九年级数学上册第一章【精选】
九年级数学上册第一章知识点
九年级数学上册第一章知识点
第一章知识点主要包括以下内容：
1. 数的性质和数的读法：正数、负数、零，自然数、整数、有理数、实数等的定义和性质；数的读法和数的表示方法。
2. 实数的分类：根据有理数和无理数的性质，了解实数的分类及其示意图。
3. 数轴和数轴上的点：数轴的定义、数轴上点的位置和相对位置的确定，不同点之间的距离和有序数对的概念。
4. 整数的整除性：整数除法的概念和性质，整除性的定义、性质及其运算法则；数的倍数和公倍数的概念。
5. 约数和倍数：约数和倍数的概念及其性质，约数和倍数的运算法则；最大公约数和最小公倍数的概念及其求法。
6. 素数和合数：素数的定义、性质和判定方法，合数的定义和性质，与素数和合数相关的定理和问题的解决方法。
7. 分数的数值和整数之间的关系：分数的定义、性质和读法，分数和整数之间的大小关系，分数的约简和分数的各种等价形式。
8. 分数和小数的转换：分数和小数之间的相互转化方法及其应用，循环小数的概念和转化方法。
9. 分数的四则运算：分数的加、减、乘、除法的运算法则，分数的混合运算。
10. 带分数和连分数：带分数的概念、性质及其运算法则，连分数的概念和应用。
九年级数学(上册)第一章
想一想: 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不驶向一胜定利 全
等.
的彼岸
如果其中一边的所对的角是直角呢?
如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.
请证明你的结论.
我能行 1
命题的证明
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证. 驶向胜利
老师期望:
的彼岸
请将证明过程规化书写出来.
独立作业 2
习题1.5
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂
C
足分别为E,F,DE=BF.
D
求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.
F E
分析:(1)要证明AE=CF,
A′
三条边也对应相等. 你 如能图分,在别△写AB出C它和们△的A证′B′明C′中过,程∠吗C?=∠C′=900 ,
要切证记明 !!!命△题AB:两C≌边△及A其′B中′C一′ ,只边要的能对满角足对公应理相(等SS的S两),(S个A三S)角,(A形SA不)和一推定论全(等A.AS)中的一个即可.
老师期望:你能写出它的证明过程吗? 你能用根据上面的证明用文字写出一个结论吗?
B′
′ 要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只要 命 请题分:别两将边每及个其判中断一的边证的明对过角程对书应写相出等来的.两个三角形不一定全等.
你一能条用 直根角据边上和面另的一证条明直用角文边字上写的出中一线个对结应论相吗等的? 两个直角三角形全等.
能满足公理(SSS),(SAS),(ASA) 如就图需:要在证已明知A∠BA=AOCB;的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形小结与复习课件
O
又∵△ABO是等边三角形,
B
C
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
考点讲练
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
A
D
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
A
D
（矩形的四个角都是直角）
O
B
C
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
考点讲练
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相
交于点E． 求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= OB=OD= 1 BD，
1 2
AC，
∴OA=OC=O2D，
∴四边形AODE是菱形.
考点讲练
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作
BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO
是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. A
∵DE∥AC,CE∥BD，
A D
B
O
E
C
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行
四边形是矩形）.
考点讲练 核心知识点三 正方形的性质和判定
例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
九年级数学(上册)第一章
例题欣赏P 例题欣赏 211
例2 已知:如图6-14,在△ABC中, ∠1 是它的一个外角, E为边AC上一点,延长 2 BC到D,连接DE. C 求证: ∠1>∠2. 3 证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), E 5 ∴ ∠1>∠3(三角形的一个外角大 于任何一个和 它不相邻的内角). 4 1 A B F ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). 把你所悟到的 证明一个真命 ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于 题的方法,步骤, 任何一个和 它不相邻的内角). 书写格式以及 注意事项内化 ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 为一种方法.
试一试P 试一试 213
你认识 外角吗? B
D E A
已知:如图所示. 求证:(1)∠BDC>∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C. 证明(1):∵ ∠BDC是△DCE的一个外角 C (外角意义),
∴ ∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻 的任何一个外角). ∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角意义), ∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的 任何一个外角). ∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗 人,你还能找到这样的例子吗?
a a b b a bc
驶向胜利 的彼岸
d
回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) . 命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement). 每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项. 一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).
