同类二次根式
同类二次根式与同类项的异同 专题指导
同类二次根式与同类项的异同
王双兵
同类二次根式与同类项无论在表现形式上还是运算法则上都有极类似之处，因此我们把二者的区别和联系列出，学习时注意辨析、对比来应用。
一. 相同点：
1. 两者都是两个代数式间的一种关系。
同类项是两个单项间的关系，字母及相同字母的指数都相同的项；同类二次根式是两个二次根式间的关系，指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
2. 两者都能合并，而且合并法则相同。
我们如果把最简二次根式的根号部分看做是同类项的字母及指数部分，把根号外的因式看做是同类项的系数部分，那么同类二次根式的合并法则与同类项的合并法则相同，即“同类二次根式（或同类项）相加减，根式（字母）不变，系数相加减”。
二. 不同点：
1. 判断准则不同。
判断两个最简二次根式是否为同类二次根式，其依据是“被开方数是否相同”，与根号外的因式无关；而同类项的判断依据是“字母因式及其指数是否对应相同”，与系数无关。
如22a b 与是同类二次根式，但不是同类项。
2. 合并形式不同
如2332a b a b +-+若按合并同类根式的要求，其结果为：
原式=a b a b 2233+-+ =++-()()a b b a 23
若按同类项合并，其结果为：
原式=-
++()()2332a b。
同类2次根式
同类2次根式根式是数学中的一种表示形式，用于表示一个数的平方根。
在代数中，我们经常会遇到同类2次根式的问题。
同类2次根式是指具有相同根指数和相同根式的根式。
本文将介绍同类2次根式的概念、性质以及解题方法。
一、同类2次根式的概念同类2次根式是指具有相同根指数和相同根式的根式。
根指数是根式中的指数，根式是指根号下的被开方数。
例如，√2和√8就是同类2次根式，因为它们的根指数都是2，根式都是2。
二、同类2次根式的性质1. 同类2次根式可以进行加减运算。
当两个同类2次根式相加或相减时，只需保持根指数和根式不变，将它们的系数相加或相减即可。
例如，√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 同类2次根式可以进行乘法运算。
当两个同类2次根式相乘时，只需将它们的根指数和根式相乘即可。
例如，√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4。
3. 同类2次根式可以进行除法运算。
当两个同类2次根式相除时，只需将被除数和除数的根指数和根式相除即可。
例如，√8 ÷ √2 = √(8 ÷2) = √4 = 2。
三、解题方法解决同类2次根式的问题，我们可以采用以下方法：1. 化简根式：将根式化简为最简形式，即将根式中的因数提取出来，使根号下的数尽量小。
例如，√8可以化简为2√2。
2. 合并同类项：将同类2次根式进行合并，即将具有相同根指数和根式的根式进行加减运算。
例如，√2 + √8可以合并为3√2。
3. 分解因式：将根式进行因式分解，将根号下的数分解为两个数的乘积，再进行化简。
例如，√18可以分解为√(9 × 2)，再化简为3√2。
4. 有理化分母：当同类2次根式出现在分母中时，可以采用有理化分母的方法进行处理。
有理化分母是指将分母中的根式化简为有理数的形式。
例如，1/√2可以有理化分母为√2/2。
四、例题解析1. 化简根式：将√12化简为最简形式。
解：√12 = √(4 × 3) = 2√3。
同类二次根式的概念
同类二次根式的概念概念二次根式：指平方根，也称二次平方根、双根、二次级数，是指在几何意义上一个数被等分为两个或多个根数（有时也称指数），并且所有根数和等于它本身。
理解1. 二次根式是一个非负实数的平方根，可以分解为两个或多个根数和，这些根数都要相等。
2. 二次根式是湖北高数中的基本概念，它具有重要的数学意义和重要的应用价值，如因式分解、不定方程的解等。
3. 二次根式由它的定义可以看出，它的值的确定性受到非负实数的影响，如果该数为负，那么它的平方根也为负。
4. 二次根式有一定的数学表达式，根数相加等于原数，大概可以表示成：N = X1^2 + X2^2 + … + Xn^2 。
5. 二次根式的求解有多种方法，如利用贝塞尔、拉格朗日等几何方法，利用椭圆等微积分方法，也可以利用数论中的绝对值求解，等等。
应用1. 二次根式能够有效解决不定方程的特定情况。
例如，当已知实数一定的情况下，解一元二次方程，需要通过平方根求得根数使得方程两端相等，因此称之为不定方程的特殊方法。
2. 二次根式也可以用于分解一个整数。
例如，求 54 分解因式，则可以得到 54 = 32 + 42，由此可以看出 54 的素因子有 3 和 4，故 54 的分解因式为 (3, 4) 。
3. 二次根式也可以应用于解求圆锥曲线和其他曲线的最值点，用二次曲这类平面几何结构和曲线结构表示。
4. 二次根式也可以应用于微分、积分等数学技巧，如求极限，使用二次根式求得函数的中点，使后续求解更加简单易行。
5. 二次根式也可以应用于拓扑学，可以在任意的简单图上写出如何使用二次根式将其涂色，使它仅有四种颜色。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第1章二次根式1
浙江版2022-2023学年度下学期八年级数学下册第1章二次根式1.3 二次根式的运算（2）【知识重点】一、同类二次根式：1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”. 二、二次根式的运算法则：实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.【经典例题】【例1】若最简二次根式√x 2+3x 与√x +15是同类二次根式，则x 的值是 ．【例2】如果最简根式 √3a −8 与√17−2a 是同类二次根式，那么使√4a −2x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≤10 B ．x≥10 C ．x ＜10 D ．x ＞10 【例3】计算：（1）(√27−3√13)÷√3×√20−(2+√5)2．（2）√8+√32−(√2−4√12)【例4】a=1√2−1，b=1√2+1，则a +b −ab 的值是 ．【例5】已知x =5−√17√17−3，y =√17−35−√17，则4x 2−3xy +4y 2= ．