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届高三第三次月考数学试题(文)

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贵州师大附中2010届高三第三次月数学试题(文科)答案

贵州师大附中2010届高三第三次月数学试题(文科)答案

贵州师大附中2009——2010学年第一学期第三次月考高三数学文科参考答案1317、（1）f (x)的最小正周期22Tππ==，f (x)的最小值为2+1=3；（2）f (x)的单调递增区间是,36k kππππ-+（），单调递减区间是2,63k kππππ++（）．18、（1）21151(1)39P=--=；（2）2221131(1)(1)344P=---=19、证明（Ⅰ）∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BC. 又AB⊥BC，P A∩AB=A，∴BC⊥平面P AB. ……2分又BC⊂平面PCB，∴平面P AB⊥平面PCB. ………………………………………4分（Ⅱ）∵P A⊥底面ABCD ，∴AC为PC在平面ABCD内的射影. 又∵PC⊥AD.∴AC⊥AD. ……5分在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=4π,∴∠DCA=∠BAC=4π.又AC⊥AD，故△DAC 为等腰直角三角形.∴DC AC AB)=2AB. 连接BD，交AC于点M，则2.D M D CM B AB==……………………………7分在△BPD中，2,PE D MEB M B==∴PD∥EM又PD 平面EAC，EM⊂平面EAC，∴PD∥平面EAC. ……………………………8分（Ⅲ）在等腰直角△P AB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB.∵平面P AB⊥平面PCB，且平面P AB∩平面PCB=PB，∴AN⊥平面PBC.在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE.∴∠AHN就是二面角A—CE—P的平面角，……12分在Rt△PBC中，设CB=a,则PB a,BE=1,33P B=NE=166P B a=，CE=,3a由NH ⊥CE ，EB ⊥CB 可知：△NEH ∽△CEB . ∴.NH CB NECE=代入解得：NH.在Rt △AHN 中，AN=,2a ∴tan AHN=AN NH=即二面角A —CE —P 的为.…12分解法二：（Ⅱ）建立空间直角坐标系A —xyz ，如图. 设P A =AB =BC =a ,则A (0, 0, 0), B (0, a , 0)， C (a , a , 0), P (0, 0, a )， E 20,,.33a a ⎛⎫⎪⎝⎭……5分 设D (a , y , 0)，则=(-a , -a , a), =(a , y , 0), ∵CP ⊥AD ， ∴·=-a 2 - ay =0,解得：y =-a .∴DC =2AB .连接BD ，交AC 于点M ， 则 2.D M D C M BAB==……………………………6分 在△BPD 中，2,PE D M EBM B==∴PD ∥EM .又PD 平面EAC ，EM 平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC .………………………………………8分 （Ⅲ）设n 1=(x ,y ,1)为平面EAC 的一个法向量, 则n 1⊥, n 1⊥∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x =12，y =-12,∴n 1=(12, -12,1). ………………………………………10分设n 2=（x′, y′, 1）为平面EBC 的一个法向量，则n 2⊥, n 2⊥,又=（a ,0,0）,=(0,-,33a a ),∴''0,0,33ax ay a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩解得：x ′=0,y ′=1, ∴n 2=(0,1,1).cos<n 1, n 2>==6.∴二面角A —CE —P 的大小为arccos6.……………………12分20、解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时,要耗油()(5.175.28408034012800013升）=⨯+⨯-⨯.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为h(x)升，依题意得：h(x)=(880312800013+-x x )·2100180015(0120)12804x x x x =+-≤＜, h '(x)=233264080800640xx xx -=-(0＜x≤120)令h ' (x)=0，得x=80.当x ∈(0,80)时，h’(x)＜0,h(x)是减函数;当x ∈(80,120)时，h ' (x)＞0,h(x)是增函数.∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 21、解：(Ⅰ) ∵切点为（1，3），∴k +1=3，得k =2.∵f ′(x )=3x 2+a ，∴f ′(1)=3+a =2，得a =-1. ………2分 则f (x ) =x 3-x +b.由f (1)=3得b =3.∴f (x )=x 3-x+3. …………………………………………………………4分 (Ⅱ)由f (x )=x 3-x +3得f ′(x )=3x 2-1,令f ′(x )= 3x 2-1＞0，解得x ＜-3或x＞3.………………………6分∴函数f (x )的增区间为(-∞，-3)，(3，+∞). …………………8分(Ⅲ)F (x )=x 3-3x ，F ′(x )=3x 2-3 令F ′(x )=3x 2-3=0，得x 1=-1,x 2=1. ……………………………………10分∴当x 分22. （Ⅰ）依题意，得2a m+2 = a m+1 + a m ∴2a 1q m+1 = a 1q m + a 1q m – 1 ，在等比数列{a n }中，a 1≠0，q≠0， ∴2q 2 = q +1，解得q = 1或21-. …………………………………………………………………… 4分（Ⅱ）若q=1，S m + S m+1 = ma 1 + (m+1) a 1=(2m+1) a 1，S m + 2 = (m+2) a 1 ,∵a 1≠0，∴2S m+2≠S m + S m+1 若q =21-，S m + 1 =m2m )21(6132)21(1)21(1-⋅-=----+S m + S m+1 =)21(1)21(1)21(1)21(11m m----+----+])21()21[(32341m m+-+--==m)21(3134--∴2 S m+2 = S m + S m+1故当q = 1时，S m , S m+2 , S m+1不成等差数列；当q =21-时，S m , S m+2 , S m+1成等差数列.……… 12分。

河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷(数学试题文)

河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷(数学试题文)

