高中数学第一章推理与证明1.1.2类比推理笔记北师大版选修
数学北师大版高中选修1-2§1 归纳与类比
所以探索凸n边形的内角和为 (n 2) 180O. 以上推理, 前提为真时, 结论也为真, 是合情推理.
【概念拓展】 合情推理的意思是“合乎情理”的推理. 在日常生活中, 律 师对案情的论证分析就是合情推理, 数学中的合情推理多种多
样, 但最常见的就是归纳和类比.
例2 数一数图中的凸多面体的面数F、顶点 数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之 间的关系.
第三章
问题引入
推理与证明
在日常生活中, 人们常常需要进行各种推理.
例如, 医生诊断病人病症, 警察侦破案件, 气象专家预测天
气的可能状态, 考古学家推断遗址的年代, 数学家论证命题的 真伪等, 其中都包含了推理活动. 推理一般包括合情推理和演绎推理, 它们都是日常生活、 学习、工作和科学研究中常见的思维过程.
这是平面向量加法的平行四边形法则在空间的推广.
（3）从运算律、数量积的角度考虑:
平面向量和空间向量是相同的.
三、课堂小结 1.合情推理
前提为真时, 结论可能为真的推理叫合情推理, 它是根据已有的事实
和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果, 以及个人的 经验和直觉推测某些结果的推理过程.
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
4 5 5
4 5 6
6 8 9
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
4 5 5 6 6 8
4 5 6 6 8 6
2n
对应的 2 1都是素数, 2 1 65 537也是素数. 于是, 他归纳出一 2n 个猜想: “所有形如 2 1(n 1,2,3, ) 的数都是素数.”
北师大版数学选修 第1章 §1 1.2 类比推理
1.2 类比推理1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式． 合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”C [由实数运算的知识易得C 项正确．]2．下列推理是合情推理的是( )(1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；(3)a ≥b ，b ≥c ，则a ≥c ；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等． ①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]n n n 有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解]数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以数列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r ∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p ＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1q p －1，b r ＝b 1q r －1，于是b m b n b p ＝b 1q m －1·b 1q n －1·b 1q p －1＝b 31q m ＋n ＋p －3＝b 31q 3r －3＝(b 1q r －1)3＝b 3r ，故结论成立．a b c P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a＋p b h b ＋p c h c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解]p ah a＝12BC·p a12BC·h a＝S△PBCS△ABC，同理，p bh b＝S△P ACS△ABC，p ch c＝S△P ABS△ABC.∵S△PBC＋S△P AC＋S△P AB＝S△ABC，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＝S△PBC＋S△P AC＋S△P ABS△ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a，h b，h c，h d分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为p a，p b，p c，p d，可以得到结论p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝1．证明：p ah a＝13S△BCD·p a13S△BCD·h a＝V P-BCDV A-BCD，同理，p bh b＝V P-ACDV A-BCD，p ch c＝V P-ABDV A-BCD，p dh d＝V P-ABCV A-BCD.∵V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABC＝V A-BCD，∴p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝V P-BCD＋V P-ACD＋V P-ABD＋V P-ABCV A-BCD＝1．1．在本例中，若△1．平面图形与空间图形类比2．(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示]类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因为(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝n2＋2n－n2＝n(n＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n2的和．[提示]因为(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝13⎝⎛⎭⎪⎫n3＋3n2＋3n－3n2＋5n2＝2n3＋3n2＋n6＝n(n＋1)(2n＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明[解]类似性质：若M，N为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率k PM，k PN都存在时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a 2x 2－b 2， 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程．[解] 已知：13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误B[根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22 B.l22C.lr2D．无法确定C[扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝lr 2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8[由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，有如下方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．11/11 类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n (n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n (n ＋2)＝16[n (n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n (2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝16n (n ＋1)(2n ＋7)．。
高中数学 第一章 推理与证明章末归纳总结课件 北师大版选修2-2
用P表示已知条件及已有的定义、公理、定理等，Q表示 所要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 … 成立的条件
综合法可用框图表示为： P⇒Q1 Q1⇒Q2 Q2⇒Q3 … Qn⇒Q
2．反证法 反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相 反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛 盾，从而否定与结论相反的假设，达到肯定原命题正确的一种 方法．反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷 举反证法(结论的反面不只一种)． 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设； (2)归谬；(3)存真．
有f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)＝(x1＋x2)2－x
2 1
－x
2 2
＝2x1x2≥0，即
f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2) ∴f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．
对于f(x)＝ x，x∈[0,1]，显然满足条件①②.