【基础训练】1．若最简二次根式√x +3与最简二次根式√2x 是同类二次根式，则x 的值为（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 2．已知二次根式√32−a 与√8化成最简二次根式后，被开方数相同，则符合条件的正整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．计算 4√12+3√13−√8 的结果是（ ）A ．√3+√2B ．√3C ．√33D ．√3−√24．化简 √12−√0.5−√13+√18 的结果是 .5．若最简二次根式√2−3a 与√2a +7可以合并，则a 的值为 ．6．已知x ，y 是两个不相等的有理数，且满足等式(3√2−1)x =3−√2y ，则x = ；y = ．7．计算（1）√12−√127+√48（2）√24 × √13 -4× √18 ×(1- √2 )0-( √23)-1（3）(2 √48 -3 √27 )÷ √3 -( √2 - √3 )28．计算：（1）√48÷√3－√12×√12＋√24；（2）√8－18√48－（23√412－2√34）；（3）（2－√3）2017×（2＋√3）2016－2|−√32|－（－√2）0（4）（a ＋2√ab ＋b ）÷（√a ＋√b ）－（√b －√a ）．【培优训练】9．下列二次根式中，同类二次根式是（ ）A ．√81ab 3和3√a 316bB ．√4a 2b 和和√2abC ．√a 3bc 和和√bcD ．√a 3+b 2和和√a 2+b 3 10．我们知道6−√2的小数部分b 为2−√2，如果用a 代表它的整数部分，那么ab 2−a 2b 的值是（ ） A ．8 B ．－8 C ．4 D ．－4 11．已知x 为实数，化简√−x 3−x √−1x的结果为（ ）A ．(x −1)√−xB ．(−1−x )√−xC ．(1−x )√−xD ．(1+x )√−x 12． 化简 −√−a +√−a 3−a √−1a＝ .13．已知：m+n ＝10，mn ＝9，则 √m−√n√m+√n＝ ．14．先化简，再求值： [4(√x+√y)(√x−√y)+√x+√y √xy(√y−√x)]÷√x−√y √xy，其中x ＝1，y ＝2．15．若x，y为实数，且y＝√1−4x＋√4x−1＋12．求√xy+2+yx－√xy−2+yx的值．16．已知：x＝√3+√2√3−√2，y＝√3−√2√3+√2，求x3−xy2x4y−2x3y2+x2y3的值．17．计算（√a＋b−√ab√a+√b ）÷（a√ab+b＋b√ab−a－a+b√ab）（a≠b）．18．已知函数y=kx，其中x>0，且满足√xy−y√xy−x +3=0.（1）求k；（2）求√xy−3yx+2√xy+y的值.19．观察下列格式，√5−12-√5−1，√8−222√8−2，√13−322√13−3，√20−422√20−4…（1）化简以上各式，并计算出结果；（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．20．先阅读，再解答问题：恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.例如：当x =√3+1时，求12x 3−x 2−x +2的值.为解答这道题，若直接把x =√3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.方法：将条件变形，因x =√3+1，得x −1=√3，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.由x −1=√3，可得x 2−2x −2=0，即x 2−2x =2，x 2=2x +2.原式=12x(2x +2)−x 2−x +2=x 2+x −x 2−x +2=2.请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）若x =√2−1，求2x 3+4x 2−3x +1的值；（2）已知x =2+√3，求x 4−x 3−9x 2−5x+5x 2−4x+3的值.21．如果记 y =x 1+x =f(x) ，并且 f(√1) 表示当 x =√1 时y 的值，即 f(√1)=√11+√1=12 ；f(√2) 表示当 x =√2 时y 的值，即 f(√2)=√21+√2； f(√12) 表示当 x =√12 时 y 的值，即 f(√12)=√12√12=√2+1；… （1）计算下列各式的值：f(√2)+f(√12)= .f(√111)+f(√1111)= .（2）当n 为正整数时，猜想 f(√n)+f(√1n) 的结果并说明理由；（3）求 f(√1)+f(√2)+f(√12)+f(√3)+f(√13)+⋅⋅⋅+f(√100)+f(√1100) 的值.【直击中考】22．计算：√12−2√3= ．23．估计(2√5+5√2)×√15的值应在（ ）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间24．计算(√27+√18)(√3−√2)=；25．计算√24−√65×√45的结果是．26．计算：(√5+12−1)⋅√5+12=（）A．0B．1C．2D．√5−1227．从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（）个.A．0B．1C．2D．328．人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数.设a=√5−12，b=√5+12，则ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，…，S10=11+a10+11+b10.则S1+S2+⋯+S10=.。
初中数学中的根号运算如何掌握？
初中数学中的根号运算如何掌握？在初中数学的学习中，根号运算是一个重要且具有一定难度的知识点。
对于许多同学来说，掌握根号运算并非易事，但只要掌握了正确的方法和技巧，就能轻松应对。
接下来，让我们一起深入探讨如何掌握初中数学中的根号运算。
首先，我们要理解根号的定义。
根号（√）是用来表示一个数的平方根的符号。
例如，√4 表示 4 的平方根，因为 2 的平方等于 4，所以√4 ＝ 2。
同样，√9 ＝ 3，因为 3 的平方是 9。
