小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
小学 奥数裂项法(含答案)
奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：即或下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：分析与解答：上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：公式的变式当分别取1，2，3，……，100时，就有例3. 设符号（）、< >代表不同的自然数，问算式中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，就变成，与前面提到的等式相联系，便可找到一组解，即另外一种方法设都是自然数，且，当时，利用上面的变加为减的想法，得算式。
这里是个单位分数，所以一定大于零，假定，则，代入上式得，即。
又因为是自然数，所以一定能整除，即是的约数，有个就有个，这一来我们便得到一个比更广泛的等式，即当，，是的约数时，一定有，即上面指出当，，是的约数时，一定有，这里，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故（）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】二.尝试体验：1. 计算：2. 计算：3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
【试题答案】1. 计算：2. 计算：3. 已知是互不相等的自然数，当时，求。
的值为：75，81，96，121，147，200，361。
因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有还有别的解法。
裂项法（二）前一节我们已经讲过，利用等式，采用“裂项法”能很快求出这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
六年级奥数-分数裂项
六年级奥数-分数裂项裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】111...... 101111125960 +++⨯⨯⨯【巩固】2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯【例 2】1111 11212312100 ++++++++++公式的变式1 1221+++=⨯-…n n n()例题精讲当n 分别取1，2，3，……，100时，就有 112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101求和公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯= 方法一：方法二：【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【巩固】11111113610152128 ++++++=一项隔一项来拆项【巩固】计算：1111111112612203042567290--------＝【巩固】11111104088154238++++=。
奥数专题：分数的拆分及裂项综合运算(含解析)印刷版
一．填空题（共 8 小题）
1．计算： ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝
．
2．
+
+
+…+
＝
．
3．设 A、B 为自然数，并且满足 + ＝ ，A+B＝
．
4．我们把分子为 1 的分数称为“单位分数”，一个单位分数可以分成两个单位分数之和，例如
，
请将 分成两个分母不同的单位分数之和： ＝
．
答：这三个数的和为 15． 故选：B． 三．判断题（共 1 小题） 11． + ＝ ， + + ＝ ，则 C＝3 √ （判断对错）
【分析】把 + ＝ 代入 + + ＝ 中，可得 + ＝ ，所以 ＝ ﹣ ＝ ，所以 C＝3．
根据以上规律计算： （1） （2）
，…
五．解答题（共 5 小题） 21．在“括号”中填入同一个数，可使算式成立： + ＝ 。
22． + + ＝ ．
23．请先阅读下列材料：因为 1﹣
；
，
所以：
，
，……
请你根据以上材料提供的信息，求
的值．
24．
．
3
25．阅读理解题：求
的值可用下面的两种方法：
方法一：
方法二：通过画图发现
【解答】解：1﹣
＝
；
1﹣
＝
；
1﹣
＝
＝
；
因为
＞
＞
，
因此
＞
＞＝
，
7
所以
＜
＜
．
即 b＞c＞a． 故答案为：b，c，a． 二．选择题（共 2 小题） 9． + + + +……+ + ＝（ ）
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数 分数裂项综合题型训练,非常完整版带答案
分数裂项巧算综合题型训练建立抵消的思想，灵话运用裂项的方法求解一些分数数列的计算问题．板块一：基础题型1、计算：⋅⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯10919818717616515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯999727525323123．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯1009818616414214．计算：.90172156142130120112161+++++++5．计算：⋅+++++970011301701281416．计算：⋅⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+109109989887877676656590725642302012628．计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯100999825432432232129．计算：⋅++++++24023921020920191211652110．计算：⋅+⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯-)911()911()311()311()211()211(板块二：中档题1．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2008200716515414313212112．