对任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， 有f2(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]2＝(x1＋x2)－(x1＋2 x1x2 ＋x2)＝ －2 x1x2≤0， 即f2(x1＋x2)≤[f(x1)＋f(x2)]2. ∴f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，不满足条件③.
不一定正确， 有待证明
在前提和推理形式都正 确的前提下，结论一定 正确
作 猜测和发现结论、探索和提供证 证明数学结论，建立数
用 明思路
学体系的重要思维过程
二、数学问题的证明 1．综合法和分析法 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法， 应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析 法就可以帮助我们克服这种困难．在实际证明问题时，应当把 分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途 径。
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比课件北师大版选修220831227
则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为
.
1
2
1
3
解析:观察式子可得规律:不等号的左侧是 1+ + +…+
1
+1
2
,共
-1
+1
n+1
(2 -1)项的和;不等号的右侧是
.故猜想此类不等式的一般形式
1
2
2
1
1
+1
>
.
+1
3
2
2
-1
1 1
1
+1
答案:1+ + +…+ +1 >
2 3
2
解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳得x=26+1=65.
答案:B
第五页，共33页。
2.类比推理
(1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一
类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种
推理过程称为类比推理.
(2)特征:类比推理是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊的过
探究(tànjiū)
三
1
2
1
a1+a2+a3=2
令 n=3,有 S3=
即
1
3
1
3 +
3
3 +
探究四
思维辨析
,
,
化简可得32 +2√2a3-1=0,
因为 a3>0,所以 a3=√3 − √2.
1
2
高中数学《推理论证》教材介绍
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高中数学课程标准 北师大版教材编写组
一、教材编 写的基本结
构
知识结构（理）
一、教材编写 的基本结构
CONTENTS
01
二．
章节目录（理）
○
第一章 推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
系列2 的课程中要讲 授一种特殊的演绎思 路——数学归纳法， 系列1不讲。其他方 面的要求相同。
四、教学中 需要注意的
问题
在教学中，要重视培养学生归纳推理的能力， 要帮助学生理解归纳推理在学习和研究数学 中的作用，演绎推理可以帮助我们验证问题， 归纳推理可以帮助我们发现、猜想一些新的 结果，在创新意识培养中归纳推理是非常重 要的思维方式。
○
第三章 推理与证明
○
1归纳与类比
单击添加文本具体内容
03
一．
类比推理
○
2数学证明
○
3综合法与分析法
单击添加文本具体内容
05 三 ． 分 析 法 4反正法 单击添加文本具体内容
02 归 纳 推 理
单击添加文本具体内容
04 综 合 法
单击添加文本具体内容
二、教材编 写特色
在教材编写中，通过大量的实例，帮助学生 梳理清楚数学的两种基本思维方式：归纳推 理和演绎推理，并在此基础上介绍了归纳推 理和演绎推理的几种常见思路，这也是在证 明数学问题中的常见思路。并帮助学生通过 一些具体问题理解这两种不同思维方式的基 本特点和作用。
四、教学中 需要注意的
问题
在教授综合法、分析法、反证法、数学归纳法以及 归纳、类比等数学思想方法时，应反复强调这些方 法仅仅是一种思维的模式，我们应该了解这种思维 的模式、掌握这种思维的模式，但是，在证明数学 问题中，必须认真的分析问题本身，才能获得这个 问题的证明，机械的套用这种方法作用不大。
高中数学 第一章 推理与证明 1 归纳与类比 北师大版选修2-2
推理与证明
§1 归纳与类比
课前预习学案
相传，春秋时期鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木 工的祖师)，一次去林中砍树时，一不小心，手被一种野草的 叶子划破了．他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的 齿，他的手就是被这些小齿划破的．鲁班想，这样齿状的工具 不是也能很快地锯断树木吗？他经过多次试验，终于发明了锋 利的锯子，大大提高了工效．
又因为a1＞0，所以a1＝1.