那么，如何计算一个数的平方根呢？对于一些完全平方数，我们可以直接得出其平方根。
但对于大多数非完全平方数，我们需要使用一些方法。
最简二次根式是根号运算的基础。
最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解为 2×2×2，其中 2×2 可以开方出来，所以√8 ＝2√2，而2√2 就是最简二次根式。
在进行根号运算时，同类二次根式的合并是一个重要的环节。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
例如，2√3 和3√3 就是同类二次根式，可以合并为5√3。
接下来，我们来看看根号的乘法和除法运算。
根号的乘法法则是：√a × √b ＝√（a×b) 。
例如，√2 × √3 ＝√（2×3) ＝√6 。
根号的除法法则是：√a ÷ √b ＝√（a÷b) （b≠0）。
例如，√8 ÷ √2 ＝√（8÷2) ＝√4 ＝ 2 。
在进行根号的乘除运算时，我们通常先将根式化为最简二次根式，然后再按照法则进行计算。
然后是根号的加减法运算。
根号的加减法运算，只有同类二次根式才能相加减。
例如，2√5 ＋3√5 ＝5√5 ，而√2 ＋√3 由于不是同类二次根式，不能直接相加。
同类2次根式
同类2次根式什么是2次根式在代数学中，2次根式是指一个数的平方根。
平方根是指一个数的平方等于该数的非负实数解。
例如，4的平方根为2，因为2²=4。
同类2次根式的定义同类2次根式是指具有相同根指数和被开方数（即底数）的两个或多个2次根式。
换句话说，同类2次根式具有相同的根指数和底数。
同类2次根式的性质同类2次根式具有以下性质：1.同类2次根式可以进行加法和减法运算：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们可以相加或相减。
例如，√5 + √5 = 2√5。
2.同类2次根式可以进行乘法运算：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们可以相乘。
例如，√3 * √3 = 3。
3.同类2次根式可以进行除法运算：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们可以相除。
例如，√8 / √4 = √(8/4) = √2。
4.同类2次根式可以进行化简：当两个同类2次根式具有相同的底数时，可以将它们合并为一个更简单的形式。
例如，√12 + √3 = 2√3 + √3 = 3√3。
5.同类2次根式可以进行比较大小：当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们的大小可以通过比较它们的系数来确定。
例如，对于正实数a和b，如果a > b，则√a > √b。
同类2次根式的运算规则同类2次根式的运算遵循以下规则：1.加法和减法运算：只有当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们才能进行加法和减法运算。
在进行运算时，保持底数不变，并将系数相加或相减。
例如，–√5 + √5 = 2√5–3√7 - 2√7 = √72.乘法运算：只有当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们才能进行乘法运算。
在进行乘法运算时，保持底数不变，并将系数相乘。
例如，–√3 * √3 = 3–2√5 * 3√5 = 6√25 = 303.除法运算：只有当两个同类2次根式具有相同的底数时，它们才能进行除法运算。
在进行除法运算时，保持底数不变，并将系数相除。
同类二次根式概念
同类二次根式概念二次根式是数学中的一种特殊形式的根式，其以平方数作为根式的被开方数。
例如，√4、√9等都是二次根式。
在数学学习中，二次根式是一个非常重要的知识点，而同类二次根式则是其中的一个重要概念。
什么是同类二次根式？同类二次根式指的是被开方数相同的二次根式。
例如，√2和√8就是同类二次根式，因为它们的被开方数都是2。
同样地，√5和√20也是同类二次根式，因为它们的被开方数都是5。
同类二次根式的性质同类二次根式有一些特殊的性质，这些性质在数学中的运用非常广泛。
1. 同类二次根式可以相加或相减同类二次根式可以进行加减运算，只需要将它们的系数相加或相减即可。
例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√2√5 - √20 = √5 - 2√5 = -√52. 同类二次根式可以进行乘法运算同类二次根式可以进行乘法运算，只需要将它们的系数相乘，被开方数相同的部分不变。
例如：√2 × √8 = 2√2√5 × √20 = 2√53. 同类二次根式可以进行约分同类二次根式可以进行约分，只需要将它们的系数约分即可。
例如：2√2 + 4√2 = 6√24√5 - 2√5 = 2√54. 同类二次根式可以进行比较大小同类二次根式可以进行大小比较，只需要比较它们的系数大小即可。
例如：√2 < √8√5 < √20同类二次根式的应用同类二次根式的应用非常广泛，尤其是在代数式的计算和化简中。
例如，在化简代数式时，我们可以将同类二次根式进行合并，从而简化计算。
例如：4√2 + 2√2 = 6√23√5 - √20 = √5同类二次根式还可以应用在几何中，例如计算三角形的边长和面积等。
在三角形中，如果两条边的长度都为同类二次根式，那么第三条边的长度也可以通过同类二次根式进行计算。
总结同类二次根式是数学中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和应用。
在学习数学时，我们需要掌握同类二次根式的定义、性质和应用，从而更好地应用它们解决实际问题。
初中数学二次根式基础知识点(共6篇)
初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。
二次根式的加减(知识讲解)-八年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)
专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。
最简二次根式和同类二次根式 (1)