河北省香河县第一中学2024届高三下学期第三次月考试卷（数学试题文）注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．82．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2B ．0C ．2-D ．2±3．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强4．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A 2B ．2C 10D ．105．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．126．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >7．已知数列{}n a 为等比数列，若a a a 76826++=，且a a 5936⋅=，则a a a 768111++=（ ） A ．1318B ．1318或1936C ．139D ．1368．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，9．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．3C ．5D ．210．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠12．记集合(){}22,16A x y xy =+≤和集合(){},4,0,0B x y x y x y =+≤≥≥表示的平面区域分别是1Ω和2Ω,若在区域1Ω内任取一点,则该点落在区域2Ω的概率为( ) A ．14πB ．1πC ．12πD ．24ππ- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024学年黑龙江省虎林市高三3月月考(数学试题文)

2024学年黑龙江省虎林市高三3月月考(数学试题文)

2024学年黑龙江省虎林市高三3月月考（数学试题文）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14152．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．63．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B 22C ．2D ．134．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．157．将函数f (x )=sin 3x -3cos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④8．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．3C ．2海里D ．39．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A ．1313 B ．413C 27D ．4711．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -12．设不等式组030x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

四川省南充高中2013届高三上学期第三次月考 数学文

四川省南充高中2013届高三上学期第三次月考 数学文
（Ⅰ）若 M 为 PA 中点，求证： AC // 平面 MDE ； （Ⅱ）求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的余弦值.
P
E
M
D
·3·
C
A
B
HLLYBQ 整理
供“高中试卷网（） ”
x2 y2 21． （本小题满分 12 分） 椭圆 C： 2 ＋ 2 ＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1 、 F 2， 点 P 在椭圆 C 上， 且 PF1⊥F 1F 2， a b 1 且|PF1 |＝ ，|F 1F 2|＝2 3. 2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC，这样的直角三角形是 否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．
a b
C． 2 ） B ．必要不充分条件
D． −2
1 ⎞ ⎛ 1⎞ 4． “ log 3 a > log 3 b ”是“ ⎛ ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ”的（ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠
A ．充分不必要条件 C ．充要条件 5．命题 p : ∀x ∈ R ，函数 f ( x ) = 2 cos2 x +
D．既不充分也不必要条件
B． 则 a + b + c 的取值范围是（ A． (1, 2013) ） C． （2, 2013 ） D． (2, 2014) B ． (1, 2014)
1 3
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13．已知函数 f ( x ) = ⎨
2x ( x < 3) ，则 f (2012) = _____________. ⎩ f ( x − 3) ( x ≥ 3) ⎧
= log 2 a n , 求数列 ⎧ ⎨
1 ⎫ ⎬ 的前 n 项和 Tn ． ⎩b n bn+1 ⎭

福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题(解析版)

福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题(解析版)