九年级上册数学第一章知识点总结
九年级上册数学第一章知识点总结一、判定两个三角形全等的公理及推论；1、一般三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS。
2、直角三角形全等的判定方法：SAS，ASA，AAS，SSS，HL。
二、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
（简称为“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
2、等腰三角形的判定方法：定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称为“等角对等边”）3、反证法的理念：①假设与原命题的结论相反的结论；②根据假设的结论进行推理，推出一个新的结论；③判断新结论与公里、定理、推论、已知条件等相互矛盾；④所以假设不成立，故原命题成立。
三、等边三角形1、等边三角形的性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度。
2、等边三角形的判定方法：定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形1、直角三角形的性质定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半。
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30度。
2、直角三角形的判定方法：定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
如果一个三角形一边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、用尺规作图法求作线段的垂直平分线六、角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
九年级数学上册第一章试题精选
九年级数学上册第一章试题精选本章知识要点：菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定基础巩固训练一． 选择题1．如图1，在菱形ABCD 中，已知∠A =60°，AB =5，则△ABD 的周长是（ ）A ． 10B ． 12C ． 15D ． 202．如图2，用直尺和圆规作一个以线段AB 为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是（ ）A ． 一组邻边相等的四边形是菱形B ． 四边相等的四边形是菱形C ． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ． 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形3．（改编）在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）A ． 测量对角线是否相互平分B ． 测量两组对边是否分别相等C ． 测量其中三个角是否都为直角D ． 测量对角线是否相等4．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A ． 两条对角线相等B ． 两条对角线互相平分C ． 两条对角线互相垂直D ． 两条对角线分别平分一组对角5．如图3，在一块菱形菜地ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是（ ）A ． 1B ． 12C ． 13D ． 146．如图4，在菱形ABCD 中，∠BAD =80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ． 50°B ． 60°C ． 70°D ． 80°7．如图5，在菱形ABCD 中，AB =3，∠ABC =60°，则对角线AC =（ ）A ． 12B ． 9C ． 6D ． 3图1 图3 图2图4 图5 图68．如图6，在□ABCD 中，AE ，CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是（ ）A ． A E =AFB ． E F ⊥ACC ． ∠B =60°D ． A C 是∠EAF 的平分线9．如图7，若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ）A ． AB =CD B ． A D =BC C ． A B =BCD ． A C =BD10．如图8，将三角形纸片△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下列结论中，一定正确的个数是（ ）①△BDF 是等腰三角形；②DE =12BC ； ③四边形ADFE 是菱形；④∠BDF +∠FEC =2∠A ．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 411．如图9，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ． 23B ． 33C ． 4D ． 43二．填空题12．如图10，菱形ABCD 的边长为4，且AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠B =60°，则菱形的面积为 _________ ．13．（改编）下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是形．其中正确的命题为 _________ （注：把你认为正确的命题序号都填上）14．如图11，菱形ABCD 的周长为85，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ：BD =1：2，则AO ：BO = _________ ，菱形ABCD 的面积S = _________ ．15．如图12，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ，若菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A =120°，则EF = _________ cm ．图8 图9 图10 图11 图12图716．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 _________ ． 17．如图13，菱形ABCD 的周长为12cm ，BC 的垂直平分线EF 经过点A ，则对角线BD 的长是 _________ cm ．18．如图14，一副直角三角板放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°，AC =5，CD 的长 _________ ．19．如图15，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，BC =6，AC =8，则线段EF 长的最小值为 _________ ．三．解答题20．（1）如图11,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且DP =OC ，连接CP ，判断四边形CODP 的形状并说明理由．变式1：如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由．变式2：如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．21．如图12，有4个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的4个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动．（1）判定四边形PQEF 的形状；（2）PE 是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？图13 图14 图15 图11 P O B A D C 图1222．如图13，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．图1322．如图14，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC、DE 相交于点O．（1）求证：四边形ADCE是矩形．（2）若∠AOE=60°，AE=4，求矩形ADCE对角线的长．图14能力提升训练一．选择题1．下列命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形2．（原创）如图15，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B 落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）图15图16图17A ． 6cmB ． 4cmC ． 2cmD ． 1cm3．如图16，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE =BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．B C=AC B ． C F ⊥BF C ． BD =DF D ． A C =BF4．如图17，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）A ． 当AC =BD 时，四边形ABCD 是矩形B ． 当AB =BC 时，四边形ABCD 是菱形C ． 当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形D ． 当∠DAB =90°时，四边形ABCD 是正方形5．如图18，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（ ）A ． AB ∥DC B ． A C =BD C ． A C ⊥BD D ． A B =DC6．如图19，在△ABC 中，AB =8，BC =6，AC =10，D 为边AC 上一动点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则EF 的最小值为（ ）A ． 