教案撰稿人完稿时间审核人审核时间课程进度课程标题学生对象：教学目标教学安排一览时间1235678910创新三维学习法，高效学习加速度知识精要一、最简二次根式1. 化简二次根式把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如)0m a a≥的式子叫做二次根式。
2. 化简后的二次根式中：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数不含分母。
3.最简二次根式必须满足二个条件：(1)被开方数中各因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开的尽方的因数或因式。
二、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式。
同类二次根式可以合并.注：要判断几个根式是否为同类根式，不一定非要化成最简形式，实际上只要化成某一种形式后，在这种形式下，被开方数相同就可以了。
创新三维学习法，高效学习加速度创新三维学习法，高效学习加速度 精解名题例1.化简下列二次根式 (1) 48 24343=⨯=;(2)532 252101032288⨯===⨯; (3) 28(0)x x ≤()()00220x x x ⎧=⎪=⎨-<⎪⎩; (4)327a -,解：因为0a <则原式=()2233a a ⨯⨯⨯-33a a=-33a a =--;(5) ()345380a b c a < 解：因为a<0, 所以0c ≤，则原式=c c b a a ⨯⨯⨯⨯⨯⨯222222)()(223 ac c b a 2)(2322⨯⨯⨯-⨯⨯= ac c ab 2622-= 例2.化简二次根式的结果是（ ）A. B.- C. D.解：因为,创新三维学习法，高效学习加速度所以-(a+1),即a原式=所以应该选B例3化简：0293618(32)(12)23+--+-+-． 解：0293618(32)(12)23+--+-+- 3322(12)1|12|2=--+++-． 3322121212=---++-．3212=- 例4 最简二次根式(1)下列各式中,是最简二次根式的是( ) A18 B12x C2x y + D 221x x ++ 解：A 18=32 B 18x =23x D 221x x ++=所以，应选C(2) 3445x y 解：因为0x ≥，则原式()222235x x y =⨯⨯⨯⨯35xy x =(3) y x x解：有式子可直接得：00x xy ≠≥且， 则原式2yx xx = 2xy x x=xy =))00x xy x xxy x xy x ⎧>⎪==⎨-<⎪⎩;(4) 已知,02x <<,22442222x x x x+++-创新三维学习法，高效学习加速度解：原式()()222222x x xx+-=2222x x x x =++-222222x x x x x x +-=22x x =例5 同类二次根式(1)下列根式中,与3是同类二次根式的是( )A. 24B. 12C.32D. 18解：A. 242462626⨯=⨯=B. 122432323⨯=⨯=C.32= 32622⨯=⨯ D. 18=2923232⨯=⨯=所以选B(2)219334x x x23x x x =x =例6. 已知a ＝21,b ＝41,求b a b -－ba b +的值． 解 原式ab b ab b +-+=2ba b=-， 将a ＝21,b ＝41代入得，原式=2创新三维学习法，高效学习加速度热身练习1．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a=____，b=___。
同类2次根式
同类2次根式摘要：一、同类二次根式的概念1.同类二次根式的定义2.同类二次根式的性质二、同类二次根式的计算方法1.合并同类二次根式2.同类二次根式的乘除法3.同类二次根式的加减法三、同类二次根式的应用1.二次根式的化简2.二次根式的求值3.二次根式的应用实例正文：同类二次根式是数学中一种常见的概念，对于理解和掌握二次根式的性质和计算方法有着重要的作用。
一、同类二次根式的概念同类二次根式是指具有相同根指数和相同被开方数的二次根式。
例如，$sqrt{8}$ 和$sqrt{16}$ 就是同类二次根式，因为它们的根指数都是2，被开方数都是8。
同类二次根式具有以下性质：同类二次根式的和等于它们的和的二次根式；同类二次根式的积等于它们的积的二次根式。
二、同类二次根式的计算方法1.合并同类二次根式：当同类二次根式之间进行加减运算时，可以直接将它们的系数相加减，而根式部分保持不变。
例如，$sqrt{8} - sqrt{2} = sqrt{8 - 2} = sqrt{6}$。
2.同类二次根式的乘除法：同类二次根式的乘法就是将它们的系数相乘，根式部分保持不变；同类二次根式的除法就是将它们的系数相除，根式部分保持不变。
例如，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$；$sqrt{8} div sqrt{2} = sqrt{frac{8}{2}} = sqrt{4} = 2$。
3.同类二次根式的加减法：同类二次根式的加减法需要先将它们化为同类二次根式，然后再进行加减运算。
例如，$sqrt{8} + sqrt{2}$ 不能直接进行加法运算，需要先将$sqrt{2}$ 化为$sqrt{4} times sqrt{2}$，然后再与$sqrt{8}$ 相加，得到$sqrt{8} + sqrt{4} times sqrt{2} = sqrt{8} +2sqrt{2}$。
数学概念知识点总结之同类二次根式
数学概念知识点总结之同类二次根式同类二次根式是指具有相同根次和相同根指数的二次根式。
在数学中，二次根式是指根号下面的式子为一个二次方程的根。
我们将同类二次根式进行集合，并合并同类项，就可以进行简化和比较大小。
下面是关于同类二次根式的知识点总结。
一、同类二次根式的定义同类二次根式具有相同的根次和相同的根指数。
根次指的是根号下面的数字的次数，根指数指的是根号的指数。
例如，√2和√3就是同类二次根式，因为它们的根次都是2，根指数都是1二、同类二次根式的加法和减法1.加法：同类二次根式的加法要求根次和根指数都相同，才能进行相加。
例如，√2+√3=√2+√3；但是√2+√4是不同类的二次根式，不能进行相加。
2.减法：同类二次根式的减法也要求根次和根指数都相同，才能进行相减。
