高中数学 矩阵的运算 沪教版
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ka11 ka kA 21 kam1 ka12 ka22 kam 2 ka1n ka2 n kamn
矩 阵
• 并称矩阵kA为数k与矩阵A的乘积 注意：数k与一个矩阵A相乘, 实质是遍乘 2) 数与矩阵的乘法满足下列运算律: (1) (kl)A=k(lA); (2) (k+l)A=kA+lA; (3) k(A+B)=kA+kB; 其中k , l是实数.
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn
• 并称A+B为A与B之和. • 只有行数与列数都相同的矩阵(即同型矩阵)才能相加. • 两个矩阵的加法实质是对应元素相加 P14-2
P14-7
3. 矩阵的乘法
3) 矩阵乘法满足下列运算律: (1) 结合律 (AB)C=A(BC)
矩 阵
(2) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k是实数
(3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC 右分配律 (B+C)A=BA+CA 左提？右提？
(4) 设 A 是 m × n 矩阵，Em 是 m 阶的单位矩阵，
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 • 称－A为 A 的负矩阵.
a1n a2 n amn
P14-4
• 还可定义矩阵的减法 A－B = A+(－B)
1. 矩阵的加法 2. 数与矩阵的乘法 1) 设k是实数, A=(aij) 是一个mn矩阵, 规定
2) 矩阵的加法满足下列运算律: (1)交换律: A+B=B+A; (2)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (3)零矩阵满足: A+O=A; (4)存在矩阵(-A)满足: A+(-A)=O，其中 P14-3
1. 矩阵的加法
矩 阵
2) 矩阵的加法满足下列运算律: (1)交换律: A+B=B+A; (2)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (3)零矩阵满足: A+O=A; (4)存在矩阵(-A)满足: A+(-A)=O，其中
1.2 矩阵的运算
一、同型矩阵
矩 阵
若矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等, 则称A与B 为同型矩阵
二、矩阵相等
设矩阵A=(aij)和B=(bij)为同型矩阵, 若它们的对应元素相等, 即aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n), 就称A和B相等, 记作A=B 如
n
Ak AA A
k个
例1 计 算
P14-10
4. 矩阵的转置 a11 1) 把一个 mn 矩阵
En 是 n 阶单位矩阵，则 Em A=AEn = A
单位阵相当于数1 P14-8
3. 矩阵的乘法
矩 阵
4) 方阵的幂 设A是 n 阶矩阵, k个A的连乘积称为A的 k 次幂,
记作 Ak ，即
A AA A
k k个
• 方阵的幂满足下列性质：（ m,k为正整数）
(1) AmAk=Am+k (2) (Am)k=Amk
3. 矩阵的乘法
矩阵乘法运算举例
矩 阵
注 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律 2) 若矩阵A，B 满足 AB = BA，则称矩阵A和B可交换
1 0 例1 设A ，求所有与 A可交换的矩阵 2 1
例2 设A与B1和B2均 可 交 换 ， 证 明 ： (1) A与B1 B2 , B1 B2也 可 交 换; ( 2) A2 B12 ( A B1 )( A B1 ) .
b12 b1 n a22 b2 n as 2 bsn
s
• 则A与B之乘积AB，记作C=(cij )，是一个mn矩阵,
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
• 矩阵C的第 i 行第 j 列元素cij , 是A的第 i 行元素与B的 第 j 列元素对应相乘相加 两个矩阵能够进行乘法运算的条件是什么？ P14-6
1. 矩阵的加法 1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
矩 阵
a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn
x 0
1 8 3 y 4 0
1 z 2 4
P14-1
可得 x=3, y=2, z8
矩 阵
三、矩阵的运算
1. 矩阵的加法
1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
判断: (k为大于1的整数) (1) 设A，B为 n 阶方阵，则 (AB)k = AkBk
(2) 若Ak =
( )
o ，则 A = o
P14-9
( )
3. 矩阵的乘法 4) 方阵的幂
矩 阵
设 A 是 n 阶矩阵, 规定A0 ＝
E
n
0 1 0 0 a 0 0 1 0 ( 2) (1) b 0 0 0 1 c 0 0 0 0 例2 设A与B为同阶方阵，A = (1/2)(B+E)， 证明: A2 = A B2 = E
P14-5
3. 矩阵的乘法 1) 设A是一个 ms 矩阵, B是一个 sn 矩阵
矩 阵
a11 a A 21 am1
•wenku.baidu.com且
a12 a22 am 2
a1 s a2 s ams
b11 b B 21 bs1
矩 阵
• 并称矩阵kA为数k与矩阵A的乘积 注意：数k与一个矩阵A相乘, 实质是遍乘 2) 数与矩阵的乘法满足下列运算律: (1) (kl)A=k(lA); (2) (k+l)A=kA+lA; (3) k(A+B)=kA+kB; 其中k , l是实数.
