固体物理第三章3-8
《固体物理·黄昆》第三章
氢键结合的情况可写成通式:
X－H…Y。 式中 X 、 Y 代表 F 、 O 、 N 等电负 性大而原子半径较小的非金属原 子， X 和 Y 可以是两种相同的元 素，也可以是两种不同的元素。 d F l H F H F
归纳起来，氢键形成的条件是：
A)有与电负性大（X）的原子相结合的氢原子；
B) 有一个电负性也很大，含有孤对电子并带有部分负 电荷的原子（Y）； C)X与Y的原子半径都要较小。
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI（配位数8）
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
2. 离子晶体结合的性质
1) 系统内能的计算 晶体内能 : 1)所有离子库仑相互作用能(吸引作用)
2) 和重叠排斥能之和(排斥作用)
具体晶体的内聚能(晶格能)参见周期表,有一定的规律性: 惰性气体晶体<碱金属<过渡族金属(共价晶体)
两粒子间的相互作用 相互作用能.
f(r) 和u(r)分别表示相互 作用力和相互作用势 则:
u (r ) f (r ) r
U 排斥 r
f (r )
B rn
u (r )
pij A12= j'
12
12.13188
pij A6= j'
6
14.45392
物理意义:
晶体总的势能:
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量 晶格常数
平衡状态体变模量
晶体的结合能
分子晶体: 常温下是气态的物质如:Cl2,SO2,HCl, H2, O2, He, Ne, Ar, Xe等在低温下依靠范德瓦耳斯力结合成的晶体.
固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
固体物理第三章3-8
三、德拜模型
模型基本思想：把格波当成弹性波来处理。
E n( ) e k BT 1
设固体介质是各向同性的，由弹性波的色散关系 = vq 可知，三维波矢空间内，弹性波的等频面是个球面，则
§ 3.3 一、简正振动
简正振动 声子
相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。
1 A B ' U 0 m n 2 i j rij rij
设N个原子的位移矢量分别为 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)，…， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 则 U = U(u1, u2, …, u3N)
一维简单原子链，波矢q的格波的总动量
N d N it Pq m un imAe eiqna dt n 1 n 1
q
2l Na
Pq imAeit e
n 1
N
i
2nl N
imAeit
e
i
2l N
1 e 0
i 2l i 2l N
标准简谐阵子振动方程
只有频率的模式振动时，解为：
Q A sin t
则：
每一个原子都以相同的频率作 振动，这是最基本的振动方式， 称为格波的简正振动。
ai ui A sin t , mi
i 1,2 , ,3 N .
实际的（原子振动）格波振动如何？
§3.6 晶格振动热容理论 一、热容理论
固体的定容热容
E CV ( )V T
— 固体的平均内能
—— 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果：低温下，金属的热容
CV T AT 3
T
2021固体物理第三章最新PPT资料
第三章 晶格振动和晶体热学性质
本章主要内容 用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率； 用格波来描写晶格原子的集体运动； 用量子理论来表述格波相应的能量量子；
在此基础上处理固体的热学性质。
§3.1 一维晶格的振动
晶格振动的根本原因: 原子间存在着相互作用力。 对于一对原子而 言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。
设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子 的运动情况都一样。
玻恩－卡门边界条件：
u1 uN1
德国理论物理学家，量 子力学的奠基人之一玻 恩，M.(Max Born 1882～1970). 1954年荣 获诺贝尔物理学奖
通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：
unAie(qnat)
q为波矢，qna是序号为n的原子在t=0时刻的振动位相。
序号为n’的原子的位移：
u n A i ( q n a t ) e A i ( q t n ) q e ( n a n a ) u n e i( n q n )a
频率－波矢关系（称为色散关系）。
表明试解代表一种简正模型（即一个ω和一个q值）的格波。
格波： Aei(tnaq)
连续介质弹性波： Aei(txq)
从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性 波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这 是一系列周期排列的点。
一个格波解表示所有原子同时作频率为 的振动，不同原子有
将简谐波形式的试解代入运动学方程
mdd2u 2tn (un1un12un)
m 2 u n u n ( e iq e a iq 2 a ) 2 u n (c q ) o 1 a )s
第三章 固体物理ppt课件
§2
三维晶格的振动
设实际三维晶体沿基矢a1、a2、a3方向的初基原胞数分 别为N1、N2、N3，即晶体由N＝N1·N2·N3个初基原胞组成， 每个初基原胞内含s个原子。 一维情况下，波矢q和原子振动方向相同，所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。