例如，√6-√2=√6-√2；但是√6-√4是不同类的二次根式，不能进行相减。
三、同类二次根式的乘法和除法1.乘法：同类二次根式的乘法是将根号里面的数字相乘，然后将根号保留，根次和根指数不变。
例如，√2×√3=√(2×3)=√6；但是√2×√4=√(2×4)=√8=2√22.除法：同类二次根式的除法是将根号里面的数字相除，然后将根号保留，根次和根指数不变。
例如，√6÷√2=√(6÷2)=√3；但是√6÷√4=√(6÷4)=√(3/2)。
四、同类二次根式的化简对于同类二次根式，我们可以将可以化简的二次根式进行化简。
具体的化简方法如下：1.化简含有平方数的二次根式：对于能够约分的二次根式，我们可以将其化为简单的数。
例如，√8=√(4×2)=2√2；√12=√(4×3)=2√32.加减同类项：对于同类项，我们可以进行合并，得到更简单的表达。
例如，√3+√3=2√3；2√2+3√2=5√23.简化系数：对于最后的结果，我们可以将系数进行化简。
例如，2√7+3√7=5√7五、对同类二次根式的比较大小1.同类二次根式的比较大小，可以先将二次根式化为最简形式，然后比较根号里面的数字的大小。
同类二次根式与最简二次根式
同类二次根式与最简二次根式在学习二次根式的过程中，我们经常会遇到同类二次根式和最简二次根式这两个概念。
它们在二次根式的化简和比较大小中起着重要的作用。
下面我们就来详细了解一下同类二次根式和最简二次根式的概念以及它们的应用。
一、同类二次根式同类二次根式是指具有相同根指数和相同根式的二次根式。
通俗地说，就是两个或多个二次根式中的根指数相同，且根式也相同，那么它们就是同类二次根式。
如下面的例子所示：√5 和√20 就是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为5的二次根式；√7 和√15 也是同类二次根式，因为它们都是根指数为2，根式为7的二次根式。
在进行运算时，我们可以将同类二次根式进行合并。
具体方法是将它们的根式相加或相减，而根指数保持不变。
举个例子，对于√5 + √20，我们可以将它们合并为√(5+20)，即√25，最终结果为5√1。
二、最简二次根式最简二次根式是指在同类二次根式中，系数为1且根式中的数不能再进行开方的二次根式。
也就是说，最简二次根式的系数是1，而且根式中的数是不可再开方的。
比如，√5 就是最简二次根式，因为根式中的数5是不可再开方的；而√20不是最简二次根式，因为根式中的数20可以进一步开方为2√5。
化简二次根式的一个重要原则就是将其化为最简二次根式。
这样可以使得二次根式的表达更加简洁，并且便于进行比较和运算。
三、应用举例在实际应用中，同类二次根式和最简二次根式经常用于比较大小和进行运算。
下面举几个例子来说明其应用。
例1：比较大小比较√5和√20的大小。
我们将它们化为最简二次根式。
√5已经是最简二次根式，而√20可以进一步化简为2√5。
因此，√5 < 2√5。
例2：合并同类项将4√3 - 2√3 + 3√3进行合并。
我们可以看出这三项都是同类二次根式，因为它们的根指数和根式都相同。
然后，我们将系数相加：4 - 2 + 3 = 5。
将根式保持不变，得到最终结果：5√3。
通过这个例子，我们可以看到合并同类项的步骤：先将系数相加，然后保持根指数和根式不变。
21.3同类二次根式
参考答案
一、判断题
1．√；2．×；3．×；4．√；5．×．
6.x≤1．
7【提示】二次根式 有意义的条件是什么？a≥0．【答案】≥ ．
8.【提示】∵ ，∴ ， ．【答案】＜．
9.【提示】(3 )2－( )2＝？【答案】2 ．
10.【答案】 ．
16.【答案】D．
【点评】本题考查二次根式的性质．注意（B）不正确是因为 ＝|－ |＝ ；（C）不正确是因为没有公式 ＝ ．
17.【答案】B．
【点评】本题考查二次根式的性质成立的条件．（A）不正确是因为a＋b不一定非负，（C）要成立必须a≥1，（D）要成立必须a≥0，b＞0．
18.【提示】要使式子有意义，必须 【答案】C．
21.3同类二次根式
目标解读：
1.理解同类二次根式的概念，会合并同类二次根式；理解并掌握二次根式加减的方法。
2.理解二次根式的加减法则，并能熟练地进行二次根式的加减法运算。
3.理解二次根式的混合运算，并了解二次根式的混合运算与整式的混合运算及实数的混合运算的区别。
4.通过对二次根式的混合运算，并了解二次根式的混合运算与整式的混合运算及实数的混合运算的区别
【解】在直角三角形中，根据勾股定理：
另一条直角边长为： ＝3（cm）．
∴ 直角三角形的面积为：S＝ ×3×（ ）＝ （cm2）
答：这个直角三角形的面积为（ ）cm2．
31.【提示】由已知得|1－x|－|x－4|＝2x－5．此式在何时成立？[1－x≤0且x－4≤0．]
【解】由已知，等式的左边＝|1－x|－ ＝|1－x|－|x－4右边＝2x－5．
例3、计算：
(1) (2)
八年级数学暑假同步讲义第2讲最简二次根式与同类二次根式学生版
最简二次根式与同类二次根式内容分析最简二次根式和同类二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，是进一步研究二次根式运算的的知识基础.重点是最简二次根式、同类二次根式的判断，难点是同类二次根式的合并及最简二次根式的化简.知识结构模块一最简二次根式知识精讲1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1;（2）被开方数不含分母・当被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式•例题解析【例1】判断下列二次根式是不是最简二次根式:（1）<42a ; （2）24Xx3 ;1 v4xy2 -8y2 ( y < 0 )；【例2】判断下列二次根式是不是最简二次根式：【例3】判断下列二次根式是不是最简二次根式：(3)<9a 2 + 6a + 1 .【例4】将下列二次根式化成最简二次根式：【例5】将下列二次根式化成最简二次根式：(2) (aa 2 -b 2)(a + b )(a > b >0)；(3)7x 3 - 2x 2 + x (x 〉1).(1)上(3) 、口.5(a + b ).