2分
当n≥2时，Sn＝12an＋a1n，Sn－1＝12an－1＋an1－1，
两式相减得：an＝12an＋a1n－12an－1＋an1－1，
即an－a1n＝－an－1＋an1－1，
4分
所以a2－a12＝－2，又因为a2＞0，所以a2＝ 2－1.
a3－a13＝－2 2，又因为a3＞0，所以a3＝ 3－ 2.
课堂互动讲义
数列中的归纳推理
已知正项数列{an}满足Sn＝12an＋a1n，求出a1，a2， a3，a4，并推测an.
[思路导引] 既可以直接在已知条件中取n的特殊值，依 次求出前4项，再猜测an，也可以先由Sn与an的关系先推出an的 递推公式，再求前4项，最后猜测an.
[规范解答] 方法一：a1＝S1＝12a1＋a11，
[思路导引] 设凸n边形有an条对角线，则a4＝2，a5＝5， a6＝9，由此观察an的规律不明显，直接用归纳推理猜想an不方 便，但由a5－a4＝3，a6－a5＝4，a7－a6＝5，…
可看出an－an－1的规律性较强，因此可先猜想an－an－1， 再推出an.
[边听边记] 凸三角形有0条对角线，凸四边形有2条对角
∵a3＞0，∴a3＝ 3－ 2.
6分
令n＝4，则S4＝12a4＋a14，
北师大选修2-2 1.1.2类比推理
单位元
11 单位元：当它和其他元素结合时，并不会改变那些元素。
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
12
类比推理举例
构成几何体的元素数目：四面体
A
B
C
P
C
P A 图(2) A
17
A
图(1)
例5.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P 为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc, pb pc 我们可以得到结论: pa
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
4
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
陕西省高中数学 第一章 推理与证明 解读归纳推理素材 北师大版选修22
解读归纳推理一、归纳推理的定义及理解归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，它是从特殊到一般的过程。
简而言之，归纳推理是有部分到整体，由个别到一般的推理，例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”归纳出“一切金属都能导电”。
由“直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°”，归纳出“所有三角形的内角和都是180°”等等，这些都是归纳推理。
在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出判断，这也是归纳推理。
应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论。
二、归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
三、典例剖析例1 如图1所示，在一张方格纸上画折线（用粗线表示的部分），图中每个小方格的边长为1，从A点出发依次给每条直线段编号。
⑴编号为2010的直线长度是多少？⑵长度为2010的直线段的编号是多少？分析：仔细观察表中的编号与长度列出表格，根据表格中的编号与长度的关系归纳出一般规律。
解：通过观察列出编号与长度的关系表：编号1、2 3、4 5、6 7、8 9、10 …长度 1 2 3 4 5 …从表中看出：长度为n的线段编号为2n-1和2n。
⑴编号为2010的线段长为2010÷2=1005。
⑵长度为2010的线段有两条，编号分别为：2010×2-1=4019，2010×2=4020。
点评：本题主要考查识图能力，利用表格将题目中的编号与长度都对应表示出来，从而使题目中的各种关系明朗化，便于解题。
四、拓展提高⑴归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的。
⑵归纳具有发现新知识和探索真理的功能，在数学中有预测答案，探索解题思路的作用，对于较为复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的办法，预测结论，从而找到解决问题的途径。
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理教案北师大版选修22word格式
1.2 类比推理讲课中应经过实例，指引学生运用合情推理去研究、猜想一些数学结论，并用演绎推理课标要求确认所得结论的正确性，也许用反例颠覆错误的猜想。
讲课的要点在于经过详尽实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对看法的抽象表述。
1、知识与技术：（ 1）联合数学实例，认识类比推理的含义三维目标（ 2）能利用类比方法进行简单的推理，2、过程与方法：经过课例，加深对类比这类思想方法的认识。
