高中数学第一章推理与证明1.1.2类比推理笔记北师大版选修

1 h2

1 a2

1 b2
，
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱
SA,SB,SC两两垂直，且长度分别为a,b,c ,设
棱锥底面ABC上的高为h，则（
）
1 h2

1 a2

1 b2

1 c2
帮你学好立体几何：利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积S = 4πR2
球的体积V = 4πR3 3
球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连 线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心 较近的弦较长
与球心距离不相等的两截面面积 不相等,距球心较近的面积较大
类比的价值；数学的价值
同学们辛苦了
对比得：从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的 属性,是以旧有的认识为基础,推理出新的结果. 2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑 证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。
对比得：这种推理的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻 辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。
试给出空间中四面体性质的猜想．
分析:找出已知的相似性直角三角
A
形和直四面体，寻找对应的相似性
Ｂ
c2=a2+b2
a
cΒιβλιοθήκη Baidu
s1 o s2 s3
Ｃ
b
Ａ
B
由 平 面 到 空 C间
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
小试牛刀
在RtABC 中，，两直角边分别为a,b，设h
为斜边上的高，则
活动
你能举出类似的例子吗？
仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜 水艇.
科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的 特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物 的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在. 利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理.
由 的数列 bn 也为等比数列.相应地，等比数列有
性质：若 an 为等比数列，则通项为什么的数
列 bn 也是等比数列
等
分析：等差对应和式，等比对应积式， 差
等差除以n，等比应该开n次方根
到
等
b n n a 1a 2 ...a n
比
由等差数列的性质类比得到的等比数列的性质
等差数列
m n p 时q
类比推理的几个特点
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
学会类比 几何中的类比
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，
对比归纳推理
1.什么是归纳推理？
由一类事物中的个别事物具有的特征通过观察、概括、 归纳出这类事物都具有的特征的推理叫做归纳推理
问题：视频中“鲁班发明锯子” 中有几类事物？
结论：两类不同的事物 问题：这两类事物有什么共同之处？ 结论：这两类事物有 “锯齿状” 共同的特征
归纳推理是同一类事物由特殊到到一般的推理； 对比得：这种推理是两类事物由特殊到特殊的推理
am an ap aq
mn2p 时
am an 2ap
am an m nd
d am an n 1
k a n为 等差数列
sm,s2m sm,s3m 成s2等m.差.. 数列
n n 1
sn na1 2 d
等比数列
小结
类比的概念 类比的特点 类比的方法
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
学会类比 数列中的类比
例2：已知
an
为等差数列，则通项为 bn

a1 a2 ... an n
对比归纳推理
2.归纳推理的一般思维过程:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
丝毛草和锯子都有锯齿 锯子可以锯开木板
对比得:推理的思维过程与归纳推理相 似,也是通过实验观察，概括推广，猜 测一般性结论
对比归纳推理
3.归纳推理的特点
1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚 属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。
3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推理得到的猜想，可以 作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
对比得：这种推理具有创造性，有发现的功能.
类比推理
概念：在两类不同事物之间进行对比,找出若 干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以 存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类 比推理.(简称;类比)