高中数学矩阵的运算沪教版

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高中数学(沪教版)知识点归纳

高中数学（沪教版）知识点归纳第一章集合与命题1.主要内容：集合的基本概念、空集、子集和真子集、集合的相等；集合的交、并、补运算。

四种命题形式、等价命题；充分条件与必要条件。

2.基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、真子集、集合相等等概念，能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；理解交集、并集，掌握集合的交并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。

理解四种命题的形式及其相互关系，能写出一个简单命题的逆命题、否命题与逆否命题；理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能在简单问题的情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

3.重难点：重点是集合的概念及其运算，充分条件、必要条件、充要条件。

难点是对集合有关的理解，命题的证明，充分条件、必要条件、充要条件的判别。

4.集合之间的关系：(1)子集：如果A中任何一个元素都属于B，那么A是B的子集，记作AB.(2)相等的集合:如果AB,且BA，那么A=B.(3).真子集：AB且B中至少有一个元素不属于A，记作AB.5.集合的运算：(1)交集：AB{某某A且某B}.(2)并集:AB{某某A或某B}.（3）补集：CUA{某某U且某A}.6.充分条件、必要条件、充要条件如果PQ,那么P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。

如果PQ,那么P是Q的充要条件。

也就是说，命题P与命题Q是等价命题。

有关概念：1.我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合。

2.数集有：自然数集N，整数集Z，有理数集Q,实数集R。

3.集合的表示方法有列举法、描述法和图示法。

4.用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图。

5.真子集，交集，并集，全集，补集。

6.命题，逆命题，否命题，逆否命题，等价命题。

7充分条件与必要条件。

注意：1.集合中的元素是确定的，各不相同的。

2集合与元素的属于关系与几何之间的包含关系，两者不能混淆。

高二数学上册 9.2《矩阵的运算》课件1 沪教版

1 B 4
2
7 2 0
1 3 , 1
求 ABT .
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3 1
0 17
14 13
3, 10
0 17
ABT
14
13 .
解法2
3 10
AB T
BT AT
1 7
1
4 2 3
2 2 0 0 1 1
1 3 2
或 A
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a11 a21
a2
n
AT a12
a22
, amn
a1n a2n
an1
an
2
amn
例如 A 1 2 2,
4 5 8
1 4
AT
2
5 ;
2 8
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ;
3 kAT kAT ;
是一个一阶方阵，即一个数。
C A B 2. mn
ms sn
例5 求矩阵
A
1 2
0 1
3 0
1
2
与
4 1 0
B
1
1
3 的乘积 AB
2 0 1
1
3 4
解：
4 1 0
AB 1 2
0 1
3 0
21
1 2 1
1 0 3
3 14
9 2 1 9 9 11
例6
A
3
9
Байду номын сангаас
1 3

上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

高中数学矩阵运算的基本规则及应用实例

高中数学矩阵运算的基本规则及应用实例矩阵是高中数学中重要的概念之一，它不仅在数学理论中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有着重要的作用。

在这篇文章中，我将向大家介绍高中数学矩阵运算的基本规则，并通过一些实例来说明这些规则的应用。

一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列，其中的每个数称为矩阵的元素。

矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数。

例如，一个3×2的矩阵有3行2列，阶数为3阶2列。

二、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是矩阵运算中最基本的两种运算。

两个相同阶数的矩阵可以进行加法和减法运算，其规则如下：1. 加法：对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。

例如，给定矩阵A和B如下：A = [1 2 3]，B = [4 5 6][7 8 9] [1 2 3]则矩阵A + B = [5 7 9]。

[8 10 12]2. 减法：对应位置的元素相减得到新矩阵的对应元素。

例如，给定矩阵A和B如下：A = [1 2 3]，B = [4 5 6][7 8 9] [1 2 3]则矩阵A - B = [-3 -3 -3]。

[6 6 6]通过以上的例子，我们可以看到矩阵的加法和减法运算是按照对应位置的元素进行计算的。

三、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵中的每个元素都乘以一个常数。

例如，给定矩阵A和一个常数k，矩阵A的数乘运算规则如下：kA = [k*a11 k*a12 k*a13][k*a21 k*a22 k*a23]其中，a11、a12等表示矩阵A中的元素。

