2019-2020学年江苏省南通市通州区高一(上)期中数学试卷1(含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市通州区高一（上）期中数学试卷1一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|−2≤x ≤2}，那么A ∩B =( )A. {−1,0，1}B. {−1,0，1，2}C. {−1,0，1，2，3}D. {x|−2≤x ≤2} 2. 函数f(x)=√2−x +lg(x +1)的定义域为( ) A. [−1,2] B. [−1,2) C. (−1,2]D. (−1,2) 3. 幂函数f(x)=x a 的图象经过点(2,4)，则f(−12)=( )A. 12B. 14C. −14D. 2 4. 下列函数与函数y =x 的图像相同的是( ) A. y =√x 2B. y =a log a x (a >0，且a ≠1)C. y =x 2xD. y =log a a x (a >0，且a ≠1)5. 函数f(x)=ln|1−x|的图象大致形状是( )A. B.C. D.6. 函数y =2−ax 2(a >0)在区间[0,3]上的最大值为( ) A. 2 B. 2(1−a )C. 2−aD. 2−a 2 7. 已知函数f (x )=(12)|x |，设a =f (20.3),b =f (0.32),c =f (1)，则a,b,c 的大小关系是( ) A. b >c >a B. b >a >c C. c >a >b D. a >b >c8. 已知函数f(x)={a ⋅2x ,x ≥02−x ,x <0(a ∈R)，若f(f(−1))=1，则a =( ) A. 14 B. 12 C. 1D. 2 9. 若函数f(x)=log a (2x 2+x)，(a >0,a ≠1)在区间(0,12)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. B. C. (0,+∞) D.10. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1，则f(−1)=( )A. 1B. −1C. 2D. −2 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 计算：(12)log 213+(−27)23−log √39=______． 12. 已知f(x −1x )=x 2+1x 2，则函数f(3)=______．13. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．14. 已知正数x ，y 满足xy +x +2y =6，则xy 的最大值为______ ．15. 一个矩形的周长是40，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为________．16. 已知函数f(x)={x , x ≥a , x 3−3x , x <a .若函数g(x)=2f(x)−ax 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是____三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|−2≤x ≤3}．(1)当a =1时，求A ∪B ；(2)若A ∪B =B ，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=23x +1+a(a ∈R)为奇函数(1)求a 的值；(2)当0≤x ≤1时，关于x 的方程f(x)+1=t 有解，求实数t 的取值范围．19. 已知函数f(x +1)=x −1+√2x −3.(1)求f(x)；(2)求f(x)的值域．20.已知函数f(x)=9x−4⋅3x+5，x∈[0,2]，求函数f(x)的最大值与最小值．21.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f(x)时刻x(时)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)−a|+2a+1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．(1)若a=1，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；2(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22.已知函数f(x)=2ax−2，g(x)=a(x−2a)(x+a−2)，a∈R且a≠0．(1)若{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，求实数a的值;(2)若{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={−1,0，1，2，3}，B={x|−2≤x≤2}，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：B．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√2−x+lg(x+1)，∴{2−x≥0x+1>0，解得−1<x≤2，∴函数f(x)的定义域为(−1,2]．故选：C．根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．3.答案：B解析：【分析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．根据幂函数的图象过点(2,4)求出函数解析式，再计算f(−12)的值．