1.13 一元二次方程的算法 课件(湘教版九年级上)
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湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 一元二次方程
根据题意，得 751 x2 108.
整理，得 25x2 50x 11 0. ②
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条 宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)， 把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少 呢？
cm，则盒底的长为(100－2x)cm， 宽为(50－2x)cm，根据方盒的底
3600 cm2
50 cm
面积为 3600 cm2，得
x
该方程中未知数 的100个cm数和最高次
化简，得 x2 75x 350 0 ①
数各是多少？
(2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间 都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛?
解：根据题意，列方程 1 x(x 1) 28. 2
化简，得
x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
列方程
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是 2
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二 次方程的必要条件
（其中 π 取 3）； 解：设由于圆的半径为 x cm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意，得 200150 3x2 200150 3 .
整理，得
x2 2500 0. ①
4
200 cm
问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥 有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来 汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为 x，
整理，得 25x2 50x 11 0. ②
问题 在一块宽 20 m、长 32 m 的矩形空地上，修筑三条 宽相等的小路 (两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)， 把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 如图，要使花坛的总面积为 570 m2，小路的宽应为多少 呢？
cm，则盒底的长为(100－2x)cm， 宽为(50－2x)cm，根据方盒的底
3600 cm2
50 cm
面积为 3600 cm2，得
x
该方程中未知数 的100个cm数和最高次
化简，得 x2 75x 350 0 ①
数各是多少？
(2)要组织要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间 都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安 排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛?
解：根据题意，列方程 1 x(x 1) 28. 2
化简，得
x2 x 56 0 ②
该方程中未知数 的个数和最高次 数各是多少？
课堂小结
概念
一 元 二 一般形
次方程
式
列方程
① 是整式方程； ② 含一个未知数； ③ 最高次数是 2
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中(a ≠ 0)是一元二 次方程的必要条件
（其中 π 取 3）； 解：设由于圆的半径为 x cm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意，得 200150 3x2 200150 3 .
整理，得
x2 2500 0. ①
4
200 cm
问题2： 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥 有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆. 求该市两年来 汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为 x，
湘教版九年级数学上册精品教学课件 第二章 一元二次方程 一元二次方程应用：复率问题课件
思考:(1)若设年平均增长 上网计算
率为x,你能用x的代数式 表示2002年的台数吗? 3200
机总台数
(万台)
(2)已知2002年的台数 2400
是多少? (3)据此,你能列出方
1600
. 800 350
.892
.
1254
. .3089
2083 年份
程吗?
0 2000年 2000年 2001年 2002年 2003年
892（1+x)2=2083
(1+x)2= 2083
892
x1
x 2083 1
892
2083 892
1≈52.8%
x2
2083 892
1 (不合题意，舍去）
答：从2000年12月31日至2002年12月31日我国计算机上网总台数的年平均增长
率是52.8%.
2023年2月20日3时21分
依次类推n次降低后的值为 a •( 1 x )n
2023年2月20日3时21分
3
问题:截止到2000年12月31日，我国的上网计算机总数为 892万台；截止到2002年12月31日，我国的上网计算机总 数以达2083万台. （1）求2000年12月31日至2002年12月31日我国的上网计 算机台数的年平均增长率（精确到0.1%）.
某单位为节省经费,在两个月内将开支从 每月1600元降到900元,求这个单位平均每 月降低的百分率是多少?
2023年2月20日3时21分
9
练一练:
某校坚持对学生进行近视眼的防治,近视学生 人数逐年减少.据统计,今年的近视学生人数是 前年人数的75℅,那么这两年平均每年近视学 生人数降低的百分率是多少(精确到1℅)?
湘教版九年级上册数学教学课件(第2章 一元二次方程)
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六70m2，问小路的
宽应为多少？
20 32
x
思考 ： 1.若设小路的宽是xm，那么
横向小路的面______m2 ， 32x
知识要点
一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做
一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次
项系数. bx 称为一次项, c 称为常数项.
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩
形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取 3） .
150cm
解：设由于圆的半径为xcm， 则它的面积为 3x2 cm2.