2.4B ． 3C ． 4.8D ． 57．如图20，矩形ABCD 中，AB =3 ，BC =3，AE ⊥BD 于E ，则EC =（ ）A ． 72B ． 52C ． 152D ． 2128．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ． 2cm ，2cm ，2cmB ． 3cm ，3cm ，3cmC ． 4cm ，4cm ，4cmD ． 2cm ，3cm ，5cm9．如图21，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME =MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）A ． 3 - 1B ．3- 5C ． 5 + 1D ． 5 - 110．如图22，四边形ABCD 是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）图19图18 图20 图21 图22 E A C DB图23A ． 当AC =BD 时，四边形ABCD 是矩形B ． 当AB =BC 时，四边形ABCD 是菱形C ． 当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形D ． 当∠DAB =90°时，四边形ABCD 是正方形11．(改编)如图23，在四边形ABCD 中，AD =DC ，∠ADC =∠ABC =90°，DE ⊥AB 于E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE =（ ）A ． 2 2B ． 3C ． 3 2D ． 9212．如图24，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，BC =2，以AB 为边作正方形ABDE ，连接AD 、BE 交O ，CO =3 2 ，则AC 的长为（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 3 2二．填空题13．如图25，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD =6cm ，∠ABC =60°，则四边形ABCD 的面积等于 _________ cm 2．14．（改编）如图26，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC =4，BC =3，P 为AB 上一动点，且PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，则线段EF 长度的最小值是 _________ ．15．如图27，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当BE =DF 时，∠BAE 的大小可以是 _________ ．16．如图28，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 _________ ．17．如图29，在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90°，AC =5，BC =4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为 _________ ．图24 图25 图26 图27 图28 图2918．如图30，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =6cm ，AC =8cm ，以斜边BC 上距离B 点6cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 _________ cm 2．19．四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，设有下列条件：①AB =AD ；②∠DAB =90°；③AO =CO ，BO =DO ；④矩形ABCD ；⑤菱形ABCD ，⑥正方形ABCD ，则在下列推理不成立的是 _________A ．①④⇒⑥；B ．①③⇒⑤；C ．①②⇒⑥；D ．②③⇒④20．如图31，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作Rt △ADE ，∠AED =90°，连接OE ，DE =6，OE =82 ，则另一直角边AE 的长为 _________ ．三．解答题21．（原创）已知矩形BEDG 和矩形BNDQ 中，BE =BN ，DE =DN ．（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若菱形ABCD 的周长为20，BE =3，求矩形BEDG 的面积．22．（改编）以△ABC 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI ，BCFE ，ACHG ，试探究：如图中四边形ADEG 是什么四边形？并说明理由．变式1：当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEG 是矩形？变式2：当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEG 是正方形？图30 图31O B C A DE23．（改编）平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBE C．如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC 为何种四边形？请证明你的结论；变式训练：如果四边形ABCD是正方形，四边形OBEC也是正方形吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．24．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠F AC，DE∥AB交AE于E．（1）求证：AE∥BC；（2）求证：四边形AECD是矩形；（3）BC=6cm，S AECD=12cm2，求AB的长．25．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE ∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形；（3）求矩形OBEC的面积．26．（改编）观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：若四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_________；若四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是_________；若四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是_________；若四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_________；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？近三年中考回顾1．（2013•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接O C．求OC的长度．2．（2012•肇庆）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=16，点E在AD边上，点F在BC边上，EF∠AC，垂足点O是对角线AC的中点，连接AF、CE．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）点P 在线段AC 上，且2AE 2=AP •AC ，在图中画出点P 的位置，说明画图方法，并求线段CP 的长；（3）动点M 、N 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周，即点M 自A →F →B →A 停止，点N 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点M 的速度为每秒5个单位长度，点N 的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t 秒，当以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．3．（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∠BC ，AD ∠DC ，点A 关于对角线BD 的对称点F 刚好落在腰DC 上，连接AF 交BD 于点E ，AF 的延长线与BC 的延长线交于点G ，M ，N 分别是BG ，DF 的中点．（1）求证：四边形EMCN 是矩形；（2）若AD =2，S 梯形ABCD =152 ，求矩形EMCN 的长和宽．九年级数学上册第一章试题精选（答案）基础巩固训练一．选择题1.C解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴△ABD的周长=3AB=15．故选C．2．B 解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．故选B．3．C解：矩形的判定定理有①有三个角是直角的四边形是矩形，②对角线互相平分且相等的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形，A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确；D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误；故选C．4．B：解：A、菱形对角线不相等，故本选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；C、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；D、三个图形中，只有菱形和正方形的对角线平分一组对角，故本选项错误．