四、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中较为复杂的一种运算，它需要满足一定的条件才能进行乘法运算。

两个矩阵A和B可以进行乘法运算的条件是：A的列数等于B的行数。

矩阵的乘法运算规则如下：C = AB其中，C的第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

例如，给定矩阵A和B如下：A = [1 2 3]，B = [4 5][6 7 8] [1 2][3 4]则矩阵AB = [14 23][38 59]通过以上的例子，我们可以看到矩阵的乘法运算是按照行与列的对应元素进行计算的。

数学9.2矩阵的运算教案沪教版高中二级第一学期

3设
，
求。
解：
讲授法
板演
2.2.3.矩阵的乘法
1．定义2.4：设两个矩阵，，则矩阵与矩阵的乘积记为，规定，其中
2矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：
(1)结合律：
（2）分配律：
（3）设是数，。
例2设
，，
求，与。
解：
从例题中我们可以得出下面的结论：
（3）（是数）（4）
例9设BT=B,证明(ABAT)T=ABAT
证明：因为BT=B，所以
(ABAT)T=[（AB）AT]T=(AT)T(AB)T=ABTAT=ABAT
3．定义2.6：设为阶方阵，如果，即有则称为对称矩阵。如果，即有，，则说为反对称矩阵。
2.2.5n阶方阵的行列式
1．定义2.7：由阶方阵所有元素构成的行列式（各元素的位置不变），称为阶方阵的行列式(determinant of a matrix A)，记作| |或。
2．阶行列式的运算满足下列运算律（设，为阶方阵，为数）：
（1）；（2）；（3）。
三、练习：习题2.2 2~4
四、小结：本节介绍了矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵行列式的运算，这些运算矩阵理论中占有重要地位，特别是乘法运算，要熟练掌握这些运算。
课题
2.2矩阵的运算及其性质
时间
教学目的
学习矩阵相关的概念
重点难点
1．矩阵概念； 2特殊矩阵
时间
分配
教学过程
教学方法
教学手段
90ˊ
一、导言：
矩阵的运算在矩阵的理论中起着重要的作用。它虽然不是数，但用来处理实际问题时往往要进行矩阵的代数运算。

高中数学矩阵的运算规则总结

高中数学矩阵的运算规则总结矩阵是高中数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

在学习矩阵的过程中，我们需要掌握一些运算规则，以便能够正确地进行矩阵的运算。

本文将总结高中数学矩阵的运算规则，并通过具体的题目举例，帮助读者更好地理解和掌握这些规则。

一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是最基本的运算，也是我们最先学习的内容。

两个矩阵相加（或相减）的条件是它们的维数相同，即行数和列数都相等。

加法和减法的运算规则如下：规则1：两个矩阵相加（或相减）的结果是一个新的矩阵，其元素由对应位置的两个矩阵的元素相加（或相减）得到。

例如，给定矩阵A和矩阵B如下：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]则矩阵A和矩阵B的和为：A +B = [1+7 2+8 3+9][4+10 5+11 6+12]= [8 10 12][14 16 18]规则2：矩阵的加法和减法满足交换律和结合律。

即，对于任意两个矩阵A和B，有A + B = B + A 和 (A + B) + C = A + (B + C)。

二、矩阵的数乘矩阵的数乘是指将一个矩阵的每个元素都乘以一个常数。

数乘的运算规则如下：规则3：一个矩阵乘以一个常数的结果是一个新的矩阵，其元素由原矩阵的对应元素乘以该常数得到。

例如，给定矩阵A如下：A = [1 2 3][4 5 6]则矩阵A乘以2的结果为：2A = [2×1 2×2 2×3][2×4 2×5 2×6]= [2 4 6][8 10 12]规则4：数乘满足分配律。