(1)、3(a 2 + 2a + 1)(a >-1)；(2)、；(x 2 - y 2)(x - y )(x > y > 0)；(1) 122 ;(2) 4x 3y 2 (y 〉0)； (3) v27a 3b 2c 5 ( a < 0 , b < 0 , c < 0 )•【例6】将下歹匚次根式化成最简二次根式:⑴A ；【例7】将下歹二次根式化成最简二次根式：(a + 2)5 ； -(a> 2) • (a — 2)3【例8】若｛x —p~是最简二次根式，则m =, n =, p =（其中m , n , p 均不为0）【例9】如果a +17074是最简二次根式，求,:― + -的值. a 2 a 3(2) <1,5a 3 ；b 5 , 、(4) ；, ----- ( a > 0， b > 0 ， c > 0 ).27 a 3 c(1) a + b , (0 < a < b )； (a 一 b )2(2) m + n, (m > n > 0)；（3）(3)(2)亨和哈-9【例12】 合并下列各式中的同类二次根式:(1) 2K2- - <3 + - <2 +、瓜；23(2) 3 V xy - ay xy + bxxy(3) 3<18 - <50+5<72 ；(4) (3b v b + a\:b ) - (v4ab 3 + ab\b ).模块二同类二次根式1、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式.(2) \；x 4y ， 3、,x 3y (x < 0)， -2\xy^y 3(y < 0). 【例11】 判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?知识精讲例题解析【例10】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?(1) <24 , 448, —12【例13】判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式?(1) ava3 + a2 和b；—1一；(2) J——3a土”——和J ---ab 3 + b 3 9 a 2 +12 ab + 4 b 2 \3 a + 2 b 【例14] 若最简二次根式a+•J a^2b与*：a—b + 3是同类二次根式，求a、b的值. 【例15】当％ = -3时，二次根式m v2x2 + 5x + 7的值为无，求m的值.【例16】(1) 合并下列各式中的同类二次根式:2 口-2 1 +H ；27 3 3(2) (4<0.5 -4*0.125) - 2/3 + V12 ；(3)仁-3 x v Xx x【例17】 计算：【习题1】_判断下列二次根式是不是最简二次根式: (1)作；(2)'而;(3)/2r3 3b【习题2】 将下列二次根式化成最简二次根式：(1) <18 ; (2) <72 ; (3) <45 ; (4) <90.【习题3】 将下列二次根式化成最简二次根式： __________ (1) v8x 2(x 0) ; (2) ■v45a 2b ; (3) 44a 3b 2 (D 0);【习题4】 下列二次根式，哪些是同类二次根式：■■..■■12 , <24 , 1— , Ja 4b , 2 匚 a 3b (a 0), v'ab 3 (a 0).1. 27随堂检测(4) <5(a 2 2a 1)5 1).0 7 (2)3x \：4(1) , ；(2) ^―― ；(3) H •———(a < 0,b < 0)；' 32 \ %',8a5b (4)45 a2b【习题6】判断下列各组根式是否是同类根式:⑴-。
专题16 二次根式的加减【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题16.3 二次根式的加减【八大题型】【人教版】【题型1 同类二次根式的判断】 (1)【题型2 求同类二次根式中的参数】 (1)【题型3 二次根式的加减运算】 (2)【题型4 二次根式的混合运算】 (3)【题型5 已知字母的值化简求值】 (3)【题型6 已知条件式化简求值】 (4)【题型7 二次根式的新定义运算】 (4)【题型8 二次根式的应用】 (4)【题型1 同类二次根式的判断】【例1】（2022春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（）A．√3与√32B．√6与√12C．√5与√75D．√12与√27【变式1-1】（2022春•郯城县期中）下列根式中，与√6x不是同类二次根式的是（）A．√x6B．√6xC．√16xD．√6+x【变式1-2】（2022春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（）A．√8与√32B．√45与√20C．√27与√75D．√24与√80【变式1-3】（2022春•河西区校级月考）下列各式中与√a+b是同类二次根式的是（）A．1a √(a+b)2B．13√3(a+b)C．√a+b2D．√9a+b【题型2 求同类二次根式中的参数】【例2】（2022春•怀远县期中）已知二次根式−√x −2． （1）求使得该二次根式有意义的x 的取值范围；（2）已知−√x −2为最简二次根式，且与√52为同类二次根式，求x 的值，并求出这两个二次根式的积．【变式2-1】（2022秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式√3a +8与√12−a 是同类二次根式，那么3√a 的值为 ．【变式2-2】（2022春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题： 如果√16(2m +n)和√m +7m−n−1在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m 、n 的值．解：因为√16(2m +n)与√m +7m−n−1可以合并所以{m −n −1=216(2m +n)=m +7即{m −n =331m +16n =7解得{m =5547n =−8647问：（1）以上解是否正确？答 ． （2）若以上解法不正确，请给出正确解法．【变式2-3】（2022春•孟村县期中）若最简二次根式√2x +y −53x−10和√x −3y +11是同类二次根式． （1）求x ，y 的值； （2）求√x 2+y 2的值．【题型3 二次根式的加减运算】 【例3】（2022春•普兰店区期中）计算： （1）√18−√32+√2 （2）7a √8a −4a 2√18a+7a √2a ．