3 2 根据题意有， 200 150 3x 200 150 4
纵向小路的面积是 2³20x 32 m2,两者重叠的面积是 2x 2 m2. 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出 方程吗？
32³20－(32x＋2³20x)＋2x2=570 整理以上方程可得： x2-36x＋35=0 ③
20
x
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
2
化简整理成
少了限制条件
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
湘教版九年级上册数学教学课件 第2章一元二次方程 因式分解法 第1课时用因式分解法解一元二次方程
两个一次式分别 等于0，降次
x1
0,
x2
100 49
定义：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化
为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为___0__； （2）将方程的左边进行_因__式__分__解___； （3）令每个因式为___0__，得到两个一元一次方程； （4）解一元一次方程，得到方程的解.
10x-4.9x2 =0
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.2：根据所学知识，分别用配方法和公式法解这
个方程.
10x-4.9x2 =0
1.配方法解方程
10x-4.9x2 =0
二次项系数化为1，得 x2 100 x 0， 49
配方，得
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法
第1课时 用因式分解法解一元 二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.用因式分解法解一元二次方程
新知导入
试一试：回顾所学知识，完成下面内容。 (1) (x-3)(x+4)=_x_2_-x__-_1_2； (2) x2+x -12=(x-__3___ )(x+__4___)；
想一想：你能从中想到快速解方程x2-x -12=0的方法吗？
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.1：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度 (单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过 多少秒落回地面吗，列出方程即可. 解 设物体经过 x s落回地面，这时它离地 面的高度为0，即
x1
0,
x2
100 49
定义：这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化
为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程的右边化为___0__； （2）将方程的左边进行_因__式__分__解___； （3）令每个因式为___0__，得到两个一元一次方程； （4）解一元一次方程，得到方程的解.
10x-4.9x2 =0
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.2：根据所学知识，分别用配方法和公式法解这
个方程.
10x-4.9x2 =0
1.配方法解方程
10x-4.9x2 =0
二次项系数化为1，得 x2 100 x 0， 49
配方，得
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法
第1课时 用因式分解法解一元 二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.用因式分解法解一元二次方程
新知导入
试一试：回顾所学知识，完成下面内容。 (1) (x-3)(x+4)=_x_2_-x__-_1_2； (2) x2+x -12=(x-__3___ )(x+__4___)；
想一想：你能从中想到快速解方程x2-x -12=0的方法吗？
课程讲授
1 用因式分解法解一元二次方程
问题1.1：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度 (单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过 多少秒落回地面吗，列出方程即可. 解 设物体经过 x s落回地面，这时它离地 面的高度为0，即
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
湘教版九年级上册数学精品教学课件 第2章 一元二次方程 第2课时 图形面积问题
视频：平 移求面积 动态展示
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例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用
100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩
形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
解：设 AB 长是 x m. (100 - 4x)x = 400 整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
运用常见几何图形的 面积公式构建等量关系
几何图形问 题与一元二 次方程
类型
课本封面问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形 平移聚零为 整，方便列 方程
动点面积问题
用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m
的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
则平行于住房墙的一边长 (25 − 2x + 1) m.
由题意得 x(25 − 2x + 1) = 80，
上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使
草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 32 32x 20x x2 540. 20
x
还有其他列法吗？
32
方法二：
x
解：设道路的宽为 x m. 则
(32 − x)(20 − x) = 540.
20
整理，得 x2 − 52x + 100 = 0.
解得
x1=
17 3
229
0.62，x2=
17
3
229
初中数学湘教版九年级上册一元二次方程的解法 课件PPT
把方程左边因式分解，得 (5x 1)(2x 3) 0，
由此得 解得
5x 1 0 或 2x 3 0，
x1
1， 5
x2
3. 2
例8 用因式分解法解方程： x2 10x 24 0.
x2 10x 24 0
解
配方，得 x2 10x 52 52 24 0.
5. 2
（4）( x 1)2 4 0
解 把方程左边因式分解，得
(x+1+2) (x+1-2)= 0, 即 (x+3） (x-1)= 0. 由此得出 x+3 =0 或 x-1=0,
初中数学湘教版九年级上册 《一元二次方程的解法》
类型：获奖课件PPT
一元二次方程的解法
• 1、因式分解有哪些方法？ • 2、分别举例。 • 3、什么叫因式分解？
x2－4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0
AB=0A=0或Ｂ＝０
X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
反过来，如果 d 和 h 是方程 x2 bx c 0 的
两个根，则方程的左边就可以分解成
x2 bx c ( x d )(x h).