故选B．5．D解：∵菱形菜地ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴BD⊥AC，BO=DO，AO=CO，∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD，∴在菱形菜地内均匀地撒上种子，则种子落在阴影部分的概率是：14．故选：D．6．B解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=12∠BAD=12×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，∵∠BAD=80°，∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选B．7．D解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=3．故选D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF=∠DCB，∠BAE=∠BAD，∴∠BAE=∠DCF，∵在△ABE和△CDF中D BAB CDDCF BAE∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，BE=DF，∵AD=BC，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠F AC=∠ACE，∵AC平分∠EAF，∴∠F AC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选C．9．C解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，那么可添加的条件是：AB=B C．故选C．10．C解：①∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠EDF=∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE=∠EDF，AD=FD，AE=CE，∴∠B=∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正确；同理可证，△CEF是等腰三角形，∴BD=FD=AD，CE=FE=AE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，故②正确；∵∠B=∠BFD，∠C=∠CFE，又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠BFD+∠BDF=180°，∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∴∠BDF+∠FEC=2∠A，故④正确．而无法证明四边形ADFE是菱形，故③错误．所以一定正确的结论个数有3个，故选C．11．A,解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，∴DF∥BC，∴∠C=90°，∴四边形BCDE是矩形．∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，∴AB=4，∴AC==2．∴BE=CD=．∴四边形BCDE的面积为：2×=2．故选A．二．填空题12．解：∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．13．①③④解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．故答案为：①③④．14．1：2，16．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，∴AC=2AO，BD=2BO，∴AO：BO=1：2；∵菱形ABCD的周长为8，∴AB=2，∵AO：BO=1：2，∴AO=2，BO=4，∴菱形ABCD的面积S=8+42=16.15.解：连接BD、AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°﹣60°=30°，∵∠AOB=90°，∴AO=AB=×2=1，由勾股定理得：BO=DO=，∵A沿EF折叠与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO，∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=（+）=，故答案为：．16. 解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．17．3．解：连接AC，∵菱形ABCD的周长为12cm，∴AB =3，AC ⊥BD ，∵BC 的垂直平分线EF 经过点A ，∴AC =AB =3，∴OA =AC =，∴OB=22332AB OA ， ∴BD =2OB =3．故答案为：3． 18． 155322解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ， 在△ACB 中，∠ACB =90°，∠A =60°，AC =5，∴∠ABC =30°，BC =AC ×tan 60°= ，∵AB ∥CF ，∴BM =BC ×sin 30°=15322, CM=BC ×cos 30°=152， 在△EFD 中，∠F =90°，∠E =45°，∴∠EDF =45°，∴MD =BM， ∴CD =CM ﹣MD =155322． 故答案为：155322．19．4.8． 解：连接P C ．∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC =∠PFC =90°，又∵∠ACB =90°，∴四边形ECFP 是矩形，∴EF =PC ，∴当PC 最小时，EF 也最小，即当CP ⊥AB 时，PC 最小，∵AC =8，BC =6，∴AB =10，∴12AC •BC =12AB •PC ，∴PC=4.8．∴线段EF长的最小值为4.8．故答案为：4.8三．解答题20．解：（1）四边形CODP的形状是菱形，理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OC=OD，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵OC=OD，∴平行四边形CODP是菱形；（2）四边形CODP的形状是矩形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC=90°，∴平行四边形CODP是矩形；（3）四边形CODP的形状是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴∠DOC=90°，OD=OC，∵DP∥OC，DP=OC，∴四边形CODP是平行四边形，∵∠DOC=90°，OD=OC∴平行四边形CODP是正方形．21．解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，∴BP=QC=ED=F A．又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQ B．∵∠FPQ=90°，∴四边形PQEF为正方形；（2）连接PE交AC于O，连接PC、AE，∵AP平行且等于EC，∴四边形APCE为平行四边形．∴O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点；（3）正方形ABCD与正方形PQEF的对角线交点是重合的，当OP⊥AB时，四边形PQEF面积最小，为原正方形面积的一半，当P与顶点B重合时，面积最大，其最大面积等于正方形ABCD的面积．22．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACD CM CM，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFD BF CF，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．23．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，又∵AB=AC，∴DE=A C．∵AB=AC，D为BC中点，∴∠ADC=90°，又∵D为BC中点，∴CD=B D．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形AECD是平行四边形，又∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∴AO=EO，∴△AOE为等边三角形，∴AO=4，故AC=8．能力提升训练一．选择题1．D解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故选D．2．C解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选C．3．D解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．4．D解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误；C、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误；D、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确；故选D．5．C解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当AC⊥BD时，∠EFG=∠EHG=90度．四边形EFGH为矩形．故选C．6．C,解：如图，连接B D．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°．又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴四边形EDFB是矩形，∴EF=B D．∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，∴EF的最小值为4.8，故选：C．7．D：解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=3，AB=CD=，∠BAD=90°．∴tan∠ADB==，∴∠ADB=30°，∴∠ABE=60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE===，∴BE=，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE===，∴BF=，∴EF==，∴CF=3﹣=，在Rt△CFE中，CE==．故选D．8．A,解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10，即﹣2CD+14=10∴CD=2，即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．故选A9．D解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴DM=DC=1，∴CM==，∴ME=MC=，∵ED=EM﹣DM=﹣1，∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=﹣1．故选D．10．D解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，正确，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误；C、四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，正确，故本选项错误；D、四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确；故选D．11．A,解：过点C作CF⊥DE交DE于F．∵在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（AAS），∴DE=CF=BE，又四边形ABCD的面积为8，即S矩形BCFE+2S△CDF=8，即BE•EF+2×CF•DF=8，BE•DE=BE•BE=8，解得DE=2．故选：A．12．C,解：延长CB过点D作CB延长线的垂线，交点为F，过点O作OM⊥CF，则可得OM是梯形ACFD的中位线，∵∠ABC+∠FBD=∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CAB=∠FBD，在RT△ACB和RT△BFD中，∵，∴RT△ACB≌RT△BFD，∴AC=BF，BC=DF，设AC=x，则OM==，CM==，在RT△O CM中，OM2+CM2=OC2，即2（）2=18，解得：x=4，即AC的长度为4．故选C．二．填空题13．解：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵∠ABC=60°，∴∠ADF=60°，∵纸条等宽，∴AE=AF，∵∠AEB=∠AFD，∠ABC=∠ADF=60°∴△ABE≌△ADF，∴AB=AD，∵AD=BC∴AB=BC，∴该四边形是菱形，∴BE=3cm，AE=33cm．∴四边形ABCD的面积=6×33=183cm2，故答案为18．14．125．解：连接P C．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．15．15°或165°．解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠F AD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠F AD=30°，∴∠BAE=∠F AD=15°，②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠F AD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°﹣90°﹣60°）×+60°=165°，∴∠BAE=∠F AD=165°故答案为：15°或165°．16．2．解：连接O1B、O1C，如图：∵∠BO1F+∠FO1C=90°，∠FO1C+∠CO1G=90°，∴∠BO1F=∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF=∠O1CG=45°，在△O1BF和△O1CG中，∠O1BF=∠O1CG，O1B=O1C，∠BO1F=∠CO1G ∴△O1BF≌△O1CG，∴O1、O2两个正方形阴影部分的面积是14S正方形，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是14S正方形，∴S阴影部分=S正方形=2．故答案为：2．17．﹣1．解：如图，过点C作CD⊥直线l交l于点D，则四边形ABCD为矩形，通过操作知，当折叠过点A时，即点M与点A重合时，AP的值最大，此时记为点P1，易证四边形ABNP1为正方形，由于AC=5，BC=4，故AB===3，当折叠MN过点C时，AP的值最小，此时记为点P2，由于P2C=BC=4，AB=CD=3，故P2D==，故此时AP2=AD﹣P2D=4﹣，线段AP长度的最大值与最小值的差为：3﹣（4﹣）=3﹣4+=﹣1．故答案为：﹣1．18．14425cm2．解：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，如图，∵以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，∴∠KPH=90°，∠KGH=90°，∴∠MPN=90°，∴∠KPN=∠MPH，∵PC=PF，∠C=∠F，∴Rt△P CM≌Rt△PFN，∴PM=PN，∴四边形PMGN为正方形，Rt△PNK≌Rt△PMH，∴S重叠部分=S正方形PMGN，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=10，而PB=6，则PC=4，又∵PM∥AB，∴PM：AB=CP：CB，∴，∴（cm2）．故答案为．19．C解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；C、由①②不能判断四边形是正方形；D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．故选C．20．10．解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，∵∠AED=90°，∴四边形EMON是矩形，∵正方形ABCD的对角线交于点O，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD+∠AED=180°，∴点A，O，D，E共圆，∴=，∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，∴OM=ON，∴四边形EMON是正方形，∴EM=EN=ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE=8，∴EN=8，∴EM=EN=8，在Rt△AOM和Rt△DON中，，∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，∴AE=AM+EM=2+8=10．故答案为：10．三．解答题21．（1）答：四边形ABCD是菱形．证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，∴两个矩形全等，∴AR=AS，∵AR•BC=AS•CD，∴BC=CD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，∴AD=AB=BC=CD=5，∵BE=3，∴AE=4，∴DE=5+4=9，∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．22．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，AB=BD，∠ABC=∠EBD，BC=BE，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=A D．由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD=A B．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴AC=A B．∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．23．解：（1）四边形OBEC是菱形．证明：∵BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OB，∴平行四边形OBEC为菱形；（2）四边形OBEC是正方形．证明：∵BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OB，∠BOC=90°，∴平行四边形OBEC为正方形．24．解：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE平分∠F AC，∴∠EAD=90°，∴AE∥BC；（2）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是矩形；（3）∵BC=6cm，∴CD=3cm，∵，∴AD=4，∴AB=AC==5，∴AB的长是5cm．25．解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四边形OBEC为矩形；（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB•OC=4×3=12（cm2）．26．（1）证明：连接B D．∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线．∴EH=BD，EH∥B D．同理得FG=BD，FG∥B D．∴EH=FG，EH∥FG．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．