圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质

一 本讲学习目标

1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。

2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。

3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。

二 重点难点考点分析

1、运用性质解决有关问题

2、圆周角的转换和计算问题

3、垂径定理在生活中的运用及其计算

三 知识框架

圆的定义

确定一个圆

不在同一直线上的三点点与圆的位置关系

圆的性质

圆周角定理及其推论

垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性

四 概念解析

1、 圆的定义，有两种方式：

错误!未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径；

错误!未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念：

错误!未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示

线段AB ，BC ，AC 都是弦；

错误!未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦；

错误!未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ；

错误!未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两

条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆；

错误!未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于半

圆周的圆弧叫做优弧；

错误!未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误!未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形；

错误!未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧；

错误!未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠

错误!未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。

3、 圆的有关性质

①圆的对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。

错误!未找到引用源。垂径定理

A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧；

B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2

所示。 注意

(1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若

上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。

错误!未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系

A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；

B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等；

错误!未找到引用源。圆周角定理及推论

A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；

B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。

五 例题讲解

例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值.

例1题图

A

B

C

O

A B C D O 第3题图 E

例2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=5，∠BOC=50°，OE⊥AC，垂足为E ．

(1) 求OE 的长．(2)求劣弧AC ⌒ 的长(结果精确到0.1)．

例3. 如图9所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．

（1）求证：∠ACO =∠BCD ．

（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．

课堂练习

1.已知⊙O 的半径为10cm,弦AB ∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD 的距离为( ) A.2cm B.14cm C.2cm 或14cm D.10cm 或20cm

2.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是上的三等分点，∠AOE=

60，则∠COE 是（ ） A.

40 B.

60 C.

80 D.

120

3.如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝2，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（ ）

A ．2

B ．1

C ．1.5

D ．0.5

4.如图2，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 为AB 延长线上一点，∠CBE=40°，则∠AOC 等于（ ）

A.20°

B. 40°

C. 80°

D.100°

例3题

E

D

B

A

O C

例2题图

D