即，对于任意一个常数k和两个矩阵A和B，有k(A + B) = kA + kB。

三、矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要部分，也是较为复杂的运算。

两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

乘法的运算规则如下：规则5：两个矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

高中数学中的矩阵定义及其运算法则

高中数学中的矩阵定义及其运算法则矩阵是一种常见的数学工具，可以描述线性方程组、向量、转化为矢量空间等等。

在高中数学中，矩阵是一个重要的概念。

本文将会引导您深入了解矩阵的定义、性质及其运算法则。

一、矩阵的定义矩阵可以用一个矩形的数字表格表示，该表格中的每一个数字称为矩阵的一个元素。

矩阵的大小由它的行数和列数来确定。

例如，一个名为A的矩阵可以写作：A = [a11 a12 a13][a21 a22 a23][a31 a32 a33]在上面的矩阵中，a11、a12、a13等数字是矩阵的元素，第一行的三个数字是第一行中的三个元素。

同样，第一列的三个数字是第一列中的三个元素。

二、矩阵的特殊矩阵有几种特殊的矩阵在高中数学中具有重要的地位，下面是其中一些：1. 零矩阵零矩阵也称为零矩阵或零矩阵，表示所有元素都是0。

例如：0 0 00 0 00 0 02. 单位矩阵单位矩阵也称为单位矩阵或标准矩阵，表示矩阵的对角线上的元素都是1和其他元素都是0。

例如：1 0 00 1 00 0 13. 对称矩阵如果一个矩阵A等于其转置矩阵AT，则称矩阵A是对称矩阵。

例如：1 2 32 0 43 4 5三、矩阵的运算法则在高中数学中，矩阵的运算法则包括加法、减法、数与矩阵的乘法和矩阵之间的乘法。

这里将一一介绍。

1. 矩阵的加法矩阵的加法规则很简单，对应元素相加。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的和是：A +B = [3 6 9][6 7 8][8 9 10]2. 矩阵的减法矩阵的减法规则也很简单，对应元素相减。

例如，如果有两个矩阵A和B：A = [1 2 3]B = [2 4 6][4 5 6] [2 2 2][7 8 9] [1 1 1]A和B的差是：A -B = [-1 -2 -3][2 3 4][6 7 8]3. 数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法非常简单，只需要将每个元素乘以该数即可。

上海高二数学矩阵及其运算

"23 m 1、3 -24 2这样的矩形数表叫做矩阵。

14；2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量（％◎・・"）称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量®称为列向量；由加个行向量与"个列向量组成的矩阵称为〃?X"阶矩阵，〃IX"小 Q1 21阶矩阵可记做九旳，如矩阵3为2x1阶矩阵，可记做A 肉；矩阵36 38「丿（23 21 阵，可记做A 珂。

有时矩阵也可用A 、3等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个〃w 阶矩阵九“中的第行第j （ j<n ）'51 列数可用字母©表示，如矩阵36 <23 21 28、38 36第3行第2个数为心=21。

21 28；零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有〃行（列人阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1,其余元素均 z、（\ 0 0、（1 0、为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵为2阶单位矩阵，矩阵0 1 0为3阶单位0 1矩阵。

矩阵的概念矩阵及其运算r51 21 28'36 38 36、2321 28,2 33 -24 4 1-4、当一个矩阵中所有元素均为0时, 我们称这个矩阵为零矩阵。

如"0 °为一个2x3阶1、形如2L36为3x3阶矩28丿‘51 21 28"可称此方阵为〃阶方阵，如矩阵36 38 36,23 21 28;"23 m y3 -2 4均为三阶方阵。

在一个"阶方 <41 76、如果矩阵A与矩阵3的行数和列数分别相等，那么A与3叫做同阶矩阵；如果矩阵A与矩阵B是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为A = B°2x + 3y + mz = i7、对于方程组3x-2y + 4z = 2中未知数兀z的系数按原來的次序排列所得的矩阵4x + y - /?z = 4a,我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵3¥阵。