十字相乘法分解因式－解方程1
解方程1x2 6x 8 0; 2x2 5x 6 0; 3x2 x 20 0; 4x2 2x 8 0 5y 2 3x 2 0; 6x2 11x 30 0
解 原方程可化为 x2 -8x 0.
把方程左边因式分解， 得 x(x 8) 0，
一元二次方程的解法(直接开平方法)课件湘教版九年级数学上册
实质上，一元二次方程
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
转化
两个一元一次方程
（2）当n=0 时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
（3）当n<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程无实数根.
典例精析
例2 解方程：4x²-25=0.
2
解：原方程可化为：x = .
根据平方根的意义，得x=
或 x=−
，
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
根据平方根的意义，
得
x+1= 或x+1=-
−
+
∴x= 或x=－
因此，原方程的根为x1= ，x2=− .
当堂练习
2.解方程
（1）( x+3)2-36=0;
解:(1)原方程可化为
(x+3)2=36
根据平方根的意义，得
+= 或+= −
因此，原方程的根为
x1=，x2=−.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（直接开平方法）
复习导入
一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的平方根.
2 =
即
（a≥0），则x叫做a的平方根，表示为：
=±
（a≥0）
下列各数有平方根吗？若有,你能求出它的平方根吗？
25 ， 0
25
， 16
， 2 ， -33，4 Nhomakorabea.
探究新知
1.如图，已知一矩形的长为200cm，宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部
解得 = . ， = .
新湘教版九年级数学上册第二章同步教学课件2.1一元二次方程 (共14张PPT)
x 4 ( x 2)
2 2
2
2）（x-2）(x+3)=8
3）
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx c 0 ， ax 2 bx c 0 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程一般形式。
3.在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要 性。
2
什 么 条 件 下 为 一 元 二方 次程 ？ 什 么 条 件 下是一元一次方程？
2、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－ 5m＋4=0有一根为2，求m。
3.将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的 二次项系数、 一次项系数和常数项：
1）
( x 3 )( 3 x 4 ) ( x 2 )
例2 下列方程是否一元二次方程？若是，说明理由
(1)5 x 10; (3) x 160;
2
(2)9 x 4 x 6 1 2 (4) y 0 y
2
(5)3 x y 6; (7)ax 4 x 0
2
(6)4 x 6 x 3x 4 x
2
2
提示：（1）都是整式方程， （2）只含有一个 未知数 ， （3）未知数的最高次数是 2。
根据等量关系可以列出方程： 200×150-3x2=200×150× 化简，整理得：3x2-250=0Fra bibliotek3 4①
（2）据某市交通部统计，前年该市汽车拥有量为75 万辆，两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车 拥有量的年平均增长率x应满足的方程。 由于该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x， 根据等量关系，可以列出方程： 75（1+x）2=108 化简，整理得： 25x2+50x-11=0 ②
2 2
2
2）（x-2）(x+3)=8
3）
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以 化为 ax 2 bx c 0 ， ax 2 bx c 0 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程一般形式。
3.在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要 性。
2
什 么 条 件 下 为 一 元 二方 次程 ？ 什 么 条 件 下是一元一次方程？
2、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－ 5m＋4=0有一根为2，求m。
3.将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的 二次项系数、 一次项系数和常数项：
1）
( x 3 )( 3 x 4 ) ( x 2 )
例2 下列方程是否一元二次方程？若是，说明理由
(1)5 x 10; (3) x 160;
2
(2)9 x 4 x 6 1 2 (4) y 0 y
2
(5)3 x y 6; (7)ax 4 x 0
2
(6)4 x 6 x 3x 4 x
2
2
提示：（1）都是整式方程， （2）只含有一个 未知数 ， （3）未知数的最高次数是 2。
根据等量关系可以列出方程： 200×150-3x2=200×150× 化简，整理得：3x2-250=0Fra bibliotek3 4①
（2）据某市交通部统计，前年该市汽车拥有量为75 万辆，两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车 拥有量的年平均增长率x应满足的方程。 由于该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x， 根据等量关系，可以列出方程： 75（1+x）2=108 化简，整理得： 25x2+50x-11=0 ②
新湘教版九年级上册初中数学 2.1 一元二次方程 教学课件
度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感．按此比
例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关
A
系： AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x).