南平市2024届高三第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i 2i i z z +=-，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数z 满足i 2i(i)z z +=-，则可转化为2i (2i)(12i)43i 12i (12i)(12i)55z --+===+--+，所以||1z ==.故选：A.2.已知,a b ∈R ，那么22log log a b >是1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.【详解】因为0,0a b >>，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log log 0a b a b >⇒>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,所以11,,22aba b a b ⎛⎫⎛⎫⇔∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R ,所以2211log log 33aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇒>>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，0b a <<时，不能得出22log log a b >成立.故选：A .3.已知向量a ，b 满足4a = ，2b = ，,150a b =︒ ，则a 在b上的投影向量为（）A.bB.C.b-D.【答案】D 【解析】【分析】利用||cos ,||b a a b b，计算可得a 在b上的投影向量.【详解】a 在b上的投影向量为：1||cos ,4cos1502||b a a b b b =︒=.故选：D.4.对任意非零实数α，当x 充分小时，()11x x αα+≈+⋅.如：1121 2.2524⎛⎫==≈⨯+⨯= ⎪⎝⎭的近似值为（）A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919【答案】C 【解析】化为131218⎡⎤⎛⎫⋅+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据新定义，直接计算取近似值即可．【详解】1312218⎛⎫==⋅⋅- ⎝⎭131112121 1.917838⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅+-≈+⨯-≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选：C .5.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35-B.34C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 16π2cos 6ππsin cos 166αααα⎧⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎛⎫⎪+ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππππcos 2cos 2πcos 212sin 3666αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦131255⎡⎤=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.故选：A .6.关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，若1x y a b -=，(),x y ∈R ，则2x y-的最小值为（）A.12B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可得21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，进而可得24a b =⎧⎨=⎩，可得1412222y x yyy y-+==+，可求2x y -的最小值.【详解】因为关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，所以21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，所以21(1)2(1)b a --=--⎧⎨-⨯-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，所以241x y -=，所以241x y =+，所以141222,22y x yy y y -+==+≥=当且仅当0,1y x ==时取等号.所以2x y -的最小值为2.故选：C.7.在正四面体ABCD 中，P 为棱AD 的中点，过点A 的平面α与平面PBC 平行，平面α 平面ABD m =，平面α 平面ACD n =，则m ，n 所成角的余弦值为（）A.3B.13C.23D.33【答案】B 【解析】【分析】由面面平行的性质定理可得//m BP ，//n PC ，所以m ，n 所成角即为BPC ∠，在BPC △中，由余弦定理求解即可.【详解】因为平面//α平面PBC ，α 平面ABD m =，平面PBC ⋂面ABD BP =，所以//m BP ，因为平面//α平面PBC ，α 平面ACD n =，平面PBC ⋂面ACD PC =，所以//n PC ，所以m ，n 所成角即为,BP PC 所成角，而,BP PC 所成角为BPC ∠，设正四面体ABCD 的棱长为2，所以2AB AC AD BD BC =====，所以BP CP ===所以1cos 3BPC ∠==.故选：B .8.已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y +=【答案】D 【解析】【分析】由题意设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-，由，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- 可求出54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简即可得求出25a =，即可得出答案.【详解】因为椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，所以设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-,设()00,B y ，(),A m n ，()21,0F ，则()()2201,,1,F A m n F B y =-=- ，因为2223F A F B =-，所以()0211323m n y⎧-=-⨯-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以052,33m n y ==-，所以052,33A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为11F A F B ⊥ ，所以()101082,,1,33F A y F B y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2082033y -=，所以02y =±，所以54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为A 在C 上，所以2225169911a a +=-，即42950250a a -+=，解得：25a =或259a =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以25a =.故C 的方程为22154x y +=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22，极差为：22184-=，众数为：20，平均数为：18202022204+++=，因为0.2541⨯=，所以第25百分位数为1820192+=，而原数据：16，18，20，20，22，24，极差为：24168-=，众数为：20，平均数为：161820202224206+++++=，因为0.256 1.5⨯=，所以第25百分位数为18，所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数.故选：BC.10.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()()211740m x m y m m +++--=∈R ，则（）A.直线l 过定点()3,1B.圆C 被x轴截得的弦长为C.当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 距离等于4D.直线l 被圆C 截得的弦长最短时，l 的方程为250x y --=【答案】ACD 【解析】【分析】直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令m 的系数等于零，即可判断A ；()1,2C 到x 轴的距离为2，求出圆C 被x 轴截得的弦长可判断B ；计算出当2m =-时，圆心到直线的距离即可判断C ；当PC l ⊥时，弦长最短，即可判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()3,1P ，故A 正确；对于B ，圆C 的圆心()1,2C ，半径=5r ，()1,2C到x 轴的距离为2，所以圆C 被x 轴截得的弦长为=，故B 错误；对于C ，当2m =-时，直线l ：3100x y +-=，此时圆心()1,2C 到直线l 的距离102d ==，而542r d -=-<，所以当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离等于4，故C 正确.对于D ，当PC l ⊥时，弦长最短，此时1121231l CPk k =-=-=--，因为直线l 过定点()3,1P ，所以l 的方程为：()123y x -=-，化简为：250x y --=，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.()f x 满足()()213244f x f x x ---=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，则（）A.()()202f f -=B.()11g =C.()1y f x x =+-为奇函数D.()1001100k g k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将恒等式代换变形得到()()112f x f x x +--=，再代入特殊值即可验证A ；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边求导得到()()112g x g x ++-=，再代入特殊值即可验证B ；对于C ，举出()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22xg x =+作为反例即可说明C 错误；对于D ，证明()()112g x g x -++=，再对求和式变形即可验证D.