高中数学教案学习矩阵运算

高中数学教案学习矩阵运算矩阵运算作为高中数学重要的内容之一，是线性代数的基础知识。

通过矩阵运算，我们可以解决具有多个未知数和多个方程的线性方程组，同时也可以用于线性变换和向量的计算。

本文将全面介绍高中数学教案中矩阵运算的学习内容。

1. 矩阵的定义与性质在开始学习矩阵运算之前，我们首先需要了解矩阵的基本定义和性质。

矩阵是由一组数按照一定规律排列而成的矩形阵列。

通常用方括号或圆括号表示。

在教学中，可以通过展示具体的矩阵示例，让学生理解矩阵的概念。

此外，还可以介绍矩阵的行数和列数，矩阵的行列式和逆矩阵等性质。

2. 矩阵的运算法则了解了矩阵的定义后，我们需要介绍矩阵的基本运算法则。

主要包括矩阵的加法、减法、数乘和乘法等四则运算。

在教学过程中，可以通过具体的例题演示，让学生理解并掌握各种矩阵运算法则的操作步骤和计算方法。

此外，还可以结合实际问题，让学生体会矩阵运算在解决实际问题中的应用。

3. 矩阵的转置和转化了解了矩阵的基本运算法则后，我们需要介绍矩阵的转置和转化。

矩阵的转置就是行和列互换，可以通过实例演示让学生理解转置的基本操作步骤。

在实际教学中，还可以结合矩阵的转置与矩阵的乘法，引导学生理解矩阵运算的性质和规律。

此外，还可以介绍矩阵的转化，即将一个矩阵经过初等变换等操作转化为行简化阶梯行阵列，利于解决线性方程组和求矩阵的秩等问题。

4. 矩阵运算在线性方程组中的应用在高中数学中，线性方程组是一个非常重要的内容。

通过矩阵运算方法可以更加简洁地解决线性方程组的问题。

在教学中，可以通过具体的例题，引导学生将线性方程组转化为矩阵的形式，并通过矩阵运算求解出方程组的解。

此外，还可以探讨线性方程组的解的唯一性与存在性，引导学生理解线性方程组与矩阵运算的关系。

5. 矩阵运算在线性变换和向量中的应用矩阵运算除了在解决线性方程组中的应用外，还广泛应用于线性变换和向量的计算中。

在教学中，可以通过矩阵乘法和变换矩阵的概念，引导学生理解线性变换和向量的相互转化。

沪教版(上海)高二数学上册9.2矩阵的运算_课件

解：（（12））原当方向程量组 aa12可与以表bb12示不为平：行x a时a12 ，
y
b1 b2
c1 c2
由平面向量分解定理知，存在唯一实数
x,y，使
x
a1 a2
y
b1 b2
c1 c2
，即
方程组有唯一解。
当向量
a1 a2
与
b1 b2
平行时，
对任意的x,y，a
x
பைடு நூலகம்
a1 a2
y
b1 b2
都与
a1 a2
1、思考题：统计你家今年第二季度水、电、煤气使用情况：
月份 4月
用水（m3）排水（m3）电（千瓦时）煤气（m3）
5月
6月
单价（元） 1.03
0.90
0.61
1.05
用矩阵运算求：
(1)按月计算去第二季度4、5、6月份水、电、煤气的开支费用； (2)分别计算第二季度水、电、煤气的开支费用； (3)计算第二季度水、电、煤气总开支费用。
3. 矩阵的相等若A=(aij)和B=(bij)是同阶矩阵，且矩阵A中每一个元素与矩阵B中相同位置的元素都相等，即aij=bij，则称两矩阵相等，记做A=B。
问题一：已知A22=
x 6
4 y
，B22=
1 v
u 3
，
若A=B，求x、y、u、v.
解： ∵A=B ∴x=1, y=3, u=4, v=6.
英语
平时期中期末平时期中期末平时期中期末甲 80 70 75 90 80 85 70 80 75 乙 90 70 80 80 80 75 80 90 85 丙 60 80 70 80 90 95 90 80 85

高中数学矩阵的运算沪教版

P14-7
3. 矩阵的乘法
3) 矩阵乘法满足下列运算律: (1) 结合律 (AB)C=A(BC)
矩阵
(2) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k是实数
(3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC 右分配律 (B+C)A=BA+CA 左提？右提？
(4) 设 A 是 m × n 矩阵，Em 是 m 阶的单位矩阵，
En 是 n 阶单位矩阵，则 Em A=AEn = A
单位阵相当于数1 P14-8
3. 矩阵的乘法
矩阵
4) 方阵的幂设A是 n 阶矩阵, k个A的连乘积称为A的 k 次幂,
记作 Ak ，即
A AA A
k k个
• 方阵的幂满足下列性质：（ m,k为正整数）
(1) AmAk=Am+k (2) (Am)k=Amk
b12 b1 n a22 b2 n as 2 bsn
s
• 则A与B之乘积AB，记作C=(cij )，是一个mn矩阵,
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
• 矩阵C的第 i 行第 j 列元素cij , 是A的第 i 行元素与B的第 j 列元素对应相乘相加两个矩阵能够进行乘法运算的条件是什么？ P14-6
1. 矩阵的加法 1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
Hale Waihona Puke 矩阵 a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn

沪教版(上海)高二上学期数学 9.1-9.2矩阵的概念矩阵的运算课件(共38张ppt)

9.1-9.2 矩阵的概念矩阵的运算
１矩阵的定义
由个数排成的行列的数表
称为一个行列矩阵或
矩阵. 记为或
称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
2. 几种特殊矩阵
零矩阵: 元素全为零的矩阵，记为:O或行矩阵: 只有一行的矩阵。
列矩阵: 只有一列的矩阵。
方阵: 行数列数皆相等的矩阵。上三角方阵:
非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方. 对角方阵:
数量矩阵: 单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵.
矩阵相等: 如果两个矩阵阵,且各对应元素也相同,即
是同型矩
三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
例8
注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求
以及及
，再求
及
就麻烦多了. 因此，在求解矩阵方程时，一定要注
意先化简方程.
例9
回章目录
第二章自测题
一、填空题(8分/题)
1) 为3阶方阵,已知
则
.
3) 已知则
二. 证明题 (26分)
自测题答案
一. 1) 3, 1/3, 9, 3) 0;
一个
矩阵，称为的转置矩阵，记作
转置矩阵的运算性质
对称阵: 设为阶方阵，如果满足
，即.
则称为对称阵.
反对称阵: 伴随方阵: 设是行列式
中元素的代数
余子式,称方阵为方阵的伴随方阵.
4. 方阵的行列式
由阶方阵的各元素按原位置排列构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质