整理，得x2＋2x－4＝0. B
第四页，共二十页。
写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－ 8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8，
常数项为－10.
第十四页，共二十页。
新课讲解
知识点03 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解， 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
已知方程的解求代数式的值， 一般先把已知解代入方程，得 到等式，将所求代数式的一部 分看作一个整体，再用整体思 想代入求值．
第十六页，共二十页。
课堂小结
一 元 二 次 方 程
是整式方程
一元二次方程的概念
只含有一个未知数
一元二次方程的一般形式
未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数
拓展与延伸
D
1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为
2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为
3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为
.1 . -1
湘教版九年级数学上册课件：一元二次方程的应用(4)
SΔPDQ=S矩形ABCD-SΔADP-SΔPBQ-SΔDCQ
1、有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位
上的数字位数2。4
2、某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作
方法，每天多加工10个，一共用了5天完成了任务．求改进
操作方法后每天加工的零件个数? 40个．
2.5
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：
一审、二设、三列、四解、五检并作答
实际问题
分析数量关系 建立一元二 设未知数 次方程模型
解一元二 次方程
实际问题的解
检验
一元二次
方程的根
列式填空:
1、一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，设个位数字
为a,这个两位数是 10(a-2)+a 。
2、由甲、乙两队合做12天可完成一项工程；如果由甲单
请乙队需要：1400×30=42000元 请甲、乙两队合作需要：（2000+1400）×12=40800元
故请甲队单独完成此项工程花钱最少。
4、如图，在矩形ABCD中，AB=6 cm，BC=12 cm，点P
从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点
B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面
3、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千
米到科技展览馆参观。返回时 比去时每小题少走1千米，结
果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度。 4、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点， 3 千米/小时
AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、 A
D
C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直 P
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午12时39分22.4.1300:39April 13, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月13日星期三12时39分32秒00:39:3213 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
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解题框架图
解：原方程可变形为： =0
( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A
=0或 一次因式B =0
∴ x 1= A解 , x 2 = A解
1、 什么样的一元二次方程可以 用因式分解法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方 程，其关键是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方 程的理论依据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程， 必须要先化成一般形式吗？
小
结：
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个一次因式 的乘 积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个一元 一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程的解 2.解一元二次方程的方法：
直接开平方法 因式分解法
配方法
公式法
书P44归纳
十字相乘法
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
(
)
练习：书P45练习
复习引入: 1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？ 2、请用已学过的方法解方程 2 x － 4=0
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
重 点 难 点
重点： 用因式分解法解一元二次方程 难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0 （ A、B表示两个因式）
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5 ）（x+2)=18
2 ②(2a－3) =(a－2)(3a－4)
③
2
2 y =3y
2 ④x ჷ3)=28
2 2 ⑥(4x－3) =(x+3)
(7) x ( 3 2 ) x 6 0
2
x 3 x(3 2 x) x(3x 1) (8) 3 2 3
解下列方程 1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x2+2x－8=0 (x－2)(x+4)=0 x－5=0或x+2=0 x－2=0或x+4=0 ∴ x1=5 ,x2=-2 ∴ x1=2 ,x2=-4
解题步骤演示
例 (x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 方程右边化为零 x2+2x－8 =0 (x－2)(x+4)=0 左边分解成两个 一次因式 的乘积 至少有一个一次因式为零 得到两个一元一次方程 x－2=0或 x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 两个一元一次方程的解 就是原方程的解
2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
例1、解下列方程
(1)3x( x 2) 5( x 2) 2 (3)(3x 1) 5 0
(1)3x( x 2) 5( x 2)
解：移项，得 3x( x 2) 5( x 2) 0
( x 2) (3x 5) 0
x+2=0或3x－5=0 5 ∴ x1=-2 , x2= 3
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。