3 、情感态度与价值观：体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
意会类比法在数学发现中的基本作用：即经过类比，发现新问题、新结论；经过类比，发现解决问题的新方法。
培育剖析问题的能力、学会解决问题的方法；加强研究问题的学情剖析信心、收获论证成功的欢喜；体验数学发现的乐趣、意会数学方法的魅力！同时培育学生学数学、用数学，圆满数学的正确数学意识。
【讲课要点】：（1）意会并实践类比推理的研究过程讲课重难点（2）类比推理的限制【讲课难点】：指引和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论提炼的课题培育学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
讲课手段运用探析归纳，讲练联合讲课资源选择教学过程环节学生要解决的问题或任务教师教与学生学设计企图1.工匠鲁班类比带齿的草叶和一、问蝗虫的牙齿,发了然锯题状况 2. 模拟鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发了然潜水艇3.科学家对火星进行研究 , 发现火星与地球有好多近似的特色;1)火星也绕太阳运转、饶轴自转学生阅的行星;读 2) 有大气层 , 在一年中也有季节更正 ;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生计,等等 . 科学家猜想 ; 火星上也可能有生命存在 .4．利用平面向量的本定理类比获得空间向量的基本定理二、看法讲课由两类对象拥有某些类似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理 . 简言之，类比推理是由特别到特其余推理 .类比练习：(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径 . 由此结论如何类比到球体？(ii)平面内不共线的三点确立一个圆，由此结论如何类比获得空间的结论？由圆的一些特色，类比得到球体的相应特色 . （教材 73研究填表）小结：平面→空间，圆→球，线→面 .议论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例此中的一些类比思想 .例 3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.思想：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；→ 3 个面两两垂直的四周体引入课题经过阅读教材意会类比推理的思想过程类比推理――联想――普遍联系中，， 4 个面的面积和3 个“直角面”和1 个“斜面”.→ 拓展：三角形到四周体的类比.例 4、（可作为研究性学习资料）。
北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法(1)
1 思考:问题 问题2中证明数列的通项公式 思考 问题 中证明数列的通项公式 an = 这个猜想 n
由条件知,n=1时猜想成立 时猜想成立. 由条件知 时猜想成立 如果n=k时猜想成立 即 a = 1 ,那么当 时猜想成立,即 那么当n=k+1时猜 如果 时猜想成立 那么当 时猜 k k 1 想也成立,即 想也成立 即 a k +1 =
k +1
与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗 你能类比多米诺骨 牌游戏解决这个问题吗? 牌游戏解决这个问题吗
事实上, 事实上
a k +1 =
ak 1 = = 1 + ak 1 + 1 k + 1 k
8
1 k
时猜想也成立. 即n=k+1时猜想也成立 时猜想也成立
1 an = n
不完全归 纳法
问题3：某人看到树上乌鸦是黑的， 问题 ：某人看到树上乌鸦是黑的， 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。
…
4
问题情境二
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 曾经提出一个猜想： 费马
2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如F 形如 n＝2 的纳法得到的某些与自然数有关 自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它 们的正确性： 们的正确性：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 证明当n取第一个值n 例如n 成立; 成立; 【归纳奠基】 归纳奠基】 （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立 假设当n=k(k∈N 证明当n=k+1时命题也成立. 归纳递推】 证明当n=k+1时命题也成立【归纳递推】 n=k+1时命题也成立.