2019年上海高中数学第58讲行列式矩阵算法

第58讲矩阵的概念与运算一、知识点梳理1、行向量与列向量：我们把由n 个有序实数1x ，2x ，3x ，，n x 组成的数组()123,,,,n x x x x 叫做n 维向量，其中i x 叫做该向量的第i 个分量（1,2,3,,i n =）．n 维向量通常用一个小写字母上面加箭头来表示，记为行向量()123,,,,n a x x x x =或列向量12n x xa x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．2、矩阵的基本概念：由m n ⨯个数ij a R ∈（1,2,3,,i m =，1,2,3,,j n =）排成111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭叫做m n ⨯阶的矩阵（其中ij a 叫第i 行第j 列的元素）；m n =时把它叫做n 阶方阵；矩阵A 和矩阵B 的行数和列数分别相等，则A 和B 叫做同阶矩阵；同阶矩阵A 和B 相同位置的元素都相等，则A 和B 叫做相等矩阵．形如100010001n nI ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的方阵叫做n 阶单位方阵． 3、矩阵运算（1）n 维向量的运算：设向量()123,,,,n a x x x x =，向量()123,,,,n b y y y y =，,i i x y R ∈（1,2,3,,i n =），λ为任意实数，规定：①向量的加减法：()112233,,,,n n a b x y x y x y x y ±=±±±±．②实数和向量的乘积：()123,,,,n a x x x x λλλλλ=．③向量与向量的数量积：112233n n a b x y x y x y x y ⋅=++++．（2）矩阵的加（减）法：两个同阶矩阵的对应元素相加（减），即()ij m n A a ⨯=，()ij m nB b ⨯=，则()ij ij m n A B a b ⨯±=± 加法交换律：A B B A +=+，加法结合律：()()A BC A B C ++=++．（3）矩阵与实数的乘积&矩阵的乘法：二、典型例题例1、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）231040x y x y +-=⎧⎨-=⎩；（2）12312313321746x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩．例2、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）2351414--⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）210107140148-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．例3、若214753A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131085B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，求A B -，25A B +．例4、若2133A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求105301A A A ⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭．例5、计算：（1）()351122⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ；（2）()311252⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ；（3）111210113111-⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．§10.4 行列式的概念与运算一、知识点梳理 1、基本概念：11122122a b a b a b a b =-；111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---．以上两等式中，等号左边的符号叫做二（三）阶行列式，等号右边的式子叫做二（三）阶行列式的展开式（对角线法则），起计算结果叫做行列式的值．行列式是一个数．其中i a 、i b 、i c （1,2,3i =）是行列式的元素． 2、运算法则（1）对角线法则★（2）余子式和代数余子式对于三阶或更高阶的行列式，我们还可以“按行（或按列）展开”．把行列式中某一元素所在的行与列划去后，剩下的元素按原行列式顺序排列所组成的行列式，叫做原行列式中对应于这个元素的余子式．设行列式中某一元素位于第i 行第j 列，所在的行与列划去后，把对应于这个元素的余子式乘上()1i j+-后所得到的式子叫做原行列式中对应于这个元素的代数余子式．定理1：行列式等于它的任意一行（or 一列）的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积的和．定理2：行列式的某一行（or 一列）的各元素与另一行（or 一列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．★3、三角形面积公式：11223311121ABCx y S x y x y ∆=取正11223311121ABC x y S x y x y ∆⇒=． ★4、利用行列式解方程组（1）二元一次方程组：唯一解、无解、无数解；（2）三元一次方程组：唯一解、无解、无数解． 5、三阶行列式的性质（1）性质1：把行列式各行变为对应的列（按对角线对翻），与原行列式相等，111123222123333123a b c a a a a b c b b b a b c c c c = （2）性质2：交换两行（or 两列），值的符号相反，111222111222111222333333333a b c a b c b b a a b c a b c b b a a b c a b c b b a =-=- （3）性质3：如果行列式某两行（or 两列）的对应元素相同，那么该行列式值为零．（4）性质4：如果把行列式的某一行（or 某一列）的所有元素乘一个数k ，等于k 乘原行列式，111111111222222222333333333a kbc a b c a b c a kb c k a b c a b c a kb c a b c ka kb kc == （5）性质5：如果行列式中某两行（or 两列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零．二、典型例题例1、按要求计算行列式：584345463--．（1）利用对角线法则展开；（2）按第一行展开；（3）按第二列展开．例2、把221111333322234a b a b ab a b a b a b -+表示成一个三阶行列式为．例3、解关于x 、y 的方程组：()34351mx y mx m y -=⎧⎨+-=⎩，m R ∈．例4、若关于x 、y 、z 的方程组：212x y z x y m z m x z m ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．§10.5 算法初步一、知识点梳理1、算法的概念对于一类有待求解的问题，如果建立了一套通用的解题方法，按部就班地实施这套方案就能使该类问题得到解决，那么这套解题方法就是求解该类问题的一种算法．2、算法是由一些操作步骤组成的有序系列，这个系列具有以下特点：①操作步骤必须是有限的，在有限步骤后获得结论；②每一步操作都有确定的意义；③每一步操作都是可行的；④每个算法必须有已知信息的输入和结算结果的输出．3、程序框图的概念为使算法的表述更简练，结构更清晰，用到的“含有算法内容的框和箭头”构成的图（1）常见的程序框（2）算法的三种基本逻辑结构①顺序结构描述的是简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行，各步之间通常不能交换，否则会产生不一样的结果．②条件结构是对某些算法结构进行逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理，如果“条件”成立，那么执行指令A，如果“条件”不成立，那么执行指令B．③循环结构：如果一个计算过程，要重复一系列的计算步骤若干次，每次计算步骤完全相同，这种重复执行相同指令的结构叫做循环结构．循环体：循环结构中的指令组．循环变量：用以控制重复执行循环结构的次数的变量．二、例题选讲例1、阅读框图，若输入100n ，则输出S和T值依次为．例2、给出计算111124620++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．例3、给出五十个数，1,2,4,7,11,，寻找规律，并以此类推，要求计算着五十个数的和，试将程序框图补充完整，（1）；（2）．例4、程序框图的运行结果是．例5、已知函数()3f x x=-，将流程图补充完整，（1）；（2）．例6、给出三个流程图具有相同的功能，将图（b）和图（c）所缺部分补充完整，则其中（1），（2）．例7、某算法的程序框图如图，则输出量y与输入量x满足的关系式是．例8、已知程序框图，则最后输出结果为．例9、从甲地到乙地铁路托运，不超过50kg 时，每公斤0.2元，超过50kg 时，每公斤0.25元，则（1）处填，（2）处填．例10、根据程序框图，写出通项公式．。

