数值分析教案 ShandongUniversity

数值分析教案土建学院

工程力学系

2014年2月

一、课程基本信息

1、课程英文名称：Numerical Analysis

1

2、课程类别：专业基础课程

3、课程学时：总学时32

4、学分：2

5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》

6、适用专业：工程力学

二、课程的目的与任务：

数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。

三、课程的基本要求：

1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法

2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理

3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力

4．了解科学计算的发展方向和应用前景

四、教学内容、要求及学时分配：

(一) 理论教学：

引论（2学时）

第一讲（1-2节）

1．教学内容：

数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。

2．重点难点：

算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标：

了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。

2

A 算法

B误差

典型例题

第一章插值方法（4学时）

第二讲（3-4节）

1.教学内容：

代数插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值及其误差估计。差商、差分的概念与性质，Newton 插值公式及其余项。

2．重点难点：

Lagrange插值基函数、插值公式的构造、插值余项。差商表、差分表，Newton插值公式的构造。

3．教学目标：

了解插值问题的背景及提法、代数插值多项式的存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其构造法。

1．问题的提出

2．拉格朗日查值公式

3．插值余项

典型例题

第三讲（5-6节）

教学内容：

重点难点：

差商表、差分表，Newton插值公式的构造。

教学目标：

理解差商、差分的定义及其性质，掌握Newton插值公式及其余项。

3

4．牛顿插值公式

5．埃尔米特插值

典型例题

第四讲（7-8节）

1．教学内容：

曲线拟合的概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程组。

2．重点难点：

拟合曲线的类型、正则方程组的建立、拟合多项式的求解。

3．教学目标：

了解曲线拟合的概念、对给出的一组数据点，能判断其拟合曲线的类型、建立相应的正则方程组、求得拟合多项式

6．曲线拟合的最小二乘法

典型例题

第二章数值积分与数值微分（6学时）

第五讲（9-10节）

1．教学内容：

代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。

2．重点难点：

代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。

3．教学目标：

了解代数精度的概念、掌握插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式；对给出的一组数据点，能正确使用插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式进行数值计算，并能够进行误差分析。

1．机械求积

2．牛顿—柯特斯公式

典型例题

4

第六讲（11-12节）

1．教学内容：

梯形法的递推化、龙贝格公式、龙贝格算法程序设计

2．重点难点：

龙贝格算法的思想、龙贝格算法加速的过程、龙贝格算法程序设计

3．教学目标：

了解梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用变步长的梯形法和龙贝格

公式计算实际问题、编写龙贝格算法程序

3．龙贝格算法

典型例题

第七讲（13-14节）

1．教学内容：

通过对高斯公式的定义的讲解，介绍什么是高斯公式、什么是高斯点、什么是高斯求积系数；然后对高斯点的基本特性进行分析分析，推导出节点是高斯点的充分必要条件，从而引导出几种求高斯点的方法及勒让德多项式。

从微分的定义出发，用差商引导出几个微分的数值方法；再对中心差商公式，介绍一种加速的方法；然后利用插值公式，推导出插值型的数值微分公式并进行误差估计。

2．重点难点：

高斯点的基本特性、正交多项式、高斯点的计算

3．教学目标：

理解高斯公式的定义、掌握高斯点的基本特性、能利用梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用勒让德多项式得出几个低阶的高斯公式并能利用高斯公式解决实际问题。了解差商公式及插值型求导公式，并能利用它们进行数值微分的计算。

4．高斯公式

5．数值微分

典型例题

第三章常微分方程数值解（4学时）

第八讲（15-16节）

1．教学内容：

Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。

5

2．重点难点：

Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式

3．教学目标：

了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行微

分方程数值求解

1．欧拉法

2．改进欧拉法

典型例题

第九讲（17-18节）