【变式3-1】（2022春•高密市校级月考）计算： （1）√0.25+√925+√0.49+|−√1100|（2）√0.01−√1100+（﹣1）3√(−0.01)2+√0（3）4√5+√45−√8+4√2．【变式3-2】（2022秋•浦东新区期中）化简：√8ab −b√2a b−a√b2a（a ＞0，b ＞0）【变式3-3】（2022秋•浦东新区期末）计算下列各式： （1）√5−√6−√20+√23+√95 （2）√12−√0.5−2√13−√18+√18（3）√27a −a√3a +3√a 3+12a √75a 3（4）23x √9x +6x √y x +y √x y −x 2√1x ．【题型4 二次根式的混合运算】 【例4】（2022春•安庆期末）计算：（1）√48÷√3+2√15×√30−（2√2+√3）2（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−√2)0−√(−4)2+√25【变式4-1】（2022春•岳池县期中）计算：√2×√6√3（√3−2）2−√2（√2−√6）【变式4-2】（2022春•天心区校级期中）计算： （1）（√20+√5+5）÷√5−√13×√24−√5；（2）√18−√92√3+√6√3+（√3−2）0+√(1−√2)2．【变式4-3】（2022秋•昌江区校级期末）（√a √ab √a+√b）÷（√ab+b√ab−a√aba ≠b ）．【题型5 已知字母的值化简求值】【例5】（2022秋•如东县期末）已知x ＝1−√3，求代数式（4+2√3）x 2+（1−√3）x +8√3． 【变式5-1】（2022秋•杨浦区期中）计算与求值． 已知a =2+√3，求a 2−2a+1a−1−√a 2−2a+1a 2−a的值．【变式5-2】（2022春•容县校级月考）已知a ＝2，b ＝3，求式子√a 3b −√ab +√a 3b 3的值． 【变式5-3】（2022秋•天河区校级月考）已知x =√2021−√2020，则x 6﹣2√2020x 5−x 4+x 3−2√2021x 2+2x −√2021的值为（ ） A ．0B ．1C ．√2020D ．√2021【题型6 已知条件式化简求值】 【例6】（2022秋•虹口区校级期中）已知x−b a=2−x−a b，且a +b ＝2，请化简并求值以下代数式：√x+1−√x √x+1+√x√x+1+√x√x+1−√x．【变式6-1】（2022春•阳信县期中）已知√x−69−x =√x−6√9−x，且x 为奇数，求（1+x ）•√x 2−5x+4x 2−1的值．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a ，b ，c 满足a +4√ab +3b ﹣2√bc −c ＝0，则√a+√b√c的值是 ．【变式6-3】（2022春•芝罘区期末）若实数a ，b 满足（√a +√b ）（√a +√b −2）＝3，则√a +√b 的值是 ． 【题型7 二次根式的新定义运算】【例7】（2022春•郧阳区期中）对于任意的正数m ，n 定义运算*为：m *n ={√m −√n(m ≥n)√m +√n(m ＜n)，计算（3*2）+（8*12）的结果为 ．【变式7-1】（2022春•江岸区校级月考）对于实数a 、b 作新定义：a @b ＝ab ，a ※b ＝a b ，在此定义下，计算：（√43−√32）@√12−（√75−4√3）※2＝ ．【变式7-2】（2022秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a ＞b 时，a △b ＝a +b ；当a ≤b 时，a △b ＝a ﹣b ，其它运算符号的意义不变，计算：（√3△√2）﹣（2√3△3√2）＝ ． 【变式7-3】（2022秋•厦门期末）若a +b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，5−√2与 是关于1的平衡数；（2）若（m +√3）×（1−√3）＝﹣5+3√3，判断m +√3与5−√3是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【题型8 二次根式的应用】【例8】（2022春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m 2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为√243m 、宽为√128m ． （1）求该长方形土地的周长；（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：√6≈2.45）【变式8-1】（2022春•岱岳区期末）在一个边长为（2√3+3√5）cm 的正方形的内部挖去一个长为（2√3+√10）cm ，宽为（√6−√5）cm 的矩形，求剩余部分图形的面积．【变式8-2】（2022春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记p =a+b+c 2，那么这个三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．（1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【变式8-3】（2022秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC 为8√3米，宽AB为√98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为√13+1米，宽为√13−1米．（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）。
同类二次根式练习题
同类二次根式练习题
一、选择题
1. 同类二次根式是指具有相同的______的二次根式。
A. 被开方数
B. 根指数
C. 系数
D. 次数
2. 以下哪一项不是同类二次根式的组合？
A. √3和3√2
B. 2√7和√7
C. √2和2√2
D. √5和5√5
3. 同类二次根式的和是：
A. 3√2
B. 2√2
C. √2
D. 无法确定
4. 将同类二次根式√3+√3合并后，结果为：
A. 2√3
B. 3√3
C. √6
D. √9