计算：⋅⨯++⨯+⨯+⨯+⨯101983141131183853523⨯⨯⨯⨯⨯⨯1311119977553314．计算：;90117721155611342111301920171215613211)1(++++++++⋅⨯-⨯-⨯+⨯++⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯-⨯-⨯+⨯42408241398040387839377611920108189716861475126410538426314)2(5．计算：)10921()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121++++⨯++++++++⨯+++++⨯+++⨯+6．计算：⋅++++++42083938075920391223611237.计算：⋅⨯⨯++⋅⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10097999810798746541328.计算： ⋅+++++++++++++++206421864216421421219.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯504948154314321321110.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10981154364325321411.计算：⋅-⨯⨯⋅-⨯-)9911()311()211(22212.计算：⋅⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+)2009200711()5311()4211()3111(板块三：拔高题型1.计算：⋅⨯++⨯+++⨯++⨯+201920191918191832322121222222222.计算：.1201201181181414121222222222⋅-++-+++-++-+3.已知算式)19189()17168()542()321(+⨯+⨯⨯+⨯+ 的结果是一个整数，那么它的末两位数字是多少？4.计算：⋅⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯201918375437432532135.计算：!10099!43!32!21++++ （最后结果可以用阶乘表示）6.已知22226411019181,81++++== B A ，请比较A 和B 的大小。
(完整版)六年级奥数-分数裂项
分数裂项计算授课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行合适的变形，也许先进行一部分运算，使其变得更加简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可以分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大要点特色：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x提取出来即可转变成分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的核心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
小学奥数：分数裂项.专项练习
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
(完整版)六年级奥数-分数裂项(最新整理)
2
2
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2
2
= 16 × ( +
+
+
+
+
+
+)
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7 7×8 8×9
1 11
11
= 16 × 2 × (1 ‒ 2 + 2 ‒ 3 + … + 8 ‒ 9)
【巩固】 1 1 1 1 1 1 1 1 _______ 6 12 20 30 42 56 72 90
【巩固】 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124
10 17 - 7 26 30 - 4
=
=
119 17 × 7 120 30 × 4
38 41 - 3 27 31 - 4
=
=
123 41 × 3 124 31 × 4
教师版
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【巩固】计算： 1 3 2 5 7 9 10 11 19 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 3 2 5 7 4+5 3+7 3+8 5+7+7 = 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 4×5 + 3×7 + 3×8 + 5×7
【巩固】 1 2 3 7 9 11 17 25 3 5 7 12 20 28 30 42
23
1
25
【巩固】 251 251 251 251 251
4 8 8 12 12 16
2000 2004 2004 2008
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】。
【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【题文】=【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】=【答案】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【题文】【答案】【解析】【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】 = 【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】_______【答案】【解析】根据裂项性质进行拆分为：【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：＝【答案】【解析】原式【题文】。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：=。