【详解】对于A ，由()()213244f x f x x ---=-可知222213244222x x x f f +++⎛⎫⎛⎫⋅---⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()112f x f x x +--=.从而()()111121f f +--=⋅，即()()202f f -=，故A 正确；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边同时求导，可得()()112f x f x ''++-=，即()()112g x g x ++-=.代入0x =即得()11g =，故B 正确；对于C ，考虑()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22x g x =+，则()()g x f x ='，且()()()()()()π21π32213221sin32sin44cos πcos π4422x x f x f x x x x x x x -----=-+---=--+=-，()()()()()ππππ11111cos 1cos 02222x x g x g x g x g x ⎛⎫-⎛⎫+----=--=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故此时()(),f x g x 满足全部条件，但()()π1π11sin 1cos22x xf x x x x ++-=++-=+并不是奇函数（因为显然不过原点），故C 错误；之前已证()()112g x g x ++-=，再由()1g x -的图象关于直线1x =对称，知()()1111g x g x +-=--，即()()g x g x =-.故()()()()()()()()11111211212g x g x g x g x g x g x g x g x -++=-++=-+--=-+--=.所以()()()()100505011143412502100k k k g k g k g k ====-+-==⨯=∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对恒等式的换元及变形，需要选取恰当的换元方式方可简化等式.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2,4A x y yx ==，(){},B x y y x ==，则A B ⋂的子集个数为______.【答案】4【解析】【分析】先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.【详解】由24y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11(0,0),(,)44A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，有两个元素，所以A B ⋂的子集个数为224=.故答案为：4.13.函数()()sin 0f x x ωω=>在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间()0,2π上恰有两个极值点，则ω的取值范围是______.【答案】3544ω<≤【解析】【分析】利用正弦型函数的单调性可得302ω<≤，利用正弦型函数的极值点可得3544ω<≤.【详解】由()()sin 0f x x ωω=>在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得ππ2π62k ω-≥-+，ππ2π32k ω≤+，k ∈Z ，即312k ω≤-，362k ω≤+，k ∈Z ，即302ω<≤，又()()sin 0f x x ωω=>在区间()0,2π上恰有两个极值点，可得3π5π2π22ω<≤，即3544ω<≤.综上，3544ω<≤.故答案为：3544ω<≤.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8π的球O 上，则平面11BCC B 截球O 所得截面的面积为______.【答案】8π7##8π7【解析】【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，结合图象列出关于,x d 的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】由球O 的表面积为8π，所以24π8πS R ==，可知球O ，设上下底面的中心分别为12,O O ，因为2AB =，从而可知球O 的球心与下底面ABCD 的中心2O 重合；分别取11B C 和BC 的中点1E E 、，连接112111212,,,,,C O EO E E E O EO O O ，则在直角梯形112C O O C 中得1262O O =，则在直角梯形112E O O E 中得12E E =，过点2O 作1E E 的垂线，垂足为F ，由于BC ⊥平面112E O O E ，2O F ⊂平面112E O O E ，所以2BC O F ⊥，由21OF EE ⊥，1EE BC E = ，1,EE BC ⊂平面11B BCC ，从而2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，则172E F x =-，则221x d +=，和22222x d ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立解得：276,77x d ==，又因为平面11B BCC 截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径287r =，所以圆面面积为28ππ7r =.【点睛】方法点睛：构建方程组利用勾股定理解截面圆半径是解决立体几何的一种重要方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()31ln 222f x ax x x x=--+，且()f x 图象在1x =处的切线斜率为0.（1）求a 的值；（2）令()()g x f x '=，求()g x 的最小值.【答案】（1）1（2）0【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得()10f '=，解方程即可得出答案；（2）由（1）知函数()31ln 222f x x x x x =--+，对()f x 求导，令()211ln (0)22g x x x x =+->，对()g x 求导，判断()g x '与0的大小得出()g x 的单调性，即可求出()g x 的最小值.【小问1详解】因为()31ln 222f x ax x x x =--+，所以()()2311ln 22f x a x x -+'=+，因为()f x 图象在1x =处的切线斜率为0,所以()10f '=，即31022a -+=，所以1a =.【小问2详解】由（1）知函数()31ln 222f x x x x x=--+，()f x 的定义域为()0,∞+，()211ln 22f x x x =+-'，则()211ln (0)22g x x x x =+->，求导得()233111x g x x x x='-=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在()0,1上递减，在()1,∞+上递增，()()min 10g x g ==.16.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率；（2）每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为X 元，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.19（2）分布列见解析，数学期望为300元【解析】【分析】（1）设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”，求得每个事件的概率，进而利用()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣可求取出的建盏是成品的概率；（2）这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式可求X 分布列及数学期望.【小问1详解】设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则()151102P A ==，()230.310P A ==，()321105P A ==.又()10.2P BA =∣，()20.2PB A =∣，()30.3P B A =∣，所以()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣0.50.20.30.10.20.30.19=⨯+⨯+⨯=【小问2详解】设这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.因为1000X Y =，X 的可能取值为0，1000，2000，3000所以()()03031972900C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()12131924310001C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2123192720002C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33319130003C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X100020003000P7291000243100027100011000所以()72924327101000200030003001000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC AD CD ==<，2π3ABC ∠=.M ，N 分别为棱CD ，PD 上的动点（与端点不重合），且CM DN CD DP=.（1）求证：AD ⊥平面APC ；（2）若3AP =，设平面AMN 与平面APC 所成的角为α，求cos α的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）解法一：由AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，推出AD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一：（2）解法一：设1AD =，建立空间直角坐标系A xyz -，令CM DNCD DPλ==，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值;解法二：不妨设1AD =，由AC ，AD ，AP 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求解平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值.