冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)

冀教版2020九年级数学上册第二十五章图形的相似自主学习培优测试卷B 卷（附答案详解）1．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，则AE AC =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．142．为测量被池塘相隔的两棵树A ，B 的距离，数学课外兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量方案：从树A 沿着垂直于AB 的方向走到E ，再从E 沿着垂直于AE 的方向走到F ，C 为AE 上一点，其中3位同学分别测得三组数据：()1AC ，()2ACB CD ∠，ACB ∠，()3ADB EF ∠，DE ，AD ，其中能根据所测数据求得A ，B 两树距离的有（ ）A ．0组B ．一组C ．二组D ．三组3．如图，△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，下列判断错误的是( )A ．AD AE DB EC = B ．AD DE DB BC = C ．AD AE AB AC = D ．AD DE AB BC = 4．如图，在□ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则DF ：FB 等于 （ ）5．下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；⑤两个相似多边形的面积比为4:9，则周长的比为16:81．”中，正确的个数有（）个A．1 B．2 C．3 D．46．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F， S△AEF=3，则S△FCD为（）A．6 B．9 C．12 D．277．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为（）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶168．有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（）A．全等B．相似C．既不全等与也不相似D．无法确定9．如图，小正方形的边长均为1，则下面4个阴影部分三角形中，能与△EFG相似的是（）A．B．C．D．10．如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么它们的面积比为_____．11．一个多边形的边长依次为1，2，3，4，5，6，与它相似的另一个多边形的最大边长为8，那么另一个多边形的周长是__________.12．如果2x＝5y，则xy＝____，x yy+＝____．13．若，则=________．14．如图，已知O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且4AB=，3DE CE=+，则CD的长为________．15．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．16．若52ab=，则a bb-的值是________。

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有________对，它们分别是_____________.18．如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙________．19．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E上升了________米．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣43x+403与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y=34x相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．21．已知：ABC △中，AB=AC ，点 D 、E 分别是线段 CB 、AC 延长线上的点，满足 ∠ADE = ∠ABC .（1）求证： AC ⋅ CE = BD ⋅ DC ；（2）若点 D 在线段 AC 的垂直平分线上，求证：BC AB CD AE=22．如图，等边△ABC 中，AB=2，AD ⊥BC ，以AD 、CD 为邻边做矩形ADCE ，将△ADC 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到△A′DC′使点A′落在CE 上，连接AA′，CC′．（1）求AD 的长；（2）求证：△ADA′∽△CDC′； （3）求CC′2的值．23．如图，在ABC 中，//DE BC ，//EF DC ．求证：2AD AB AF =⋅．24．把下图中左边的图形，加以放大后画出与它们相似的图形．25．如图，AB 为O 的直径，直线BM AB ⊥于点B .点C 在O 上，分别连接BC ，AC ，且AC 的延长线交BM 于点D .CF 为O 的切线交BM 于点F.（1）求证：CF DF =；（2）连接OF . 若10AB =，6BC =，求线段OF 的长.26．已知：如图，二次函数y=ax 2+bx ﹣3的图象与x 轴交于A （﹣1，0），点B （4，0），与y 轴的交点为C（1）求二次函数的关系式；（2）已知点M 是线段OB 上一动点，过点M 作平行于y 轴的直线l ，直线l 与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接CE ，若△CEF 与△OBC 相似，求点M 的坐标； （3）已知点M 是x 轴正半轴上一动点，过点M 作平行于y 轴的直线l ，直线l 与抛物线交于P ，与直线BC 交于点Q ，连接CP ，将△CPQ 沿CP 翻折后，是否存在这样的直线l ，使得翻折后的点Q 刚好落在y 轴上？