【答案】【解析】原式【题文】计算：。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】首先分析出原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【题文】计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．【题文】计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式【题文】【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【题文】【答案】【解析】，，……，，所以原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【题文】计算：【答案】【解析】，，……所以，原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式【题文】计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【题文】【答案】【解析】【题文】【答案】【解析】原式==【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式= =====【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】所以原式。
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
奥数专题——裂项法（一）同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如1314112-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：111111 1111n nnn nnn n n nn n n n-+=++-+ =+-+=+()()()()即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……+⨯+⨯+1 199519961 1996199711997分析与解答：1 1985198611985119861 1986198711986119871 1987198811987119881 199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……11995199611995119961199619971199611997⨯=-⨯=- 上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… 公式的变式11221+++=⨯-…n n n ()当n 分别取1，2，3，……，100时，就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯…111121123112100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯==2100101200101199101例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少？分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y=+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y-=1。
小学奥数教程-分数裂项计算 教师版 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
奥数专题一一裂项法(一)同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考1 1 1例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积,3 4 12把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：1 1 n 1 n—— ------ = ---------- — ----------n n 1 n(n 1) n(n 1)_ n 1 - n _ 1n(n 1) n(n 1)1 n(n 1)十 1 1 1 % --------- =—— ---------n(n 1) n n 1F 面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】1 1 11985 1986 -1985 19861 1 1 1986 1987 -1986 1987 1 1 1 1987 1988 -1987 1988例1.计算:+1995 1996分析与解答:+ -------- : ------- + --------- : ------ + 1985 19861986 1987 1987 1988 1 1+ ------- ------ +——1996 199719971994 199511994 1995 1 11994 19951995 1996 1995 19961 _ 1 11996 1997 - 1996 一 1997上面12个式子的右面相加时， 很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0,这一来问题解起来就十分方便了。
1 1 1 1 1… •—1985 19861986 1987 1987 19881995 19961996 19971+ ------1997 _ 1 1-19851986 11 _ ------ + -------1997 1997像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
奥数常见裂项法经典裂项试题和裂项公式(修订)
19、1 + 3 + 5 + 7 +（2n − 1）= n2
20、12 + 22 + + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
21、12 + 32 + 52 + +（2n − 1）2 = n(2n + 1)(2n − 1) = n × (4n2 − 1)
3
3
22、13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + n)2 = n2 (n + 1)2
例 2. 计算： 1 + 1 + 1 + … +
1
1 1+2 1+2+3