【小问1详解】解法一：因为AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，所以π6CAB ∠=，2πππ362CAD ∠=-=，即AD AC ⊥又PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥因为AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一.【小问2详解】解法一：设1AD =，如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -.令CM DNCD DPλ==，()0,1λ∈，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z 则有CM CD λ=，DN DPλ=即()()111,x y z λ-=，解得))1,,0M λλ-同理可得()0,1N λ-设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由)()10,10,n AM x y n AN y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1x =，则)1y λλ-=，()221z λλ-=.得平面AMN的一个法向量为)()22111,,n λλλλ⎛⎫-- = ⎪⎝⎭又由（1）可知()0,1,0AD =是平面APC 的一个法向量，则有cos n ADn ADα⋅==⋅5==当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cosα的最大值15cos5α=解法二：不妨设1AD=，由AC，AD，AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则根据题意可得：())1,1,0AM AC ADλλλ=+-=-()()10,,AN AD APλλλ=+-=，()0,1λ∈，设平面AMN的一个法向量为(),,n x y z=，())1010n AM x yn AN y zλλλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取1x=，1yλ=-，()221zλλ=-于是()2231,,11nλλλ⎛⎫⎪=⎪--⎝⎭，cos5α=当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α的最大值15cos 5α=.18.已知()11,0A -，()21,0A ，直线1A P ，2A P 相交于点P ，且它们的斜率之积是4，记点P 的轨迹为曲线C（1）求C 的方程；（2）不过1A ，2A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线1MA 与2NA 交于点S ，点S 在直线12x =上，证明：直线l 过定点.【答案】（1）()22114y x x -=≠±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解.（2）设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，将其与椭圆方程联立，从而122841mny y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点S 在直线12x =上，可得1143A N A Mk k =-，从而结合韦达定理可得n 为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y yx x x x +=-+-，在里面代入12x =，结合韦达定理即可得出n 为定值，由此即可得证.【小问1详解】设(),P x y ，则()111PA y k x x =≠-+，()211PA y k x x =≠-，由已知，有()4111y yx x x ⋅=≠±+-，故C 的方程为()22114y x x -=≠±.【小问2详解】解法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩，得()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，由点S 在直线12x =上，设1,2S t ⎛⎫⎪⎝⎭，则121312A M t k t ==+，22112N A tk t==--，所以213A M NA k k =-，又124A N A N k k ⋅=，则()1134A N A M k k ⋅-=，即1143A N A M k k =-，21214113y y x x ⋅=-++，()()12213411y y my n my n -=++++，()()()()221212434410my y mn m y y n ++++++=，()()()222224484344104141n mn m mn m n m m --+++++=--，220n n --=，所以1n =-（舍去），或2n =，所以l 的方程为2x my =+，过定点()2,0解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩得，()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，所以()()2121212n y y mny y-+=-⋅，即()()2121212n y y my y n-+=-，又直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y y x x x x +=-+-，又点S 在直线12x =上，故()()2112131y x y x +=--，所以()()()()()()21211121212121111111y x y my n my y n y y x y my n my y n y +++++==-+-+-()()()()()()()()()()21212222121211111122111122n y y n y y n y y n nnn y y n n y y y n y nn-+-+-++-+==⋅++--+--+-()()()()2121111131111n y n y n n n n y n y n +--++=⋅==---++--，故2n =，直线l 的方程为2x my =+，过定点()2,0.19.若数列{}n c 共有()*,3m m m ∈≥N 项，对任意()*,i i i m ∈≤N 都有1i m i c c S +-=（S 为常数，且0S >），则称数列{}n c 是S 关于m 的一个积对称数列.已知数列{}n a 是S 关于m 的一个积对称数列.（1）若3m =，11a =，22a =，求3a 的值；（2）已知数列{}n b 是公差为()0d d ≠的等差数列，111b =-，若10m =，2n n nb a b +=，求d 和S 的值；（3）若数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，求证：12112153m m m m a a a a Sa a a a --++⋅⋅⋅++<.【答案】（1）4（2）1,2S d ==（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得22S a a =，从而求出3a ；（2）依题意11i ia a S -=，即可得到21311i ii ib b S b b +--⨯=，再结合等差数列通项公式得到()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可；（3）依题意可得()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】依题意224S a a ==，又13a a S =，所以314Sa a ==.【小问2详解】法一：由10m =知对任意i ()*,10i i ∈≤N 都有11i i a a S -=，即()()()()112131*********i i i i b i d b i db b S b b b i d b i d+--+++-⨯=⨯=+-+-，所以()()222112221112111310119b i i d b d S bi i db d++-+=+-+-+，所以()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，所以()22222222111111111213109d d S d d S d b b d S d b b d ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=-++⎪⎩，因为0d ≠，111b =-，所以2112240S d b d =⎧⎨+=⎩，即12S d =⎧⎨=⎩.法二：当1,2i =时由11029S a a a a ==得31241111029b b b b S b b b b =⨯=⨯，所以1111111121131098b d b d b d b d b b d b d b d++++⨯=⨯+++，即()()()()22222221111111110161211122710b b d db b d d b b d d b b d ++⨯++=++⨯+，令21110p b b d =+，22111211q b b d d =++，则()()221616p d q q d p +=+，因为0d ≠，111b =-，所以p q =，2221111101211b b d b b d d +=++，即2d =，1S =，当110i ≤≤时都有()()()()2131111112111212112111210i i i i i i i i b b a a b b i i +----++-+-=⨯=⨯-+--+-92132113292i i S i i-+-=⨯==-+-，所以2d =，1S =成立.【小问3详解】由已知1m a a S =，21m a a S -=，…，1i m i a a S +-=，所以()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，所以112222*********m m m a a a S a a a m -⎛⎫++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭1111111111114224354611S m m ⎡⎤⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦1111111111115142231142233S S S m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+++--<+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即12112153m m m m a a a a S a a a a --++⋅⋅⋅++<.【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再由裂项相消法求和.。

