数量关系之三集合容斥问题解题技巧

2012年备考数量关系之三集合容斥问题解题技巧：公式法2011年08月29日 21:10:58 来源：新华教育【字号大小】【收藏】【打印】【关闭】

在国家公务员行测考试中，数量关系模块中的容斥问题必不可少，也是学员觉得最难突破的一大问题。究其原因，一则是容斥问题很复杂，特别是三集合容斥问题涉及的已知量特别多，读完题容易被绕进去；二则是没有好的方法切入，做出来非常消耗时间。其实，掌握好公式法对于解决三集合容斥问题很有帮助。本篇就对三集合容斥问题的解题技巧之公式法进行阐释。

一、三集合标准型公式

集合A、B、C，满足标准型公式：

=

=总数-三者都不满足的个数

三集合标准型公式适用于题目中各类条件都明确给出的情况。另外，可使用尾数法，判断个位数的相加减快速确定正确答案。

【例题1】（浙江-行测-2009-55）某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（）

A.1人

B.2人

C.3人

D.4人

【答案】B。各类条件明确给出，直接使用公式法。三者都不满足的个数=总数-=50-（40+36+30-28-26-24+20），可使用尾数法，尾数为2，选B。

【例题2】（国家-行测-2009-116）如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问图中阴影部分的面积为多少（）？

A.14

B.15

C.16

D.17

【答案】C 。直接使用三集合标准型公式，

=

-(

)=290-(64+180+160-24-70-36)，根据尾数法得，尾数为6，选C 。

二、三集合整体重复型公式

三集合容斥问题中，有些条件未知时，就不能直接使用标准型公式，而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时，使用整体重复型公式。并且，三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。另外，仍可利用尾数法可以快速求解。

三集合A 、B 、C ，用W 代表，满足一个条件的数量为x （仅单色区域），满足两个条件的数量为y （双色区域），满足三个条件的数量为z （三色区域），则有：

W=x+y+z

A+B+C=x+2y+3z

【例题3】（国家-行测-2010-50）某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？（）

A. 120

B.144

C. 177

D.192

【答案】A。根据题意，分别已知两种条件、三种条件都满足的个数，使用三集合整体重复型公式：

W=x+46+24

63+89+47=x+2*46+3*24 根据尾数法，解得x尾数是5，W尾数是5。

因此，学生总数=W+15，尾数为0，选A。

【例题4】（国家-行测-2011-74）某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（）

A. 37

B.36

C. 35

D. 34

【答案】D。根据题意，分别已知满足一种条件、两种条件的个数，使用三集合整体重复型公式：

W=x+7+1

8+9+10=x+2*7+3*1 根据尾数法，解得x尾数为0，W尾数为8。因此，全合格的产品数=总数-W=52-W，尾数为4，选D。

三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的：标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况，而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数，因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形，特别是整体重复型公式，三集合容斥问题就迎刃而解了。