近三年中考回顾一．解答题1．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，则在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF,∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；（2）CF﹣CD=BC；（3）①CD﹣CF=BC②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，AB=AC,∠BAD=∠CAF, AD=AF,∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF=∠ABD，∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，∴∠ACF=∠ABD=135°，∴∠FCD=90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O．∴DF=AD=4，O为DF中点．∴OC=DF=2．2．解：（1）∵EF⊥AC，垂足O是AC的中点，∴AE=CE，AF=F C．AO=CO．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO∵在△AEO和△CFO中，∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO, AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE=CF，∴AE=CE=CF=AF，∴四边形AFCE是菱形．（2）作法：过点E作EP⊥AE于E，交AC于P，∴∠AEP=90°．∵四边形AFCE是菱形．∴∠AOE=90°，∴∠AOE=∠AEP．∵∠EAO=∠P AE，∴△AOE∽△AEP，∴AE2=AP•AO．∵AO=AC，∴AE2=AP•AC，∴2AE2=AP•A C．设AE=x，则AF=CF=x，BF=16﹣x．在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴64+（16﹣x）2=x2，解得：x=10．在Rt△ABC中，AC=8．∵2AE2=AP•AC，∴2×100=8AP，AP=5，∴CP=AC﹣AP=3．（3）根据作图可以得出只有点M在FB上时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形可能是平行四边形．∴CM=AN．∵四边形AFCE是菱形，∴AF=CF，∴CM=CF+MF=AF+MF=5t，∵AN=AD+CD﹣4t=16+8﹣4t=24﹣4t，∴5t=24﹣4t，t=83．∴当t=83时，以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形．3．（1）证明：∵点A、F关于BD对称，∴AD=DF，DE⊥AF，又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴∠DAF=∠EDF=45°，∵AD∥BC，∴∠G=∠GAD=45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∵M，N分别是BG，DF的中点，∴EM⊥BC，EN⊥CD，又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD，∴四边形EMCN是矩形；（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=CD，∴S梯形ABCD=（AD+BC）•CD=（2+CD）•CD=，即CD2+2CD﹣15=0，解得CD=3，CD=﹣5（舍去），∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2，∵N是DF的中点，∴EN=DN=DF=×2=1，∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．。
北师大版九年级上册数学课件 第一章1
新课讲解
知识点04 直角三角形斜边上中线的性质
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么 BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什 么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
新课讲解
典例分析
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，
知识点1 矩形的定义
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 注意： (1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行
四边形不一定是矩形． (2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．
新课讲解
例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分 别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四边形ABCD是矩形
课堂小结
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四 边形所有性质． 2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等． (2)对角线性质：对角线互相平分且相 等． (3)对称性：矩形是轴对称图形．
当堂小练
1.如图，P 是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是 AD的中点．若AB＝6，A4.理解并掌握直角三角形斜边上中线的性质。
新课导入
知识回顾
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边 形有哪些性质？
边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分．
新课导入
情境导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特 殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课讲解
第一章 特殊平行四边形
北师大版初中数学九年级上册第一章知识点
九年级第一章特殊的平行四边形一、菱形知识点1：菱形的概念概念：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形知识点2：菱形的性质1 面积：①底×高②对角线乘积的一半2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：对角相等；邻角互补4 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：菱形的判定1 四边形＋四条边相等2 平行四边形＋一组邻边相等3 平行四边形＋对角线互相垂直二、矩形知识点1：矩形的概念概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点2：矩形的性质1 面积：长×宽2 边：对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等，对角线互相平分5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形6 斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点3：矩形的判定1 四边形＋三个角是直角2 平行四边形＋对角线相等三、正方形知识点1：正方形的概念概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形知识点2：正方形的性质1 面积：边长×边长2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：正方形的判定1 从平行四边形出发：平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角2 从矩形出发：矩形＋一组邻边相等矩形＋对角线互相垂直3 从菱形出发：菱形＋一个直角菱形＋对角线相等四、中点四边形知识点1：中点四边形的概念概念：顺次链接任意四边形各边中点所组成的四边形叫中点四边形知识点2：常见的中点四边形1 任意四边形的中点四边形是平行四边形2 平行四边形的中点四边形是平行四边形3 矩形的中点四边形是菱形4 菱形得到中点四边形是矩形5 正方形的中点四边形是正方形。
九年级上册数学第一章知识点
九年级上册数学第一章知识点
数学九年级上册第一章主要涉及以下知识点：
1. 实数：
- 有理数与无理数的概念，以及它们的性质和关系
- 实数的分类和表示方法
2. 整式与多项式：
- 整式的定义和性质
- 多项式的定义和性质，包括系数、次数和项数的概念
- 多项式之间的加减、乘法运算及一些常用公式
3. 一元一次方程与不等式：
- 一元一次方程的定义和解法，包括移项、合并同类项和分式消去等方法
- 一元一次方程组的概念和解法
- 一元一次不等式的定义和解法，包括加减法、乘除法和绝对值不等式的解法
4. 平面图形：
- 几何图形的基本概念，包括点、直线、线段、射线、角和平面等
- 平面图形的分类和性质，包括三角形、四边形和其他多边形的基本性质
- 平面图形的计算，包括面积和周长
5. 数据和统计：
- 数据的收集和整理，包括频数表和频率表的制作
- 描述统计量的概念和计算，包括众数、中位数和平均数等
以上是九年级上册数学第一章的主要知识点，希望能对你的学习有所帮助！。
北师大版九年级上册数学第一章《特殊平行四边形》整章优质课件
_______.
B
O
A
C
D
6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的
60°、60°、120°、120°
四个内角度数分别为_____________________.
