空间解析几何(下篇)剖析

空解精要（升华部分）序这个部分是空解的精华部分，与高代数分都有联系，关键在于你能否发现其中的玄机。

我相信，当你看完以下的知识点时，一切都会水落石出。

这部分的重点有：柱面，锥面，旋转曲面，二次曲面及其一般线性理论，还有参数方程。

*注意：这部分的知识点如果不涉及度量问题，那么在仿射坐标系下也成立。

一.最完美二次曲面--球面1.定义：在三维线性空间中，我们把到定点的距离等于定长的点 的集合叫做球面，这个定点叫球心。

球心到球面的任何 点的距离叫做半径。

2.球面的方程：以点()000,,z y x 为球心，R 为半径的球面标准方程为 ()()()2202020R z z y y x x =-+-+-这是一个二次曲面，它的一般形式为 0222=++++++D Cz By Ax z y x命题1：用一个平面去截取球面，得到的截面是一个圆。

命题2：如果一个平面与球面相切，那么切点与球心的连线垂 直于该平面。

3.切面的求法：根据数学分析里面的求偏导数来做，无需刻意记 住二次曲面一般理论中的公式。

二.柱面的锥面 （一）.柱面1.定义：由平行于某一定方向且与一条空间定曲线相交的一 族平行直线所组成的曲面叫做柱面，定曲线叫做准线，平行 直线中的每条都叫(直)母线，定方向是直母线的方向，也叫 柱面方向。

2.柱面方程的构造从定义中可以看出，柱面的存在由准线和母线族决定，如果 确定了准线的方程和母线的方向，那么就可以得出柱面的方 程。

如果已知准线方程为()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F母线方向为（l,m,n ）于是，假设一点),,(1111z y x P 在柱面上，这里假设的1P 是准线与 母线的交点，而母线的位置具有任意性，于是将准线和母线 联立就可以取遍所有的母线，也就是柱面的方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=-0),,(0),,(111111111z y x G z y x F nz z m y y l x x 从中消去111,,z y x ，得到的就是柱面方程。

特别地，准线是圆，椭圆，双曲线，抛物线的柱面分别叫做圆 柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。

例题1：设柱面准线方程为⎩⎨⎧=-=+0222z x zy x母线方向为为（-2,1,0），求柱面方程。

解：设),,(1111z y x P 为准线与母线的交点， 于是，⎩⎨⎧=-=+021112121z x z y x .................（*）过1P 的母线为102111z z y y x x -=-=-- 令这个等式的值为t ，得母线的参数方程 t z z y y t x x +==-=111,,2得t z z y y t x x -==+=111,,2，代入（*），得()⎩⎨⎧=+--=++052222t z x tz y t x消去t ，得柱面方程为020*********=--+++z x xz z y x这是解决柱面方程题目的常规方法。

如果准线是圆，那么柱 面就是圆柱面，这个可以用后面的旋转曲面来解决。

（二）锥面1.定义：过定点且与一条（不过定点的）定曲线相交的一族 直线组成的曲面叫做锥面，定点叫做顶点，定曲面叫做锥面 的准线，这族共点直线中的每条直线都叫母线。

2.锥面方程的构造同理于柱面，锥面由准线和定点确定，由母线族生成。

于是 只要能够遍取所有的母线就行，所以，设()1111,,z y x P 是准线与母线的交点，顶点()0000,,z y x P 也在过1P 的母线上，于是由直 线的两点式方程可以确定该母线方程为 010010010z z z z y y y y x x x x --=--=-- .....................①再把()1111,,z y x P 代入准线方程，得()()⎩⎨⎧==0,,0,,111111z y x G z y x F .....................②联立①②，消去111,,z y x 得到的就是锥面方程。

3.圆锥面定义：准线是圆，母线与轴的夹角为定角的锥面叫做圆锥 面。

（估计谁都知道，不必多说了！）命题1：如果方程可以变为0tan 2222=•-+z y x α的形式，则锥 面是圆锥面，α是母线与轴的夹角。

其中x,y,z 的 位置可以任意换。

很明显这是特殊的情形，对于一般的锥面，有以下判定定理 命题2：一个关于000,,z z y y x x ---的齐次方程表示以点 ()000,,z y x 为顶点的锥面。

由此可以看出，平面就是一种特殊的锥面！ 例题2：已知锥面顶点为（3，-1，-2），准线为 0,1222=+-=-+z y x z y x ，求该锥面方程。

解：设()1111,,z y x P 是准线上一点，连接1P 与顶点（3,-1,-2） 的母线为333333111--=--=--z z y y x x 将这个等式的值记为t1，得())2(2)1(133111++-=++-=-+=z t z y t y x t x ，.........................①代入111,,z y x 到准线方程中，满足⎩⎨⎧=+-=-+01111212121z y x z y x ...............②联立①②，消去t ，得)1)(3(6)2(7)1(5)3(3222+--+++--y x z y x 0)2)(1(2)2)(3(10=++---+z y z x 即为所求锥面方程。