原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动 形式。初基原胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种 可能的运动形式，就需要多少支格波来描述。
一个波矢为K的第S支模式处在第N个激发态，我们就说在晶 体中存在着N个波矢为K的第S支声子（因为给定了K与第S支模 式则ω可由色散关系唯一确定），在晶体中波矢为K的纵声学支 模式处于N激发态，我们就说晶体中有N个波矢为K的纵声学支 声子。
声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也是一种简谐振 动）。声子与光子都代表简谐振动能量的量子。所不同的是光子 可存在于介质或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有当晶 体中的晶格由于热激发而振动时才会有声子，在绝对零度下，即 在0K时，所有的简正模式都没有被激发，这时晶体中没有声子， 称之为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即寄居区不同。
每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这些波矢在倒空 间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体积” 等于“边长”为(b1/N1)、（b2/N2）、(b3/N3)的平行六面体的 “体积”，它等于： b b b 3 1 2 N N N 1 N 2 3 式中Ω*是倒格子初原胞的“体积”，也就是第一 布里渊区的“体积”，而Ω*＝（2π）3/Ω ，所以每个波 矢q在倒空间所占的“体积”为：
子的位移构成了波，这个波称之为格波，把寻求到的
运动方程的解带入运动方程就能找出ω 与q的关系即
固体物理第三章习题PPT学习教案
2
2 vA
声学波的模式密度 2 L L
2 vA vA
q
2a
2a
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16
声学波的热振动能
其中
EA
D 0
D()d e kBT 1
L vA
kBT
2
D 0
T
exxdx1.
x kBT , D
D , kB
D和D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率
可由下式
求得
L D D()d D L d LD
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必 定为零，即
1 2 m2 2 1eiqa
0
2 1eiqa
1 2 m 2
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9
解上式可得 ：
2
1 2
2m2
2m
4m2
16m2 1 2
1 2 2
sin 2
qa 2
1
2
1
2 m
1
1
0 0
kB
2L ( a
kBT )2
(e
e kBT d
kBT 1) 02
2
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28
13. 对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格 热容，并讨论高低温极限。
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29
[求解]
按照德拜模型，格波色散关系为=vq。由色散曲 线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的 波矢区间dq。2/a区间对应L/a个振动模式，单位 波矢空间对应有L/2个振动模式，d范围则包含
LkB2T
,
C
D T 0
x2exdx ex 1 2
是一常数．晶格的热容
CV CVO CVA.
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知⼀维单原⼦链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，µ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因⼦，并已知在较⾼温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原⼦的平⽅平均位移。
解：任意⼀个原⼦的位移是所有格波引起的位移的叠加，即µn= ∑ µnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）µ2 n =∑µjnj∑µj*nj=µj2nj+ µ µnj*nj′j j′由于µ µnj?nj数⽬⾮常⼤的数量级，⽽且取正或取负⼏率相等，因此上式得第2 项与第⼀项µ相⽐是⼀⼩量，可以忽略不计。
所以2= ∑ µ 2njn j由于µnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于⼀个周期内的时间平均值为µ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较⾼温度下的每个格波的能量为KT，µnj的动能时间平均值为1 L T ?1 ?dµ 2 ?ρw a2 T 1= ∫∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ? 