若存在，请求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，在边长为1的小正方形组成的网络中，ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：()1以直线AC 为对称轴作ABC 的轴对称图形，得到1AB C ，再将ABC 绕着点C 顺时针旋转90，得到22A B C ，请依次画出1AB C 、22A B C ；()2请画出一个格点333A B C ，使333A B C ABC ∽，且相似比不为1．参考答案1．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；【详解】在△ABC中,∵DE∥BC,13 ADAB=，∴13 AD AEAB AC==，故选：B.【点睛】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.2．D【解析】【分析】根据解直角三角形和相似三角形的知识对三组数据依次判断，即可解答.【详解】第①组中，已知∠ACB和AC的长，在Rt△ACB中利用∠ACB的正切求AB的长即可；第②组中，已知CD、∠ACB、∠ADB，解Rt△ABD和Rt△ACD即可求得AB的长；第③组中，根据已知条件可得△ABD∽△EFD，利用相似三角形的性质即可求出AB的长．故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形和相似三角形的应用，解本题的关键是将实际问题转化为相似三角形和解直角三角的问题来解决．3．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质解答即可.【详解】∵DE // BC，∴AD AEDB EC=，AD AEAB AC=，选项A、C正确，选项B错误；∵DE // BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD DE AB BC=，选项D正确.故选B.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟记定理和性质是解题的关键. 4．B【解析】试题分析：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=EF：FC，∵点E是边AD的中点，∴AE=DE=12AD，EF：FC=1：2．故选B．考点：1．平行四边形的性质；2．相似三角形的判定与性质．5．C【解析】【分析】根据相似图形的定义和各图形的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：①正方形四个角都是直角，四条边都相等，所以对应成比例，所以都相似，正确；②等腰三角形的两底角相等，而与另一个等腰三角形的两个底角不一定相等，所以不一定相似，本选项错误；③等腰直角三角形都有一个直角，且另两角都是45°的锐角，所以都相似，正确；④直角三角形斜边上的中线与斜边的一半，所以比为1：2，正确；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比应为2：3，本选项错误．所以①③④三项正确．故选C．【点睛】本题主要考查相似图形的判定和相似三角形的性质，比较简单．6．D【解析】【分析】先根据AE ：EB=1：2得出AE ：CD=1：3，再由相似三角形的判定定理得出△AEF ∽△CDF ，由相似三角形的性质即可得出结论.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ：EB=1：2，∴AE ：CD=1：3，∵AB ∥CD ，∴∠EAF=∠DCF ，∵∠DFC=∠AFE ，∴△AEF ∽△CDF ，∵S △AEF =3， ∴AEF FCD S S ＝3FCD S ＝(13)2， 解得S △FCD =27．故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.7．A【解析】试题分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，利用面积之比是1:4，求出相似比，然后再根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求出它们的相似比.∵两个相似三角形的面积之比是1:4，∴两个相似三角形的相似比是1:2.∴两个相似三角形的周长之比是1:2.故选择A.考点：相似三角形的性质.8．B【解析】【分析】根据“两角对应相等，两三角形相似”即可判定.【详解】两角均为直角三角形，又因另一个锐角也对应相等，故依据“两角对应相等，两三角形相似”，判定这两个直角三角形相似.故选择B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法.9．B【解析】由勾股定理可得，△EFG=1 A.三角形的三边的比为：B.三角形的三边的比为：C.:3；D.三角形的三边的比为： B.10．1：16【解析】【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解得．【详解】∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的面积比为1：16．故答案是：1：16．【点睛】考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．11．28【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比作答．【详解】解：设另一个多边形的周长是x．依题意，有x：（1+2+3+4+5+6）=8：6，解得x=28．故另一个多边形的周长是28．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．12．【解析】2x＝5y，得＝，所以＋1＝＋1，即＝，故答案为：(1). 52(2).72..13．-11【解析】【分析】根据得到，代入后即可求解．【详解】解：∵，∴故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是能够用一个未知数表示另一个未知数，难度不大．【解析】【分析】作辅助线证明△ACE∽△DBE，得到AE：CE=DE：BE，将线段长代入即可求解. 【详解】如图所示，连接AC、BD，∵E是AB中点，∴AE=BE=AB=2，∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACE∽△DBE，∴AE：CE=DE：BE，设CE=x，那么2：x=（x+3）：2，解得x=1（负数舍去），∴CD=2CE+3=5．