B．104°
C．105°
D．110°
课堂小结
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四
边等
菱形的性质
2.对角线互相垂直平分，且
每条对角线平分一组对角.
当堂检测
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ C ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相
等的？
（2）有哪些特殊的三角形？那些全等三角形？
知识讲解
已知四边形ABCD是菱形
A
7
1 2
相等的线段：AB=CD=AD=BC
8
O
5
OA=OC OB=OD
D
6
3
B
4
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
相等的角：
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
第一章 特殊平行四边形
北师大版九年级上册数学第一章整章课件
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的定义与性质
学习目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）
新课导入
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C.菱形
D.以上都不对
拓展提高
例1.在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形,求证：四 边形ABCD是菱形. 分析：根据平行四边形的性质得出对角线互相平分， 再根据等边三角形“三线合一”的性质得出垂直关系即 可判定四边形ABCD为菱形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO, ∵△ACE是等边三角形， ∴EO⊥AC， 即DB⊥AC， ∴平行四边形ABCD是菱形.
如图，你还可以作一个两条对角线互相垂直的平行四 边形．
和你的同伴交换一下， 看看是否成了一个菱形．
对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形
验证猜想
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD互相垂直， 证明： 四边形ABCD是菱形．
证明
∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA＝ OC 又∵AC⊥BD
菱形四边相等，对角线互相垂直的证明：
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与 BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）
又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD （2）∵AB=AD
∵∠BAD=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB OA2 +OB2 = AB2
∴ OA= AB2 -OB2 = 62 -32 =3 3
∴ AC = 2OA = 6 3.
巩固练习
１.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是
___3_c__m_.
解析：根据菱形的四边相等，得到边长为3.
课堂总结
菱形的判定方法：
北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 矩形的性质
在 Rt△BCD 中，
E
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
点 O，下列说法错误的是
（C ）
A．AB∥DC
B．AC = BD
C．AC⊥BD
D．OA = OB A
D
O
B
C
2 直角三角形斜边上的中线的性质
活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E.
A
D
E
B
C
A E
B
C
问题 BE 是一条怎样的线段？
由此你能得到
它的长度与斜边AC有什么关系？ 怎样的结论?
A
DOB来自C在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
典例精析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，
∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
对角线相交的锐角是
( C)
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm， BC = 8 cm，则 EF =__2_._5__cm．
第4题图
第5题图
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为
D
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
O B
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
九年级数学上册第一章知识点
九年级数学上册第一章知识点第一章数与式1. 整数的概念与性质- 整数的定义：整数的范围是正整数、零和负整数的集合。
- 整数的大小比较：同号相比较，绝对值大的整数大；异号相比较，正整数大于负整数。
- 整数的加减法运算：同号相加减，保留原来的符号并按照正整数的运算法则计算；异号相加减，转化为同号相减再取其相反数。
- 整数的乘法运算：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负。
- 整数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算，同号相除结果为正，异号相除结果为负。
2. 有理数的概念与性质- 有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数和分数。
- 有理数的分类：正有理数、负有理数、零是有理数的三种特殊情况。
- 有理数的大小比较：同号相比较，绝对值大的有理数大；异号相比较，正有理数大于负有理数。
- 有理数的加减法运算：同号相加减，保留原来的符号并按照正有理数的运算法则计算；异号相加减，转化为同号相减再取其相反数。
- 有理数的乘法运算：同号相乘结果为正，异号相乘结果为负。
- 有理数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算，同号相除结果为正，异号相除结果为负。
3. 实数的概念与性质- 实数的定义：实数包括有理数和无理数。
- 无理数的定义：无理数是不能表示为两个整数的比的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。
- 实数数轴：实数可用数轴表示，其中每一个点对应一个唯一的实数。
- 实数的大小比较：实数可用数轴上的大小比较方法进行。
- 实数的加减法运算：实数的加减法运算满足交换律和结合律。
- 实数的乘法运算：实数的乘法运算满足交换律和结合律。
- 实数的除法运算：除法运算是乘法运算的逆运算。
4. 数的开方与乘方- 数的开方：开方是求一个数的正平方根，结果是使得这个数乘以自己等于被开方数的非负实数。
- 平方根的性质：非负实数的平方根是有两个，一个是正数，一个是负数。
- 数的乘方：乘方是重复乘以一个数，有平方、立方等特殊情况。
北师大九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》知识点归纳
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边相等。
平行四边形的对边平行。
2．归纳总结矩形的性质：（2）角的性质：平行四边形的对角相等。
（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形。
(1)对边平行且相等(2)四个角都是直角；(3)对角线互相平分且相等．；(4)对称性:既是关于对角线的交点成中心对称图形,又以对边的中垂线为对称轴的轴对称图形,有两条对称轴2.平行四边形的判定(5)分割特殊性:矩形的两条对角线把它分割为四个面积相等的等腰三角形3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（注意：?必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
?有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）4．矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；•矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形．因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决5.矩形的判定方法二、菱形的相关知识1.菱形的定义及性质菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。
菱形的性质：（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：菱形的四条边相等。
(1)有一个角是直角的四边形是矩形(2)对角线相等的平行四边形是矩形（2）角的性质：菱形的对角相等。
(3)有三个角是直角的四边形是矩形（3）对角线的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是关于对角线的交点成中心对称图形，又以对角线所在直线为对称轴的轴对称图形。