高中数学 第一章 推理与证明 1.1 归纳与类比教材基础素材 北师大版选修22
§1 归纳与类比在日常生活中,人们常常需要进行各种各样的推理.如医生诊断病人的病症,警察侦破案件,数学家论证命题的真假等,其中都包含了推理活动.在数学中,证明的过程更离不开推理.本节就开始学习有关数学推理的知识.高手支招1细品教材一、推理1.推理的概念根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.推理一般由两部分组成:前提和结论.状元笔记 合情推理中,当前提为真时,结论可能为真,也可能为假.2.合情推理(1)当前提为真时,结论可能为真的推理,叫做合情推理.合情推理是指“合乎情理”的推理.数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向,其推理过程为：(2)两种合情推理:归纳推理和类比推理.二、归纳推理1.概念根据一类事物的部分事物具有某种性质,推出这类事物中每一个都具有这种属性的推理方式,叫做归纳推理(有时简称归纳).归纳推理是从个别到一般.由部分到整体的过程. 状元笔记归纳推理的前提与结论不具有必然性联系,其结论不一定正确.2.特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的工具.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.3.归纳推理的步骤其一般步骤为:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.示例:已知:数列{a n }的第1项a 1=1,且a n+1=nn a a 1(n=1,2,3,…),试归纳出这个数列的通项公式.思路分析：数列{a n }的通项公式是第n 项a n 与序号n 之间的对应关系,我们可以先根据已知条件算出数列{a n }的前几项,然后去归纳出一般性的公式.解：当n=1时,a 1=1,当n=2时,a 2=21111=+,当n=3时,a 3=3121121=+,当n=4时,a 4=4131131=+,…… 通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出:a n =n1. 三、类比推理1.概念两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,这类推理叫做类比推理(简称类比).类比推理是数学推理的一种重要形式,它的实质是根据两对象之间的相似,把信息从一个对象转移到另外一个对象,类比推理不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法.这在事物规律的发现和事物本质的认识等方面都有着极其重要的作用.2.特点(1)类比推理是由特殊到特殊的推理.(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以,类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(3)类比推理以旧的知识作基础,推测新的结果,具有发现的功能.类比推理在数学发现中有重要作用.(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征.状元笔记类比推理是一种由特殊到特殊的推理形式,目的是寻找事物之间的共同或相似性质,它是一种似真推理.类比推理的结论需要进一步证明其正确性,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间就越相关,从而类比得出的结论就越可靠.例如，据科学史上的记载,光波概念的提出者,荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较,发现它们具有一系列相同的性质:如直线传播、有反射和干扰等.又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态,由此,惠更斯作出推理,光也可能有呈波动状态的属性,从而提出了光波这一科学概念.惠更斯在这里运用的推理就是类比推理.3.类比推理的步骤其一般步骤为:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).状元笔记类比推理是两类事物特征之间的推理,利用类比推理得出的结论可能是正确的,也可能是错误的.【示例】类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是（ ）①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A.①B.①②C.①②③D.③思路分析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面成的二面角(或共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.答案：C高手支招2基础整理推理是由一个或几个已知的判断推出一个新的判断的思维形式.任何推理都由前提和结论两部分组成,前提与结论的关系是理由与推断.原因与结果的关系.本节则主要讲述合情推理的两种类型:归纳推理和类比推理.其主要知识结构如下:。
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理课件北师大版选修2_2
������2+������2+������2
2.
答案:
������2+������2+������2 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三 解析几何中的类比推理
3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.类比推理
(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一
类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
连线所在直线的斜率之积为定值 − ������������22.
(2)在双曲线中的推广:过双曲线
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
>
0)
上异于直径两端点的任意一点与这条直径的两个端点连线,则两条
把这种推理过程称为类比推理.
(2)类比推理是两类事物特征之间的推理.
(3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.
【做一做1】 在平面中,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们
的面积比为1∶4;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为
1∶2,则它们的体积比为
2018年高中数学 第一章 推理与证明 1.1.1 归纳推理课件2 北师大版选修2-2
归纳推理的作用
• 应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论! • 归纳推理是科学发现的重要途径!
牛顿说：“没有大 胆的猜测，就不会 有伟大的发现
例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
1
an an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
练习1.
f(n)1111(nN*)，计算
f (2) ＞ 3
2
23
f (4)＞ 2
n
f (8)＞
5
2
f (16)＞ 3
f (32)＞ 7
2
…则当n
2时，有
f(2n)n2(nN) 2
2
2.已知数列{an}的前n项和Sn , a 1
1
Sn
Sn
2an(n2).
计算S1
2
1
3
n=1时, f (1) 1
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3
n=3时, f ( 3 ) 3 1 3
4.一组数2,4,6,8,‥‥‥
猜想:第n个数为2n
归纳推理
尝第一个杨
梅都是甜的 尝第二个杨
这一篮杨 梅都是甜 的
梅都是甜部的 分
铜能导电
铝能导电 金能导电
整 银能导电
一切金属 都能导电.
体
个别
2021年高中数学第一章推理与证明1.1.1归纳推理课件1北师大版选修2_2
统计初步中的用样本估计总体
通过从总体中抽取局部对象进展观测或 试验，进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”
成语意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由局部推知全体.