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质,中等难度,作辅助线证明三角形相似是解题关键. 15．①③【解析】试题解析：∵①中的三角形的三边分别是：2210；②中的三角形的三边分别是：325③中的三角形的三边分别是：22，5④中的三角形的三边分别是：317，2；∵①与③中的三角形的三边的比为：125∴①与③相似．故答案为：①③．点睛：相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．16．3 2【解析】【分析】已知52ab=，可得a=52b,再代入求值即可.【详解】已知52ab=，可得a=52b,则a bb-=32.【点睛】此题要求含字母式子的数值，关键是先用含b的式子表示出a，或用a的式子表示出b，进而代入即可得解．17．三△ACD∽△ABC △BCD∽△BAC △ACD∽△CBD【解析】【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，即可证得∠ADC=∠BDC=90°，又由同角的余角相等，证得∠A=∠BCD，根据有两角对应相等的三角形相似，证得△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD.【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，故答案为3，△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意有两角对应相等的三角形相似定理的应用，注意数形结合思想的应用．18．相似【解析】∵图形甲与图形乙相似,图形乙与图形丙相似,∴图形甲与图形丙相似.故答案为:相似.19．0.8【解析】【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，易得△DAB∽△DEF，即可得出对应边成比例解答即可．【详解】∵AB∥EF，∴△DAB∽△DEF，∴AD：DE=AB：EF，∴0.6：1.6=0.3：EF，∴EF=0.8米．∴捣头点E上升了0.8米．故答案为：0.8【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，解答此题时只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出捣头点E上升的高度．20．（1）C（325，245），8，10；（2）t的值为324或1s时，△OPQ与△OBC相似；（3）t=78s时，PC⊥BQ．【解析】【分析】 （1）利用待定系数法，方程组、两点间距离公式即可解决问题； （2）分两种情形①当OPOC ＝OQOB 时，△OPQ ∽△OCB ，②当OPOB ＝OQOC 时，△OPQ ∽△OBC ，构建方程即可解决问题；（3）如图作PH ⊥OC 于H ．首先证明∠OCB ＝90°，推出∠PCH ＝∠CBQ 时，PC ⊥BQ ．由PH ∥BC ，可得OPOB ＝PHBC ＝OHOC ，可得5t10＝PH6＝OH8，推出PH ＝3t ，OH ＝4t ，根据tan ∠PCH ＝tan ∠CBQ ，构建方程即可解决问题.【详解】（1）对于直线y=﹣43x+403，令x=0，得到y=403， ∴A （0，403）， 令y=0，则x=10，∴B （10，0），由3444033y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得325245x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴C （325，245）． ∴OC=223224()()55+=8， BC=223224(10)()55-+=10． （2）①当OP OQ OC OB=时，△OPQ ∽△OCB ， ∴584810t t -=， ∴t=3241． ②当OP OQ OB OC=时，△OPQ ∽△OBC ， ∴584108t t -=， ∴t=1，综上所述，t的值为3241或1s时，△OPQ与△OBC相似．（3）如图作PH⊥OC于H．∵OC=8，BC=6，OB=10，∴OC2+BC2=OB2，∴∠OCB=90°，∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．∵∠PHO=∠BCO=90°，∴PH∥BC，∴OP PH OH OB BC OC==，∴51068t PH OH==，∴PH=3t，OH=4t，∴tan∠PCH=tan∠CBQ，∴34 846t tt=-，∴t=78或0（舍弃），∴t=78s时，PC⊥BQ．【点睛】本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的是思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．21．见解析【解析】【分析】()1证明ABD DCE ∽,根据相似三角形的性质即可证明. ()2证明ABC EAD ∽,根据相似三角形的性质即可证明.【详解】 ()1ABC △中，AB=AC,,ABC ACB ∠=∠180,ABC ABD ∠+∠= 180,ACB DCE ∠+∠=,ABD DCE ∴∠=∠,,ABC BAD ADB ADE ADB CDE ∠=∠+∠∠=∠+∠.ADE ABC ∠=∠,BAD CDE ∠=∠ABD DCE ∴∽,AB BD DC CE∴= ,AB CE BD DC ∴⋅=⋅,AB AC =.AC CE BD DC ∴⋅=⋅()2点D 在线段AC 的垂直平分线上，,DA DC ∴=,DAC ACB ∴∠=∠,,DAC DAE BAC ACB EDC E ∠=∠+∠∠=∠+∠,BAD CDE ∠=∠,BAC E ∴∠=∠,ABC EAD ∴∽,BC AB AD AE= ,DA DC =.BC AB CD AE∴= 【点睛】考查相似三角形的判定与性质以及线段的垂直平分线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.22．