4.矩形具备下列一般平行四边形所不具备的特征：1．矩形的四个角都是直角；2．矩形的对角线互相平分且相等；（5）分割特殊性：菱形的两条对角线把他分割为四个全等的直角三角形2.菱形的判定3．矩形还是轴对称图形；4．矩形的对角线把矩形分成了两对全等的直角三角形；5．矩形的面积等于两邻边的乘积（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）。
九年级数学上册第一章1菱形的性质与判定《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)(新)北师大版
菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AE F为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵ ∠B＝60°，∴ △ABC是等边三角形．∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴ ∠ACF＝∠B＝60°．又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴ △AEF为等边三角形．∴ ∠AEF＝60°．又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴ ∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2015春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t （s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵ ∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°，∴ ∠EAB＝∠FAC．∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°，∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴ △ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．。
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☞ 关注▲外角
内涵与外延
在这里,我们通过三角形内角和
直接推出的
定理,叫做这个公理或定理的推论
(corollary). 推论可以当作定理使用.
3 B
41
C
D
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角.
“行家”
☞ 例题欣赏P210
看“门
道” 例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外
E
角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
· A
D
分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互
B
·C
补证”明.:∵ ∠EAC=∠B+∠C ( ), 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
B
∠A+∠C=1800-∠B.
A C
这里的结论,以后可以直接运用.
☞ 三种语言 关注三角形的外角
三角形内角和定理的推论: 推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和.
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不 相邻的内角.
推论3: 直角三角形的两锐角互余. A
△ABC中:
2
∠1=∠2+∠3;
∠1>∠2,∠1>∠3.
3
41
B
C
D
这个结论以后可以直接运用.
☞ 回顾与思考
学好几何标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索
☞ 回顾与思考 三角形内角和定理
三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.
∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:
∠A=1800 –(∠B+∠C).
∠B=1800 –(∠A+∠C).
∠C=1800 –(∠A+∠B).
∠A+∠B=1800-∠C. ∠B+∠C=1800-∠A.
2
∠1+∠4=1800 ;
∠1>∠2; ∠1>∠3; ∠1=∠2+∠3.
3
41
B
C
D
证明:∵∠2+∠3+∠4=1800(三角形内角和定理),
∠1+∠4=1800(平角的意义),
∴∠1= ∠2+∠3.(等量代换).
∴ ∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).
用文字表述为: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
九年级数学（上册） 第一章 证明(二)
1.你能证明它们吗（1） 证明（一）回顾与思考
☞ 回顾与思考
直观是把“双刃 剑”
直观是重要的,但它有时也会骗
人,你还能找到这样的例子吗?
a a
b
b a bc
驶向胜利 的彼岸
d
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
原名:某些数学名词称为原名. 定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也 就是给出它们的定义(definition) .
例1 已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分外 角∠EAC,∠B= ∠C.
E
A· D
求证:AD∥BC.
· 分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角
相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补 B
“ (因5)”依.)据; 思路,运用数学符号和数学语言条理
驶向胜利 的彼岸
清晰地写出证明过程;
(6)检查表达过程是否正确,完善.
与同伴交流你在探索思路的过程 中的具体做法.
☞ 探索思考
“行家”看“门 道”
如图. ∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图中的其它角有什么关系?
A
能证明你的结论吗?
几何的三种语言☞
公理:
a
两直线平行,同位角相等.
∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理1:
a
两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2.
b
性质定理2:
a
两直线平行,同旁内角互补.
∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 .
b
平行线 的性质
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
∠B=∠C (已知),
∴∠C=
1 2
∠EAC(等式性质).
∵ AD平分 ∠EAC(已知).
例题是运 用了定理 “内错角
∴∠DAC=12 ∠EAC(角平分线的定义).
相等,两直 线平行”
∴∠DAC=∠C(等量代换).
得到了证
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
实.
想一想P211
一题多解思维灵活
☞ 回顾与思考
“原名” 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法 证实.推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).
本套教材选用如下命题作为公理 : 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条 直线平行; 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; 5.三边对应相等的两个三角形全等; 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
几何的三种语言☞
公理:
a
同位角相等,两直线平行.
∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理1:
a
内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b.
b
判定定理2:
a
同旁内角互补,两直线平行.
∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
b
平行线 的判定
c
1
2
c
1 2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).
每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部 分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其 中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论. 正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命 题称为假命题(false statement). 要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之 具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例 (counter example).