2 ?dt??2T0 j j j j 4 j j其中L 是原⼦链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2µKT因此将此式代⼊（2）式有nj2 = ρωL 2 jµ所以每个原⼦的平均位移为2== ∑ µ 2= ∑KT= KT∑1n njρωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论N 个原胞的⼀维双原⼦链（相邻原⼦间距为a），其2N 格波解，当M=m 时与⼀维单原⼦链的结果⼀⼀对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所⽰，质量为M 的原⼦位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原⼦位于2n，2n+2，2n+4 ……⽜顿运动⽅程：..mµ2n= ?βµ(22n?µ2n+1 ?µ2n?1)..Mµ2n+1 = ?βµ(22n+1 ?µ2n+2 ?µ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独⽴的⽅程i na q⽅程解的形式：iµ2n=Ae[ωt?(2 ) ] µ2n+1=Be[ω?(2n+1)aq]na qµ=将µ2n=Ae[ωt?(2 ) ]2n+1 Be i[ωt?(2n+1) aq]代回到运动⽅程得到若A、B 有⾮零的解，系数⾏列式满⾜：两种不同的格波的⾊散关系：——第⼀布⾥渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第⼀布⾥渊区允许 q 的数⽬黄昆固体物理习题解答对应⼀个 q 有两⽀格波：⼀⽀声学波和⼀⽀光学波。
《固体物理基础教学课件》第3章
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
固体物理(第3章)解析
1 3N ( 2V
2 i, j1 i j
)0 i j
—— 含有坐标的交叉项
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
引入简正坐标
—— 原子的坐标和简正坐标通过正交变换联系起来
假设存在线性变换 系统的哈密顿量
拉格朗日函数
T
1 2
3N i 1
Qi 2
V
1 2
3N
Q 2 2
ii
i 1
正则动量
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的哈密顿量
正则方程
pi
H Qi
正则动量
pi
L Q i
Qi
Qi i2Qi 0, i 1, 2, 3, 3N —— 3N个独立无关的方程 简正坐标方程解 Qi Asin(it )
简正振动 —— 所有原子参与的振动，振动频率相同 振动模 —— 简正坐标代表所有原子共同参与的一个振动
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i 1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i 1
E (Q1,
Q3N )
§3-1 简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
E
3N
i
i 1
3N i 1
(ni
1 2
)
i
3N
系统本征态函数 (Q1, Q2, Q3,Q3N ) ni (Qi )
固体物理学：第三章晶体结合及弹性模量n
第三章晶体的结合、弹性模量•3.1 晶体中的结合力和结合能；•3.2 元素和化合物晶体结合的规律性；•3.3 弹性应变和晶体中的弹性波；3.1 晶体的结合力和结合能一. 晶体结合的一般概念：自然界的矿物中绝大多数物质都以晶态存在，说明晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时的能量总和要低的多,因此可以给出U0是晶体在0K 时的总能量，E N是N个自由粒子能量之和，因此Eb 是0K时把晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量，称作内聚能（Cohesive energy）或结合能（binding energy)。
取EN＝0，做能量基点，则有：近似把原子对间相互作用能量之和当作晶体的总相互作用能。
物质以晶态存在是由于构成固体的原子之间存在着相当大的相互作用力，尽管不同晶体这种结合力的类型和大小不同，但两个粒子之间相互作用力（势）与它们间距离的关系在定性上是相同的。
晶体中粒子的相互作用可以分为2大类：斥力和引力。
晶态是粒子间斥力、引力处于平衡时的状态。
其中a 、b 、m 、n 均为大于零的常数，由实验确定若两粒子要稳定结合在一起，则必须满足n > m一对粒子之间的相互作用势一般可以表示为引力势和斥力势之和:处于稳定态的条件是：给出平衡位置:平衡时的能量：★从上式可以看出晶体有平衡态的条件是：n > m★更符合实际斥力势变化规律的表达式为指数形式：N个原子组成晶体后的总相互作用能，忽略边界的差异，可以近似表示为：二. 晶体的弹性性质：以晶体相互作用能来解释晶体弹性性质是对理论表达式正确与否的最好验证。
1. 压缩系数η与体弹性模量K ：由热力学知道：考虑到：两式相比较，有：展开式中的第一项在平衡点为零。
注解：体积弹性模量：按胡克定律，在弹性限度内，物体形变产生的内应力与相对形变成正比，比例系数称弹性模量。
由热力学第一定律dU=TdS–pdV，若不考虑热效应，即TdS= 0 （实际上只有当T=0K时才严格成立），有2. 抗张强度：晶体所能负荷的最大张力叫抗张强度，负荷超过抗张强度时，晶体就会断裂。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
•
w
M M
将
us −1
d 2us = C (Vs −1 − us ) + 10C (Vs − us ) ， dt 2 d 2Vs = 10C ( us − Vs ) + C ( us +1 − Vs ) , dt 2
w
a/2
o
vs −1
. e h c 3 . w
c 10c
m o c
o
•
o
•
us
vs
当 当
k = k x ，且 k y = 0 时的 ω − k 图，和 kx = k y
时的 ω − k 图，如右图所示。