1 + 2 + 3 + … + 100
公式的变式
1
=2
1 + 2 + … + n n × (n − 1)
当 n 分别取 1，2，3，……，100 时，就有
1= 2 1 1×2
1=2 1+2 2×3
1 =2 1+2+3 3×4
1
=2
符号所代表的数的数的积是多少？
分析与解：减法是加法的逆运算， 1 = 1 + 1 就变成 1 − 1 = 1 ，与前
6 () <>
6( ) < >
面提到的等式 1 − 1 = 1 相联系，便可找到一组解，即 1 = 1 + 1
n n + 1 n(n + 1)
6 7 42
另外一种方法
设 n、x、y 都是自然数，且 x ≠ y ，当 1 = 1 + 1 时，利用上面的变加为减的想法， nxy
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
奥数专题——裂项法(一)同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同得分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考例如,这里分母3、4就是相邻得两个自然数,公分母正好就是它们得乘积,把这个例题推广到一般情况,就有一个很有用得等式:即或下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求与得问题。
【典型例题】例1、 计算:119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……分析与解答:1198519861198511986119861987119861198711987198811987119881199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……上面1２个式子得右面相加时,很容易瞧出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985……像这样在计算分数得加、减时,先将其中得一些分数做适当得拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消,从而使计算简化得方法,我们称为裂项法。
例2、 计算：公式得变式当分别取１，2，3，……,1０0时,就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (1111211231)12100212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()()例3、 设符号( )、＜ >代表不同得自然数，问算式中这两个符号所代表得数得数得积就是多少？分析与解：减法就是加法得逆运算，就变成，与前面提到得等式相联系，便可找到一组解,即另外一种方法设都就是自然数,且,当时，利用上面得变加为减得想法，得算式。
(完整)六年级奥数-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：分数裂项计算教学目标知识点拨（1）11a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a ba b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
高斯小学奥数五年级上册含答案_分数裂项
第十九讲分数裂项-------------------------------------------------------------------------------------------= + ， = + ， = + + ． 个是单位分数分母的乘积．那反过来，如果一个分数可以写成 a + b 或者的形式，我们裂和： a + b = + ；裂差： = - ．+ + + + + L + ； + + + + L + + + + + + L + ； + + + + L +1 1 1漫画中的分数有 、 和 ，它们的分子都是 1．这样分数我们称之为单位分数．每个2 3 6分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：1 1 1 1 1 1 7 1 1 123 6 5 6 30 8 24 8我们来研究一下两个单位分数的和与差有什么性质．看下面的例子．1 1 5 + 7 1 1 7 - 5 + =- =5 7 5 ⨯ 75 7 5 ⨯ 7我们发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一a -b a ⨯ b a ⨯ b就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差．这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”．1 1 b - a 1 1 a ⨯ b a b a ⨯ b a b在以前的学习中，我们接触了很多分数运算的技巧．这些技巧虽然强大，但能够用来处理分数数列的并不太多．这一讲，我们将要接触一类分数数列的问题，利用裂项的技巧，可以将这类看似很复杂的题目轻松的解决．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 2012⨯ 20133 3 3 3 3（2）计算：． 2 ⨯ 5 5 ⨯ 8 8 ⨯11 11⨯14 98⨯101「分析」观察题中的式子，如果按常规的方法把它们通分，会相当繁琐．观察各项分母，每 一项都是两个自然数的乘积，而分子都是分母两个乘数的差，那么我们能不能利用分数拆分 的方式将算式做一个变形，使运算变的简单呢？练习 1．（1）计算：1 1 1 1 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 100⨯1012 2 2 2 2（2）计算：． 1⨯ 3 3⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 99⨯101- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -利用裂项，将算式中的分数做适当的拆分，使其中一部分可以相互抵消，可以达到简化 计算的效果．但裂项并非万能，只有具备一定特点的算式才能裂项．因此，大家在学习裂项时，必须注意以下几点：+++++L+；++++L+++++L+；++++L+练习3．