上海高二数学行列式知识点

上海高二数学行列式知识点行列式是高中数学中的一个重要概念，被广泛应用于线性代数、矩阵运算等领域。

通过学习行列式，我们可以更好地了解矩阵的性质和运算规则。

本文将围绕上海高二数学课程中的行列式知识点展开讲解，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。

1. 定义和基本性质行列式是矩阵中一个重要的数值，用方括号将矩阵的元素排列成一个方阵，并按照某种规则进行计算。

行列式的定义和计算方法如下：[图1]其中，A为一个n阶方阵，a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

根据以上定义，我们可以总结出行列式的基本性质：- 行列式与矩阵的元素有关，行列式的值将随着矩阵元素的变化而变化；- 行列式的阶数与矩阵的阶数相等，即n阶矩阵的行列式为n阶行列式；- 当矩阵的某一行或某一列全为零时，行列式的值为0；- 行列式的值不受矩阵元素排列顺序的影响，即行列式的值与矩阵元素的顺序无关。

2. 行列式的计算方法为了方便计算行列式，数学家们发展了一系列行列式的计算方法，其中最常用的两种方法是按行展开和按列展开。

（1）按行展开按行展开是一种递归计算行列式的方法，具体步骤如下：- 选择第一行的元素a_ij（一般选择第一行第j列）；- 划掉行i和列j所在的元素，得到一个n-1阶子式；- 使用代数余子式，计算子式的余子式乘积，再与元素a_ij相乘得到代数余子式；- 根据一定的规律将代数余子式的符号确定为正或负；- 重复以上步骤，直到计算出所有的代数余子式；- 将所有代数余子式相加，得到行列式的值。

（2）按列展开按列展开是另一种递归计算方法，原理和按行展开类似，只是选择的元素是第j列的元素。

这两种展开方法各有优劣，根据具体的矩阵和计算要求选择合适的方法进行计算。

3. 行列式的性质行列式具有一些重要的性质，其中最重要的性质有：（1）性质1：行列式的转置等于原行列式这个性质说明了行列式与转置矩阵的关系，即行列式的值不受矩阵转置的影响，仍然保持不变。

（2）性质2：行列式乘以一个数，其值等于该数与行列式原值的乘积这个性质说明了行列式的可加性，即行列式的每个元素都乘以同一个数，行列式的值也将乘以这个数。

高中数学矩阵的运算

矩阵的运算
矩阵的定义矩阵的加法与减法矩阵的系数乘法矩阵的乘法
矩阵的定义 p.143~p.147
矩阵的定义：设 m，n 为正整数，形如
a11 a12

a21
a22

am1
am2
a1n
a2n

amn

的矩形阵列称为 m n 阶矩阵，以 aij mn 表示。此矩阵有 m 列，n 行，其中 aij 为第 i 列与第 j 行交叉位置上
2i j，因此
a11 21 1 3， a12 21 2 4，a13 21 3 5 a21 2 2 1 5， a22 2 2 2 6，a23 2 2 3 7
故得
A

3 5
4 6
5 7
矩阵的定义 p.143~p.147
2 1
3 0
， B

1 2
3 4
，试求下列各矩阵：
(1) 2 B。
(2) 3A 2B。
(1)
(2)B

(2) (1) (2) 2
(2) (3) (2) (4)

2 4
6 8
(2)
3A 2B
3

的元，称为矩阵的第 i , j 元。
1 p.145
已知矩阵A aij 23，其中aij 2i j，试求矩阵 A。
A

aij

表示这是一个
23
2

3
阶的矩阵(
2
列，3
行
)
而 aij 2i j 表示第 i , j 元(位于第 i 列，第 j 行的元)是

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