三.旋转曲面（一）一般旋转曲面的构造1.定义：一条曲线绕一条直线旋转一周所产生的曲面叫 做旋转曲面，曲线叫做旋转曲面的母线，直线叫做轴。

由于，母线上任意一点绕轴旋转都是一个圆，这个圆也叫纬圆或纬线。

其中与纬圆相对垂直的母线也叫经线。

命题：经线可以作为母线，但母线不一定为经线。

2.旋转曲面方程的构造假设母线（或经线）方程为()()⎩⎨⎧==0,,0,,z y x G z y x F ，母线上有一点),,(1111z y x P 轴l 经过),,(0000z y x P ，方向向量),,(n m l v =，假 设还有一点P(x,y,z)与1P 在同一纬圆上。

于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-+-+--+-+-=-+-+-0),,(0),,(0)()()()()()()()()(111111111201201201202020z y x G z y x F z z n y y m x x l z z y y x x z z y y x x 从中消去111,,z y x ，得到的就是旋转曲面的方程。

例题3：求直线2211zy x ==-绕直线x=y=z 旋转所得的旋转 曲面方程。

解：在母线2211zy x ==-上任取一点),,(1111z y x P ，在轴 上取（0,0,0），所以过1P 的纬圆方程为⎩⎨⎧++=++=-•+-•+-•2121212221110)(1)(1)(1z y x z y x z z y y x x 将1P 代入经线方程，得2211111z y x ==- 经纬已经确定，于是从上面等式中消去111,,z y x ，得 ()()2222212584251-++++++=++z y x z y x z y x 即为所求。

（二）绕坐标轴旋转 1.旋转定律一般地，坐标平面上的曲线绕此平面上的一条坐标轴 旋转，其旋转曲面方程按下列方式写出：对于曲线在 坐标面上的方程，保留与旋转轴同名的坐标，而其他 两个坐标平方和的平方根代替方程中的另一坐标。

2.椭球面设椭圆方程为⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ01z 2222x ab y ：，绕y 轴旋转，则 不要管x ，保留y ，将z 换成22z x +，则得到的椭球面方程为122222=++az x b y请根据规律，写出绕z 轴旋转的结果：3.双曲面将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==Γ01z -2222x ab y ：绕z 轴旋转所得的旋转曲面为 1222222=-+c z b y b x ，这里出现一个负号，所以是单叶双曲面。

当绕y 轴旋转时，得到的是1-222222=-+cz b y c x这里有两个负号，判定为双叶双曲面。

4.抛物面抛物面有两种形式，一是椭圆抛物面，而是双曲抛物面。

椭圆抛物面的标准形式为z by a x 22222=+其中，x,y,z 的位置不定。

这个等式左边是椭圆方程的 一部分，右边是抛物线方程的一部分，所以叫椭圆抛物 面。

它的构造在于先将抛物线旋转得到旋转抛物面，然 后做伸缩变换，把纬圆变成椭圆。

如图，在椭圆抛物面中，沿z 轴方向看是抛物线，于 是关于z 是一次项；俯视x O y 平面可看到的是椭圆， 所以方程中关于x 和y 的项是二次项。

通过这个规律 可以判定图像的大致形态。

性质：当平面沿纬线方向切割椭圆抛物面时，截线是 一个椭圆，与椭圆抛物面斜交时，可能出现圆。

无论 是圆还是椭圆，中心总在对称轴上，也在对称平面上。

双曲抛物面的标准形式为z by a x 22222=-，这个图像由于像马鞍一样，所以又叫马鞍面。

其中，原点是鞍点， 它的图形在坐标系的分布与椭圆抛物面完全类似。

（三）二次直纹曲面1.定义：所谓直纹曲面，就是指能够由直线生成的曲面。

2.常见的二次直纹曲面：单叶双曲面，双曲抛物面。

3.析因式法所谓的析因式法，就是把曲面的方程通过因式分解，从而求出生成直线族。

很明显，单叶双曲面和双曲抛物面都有两族直母线。

4.单叶双曲面两族直母线的性质⑴对于单叶双曲面上的每一点，两族直母线中各有唯一的一条直母线通过该点；⑵异族的任意两条直母线共面；⑶同族的任意两条直母线是异面直线；⑷两族直母线无公共直线.5.双曲抛物面两族直母线的性质⑴对于双曲抛物面的任意点，两族直母线中各有一条直母线经过这一点；⑵任意两条异族直母线都相交；⑶两族直母线中无公共直线；⑷同族任意两条直母线异面；⑸同族中所有直母线必平行于同一平面；例题4：求单叶双曲面 1914222=-+z y x 上过P （2,1,3）的两条直母线。

解：（析因式法）根据平法差公式分解因式得到两族直母线分 别为 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(321321221y z x y z x λλλλ和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(32)1(321221y z x y z x μμμμ 把点P 的坐标代入，得0,1:121==μλλ，于是过P 点的两族直母线的方程分 别为 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(32132y z x y z x 和⎪⎩⎪⎨⎧=-=0320-1z x y ，化简后即为所求。

附：对于双曲抛物面的析因式，采用如下分法：若方程为z by a x 22222=-， 分解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+z b y a x b y a x λλ2和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-z b y a x b y a x μμ2 这就是双曲抛物线的两族直母线。