长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题(含答案)

长沙市长郡中学2023届高三上学期第三次月考数学试题(含答案)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先作出 关于 的对称点 ，再作 关于 的对称点 ，因为光线从 点出发射到 上的 点经 反射后，入射光线和反射光线都经过 关于直线 的对称点 点，又因为再经 反射，反射光线经过 关于直线 的对称点，所以只需连接 ､ 交 与点 ，连接 ､ 分别交 为点 ､ ，则 ， 之间即为点 的变动范围.再求出直线 ， 的斜率即可.
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，再分别写出 和 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可
【详解】根据题意可得纸板 相较于纸板 剪掉了半径为 的半圆，故 ，即 ，故 ， ， ， … ，累加可得 ，所以 ，故A正确，C错误；
6.设 ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别判断出 ， ， ，即可得到答案.
【详解】 .
因为 ，所以 .
所以 ；
因为 在R上为增函数，所以 ；
因为 在 上为增函数，且 所以 ，即 ；
所以 .
故选：D
7.将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，得到如图所示的函数 的图象，则 （）
10.设 ，函数 在区间 上有零点，则 的值可以是（）
A. B. C. 解不等式 得解.
【详解】由题得 ，
令 ，解得 ，取k＝0，
，即 ．
故选：BCD
11.如图， 是一块半径为1的圆形纸板，在 的左下端前去一个半径为 的半圆后得到图形 ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形 ， ，记纸板 的周长为 ，面积为 ，则下列说法正确的是（）

第一中学202届高三数学上学期第三次月考试题文

第一中学202届高三数学上学期第三次月考试题文

陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第三次月考试题 文满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1．若复数（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( ）A 。

6-B.2-C. 4D.62．已知{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===,则()N M C U⋃=（ ）A. {}1,4 B 。

{}1,3,4 C 。

{}4 D 。

{}2 3．已知平面向量(1,2),(2,)a b m =-=，且b a ⊥，则32a b +=( )A.(7,2)B.(7,14)- C.(7,4)- D 。

(7,8)- 4．“2a =-"是“直线()12:30:2140l ax y lx a y -+=-++=与互相平行"的（)A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C 。

充分必要条件 D 。

既不充分也不必要条件5．已知}{na 为等差数列，若π=++951a a a,则)cos(82a a+的值为( ）A.21 B.23C 。

21- D 。

23- 6．若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（）A.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B 。

()(),22,-∞-+∞C 。

RD 。

()2,2-7．已知实数x,y满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为( ）A ．10B ．8C ．2D ．08．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是（ ）A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( ）A 。