计算：3（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项；（2）要根据题目的具体情况，灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套；（3）裂项相消之后究竟哪些项消去了，哪些项留下来了，必须一清二楚．只有把握住这三点，才能准确的把握这一技巧．希望大家在下面的学习中细心体会．-------------------------------------------------------------------------------------------例题2．（1）计算：222222 1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯619⨯20 11111（2）计算：．1⨯44⨯77⨯1010⨯1328⨯31「分析」我们发现，每个分数的分母还是两个自然数的乘积，但是分子却不是这两个自然数的差．这样的情况我们应该怎么去拆分分数呢？练习2．（1）计算：（2）计算：111111⨯33⨯55⨯77⨯997⨯99 888881⨯55⨯99⨯1313⨯1745⨯49．例题3．计算：4812162024 -+-+-．1⨯33⨯55⨯77⨯99⨯1111⨯13「分析」观察各项分母，是连续奇数顺次首尾相连的形式．但与前面两题不同的是，本题各项分子并不相同，仔细观察会发现，4=1+3，8=3+5，…，24=11+13，现在分子等于分母中两个乘数的和，那我们能不能像例题1一样，对算式进行拆分呢？579111315-+-+-+．1⨯22⨯33⨯44⨯55⨯66⨯77⨯8-------------------------------------------------------------------------------------------通过前面的例题，同学们知道对于很有特点的分数算式，是可以采用裂项的方式来简化计算的．请同学们观察下面的算式，能从中发现哪些规律呢？-------------------------------------------------------------------------------------------．（1）1⨯4+++L++++L+例题4．111111111（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17；261220304256729015791113151719（2）1-+-+-+-+．2612203042567290「分析」第（1）小题都是一些带分数，可以将整数部分和小数部分分开来计算．其中整数部分就是一个等差数列，那分数部分呢？虽然第（2）小题每个分数的分母与第（1）小题相同，但分子却有着不一样的规律，而且运算符也是加减交错的．在这种情况下，裂项又该如何进行呢？练习4．11111（1）1+2+3+4+5；3153563994812162024（2）8-7+6-5+4-3．315356399143-------------------------------------------------------------------------------------------例4和练4的两道题，第1题是裂差形式的裂项，第2题是裂和形式的裂项．它们有着共同之处：首先，分母能写成两数相乘的形式，其次，这些乘数“首尾顺次相连”如果算式中分数之间符号相同，都是加号或者都是减号，那就用裂差；如果算式中分数之间有加号也有减号，那就用裂和．-------------------------------------------------------------------------------------------例题5．2⨯53⨯68⨯112⨯33⨯44⨯59⨯10；（2）12+2222+3232+42192+2021⨯22⨯33⨯419⨯20．「分析」虽然本题的各项分母都具备了裂项的特征，但分子也是算式，很难直接用分母中各乘数相加减的形式表示出来．这种情况下，我们不妨将前几个分数算出来，找一下规律．---------------------------------------------------------------------分数裂项的题型非常多，前面我们学到的只是一些比较基本的类型．下面来看一些较复杂的题型．---------------------------------------------------------------------例题6．计算：1+++L+．----------------------1111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯548⨯49⨯50「分析」每个分数的分母不再是两个自然数的乘积了，而是三个，这样的情况应该怎么处理呢？不妨联想一下整数裂项的处理方法．． ）南极为什么会有恐龙在这一章里，我们经常对分数进行裂项和重组．其实在自然界里，分裂和重组的现象也 无处不在．下面就是一个例子．南极洲位于地球的最南端．那里气温寒冷，冰雪常年覆盖，除了企鹅外，我们很难看到 其它生物的踪影．然而你能想象吗？在如此寒冷的地方，科学家们居然发现了恐龙的化石！ 实际上，恐龙只适宜生活在温带和热带，它们是怎么越过大洋，到南极大陆去了呢？要回答这一问题，我们必须先了解一些关于地球的知识．几十年前，人们发现地壳是由 一些紧密拼合在一起但又在缓慢运动的大板块构成的．可以这样比喻，板块背上驮着许多大 陆，当板块向一个或另一个方向运动时，大陆也随之一起运动．每隔一段时期，板块会将所 有的大陆汇合在一起，地球此时仅由一个主要陆地构成，称为“泛大陆” 当板块继续运动 时，大陆又重新分裂．在四十多亿年的地球发展史中，泛大陆分裂和重组过多次，最后一次完整的泛大陆是在 约 2.25 亿年前形成的．早期恐龙在那时已经开始出现，并且有机会分散到泛大陆的各个地 方．大约在两亿年前，泛大陆分裂成四部分．北部就是现在的北美、欧洲和亚洲，南部是由 现在的南美和非洲构成，最南部是现在的南极洲和澳大利亚，印度是剩余的一小部分．随着 时间的流逝，北美又与亚洲和欧洲分裂开，南美也与非洲相离．（如果看一张地图，并假定 把非洲和南美洲拼合在一起，你就会看到它们拼合得多么天衣无缝！ 印度向北移动，并且 大约在 5000 万年前与亚洲相碰撞，形成巨大的喜马拉雅山脉，两块大陆在那里聚合并缓慢 地褶皱变形．这时，南极和澳大利亚也已相互分离．当大陆分裂后，每一个大陆都携带着自 己的恐龙而去．到 6500 万年以前，恐龙灭绝了，大陆也完全分裂开．所以，现在的每一个 大陆都有自己的恐龙化石．这也是为什么在南极也能发现恐龙化石的原因．2.25 亿年前2 亿年前 1.35 亿年前6500 万年前 现在作业3.计算：1+1+L+作业1.