【解答】解：幂函数f(x)=x a的图象经过点(2,4)，则2a=4，解得a=2；∴f(x)=x2，∴f(−12)=(−12)2=14．4.答案：D解析：选项A 中，函数y =|x |，选项B 中，x >0，选项C 中，x ≠0，选项D 中，y =log a a x =x ，且x 可以取任意实数．5.答案：B解析：解：函数f(x)=ln|1−x|={ln(x −1),x >1ln(1−x),x <1，排除选项A ，D ， 当x >1时，函数是增函数，排除C ．故选：B ．化简函数的解析式，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的图象的判断与应用，是基础题．6.答案：A解析：因为函数y =2−ax 2(a >0)，对称轴为x =0，开口向下.所以由函数的图像知：y =2−ax 2(a >0)在区间[0,3]上的最大值为f (0)=2.故A 正确．7.答案：A解析：解：c =f (1)=12a =f (20.3)<12b =f (0.32)>12故选A ． 8.答案：A解析：【分析】本题主要考查分段函数的求值，属于简单题．根据条件代入计算即可．【解答】解：因为f(−1)=2，f(2)=4a ，所以4a =1，解得a =14．故选A ． 9.答案：D解析：本题考查复合函数的单调性，对数函数的性质，二次函数的性质，属于中档题．根据题意得0<a<1，由2x2+x>0，得x<−1或x>0，然后运用复合函数的单调性规律解题即2可．【解答】)时，2x2+x∈(0,1)，解：由题知，当x∈(0,12)内恒成立，可得0<a<1，由f(x)>0在区间(0,12或x>0，由2x2+x>0，得x<−12令t=2x2+x，则y=log a t，当0<a<1时，y=log a t在(0,+∞)上是减函数，因为t=2x2+x在上单调递减，所以f(x)的单调增区间是．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查奇函数的定义，函数求值的方法，属于基础题．由函数在x>0时的解析式结合函数是奇函数求得函数在x<0的解析式，然后可得．【解答】解：当x>0时，f(x)=x2+1，设x<0,则−x>0，∴f(−x)=(−x)2+1=x2+1，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴−f(x)=x2+1，f(x)=−x2−1，∴f(−1)=−(−1)2−1=−2，故选D．11.答案：8解析：【分析】本题考查了分数指数幂和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．进行对数和分数指数幂的运算即可．【解答】解：原式=2−log213+9−log√3(√3)4=3+9−4=8．故答案为8．12.答案：11解析：【分析】本题考查了函数求解析式和函数求值的问题，运用了配凑法求解析式．属于基础题．利用配凑法求解：把x2+1x2化为关于x−1x的表达式，然后整体代换就可得到f(x)的解析式，进而求出f(3)的值．【解答】解：因为f(x−1x )=x2+1x2=(x−1x)2+2，所以f(x)=x2+2，所以f(3)=32+2=11故答案为11．13.答案：−(x−14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x+7)是定义在R上的奇函数，∴f(x+7)=−f(−x+7)，∴f(x)=−f(−x+14)，∴当x>7时，−x+14<7，故f(x)=−f(−x+14)=−(−x+14)2=−(x−14)2，故答案为−(x−14)2．14.答案：2解析：解：∵正数x，y满足xy+x+2y=6，∴x=6−2yy+1>0，解得0<y<3．∴xy=y(6−2y)y+1=−2(y+1+4y+1)+10≤−2×2√(y+1)⋅4y+1+10=2，当且仅当y=1(x=2)时取等号．∴xy的最大值为2．故答案为：2．正数x ，y 满足xy +x +2y =6，可得x =6−2y y+1>0，解得0<y <3.可得xy =y(6−2y)y+1，化简整理利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于基础题．15.答案：y =20−x(0<x ≤10)解析：【分析】本题考查考查的实际应用和求函数解析式，考查推理能力和计算能力，属于基础题．由题意可知2y +2x =40，即y =20−x ，结合0<x ≤10可知y =20−x(0<x ≤10)．【解答】解：由题意可知2y +2x =40，即y =20−x ，又20−x ≥x ，所以0<x ≤10．故解析式为y =20−x(0<x ≤10)，故答案为y =20−x(0<x ≤10)．16.答案：(−32,2)解析：【分析】本题考查了函数零点的个数判断，分类讨论思想，属于中档题．求出g(x)的解析式，计算g(x)的零点，讨论g(x)在区间[a,+∞)上的零点个数，得出g(x)在(−∞,a)上的零点个数，列出不等式解出a 的范围．【解答】解：g(x)={(2−a)x,x ≥a 2x 3−(6+a)x,x <a， 显然，当a =2时，g(x)有无穷多个零点，不符合题意；当x ≥a 时，令g(x)=0得x =0，当x <a 时，令g(x)=0得x =0或x 2=6+a 2，(1)若a >0且a ≠2，则g(x)在[a,+∞)上无零点，在(−∞,a)上存在零点x =0和x =−√6+a 2， ∴√6+a 2≥a ，解得0<a <2，(2)若a =0，则g(x)在[0,+∞)上存在零点x =0，在(−∞,0)上存在零点x =−√62， 符合题意；(3)若a <0，则g(x)在[a,+∞)上存在零点x =0，∴g(x)在(−∞,a)上只有1个零点，∵0∉(−∞,a)，∴g(x)在(−∞,a)上的零点为x =−√6+a 2， ∴−√6+a 2<a ，解得−32<a <0．