了这个命题。

二、探究目的

通过探究正多边形与其外接圆面积差，可以求出其中的规律，进一步可以探究正多边形与其外接圆的关系，对正多边形与其外接圆的几何问题进行补充。

三、探究过程

探究过程分为1.正多边形面积的计算2.正多边形与其外接圆面积差的计算3.用表格和函数图像表示出正多边形与其外接圆面积差的关系。

1、正多边形面积的计算

正多边形面积的计算，以五边形为例

1.仅从边长入手。这个方法适用于求五条边长完全相等的正五边形面积。

2.将五边形分割成五个三角形。从外接圆圆心向五边形的五个边角（顶点）画线，

这样就把五边形分割为五个大小相等的三角形。

3.将三角形分成两半。从五边形的中点向三角形底边作垂线，这条线和底边相交形

成90º角，并将三角形分成两半，形成两个更小的三角形。

4.通过三角函数由其外接圆半径算出小三角形底和高。从而得出小三角形面积，也

就得出正五边形面积。

以上是正五边形计算方法，其余正多边形与其类似。

2、正多边形与其外接圆面积差

正三角形：

r2

正三角形面积：s=33

4

外接圆面积：A=πr2

r2≈1.84r2

面积差：A−S=4π−33

4

正方形：

正方形面积：s=2r2

外接圆面积：A=πr2

面积差：A−S=π−2r2≈1.14r2

正五边形：

r2sin72。≈2.38r2

正五边形面积：S=5

2

外接圆面积：A=πr2

sin72r2≈π−2.38r2=0.76r2面积差：A−S= π−5

2

正六边形：

r2

正六边形面积：S=33

2

外接圆面积：A=πr2

r2≈0.54r2

面积差：A−S= π−33

2

…

…

正十边形：

r2

正十边形面积：S=510−25

4

外接圆面积：A=πr2

r2≈0.14r2

面积差：A−S= π−510−25

4

3、表格与函数图像

1表格

2函数图像

多边形与其外接圆面积差拟合曲线四、探究结论

通过这个探究，得出了正多边形与其外接圆面积差不成一次函数关系，但呈函数关系。其中应有规律，但牵扯到许多未学到的知识，目前无法得出其中的规律。其中有许多的地方还需改进，如：是否有更快捷的方法计算出正多边形的面积？是否能直接求出，或用别的方法求出正多边形与其外接圆面积差？