计算：1+1+L+3⨯44⨯51199⨯200．作业2.计算：1+2+3+L+1⨯22⨯44⨯711⨯55⨯925⨯291046⨯56．．作业4.计算：7-13+19-252⨯55⨯88⨯1111⨯14+31374349-+-14⨯1717⨯2020⨯2323⨯26．作业5.计算：4+16+36+64+100+144+196+256．315356399143195255例题1.答案：（1） 2012 ；（2）；（2）原式 = - 例题2. 答案：（1） 19 ；（2）详解：（1）原式 = 1 - ⎪ ⨯ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪ ÷ 3 = ．1 ⎫ 19 10 = ．例题4. 答案：（1） 81 ；（2）1 详解：（1）原式 = (1 + 3 + L + 17 ) + ⎪ = 81 + = 81 ．+ + L + （2）原式 = 1 + 2 - + L + = 1 + = 1 ．例题5. 答案：（1） 7；（2） 38 1 - + 1 - + L + 1 - = 8 - + + L + ⎪ = 8 - = 7 ．2 + + 2 + + L + 2 + = 38 + + + L + ⎪ = 38 + 详解：原式 = - + - + L + - ⎪÷ 2⎪ ÷ 2 = =- 练习1. 答案：（1） 100 ；（2）第十九讲 分数裂项992013 202详解：（1）原式 = 1 - 1 2012 1 1 99 = =2013 2013 2 101 202．1010 31⎛ ⎛ 1 ⎫ 10 ⎝ 20 ⎭ ⎝ 31 ⎭31例题3. 答案： 1213详解：原式 = 1 - 1 1213 139 110 10⎛ 1 1 1 ⎫ 9 9 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 39 ⨯10 ⎭ 10 10 2 + 3 9 + 10 1 11⨯ 2 2 ⨯ 3 9 ⨯10 10 101 195 20详 解 ：（ 1 ） 注 意 到 每 个 分 数 的 分 母 都 比 分 子 大 2 ， 原 式 可 写 成2 2 2 ⎛ 2 2 2 ⎫ 4 1 2 ⨯3 3 ⨯4 9 ⨯10 ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 9 ⨯10 ⎭5 5 （ 2 ）注意到每个分数的分子都比分母的 2 倍多 1 ，原式可写成1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 19 19 1⨯2 2 ⨯3 19 ⨯ 20 ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 19 ⨯ 20 ⎭ 2020例题6. 答案： 3061225⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ ⎝ 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 448 ⨯ 49 49 ⨯ 50 ⎭= 38 ．⎛ 11 ⎫ 306 ⎝ 1⨯2 49 ⨯ 50 ⎭1225．100101 101；（2）原式 = 1 - ；（2） 简答：（1）原式 = 1 - ⎪÷ 2 = ；（2）原式 = 1 - ⎪⨯ 2 = ．1 ⎫ 49 99 练习4. 答案：（1）155；（2） 3+ + + + = 15 ． = 1 - + - + - = 3 ．简答：原式 = - + - + L + + - + - + L + - = 1 - = 简答：原式 = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ =+ - - + L - - = - = ．+ + L + = 8 + ⨯ 1 - ⎪ = 8 ．简答：（1）原式 = 1 - 1 100 1 100 = =101 101 101 101． 练习2. 答案：（1）49 9699 49⎛ ⎛ 1 ⎫ 96 ⎝ 99 ⎭ ⎝ 49 ⎭49练习3. 答案：1 18简答：原式 = 1 + 11．8 8121113简答：（1）原式 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +1 1 1 1 1 51⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11（2）原式 = 8 - 7 + 6 - 5 + 4 - 3 +作业1. 答案：1976004 8 12 16 20 24 121⨯ 3 3 ⨯ 5 5 ⨯ 7 7 ⨯ 9 9 ⨯11 11⨯13 131 1 1 1 1 1 1 1 197 - = - = 3 4 4 5 199 200 3 200 600作业2. 答案：5556．简答：原式 = 1 -作业3. 答案： 7291 1 1 1 1 1 1 1 552 2 4 4 7 46 56 56 56．1 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫ 1 28 7 4 ⎝ 5 5 9 25 29 ⎭ 4 29 29．作业4. 答案：6 13简答：原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 62 5 5 8 23 26 2 26 13作业5. 答案： 8 817简答：原式 = 8 +1 1 1 1 ⎛ 1 ⎫ 8 1⨯ 3 3 ⨯ 5 15 ⨯172 ⎝ 17 ⎭ 17。
分数裂项计算习题附答案-小学数学
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分数裂项计算习题附答案-小学数学
22. 计算： 1 + 1 +L +
1
1 23 23 4
98 99 100
23. 计算： 1 + 1 + 1 +L +
1
135 2 46 35 7
20 22 24
24. 4 + 4 + ...... +
4
+
4
135 35 7
93 95 97 95 97 99
．
1 23 23 4
8 9 10
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分数裂项计算习题附答案-小学数学
29. 计算：1155（ 5 + 7 +L + 17 + 19 ）
234 345
8 9 10 9 10 11
30. 计算： 3 + 4 + 5 +L +
12
1 2 45 2356 3 467
10 111314
31. 1 + 2 + 3 + 4 +L +
=
．
41.