综上，a 的取值范围是(−32,2)．故答案为(−32,2)． 17.答案：解：(1)当a =1时，集合A ={x|2≤x ≤4}，B ={x|−2≤x ≤3}．∴A ∪B ={x|−2≤x ≤4}．(2)∵集合A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|−2≤x ≤3}.A ∪B =B ，∴A ⊆B ，当A =⌀时，2a >a +3，解得a >3，当A ≠⌀时，{2a ≤a +32a ≥−2a +3≤3，解得−1≤a ≤0，综上，实数a 的取值范围是[−1,0]∪(3，+∞)．解析：(1)当a =1时，集合A ={x|2≤x ≤4}，B ={x|−2≤x ≤3}.由此能求出A ∪B ．(2)由集合A ={x|2a ≤x ≤a +3}，B ={x|−2≤x ≤3}.A ∪B =B ，得A ⊆B ，当A =⌀时，2a >a +3，当A ≠⌀时，{2a ≤a +32a ≥−2a +3≤3，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.答案：解：(1)∵函数f(x)的定义域为(−∞,+∞)，∴若f(x)=23x +1+a(a ∈R)为奇函数，则f(0)=0，即f(0)=21+1+a =1+a =0，解得a =−1；(2)∵a =−1，∴f(x)=23x +1−1，若当0≤x ≤1时，关于x 的方程f(x)+1=t 有解，即23x +1−1+1=23x +1=t ，即t =23x +1，当0≤x ≤1时，1≤3x ≤3，则2≤1+3x ≤4，14≤13x +1≤12， 即12≤23x +1≤1即实数t 的取值范围是12≤t ≤1．解析：(1)根据函数f(x)是奇函数，得到f(0)=0，即可求a 的值；(2)当0≤x ≤1时，化简方程f(x)+1=t ，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用以及方程解的应用，利用f(0)=0是解决本题的关键．19.答案：解：(1)f(x +1)=x +1+√2(x +1)−5−2，令t =x +1，则t ≥52，f(t)=t −2+√2t −5(t ≥52)∴f(x)=x −2+√2x −5(x ≥52)；(2)∵y =x −2与y =2x −5在定义域[52,+∞)上分别单调递增，∴f(x)=x −2+√2x −5(x ≥52)在[52,+∞)上单调递增．∴f(x)的值域为[12,+∞)．解析：本题考查函数解析式和值域的求法，基础题；(1)利用配方法和换元思想，即可求出解析式；(2)利用 函数单调性即可求出值域20.答案：解：令3x =t ，则t ∈[1,9]，所以f(x)=9x −4⋅3x +5可化为g(t)=t 2−4t +5=(t −2)2+1．故当t =2时，f(x)有最小值g(2)=1；当t =9时，f(x)有最大值g(9)=50．解析：令3x =t ，则t ∈[1,9]，所以f(x)=9x −4⋅3x +5可化为g(t)=t 2−4t +5=(t −2)2+1.利用配方法求最值．本题考查了换元法及配方法在求最值时的应用，属于中档题．21.答案：解：(1)a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0,24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x =4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．(2)令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24], 当x ∈(0,25a −1]时，f(x)=3a +1−log 25(x +1)单调递减，∴f(x)<f(0)=3a +1． 当x ∈[25a −1,24)时，f(x)=a +1+log 25(x +1)单调递增，∴f(x)≤f(24)=a +1+1．联立{3a +1≤3a +2≤30<a <1，解得0<a ≤23．可得a ∈(0,23]．因此调节参数a 应控制在范围(0,23]．解析：(1)a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0,24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x 即可得出．(2)令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]，再利用函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性及其应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题． 22.答案：解：(1)由f(x)=2ax −2=0，得x =1a ．由g(x)=a(x −2a)(x +a −2)=0，得x =2a 或x =2−a ．∵{x|f(x)g(x)=0}={1,2}，∴1a =1或1a =2，即a =1或a =12，经检验a =1符合题意，∴a =1．(2){x|f(x)<0或g(x)<0}=R ，当a >0时，若x →+∞，则总有f(x)>0，g(x)>0，不符合题意;当a <0时，若f(x)<0，则x ∈(1a ,+∞)，若g(x)<0，则x ∈(−∞,2a)∪(2−a,+∞)，则1a <2a ，∴−√2<a<0．2<a<0．综上，−√22解析：本题考查函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．(1)通过方程的根，结合已知条件求解即可；(2)由于{x|f(x)<0或g(x)<0}=R，验证当a>0时，不符合题意，当a<0时，讨论若f(x)<0，若g(x)<0，推出结果即可．。