3 B 。

33 C.332D.33410．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数)(x f 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ） A ．3 B ．21-C ．21D 311．直线l ：(2y k x =与曲线()2210xy x -=>相交于A 、B 两点，则直212221线l 倾斜角的取值范围是（ ）A 。

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)

湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。

甘肃省会宁县第二中学2015届高三第三次月考数学(文)试卷word版无答案(精品高考模拟试卷)

甘肃省会宁县第二中学2015届高三第三次月考数学(文)试卷word版无答案(精品高考模拟试卷)

俯视图 正视图 侧视图 会宁二中高三级第三次月考数学试题(文科)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合)(},5,2{},3,2,1{},6,5,4,3,2,1{B C A B A U U 则====（ ）A ．{1，3}B ．{2}C ．{2，3}D ．{3}2.设复数Z 满足i Z i2)3(=⋅-，则|Z |=（）A B C ．1 D ．23．若p 是真命题，q 是假命题， 以下四个命题：p 且q,p 或q,非p,非q,其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44. 在平面直角坐标系中，已知向量),3,(),1,3(),2,1(x c a a ==-=若c b a //)2(+，则x=( ) A ．-2 B ．-4 C ．-3 D ．-15．设1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3c In π=，则（ ） A ．c<a<bB ．c<b<aC ．a<b<cD ．b<a<c 6.若关于x 的不等式220ax bx ++>的解集为11(,)23-，其中a,b 为常数，则不等式220x bx a ++<的解集是（ ）A ．(3,2)-B ．(2,2)-C ．(2,3)-D ．(3,3)-7.如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为（ ）A．2+3π+ B．2+2π+C ．8+5π+D ．6+3π+8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为（ ）A ．64B ．128C ．-64D ．-1289．设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x >0),则不等式f (x -2)>0的解集为（ ）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2}10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．1211.已知不等式1()()9a x y x y ++≥对任意的正实数,x y 恒成立，则正数a 的最小值是（ ） A.8 B.6 C.4 D.212.已知(1)(1),()(2),f x f x f x f x +=-=-+方程()0f x =在[]0,1内有且只有一个根12，则()0f x =在区间[]0,2014内根的个数为（ ）A.1006B.1007C.2013D.2014 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知关于x, y 的二元一次不等式组24120x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则Z=3x-y 的最大值为__________14. 若,,x y R +∈且23x y +=，则11x y+的最小值为_____. 15.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，若160S >，且170S <，则当S n 最大时n 的值为____. 16．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有0OB OA OA OB ∙+∙=,将它类比到平面的情形是：若O 是ABC ∆内一点，则有0OBC OAC OBA S OA S OB S OC ∆∆∆∙+∙+∙=,将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有____________________________________。

天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数学试题

天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数学试题

天津市和平区天津一中2024届高三上学期第三次月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
(1)求cos B ；
(2)求a ，c 的值；
(3)求()sin B C -的值．
17．如图，^AE 平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD CF ===，2
AE BC ==
(1)求证：BF //平面
ADE ；(2)求直线
CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(3)求点F 到平面BDE 的距离．
又()10f =，123x x x <<，所以12301x x x <<=<，所以131x x =，所以1231x x x =.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

2012届高三第三次月考 数学(文)试题(A卷)

2012届高三第三次月考 数学(文)试题(A卷)

2012届高三第三次月考数学试题（文科）（A 卷）第Ⅰ卷一、选择题． 本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．o660sin 等于（ ）A ． 23-B ． 21-C ．21D ．23 2．设πln =a ，2ln =b ，)2ln(ln =c ，则（ ）A ． b c a <<B ． c b a <<C ． c b a >>D ． b c a >>3． 函数x x y 22)23lg(-+-=的定义域是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛1,32C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,32D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,324．已知20πβα<<<，则)2cos(βα-的取值范围是（ ）A ． ()1,0B ． (]1,0C ． ()1,1-D ． (]1,1-5．某商店拟对店中A ，B 两种商品进行调价销售．A 种商品拟降价%20，B 种商品拟提价%20，调价后两种商品的单价都是360元．假设这两种商品的销量相同，则与调价前相比，该商店销售这两种商品的总利润 （ ） A ．增加 B ．不变 C ．减少 D ．与进货价格有关 6．已知βα,()π,0∈，51)sin(=+βα，75sin =β，则αcos 等于 （ ）A ． 3529-B ． 3519-C ．3529 D ．3529或3519- 7．为了得到函数)42sin(π-=x y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ）A ．向右平移83π个长度单位 B ．向右平移43π个长度单位 C ．向左平移83π个长度单位D ．向左平移43π个长度单位8． 已知ABC ∆的三边边长a ，b ，c 满足 ab cc a b a -=++，则ABC ∆是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．以上三种情况都有可能9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)(1)23(x f x f -=+π．若2)2(=πf ，则)11(πf 等于（ ）A ．2-B ．2C ．21D ． 21-10．已知函数x y 2=图像上四个不同点的纵坐标分别为d c b a ,,,，这四个点在x 轴上的投影点分别为D C B A ,,,．假设AB AC λ=，BA BD λ=（λ为实数），若||||d c b a ->-，则（ ） A ．0=λB ． 0<λC ． )1,0(∈λD ．1>λ第II 卷本卷包括填空题和解答题两部分，共100分．二、填空题． 本大题共5小题,每小题5分，共25分． 11． 如果函数)2cos()(φπ+=x x f )20(πφ<<当3=x 时取得最大值，那么=φ_____．12．=+-12tan31312tanπ_____．13． 若扇形的面积和弧长都是10，则这个扇形中心角的弧度数是_____． 14．已知函数1sin cos sin )(++=x b x x a x f ，且3)4(=πf ，则=-)4(πf _____．15．函数)3()(2++=ax x e x f x在区间()1,1-内存在零点，则实数a 的取值范围是_____．三、解答题． 本大题共6小题,共75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）化简：++++θθθθ2cos cos 12sin sin θθθθ2cos sin 12sin cos -++．17．（本题满分12分）已知向量 )sin ,sin 2(x x -=，)sin 2,cos 3(x x =，（R x ∈）．函数x f ∙=)(．（1）求函数)(x f 的最小正周期及最大值；（2）用“五点法”做出函数)(x f 在一个周期内的图像，并根据图像写出满足不等式0)(≥x f （R x ∈）的所有x 的集合．18．（本题满分12分）已知2627)4sin(=+πx ，（),2(ππ∈x ）．（1）求x 2sin 的值； （2）求)42tan(π-x 的值．19． （本题满分12分 ）在△ABC 中，内角C B A ,,所对边的边长分别是c b a ,,．已知13=c ,3π=C ，3=∆ABC S ，且b a >．（1）求b a ,；（2）设D 是边AB 的中点，求ADC sin ．20．（本题满分12分）某建材商店经销某种品牌的防盗门，每年预计销量为1600套．分n 次从厂家进货，且每次进货量相同．如果每次进货不超过200套，一次进货手续费为3000元；如果超过200套，一次进货手续费要再增加1500元．对购进而未销售的防盗门每套每年要付20元的库存费，可以认为平均库存量是每次进货量的一半．问每年进几次货费用（进货手续费和库存费）最小． 21．（本题满分15分）已知函数xxx f 2cos 3sin )(+=，（[]π,0∈x ）．（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若)()(sin x f x g =（[]π,0∈x ），求证：对于区间[]1,0上任意的数m ，n 不等式)2(2)()(nm g n g m g +≥+恒成立．。