二、填空题
1. 同类二次根式√2和2√2相加的结果是______。
2. 将同类二次根式√5-√5合并后，结果为______。
3. 如果√x和√x是同类二次根式，则x的值是______。
三、计算题
1. 计算并简化下列表达式：
(1) 3√2 + 2√2
(2) √8 - √2
2. 计算并合并同类二次根式：
(1) √12 + √27
(2) √18 - √2
四、应用题
1. 已知一个二次根式是√7，另一个是√28，它们是否是同类二次根式？为什么？
2. 一个几何图形的面积是√3平方厘米，如果将这个图形的边长都扩大两倍，那么新图形的面积是多少？
五、综合题
1. 一个二次根式表达式是√x+√y，如果x和y是两个不同的数，那么这个表达式能否简化？如果可以，请给出简化后的表达式。
2. 一个二次根式表达式是√a-b，如果a和b是两个相同的数，那么这个表达式的结果是什么？
注意：在解答过程中，需要保证运算的准确性，并注意同类二次根式的合并规则。
同类2次根式
同类2次根式摘要：1.引言：介绍同类2 次根式的概念2.同类2 次根式的定义与性质3.同类2 次根式的运算法则4.实际应用举例5.结论：总结同类2 次根式的重要性正文：一、引言在数学领域，同类二次根式是一个重要的概念。
它能帮助我们简化和计算复杂的数学问题，具有广泛的应用。
本文将从同类二次根式的定义、性质、运算法则以及实际应用等方面进行详细介绍。
二、同类二次根式的定义与性质同类二次根式是指具有相同根式因数的二次根式。
例如，2√3 和3√3 就是同类二次根式，因为它们都含有√3 这个根式因数。
同类二次根式具有以下性质：1.它们的根式因数相同；2.它们的被开方数可以互相转换；3.它们可以进行加减运算。
三、同类二次根式的运算法则同类二次根式可以按照以下法则进行运算：1.加法：同类二次根式相加时，只需将它们的被开方数相加，根式因数保持不变。
例如，2√3 + 3√3 = (2+3)√3 = 5√3。
2.减法：同类二次根式相减时，只需将它们的被开方数相减，根式因数保持不变。
例如，2√3 - 3√3 = (2-3)√3 = -√3。
3.乘法：同类二次根式相乘时，将它们的被开方数相乘，根式因数也相乘。
例如，2√3 ×3√3 = (2×3)√(3×3) = 6√9 = 6×3 = 18。
4.除法：同类二次根式相除时，将它们的被开方数相除，根式因数也相除。
例如，2√3 ÷3√3 = (2÷3)√(3÷3) = (2/3)√1 = 2/3。
四、实际应用举例假设有一个数学问题：计算表达式5√3 + 2√6 - 3√3 的值。
我们可以先找出同类二次根式，然后进行运算。
在这个例子中，5√3 和-3√3 是同类二次根式，可以相减得到2√3。
接下来，2√6 无法与其他二次根式合并，所以保持不变。
因此，原式化简后为2√3 + 2√6。
五、结论同类二次根式在数学运算中具有重要作用，能帮助我们简化复杂的数学问题。
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（3）下列根式中，与
A 27
18 为同类二次根式的是（
B 72 C 1 3
B ）
D 1.8
（4）下列各组式子中是同类二次根式的一组是（ B ）
A xy 与 xy 2
B 2a a 与
1 a
C
3x 与 3 x
D
பைடு நூலகம்
a 与3 a
判断几个二次根式是 同类二次根式的方法:
一是化 每个二次根式为最简二次根式； 二是看 化简后的二次根式中被开方数是 否相同。
观察：以上三组二次根式化简后，被开方数有何特征？
你能归纳出同类二次根式的定义吗？
同类二次根式:
几个二次根式化成___________ 最简二次根式 被开方数 以后，如果_______相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式 。
比一比：
同类二次根式与同类项的异同。
• 同类项：所含字母相同，相同字母的次 数也相同。 • 联系：都含“同类”两字，都具有某种 共同的性质。都有“相同”两字。 • 区别：同类项不带根号，同类二次根式 有根号。
1、判断下列各组二次根式是否为同类二次根式?
（1）
50与 0.5
（
（ （
是 否
）
） ）
（2） 12与 18
1 （3） a 与 a
3
是
2、选择题
（1）下列根式中，与 2 3 为同类二次根式的是（ C ） 1 A 3x B 6 C D 32 3 （2）下列根式中与
A x 6
6 x 不是同类二次根式的是（ D ）
练一练：
• 课本第189页练习1。
若最简二次根式 5x 7 与 x 8x 2 是同类二 次根式，则x 的值为多少？ 讨论：解此类题的主要步骤有哪些？
二次根式的加减法
• 二次根式加减运算的基本方法. •同类二次根式的定义：几个二次根式化成最 简二次根式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式。 •判断几个二次根式是同类二次根式的方法： 一化二看。
下列各式中哪些是同类二次根式？
1 1 2 2 , 75 , , , 3, 50 27 3 a ,6b 2b
8ab
3
解:首先把它们化成最简二次根式：
2; 75 1 50 1 27 3; 2 2b 2ab 8ab 3 a a 6b 6b 6b 2b 2b
3
25 3 5 1 50
3;
1 1 2 ; 10 25 2 5 2
1 1 3 ; 9 27 3 3 4b 2ab ; 3 a 2b 3 2b 2b
2 3
2ab .
可见：
2,
1 50
是同类二次根式； 是同类二次根式；
1 75 , , 3 27 2 3
3
a 8ab ,6b 2b
是同类二次根式。
• 二次根式加减运算的基本方法
4 2 12 2
( 4 12) 2 …………(分配律)
16 2 • 结论1: 如果几个二次根式的被开方数相同， 那么可直接根据分配律进行加减运算。
4 8 4 18 8 2 12 2 (8 12) 2
20 2
……………..(化简) ……………..(分配律)
• 结论2:如果所给的二次根式不是最简二次
根式,应该先化简，再考虑进行加减运算。
把下列各式化为最简二次根式：
1
8 27
18 1 3
1 2
2 3
ab
3
a b
解得：
（1 )
82 2 18 3 2 1 1 2 2 2
（2 )
27 3 3 1 1 3 3 3
（3 )
a 3b a ab a 1 ab b b