3.5 已知 Nacl 晶体平均每对离子的相互作用能为 U (r ) = −
马德隆常数 α ＝1.75，n＝9，平均离子间距 r0 = 2.82 Å 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率
(b)根据题意，
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
) = c[( μl +1,m + μl −1,m − 2μl ,m ) 的解， dt 2 + ( μl ,m +1 + μl ,m −1 − 2μl ,m )] M(
因为
d 2 μl , m
μl ,m = μ (0) exp[i (lk x a + mk y a − ωt )]
代回到运动方程得到
若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：
w
两种不同的格波的色散关系：
w
. e h c 3 . w
-2-
m o c
——第一布里渊区
解答（初稿）作者 季正华
固体物理(第3章)讲解
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
方程解和振动频率 设方程组的解 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
4 2 aq sin ( ) m 2
—— 常数
—— 平衡条件
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
dv 1 d v v (a ) v (a ) ( )a ( 2 )a 2 High items dr 2 dr
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项
2 1 2 2 任意一个简正坐标 [ 2 i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
1 能量本征值 i ( ni ) i 2
本征态函数
—— 谐振子方程
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
— 厄密多项式
§3-1 简谐近似和简正坐标 ——
格波 波矢的取值和布里渊区 相邻原子相位差 格波1的波矢
—— 原子的振动状态相同
相邻原子相位差
§ 3-2简谐近似和简正坐标 一维单原子链 —— —— 晶格振动与晶体的热学性质 § 3-1 晶格振动与晶体的热学性质
格波 格波2的波矢
aq1 / 2
相邻原子的位相差
—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同
原子位移宗量
N个原子的位移矢量 —— 体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
固体物理学课件第三章
10
3.1 一维单原子链的晶格振动
将：
un1 Aei[t(n1)aq] un1 Aei[t(n1)aq] un Aei[tnaq]
代入到运动方程：
m
d 2un dt 2
(un1 un1 2un )
消去共同因子，得到：
m 2 (eiap eiaq 2)
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
14
3.1 一维单原子链的晶格振动
格波的波长： 2
q
格波的波矢：q 2 n
n 代表沿格波传播方向的单位
矢量。
格波的相速度：v p
q
不同原子间的位相差：
n’aq-naq = (n’-n)aq
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
15
3.1 一维单原子链的晶格振动
a
2
f
U
U R
a
2U R2
a
第一项与振动无关，为常数项，第二项中因为平衡位置处，
势能为极小值，互作用力为零。
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
4
3.1 一维单原子链的晶格振动
引入弹性系数
2U R 2
(un1 un1 2un )
《固体物理学》 微电子与固体电子学院
5
3.1 一维单原子链的晶格振动
最近邻近似下一维单原子振动可 简化为质量为m的小球被用弹性系
数为的弹簧连起来的弹性链。处
理微小振动一般都采取这种简谐 近似。在有些物理问题需要考虑 高阶项的效应，称为非简谐效应。
固体物理学第三章
x 2
m
y
2
2 E k 2 y
m
z
2
2 E 2 kz
2 1 2 cos kz a 2a J1
在能带底和能带顶电子的有效质量是各向同性的，
k , 0, 0 a
m 2 0, 2a J 1
分量形式：
dv d 1 E 1 3 dk a dt dt k 1 dt k
E k
x，y，z 原因：在三维情形，沿k空间的不同方向一般有不同的色散关系， 电子的有效质量比较复杂，表现为一个二级张量。
2 E k x k y 2 E 2 k y 2 E k z k y
2 E k x k z Fx 2 E Fy k y k z Fz 2 E k z2
牛顿定律：
1 a F m
响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量
在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有
很大差别的物理原因。
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还
可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期 场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边 界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。 在能带底：电子的能量取极小值，