计算： 12 + 32 22 −1
+
22 + 42 32 −1
+
32 + 52 42 −1
+L
+
982 + 992
1002 −1
=
．
42. 计算： 12 + 22 + 32 + L + 502 =
．
13 35 57
99 101
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分数裂项计算习题附答案-小学数学
小学奥数全国推荐最新五年级奥数通用学案附带练习题解析答案2分数裂项、整数裂项(二)
年 级 五年级 学 科 奥数 版 本 通用版 课程标题分数裂项、整数裂项（二）分数裂项比整数裂项稍复杂，能裂项的分数，分母一般是某两数的乘积，分子与这两数的和或差有关。
当算式具有这样的特征时，可能需要裂成差相抵消，或裂成和再凑对。
分数裂项的常见情况：11a b a b ab ab ab b a ±=±=± 1111()ab b a a b =--2222a b a b a b ab ab ab b a ±=±=±例1. 计算：651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 【分析与解】1111112233445561111111111()()()()()122334455615166++++⨯⨯⨯⨯⨯=-+-+-+-+-=-=例2.【分析与解】本题需要看出所给分母的规律，它们都是两个差为2的数的乘积。
例3. 计算：1111...1353575799799101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析与解】1110197111()9799101497991014979999101-=⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 原式1111111833()4133535579799991019999=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯-⨯例4. 计算3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【分析与解】2222(2)(1)(1)(2)(2)(2)111()222111[]2(1)2(1)2n n n n n n n n n n n n n n n n n n =--++--+-=⨯---+-=⨯---+- 原式61675)2131212321(21=-⨯--⨯⨯=例5. 计算234599...3!4!5!6!100!+++++ 【分析与解】99100111100!100!99!100!-==-原式＝112100!- （答题时间：30分钟） 1. 计算：5049...87654321⨯++⨯+⨯+⨯+⨯2. 计算：101100991543974329832199⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 3. 计算：910109344323321221++++++++ 4. 如果337´a 2=12+22+32++3372，则a ＝________。
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【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】 ＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ －
＝ ＝ － ＝ － ……
＝ ＝ － ＝ －
原式
【答案】
【例 9】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） （2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
原式
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为 ，所以 ，再将每一项的 与 分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
【解析】本题的重点在于计算括号内的算式： ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为： ， ，……， ，
所以原式
【答案】
【巩固】计算： ．
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】四中
【解析】
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
【解析】原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例 4】计算：
【例 1】 。
【考点】分数裂项【难度】2星 【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
【解析】原式
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： ，计算过程就要变为：
．
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】2星 【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【解析】原式
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】101中学
【解析】原式
【答案】
【巩固】 _______
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】根据裂项性质进行拆分为：
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】原式
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例 10】计算： ．
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第 个数恰好为 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
【解析】原式
【答案】
【例 8】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】首先分析出
原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式＝ ＋ ＋…+ + +…+
＝ ( － )＋ ( － )
＝ ＋ ＝ ＋
【答案】
【巩固】计算： ＝
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】 。
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】原式
【答案】
【例 5】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】原式
【答案】
【例 6】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】原式
【答案】
【例 7】计算：
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算： =。
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】原式
【答案】
【巩固】计算： ____。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 ，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
， 形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
【答案】
【例 2】
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算
【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有 ， ，……，
原式
【答案】
【例 3】
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算