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn
• 并称A+B为A与B之和. • 只有行数与列数都相同的矩阵(即同型矩阵)才能相加. • 两个矩阵的加法实质是对应元素相加 P14-2
P14-7
3. 矩阵的乘法
3) 矩阵乘法满足下列运算律: (1) 结合律 (AB)C=A(BC)
矩 阵
(2) 数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中k是实数
(3) 左分配律 A(B+C)=AB+AC 右分配律 (B+C)A=BA+CA 左提？右提？
(4) 设 A 是 m × n 矩阵，Em 是 m 阶的单位矩阵，
a11 a12 a a22 21 A am1 am 2 • 称－A为 A 的负矩阵.
a1n a2 n amn
P14-4
• 还可定义矩阵的减法 A－B = A+(－B)
1. 矩阵的加法 2. 数与矩阵的乘法 1) 设k是实数, A=(aij) 是一个mn矩阵, 规定
2) 矩阵的加法满足下列运算律: (1)交换律: A+B=B+A; (2)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (3)零矩阵满足: A+O=A; (4)存在矩阵(-A)满足: A+(-A)=O，其中 P14-3
1. 矩阵的加法
矩 阵
2) 矩阵的加法满足下列运算律: (1)交换律: A+B=B+A; (2)结合律: (A+B)+C=A+(B+C); (3)零矩阵满足: A+O=A; (4)存在矩阵(-A)满足: A+(-A)=O，其中
1.2 矩阵的运算
一、同型矩阵
矩 阵
若矩阵A=(aij)和B=(bij)的行数和列数分别相等, 则称A与B 为同型矩阵
二、矩阵相等
设矩阵A=(aij)和B=(bij)为同型矩阵, 若它们的对应元素相等, 即aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n), 就称A和B相等, 记作A=B 如
n
Ak AA A
k个
例1 计 算
P14-10
4. 矩阵的转置 a11 1) 把一个 mn 矩阵
En 是 n 阶单位矩阵，则 Em A=AEn = A
单位阵相当于数1 P14-8
3. 矩阵的乘法
矩 阵
4) 方阵的幂 设A是 n 阶矩阵, k个A的连乘积称为A的 k 次幂,
记作 Ak ，即
A AA A
k k个
• 方阵的幂满足下列性质：（ m,k为正整数）
(1) AmAk=Am+k (2) (Am)k=Amk
3. 矩阵的乘法
矩阵乘法运算举例
矩 阵
注 一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律和消去律 2) 若矩阵A，B 满足 AB = BA，则称矩阵A和B可交换
1 0 例1 设A ，求所有与 A可交换的矩阵 2 1
例2 设A与B1和B2均 可 交 换 ， 证 明 ： (1) A与B1 B2 , B1 B2也 可 交 换; ( 2) A2 B12 ( A B1 )( A B1 ) .
b12 b1 n a22 b2 n as 2 bsn
s
• 则A与B之乘积AB，记作C=(cij )，是一个mn矩阵,
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
• 矩阵C的第 i 行第 j 列元素cij , 是A的第 i 行元素与B的 第 j 列元素对应相乘相加 两个矩阵能够进行乘法运算的条件是什么？ P14-6
1. 矩阵的加法 1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
矩 阵
a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2
a1n b1 n a2 n b2 n amn bmn
x 0
1 8 3 y 4 0
1 z 2 4
P14-1
可得 x=3, y=2, z8
矩 阵
三、矩阵的运算
1. 矩阵的加法
1) 设A=(aij)和B=(bij)是两个mn矩阵, 规定
a11 b11 a b A B ( aij bij ) 21 21 am1 bm1
判断: (k为大于1的整数) (1) 设A，B为 n 阶方阵，则 (AB)k = AkBk
(2) 若Ak =
( )
o ，则 A = o
P14-9
( )
3. 矩阵的乘法 4) 方阵的幂
矩 阵
设 A 是 n 阶矩阵, 规定A0 ＝
E
n
0 1 0 0 a 0 0 1 0 ( 2) (1) b 0 0 0 1 c 0 0 0 0 例2 设A与B为同阶方阵，A = (1/2)(B+E)， 证明: A2 = A B2 = E
P14-5
3. 矩阵的乘法 1) 设A是一个 ms 矩阵, B是一个 sn 矩阵
矩 阵
a11 a A 21 am1
•wenku.baidu.com且
a12 a22 am 2
a1 s a2 s ams
b11 b B 21 bs1