在周期场中电子的有效质量m*与k有关 在能带底：
d 2E E(k)取极小值， 0 2 dk
在能带顶：
m*>0；
d 2E 0 E(k)取极大值， 2 dk
m*<0
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 31.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ω31230,,22(),0,224,,022a aa a a a a a a a Ω=⋅⨯==，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++ 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
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n
k BT
k BT
e
1
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法
晶格振动谱的实验测定，是人们认识原子的微观运动、 揭示固体的宏观性质的微观本质的有力工具。
一、光子散射
光子与格波振动相互作用导致固体在红外波段 （10 ~ 100 m）有吸收峰。
如：（1）长光学横波与红外光子的电磁耦合；
平衡位置展开（势能）：
能量零点
3N
=0
忽略 简谐近似
2 U 1 3N U U U0 u ui 2 u u ui u j ...... i 1 i , j 1 i 0 i j 0
N个原子的振动动能：
1 3N 2 T mi ui 2 i 1
一般是3N个简正振动模式的线性迭加。
一维简单晶格
2Q 0, i 1,2,,3N . Q i i i
一维简单晶格的N个原子振动可等价于N个谐振子振动。 谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。
二、晶格振动能
2Q 0 , i 1,2 , ,3 N .）解谐振子的 谐振子运动方程（ Q i i i 振动能：
1 i ni i 2
晶格振动能：
1 E ni i 2 i 1
3N
晶格振动能是量子化的。 能量增减以ħ为计量。
三、声子
声子：既然晶格振动能量增减是以ħ为计量的。假想一种 粒子——声子携带该能量。声子是晶格振动的能量量子。 声子是假想粒子。 声子是准粒子， ħq为声子的准动量。 其它粒子（如光子、电子）与晶格相互作用时，恰似与能 量为ħ，动量为ħq的粒子的作用。 声子是虚粒子，它不携带真实的动量。
一维简单原子链，波矢q的格波的总动量
N d N it Pq m un imAe eiqna dt n 1 n 1
q
2l Na
Pq imAeit e
n 1
N
i
2nl N
imAeit
e
i
2l N
1 e 0
i 2l i 2l N
k k q
长声学波的频谱（光子的布里渊散射）：
光波： c k n
晶体中声速
长声学波： v Aq
q k k c / n v A
,
k q k
弹性碰撞
光子散射
k k ,
等腰三角形
§ 3.3 一、简正振动
简正振动 声子
相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。
1 A B ' U 0 m n 2 i j rij rij
设N个原子的位移矢量分别为 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)，…， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 则 U = U(u1, u2, …, u3N)
问题：温度一定，对于频率为的谐振子，其平均声子数 为多少？
晶体温度T，频率为的谐振子的平均声子数为（玻耳 兹曼统计理论）：
n
ne
n 0 n 0
n / k BT
x k BT
n / k BT e
n
ne
n 0
nx
e
n 0
1 e
声子具有等价性——波矢为q的声子与波矢为q+Km的 声子是等价的。波矢为q和q+Km的格波的解是一样的。
“声子”概念对晶格振动能的解释：
1 E ni i 2 i 1
3N
频率i的谐振子，其能量niħi 为ni个声子携带。
晶体温度是晶格振动能量的反映。 温度高，晶体的振动能高。
q 2 k sin
和散射方向决定
2
q 的方向由光子入射
光子与光学波声子的作用（光子的喇曼散射）：
红外光波长：毫米~微米 二、中子散射 中子只与原子核作用。 中子的质量为m，入射中子的动量为P，散射后中子的 动量为P。则
P P 2m 2m
标准简谐阵子振动方程
只有频率的模式振动时，解为：
Q A sin t
则：
每一个原子都以相同的频率作 振动，这是最基本的振动方式， 称为格波的简正振动。
ai ui A sin t , mi
i 1,2 , ,3 N .
实际的（原子振动）格波振动如何？
拉格朗日函数
1 3N 2 1 3N 2 2 L Qi i Qi 2 i 1 2 i 1 1 3N 2 H Pi i2Qi2 2 i 1
哈密顿函数
正则方程
H Pi Qi
2 Qi i Qi 0 ,
i 1,2 , ,3 N .
为了消去势能中的交叉项，引入简正坐标Qj：
mi ui aijQ j
j 1
3N
简正坐标Qj表示的动能和势能：
正则动量 P i L Q i Q i
1 3N 2 2 U i Qi 2 i 1 1 3N 2 T Qi 2 i 1
简谐振子振动方程 说明：晶体内原子在平衡位 置附近的振动可近似看成3N 个独立的谐振子的振动。 i是晶格振动频率
（2）晶体的光致折变。
格波与光波相互作用可理解为光子与声子的碰 撞，产生散射。
有关相互物理量： 粒子 作用前 作用后 光子 声子 光子 频率 波矢 k q(发射） k
声子
q(吸收）
能量和准动量守衡：
吸收声子 k q k
发射声子 k q k
nx
d nx ln e dx 数与 温度成正比， n 0 与频率成反 比。
d 1 1 ln dx 1 e x e x 1 1 / k BT e 1
T很高