（1；（2）见解析；（3 【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=30°，进而求出BD ，即可得出结论； （2）先判断出''AD A D CD C D=，即可得出结论； （3）先求出A'C ，A'E ，进而利用勾股定理求出A'A2，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AD 是等边三角形ABC 的高，∴∠B=60°，∠ADB=90°， ∴∠DAB=30°， ∵AB=2，∴BD=12AB=1，∴；（2）由旋转知，AD=A'D ，CD=C'D ， ∴''AD A D CD C D=， 由旋转知，∠ADA'=∠CDC'，∴△ADA'∽△CDC'；（3）在矩形ABCD 中，∠DCE=90°，AE=CD=1，∴=∴A'E=CE ﹣A'C=AD ﹣，在Rt △AEA'中，A'A 2=A'E 2+A'E 2=2+12=6﹣，∵△ADA'∽△CDC'，∴''A A AD C C CD==∴CC'22'3A A = 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△ADA'∽△CDC'是解本题的关键．23．见解析【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD ：AB=AE ：AC 以及AF ：AD=AE ：AC ，即可得出结论正确．【详解】证明：∵//DE BC ，∴::AD AB AE AC =，∵//EF DC ，∴::AF AD AE AC =，∴::AD AB AF AD =，∴2AD AB AF =⋅．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例.24．图形见解析【解析】试题分析：在右图中对照左图画出对应的图形即可.试题解析：所画图形如右图所示：25．（1）证明见解析（2）254【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明MB 是O 的切线，再根据CF 是O 的切线，可得FC FB =，再根据FCB DCF 90∠∠+=︒，通过推导即可得证；（2）由勾股定理求得AC=8，证明Rt ABC ∽Rt ADB ，根据相似三角形对应边成比例可求得25AD 2=，再证明 OF 是ADB 的中位线，根据中位线定理即可得.【详解】（1）∵AB 是O 的直径，∴ACB 90∠=︒，∴DCB 90∠=︒，∴CDB FBC 90∠∠+=︒，∵ AB 是O 的直径，MB AB ⊥， ∴MB 是O 的切线， ∵CF 是O 的切线，∴FC FB =，∴FCB=FBC ∠∠，∵FCB DCF 90∠∠+=︒，∴CDB=DCF ∠∠，∴CF=DF ；（2）由（1）可知，ABC 是直角三角形，在Rt ABC 中，AB=10，BC=6，根据勾股定理求得AC=8.在Rt ABC 和Rt ADB 中，A A ACB ABD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴Rt ABC ∽Rt ADB . ∴AB AC AD AB =. ∴108AD 10= . ∴25AD 2=. 由（1）知，∵CF=DF ，CF=BF ， ∴DF=BF .∵AO=BO ，∴ OF 是ADB 的中位线.∴125OF AD .24==【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，（1）证明MB是切线是关键；（2）求得AD 的长是关键.26．（1）y=34x 2﹣94x ﹣3；（2）点M 的坐标为（119，0）或（3，0）；（3）点M 的坐标为（83，0）或（519，0）． 【解析】试题分析：（1）理由待定系数法即可解决问题；（2）法两种情形①如图1中，当CE ⊥CF 时，△CEF ∽△OBC ．求出直线EC 的解析式，利用方程组即可解决问题；②如图2中，当CE ⊥EF 时，△EFC ∽△OBC ．此时E （3，－3），M （3，0）；（3）分两种情形．①如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m－3）．②如图4中，如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m－3）．同法可得：PQ＝CQ．分别构建方程即可解决问题．试题解析：解：（1）把A（﹣1，0），点B（4，0）代入y＝ax2＋bx﹣3，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝34x2－94x－3．（2）①如图1中，当CE⊥CF时，△CEF∽△OBC．∵B（4，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝34x﹣3，∴直线CE的解析式为y＝﹣43x﹣3，由，解得或，∴点E坐标为（，﹣），M（，0）；②如图2中，当CE⊥EF时，△EFC∽△OBC．此时E（3，﹣3），M（3，0）综上所述，满足条件的点M的坐标为（，0）或（3，0）；（3）存在．①如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m﹣3）．∵PQ∥CQ′，∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，∴QC＝QP＝﹣34m2＋3m，∵QM∥OC，∴＝，∴＝，解得m＝或0（舍弃），∴M（，0）；②如图4中，如图3中，当点Q′落在y轴的负半轴上时，设P（m，34m2－94m－3），则Q（m，34m﹣3）．同法可得：PQ＝CQ．4∵PQ∥CQ′，∴∠PCQ＝∠PCQ′＝∠CPQ，∴QC＝QP＝﹣34m2＋3m，∵QM∥OC，∴＝，∴＝，解得m＝或0（舍弃），∴M（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（，0）或（，0）．点睛：本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、翻折变换、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．27．见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画出△AB1C，再由图形旋转的性质得到△A2B2C即可；（2根据三角形相似的性质画出格点△A3B3C3即可．【详解】()1如图所示，1AB C，22A B C即为所求；()2如图所示，333A B C即为所求．【点睛】本题考查了作图-旋转变换与相似变换，解题的关键是根据题意找出相对应图形.。