【情景1】1640年，著名数学家费马对形如2 2n 1
1+3+5+7+…(2n-1)= n 2
问题3 “是不是所有不小于6的偶数，都可以表示为两个素数的和呢？〞
6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 …… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 …… 归纳出：偶数〔不小于6〕＝素数＋素数
7
想一想：上述3个问题的推理有什么共同特征？
局部
整体
个别 一般
【抽象概括】
根据一类事物中的局部对象具有某种属性，
推断该类事物中的全部对象都具有这种属性,或者
由个别事实概括出一般结论的推理方式称为归纳
推理。
归纳推理的模式: S1具有P S2具有P …. Sn具有P
归纳A类事物具有P 注〔1〕归纳推理是由局部到整体,由个别到一般的推理。
〔2〕猜测的思维过程为:
不是素数，从而否定了这个猜想.
注：归纳推理的结论不一定正确。
【想一想，辨一辩】 既然利用归纳推理的结论不一定正确，那我们还有
必要进展归纳推理吗？
【情景2】永动机 历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望 ，希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止 地为人类效劳.人们提出过 许多永动机的设计方案.最早 永动机的设计方案是13世纪 的法国人亨内考提出的，后 来人们又提出了各种永动机 的设计方案.
第二局部叫做偶数的猜测。偶数的猜测是说不小于6的偶数一定是两个素数的 和。〞
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1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
学会类比 几何中的类比
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，
对比归纳推理
1.什么是归纳推理？
由一类事物中的个别事物具有的特征通过观察、概括、 归纳出这类事物都具有的特征的推理叫做归纳推理
问题：视频中“鲁班发明锯子” 中有几类事物？
结论：两类不同的事物 问题：这两类事物有什么共同之处？ 结论：这两类事物有 “锯齿状” 共同的特征
归纳推理是同一类事物由特殊到到一般的推理； 对比得：这种推理是两类事物由特殊到特殊的推理
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积S = 4πR2
球的体积V = 4πR3 3
球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连 线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心 较近的弦较长
与球心距离不相等的两截面面积 不相等,距球心较近的面积较大
对比得：从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的 属性,是以旧有的认识为基础,推理出新的结果. 2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑 证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。
对比得：这种推理的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻 辑证明和实践检验。它不能作为数学证明的工具。
对比归纳推理
2.归纳推理的一般思维过程:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
丝毛草和锯子都有锯齿 锯子可以锯开木板
对比得:推理的思维过程与归纳推理相 似,也是通过实验观察，概括推广，猜 测一般性结论
对比归纳推理
3.归纳推理的特点
1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚 属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。
类比的价值；数学的价值
同学们辛苦了
3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推理得到的猜想，可以 作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
对比得：这种推理具有创造性，有发现的功能.
类比推理
概念：在两类不同事物之间进行对比,找出若 干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以 存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类 比推理.(简称;类比)
1 h2
1 a2
1 b2
，
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱
SA,SB,SC两两垂直，且长度分别为a,b,c ,设
棱锥底面ABC上的高为h，则（
）
1 h2
1 a2
1 b2
1 c2
帮你学好立体几何：利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
学会类比 数列中的类比源自例2：已知an为等差数列，则通项为 bn
a1 a2 ... an n
试给出空间中四面体性质的猜想．
分析:找出已知的相似性直角三角
A
形和直四面体，寻找对应的相似性
Ｂ
c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃ
b
Ａ
B
由 平 面 到 空 C间
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
小试牛刀
在RtABC 中，，两直角边分别为a,b，设h
为斜边上的高，则
活动
你能举出类似的例子吗？
仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜 水艇.
科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的 特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物 的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在. 利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理.
由 的数列 bn 也为等比数列.相应地，等比数列有
性质：若 an 为等比数列，则通项为什么的数
列 bn 也是等比数列
等
分析：等差对应和式，等比对应积式， 差
等差除以n，等比应该开n次方根
到
等
b n n a 1a 2 ...a n
比
由等差数列的性质类比得到的等比数列的性质
等差数列
m n p 时q
am an ap aq
mn2p 时
am an 2ap
am an m nd
d am an n 1
k a n为 等差数列
sm,s2m sm,s3m 成s2等m.差.. 数列
n n 1
sn na1 2 d
等比数列
小结
类比的概念 类比的特点 类比的方法