湖南省长沙市湖南师大附中2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题(含解析)

湖南省长沙市湖南师大附中2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题(含解析)

湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学时量：120分钟满分：150分得分：________________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合的真子集个数是（ ）A.7B.8C.15D.162.“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，则（ ）A.B.C.D.4.设向量，满足，等于（ ）A. B.2C.5D.85.若无论为何值，直线与双曲线总有公共点，则的取值范围是（ ）A. B.C.，且 D.，且6.已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则等于（ ）A.B.C. D.7.已知正三棱台所有顶点均在半径为5的半球球面上，且棱台的高为（ ）A.1B.4C.7D.1或78.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：{}0,1,2,311x -<240x x -<αP ()3,4a a 0a ≠sin2α=4372524252425-a b a b += a b -=a b ⋅ θsin cos 10y x θθ⋅+⋅+=2215x y m -=m 1m ≥01m <≤05m <<1m ≠1m ≥5m ≠()2f x ()()130f x f x ++-=()2,4x ∈()()12log 2f x x m =--+()()2025112f f -=-m 132323-13-111ABC A B C -AB =11A B =“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，共层的堆积物（如图所示），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列，的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A.2B.6C.12D.20二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.10.对于函数和，下列说法中正确的有（）A.与有相同的零点B.与有相同的最大值点C.与有相同的最小正周期D.与的图象有相同的对称轴11.过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，作交于点，则（）A.B.直线恒过定点C.点的轨迹方程是D.的最小值为选择题答题卡题号1234567891011得分ab cd n()()()2266n nS b d a b d c c a⎡⎤=++++-⎣⎦ab()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd+++⋅++-+-=2024220240122024(12)x a a x a x a x+=++++2024a=20240120243a a a+++=012320241a a a a a-+-++=12320242320242024a a a a-+--=-()sin cosf x x x=+()sin cos22g x x xππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x()g x()f x()g x()f x()g x()f x()g x()0,2P2:4C x y=()11,A x y()22,B x yC A2y=-N NM AP⊥AB M5OA OB⋅=-MNM()22(1)10y x y-+=≠ABMN答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，的模长为1，且，则________.13.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，，则________.14.若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e 的零点，则的值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按的复利计算.（1）计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？（2）试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：，）16.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，.点在底面的射影点在线段上.（1）在图中过作平面的垂线段，为垂足，并给出严谨的作图过程；（2）若.求平面与平面所成锐二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）1z 2z 21111z z +=12z z +=ABC ∆A B C a b c 5a =4b =()31cos 32A B -=sin B =1x ()2e e xf x x x =--2x ()()()3e ln 1e g x x x =---()122e ex x -25%10%101.12.594≈101.259.313≈P ABCD -ABCD 222AD AB BC ===P Q AC A PCD H 2PA PD ==PAB PCD已知函数，为的导数.（1）证明：当时，；（2）设，证明：有且仅有2个零点.18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的两个焦点为、，为椭圆上一动点，设，当时，.（1）求椭圆的标准方程.（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点、（在，之间），若为椭圆上一点，且，①求的取值范围；②求四边形的面积.19.（本小题满分17分）飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投郑出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.（1）求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数的均值）（2）对于两个离散型随机变量，，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记，）()e sin cos x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()2f x '≥()()21g x f x x =--()g x xOy 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C 12F PF θ∠=23πθ=12F PF ∆C ()0,2B l M N M B N Q C OQ OM ON =+ OBMOBNS S OMQN X 11()()lim ()n n k k E X kP k kP k ∞→∞==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑ξη()()()11,m i i ijj p x p x p x y ξ====∑()()()21,njjiji p y p y p x y η====∑ξη1x 2x ⋯nx 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y()2,n p x y ()22p y1若已知，则事件的条件概率为.可以发现依然是一个随机变量，可以对其求期望.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（取值不同时，期望也不同），不妨记为，求；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记表示“甲第一次未能掷出6点”表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，表示“甲第一次第二次均掷出6点”，为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求.⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x()1n p x i x ξ={}j y η={}{}{}()()1,,j i i j jii i P y x p x y Py x P x p x ηξηξξ=======∣i x ηξ=∣{}{}1mi j j i j E x y P y x ηξηξ===⋅==∑∣∣()()111,mj i j i i y p x y p x ==⋅∑ξ{}E ηξ∣{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦∣0ξ=1ξ=2ξ=ηE η湖南师大附中2025届高三月考试卷（三）数学参考答案题号1234567891011答案CACBBDABBCACDBC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 【解析】集合共有（个）真子集.故选C.2.A 【解析】解不等式，得，解不等式，得，所以“”是“”的充分不必要条件.3.C 【解析】根据三角函数的概念，，，故选C.4.B 【解析】.5.B 【解析】易得原点到直线的距离，故直线为单位圆的切线，由于直线与双曲线总有公共点，所以点必在双曲线内或双曲线上，则.6.D 【解析】依题意函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，因为，故函数的周期为4，则，而，所以由可得，而，所以，解得.7.A 【解析】上下底面所在外接圆的半径分别为，，过点，，，的截面如图：{}0,1,2,342115-=240x x -<04x <<11x -<02x <<11x -<240x x -<44tan 33y a x a α===22sin cos 2tan 24sin211tan 25ααααα===+()2211()()1911244a b a b a b ⎡⎤⋅=+--=⨯-=⎣⎦ 1d ==2215x y m -=()1,0±01m <≤()f x ()f x ()()()133f x f x f x +=--=-()f x ()()20251f f =()()11f f -=-()()2025112f f -=-()113f =()()13f f =-()121log 323m --=13m =-13r =24r =A 1A 1O 2O，，，故选A.8.B 【解析】由题意，得，，则由得，整理得，所以.因为，为正整数，所以或6.因此有或而无整数解，因此.故选B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BC 【解析】对于A ：令，则，故A 错误；对于B ：令，则，故B 正确；对于C ：令，则，故C 正确；对于D ，由，两边同时求导得，令，则，故D 错误.故选BC.10.ACD 【解析】，.令，则，；令，则，，两个函数的零点是相同的，故选项A 正确.的最大值点是，，的最大值点是，，两个函数的最大值虽然是相同的，但最大值点是不同的，故选项B 不正确.由正弦型函数的最小正周期为可知与有相同的最小正周期，故选项C 正确.曲线的对称轴为，，曲线的对称轴为，，两个函数的图象有相同的对称轴，故选项D 正确.故选ACD.11.BC 【解析】作图如下：24OO ==13OO ==211h OO OO ∴=-=6c a =+6d b =+()()()772223866b d a b dc c a ⎡⎤++++-=⎣⎦()()()()77262126623866b b a b b a a a ⎡⎤++++++++-=⎣⎦()321ab a b ++=773aba b +=-<a b 3ab =6,3a b ab +=⎧⎨=⎩5,6.a b ab +=⎧⎨=⎩63a b ab +=⎧⎨=⎩6ab =0x =01a =1x =20240120243a a a +++= 1x =-012320241a a a a a -+-++= 2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ 202322023123202420242(12)232024x a a x a x a x ⨯⨯+=++++ 1x =-12320242320244048a a a a -++-=- ()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()3244g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0f x =4x k ππ=-+k ∈Z ()0g x =34x k ππ=+k ∈Z ()f x 24k ππ+k ∈Z ()g x 324k ππ-+k ∈Z 2πω()f x ()g x 2π()y f x =4x k ππ=+k ∈Z ()y g x =54x k ππ=+k ∈Z设直线的方程为（斜率显然存在），，，联立消去整理可得，由韦达定理得，，A.，，故A 错误；B.抛物线在点处的切线为，当时，，即，直线的方程为，整理得，直线恒过定点，故B 正确；C.由选项B 可得点在以线段为直径的圆上，点除外，故点的轨迹方程是，故C 正确；D.，则，，，则，设，，当单调递增，所以，故D 错误.故选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.AB 2y tx =+211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,4,y tx x y =+⎧⎨=⎩x 2480x tx --=124x x t +=128x x =-221212444x x y y =⋅=1212844OA OB x x y y ⋅=+=-+=- C A 21124x x x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2y =-11121244282222x x x x x t x x =-=-=+=-()2,2N t -MN ()122y x t t +=--xy t=-MN ()0,0M OP O M ()22(1)10y x y -+=≠2MN AB ===22ABMN ===m =m ≥12ABm MN m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1f m m m =-m ≥()2110f m m=+>'m ≥()f m min ()f m f==12.1【解析】设，，因为，所以.因为，，所以，所以，所以，，所以.【解析】在中，因为，所以.又，可知为锐角且.由正弦定理，，于是.将及的值代入可得，平方得，故.14.e 【解析】依题意得，，即，，，即，，，，，又，，同构函数：，则，又，，，，又，，单调递增，，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）A 方案到期时银行贷款本息为（万元）.……（3分）()1i ,z a b a b =+∈R ()2i ,z c d cd =+∈R 21111z z +=1222111z z z z z z +=111z z =221z z =121z z +=()()i i i 1a b c d a c b d -+-=+-+=1a c +=0b d +=()()12i 1z z a c b d +=+++=ABC ∆a b >A B >()31cos 32A B -=A B -()sin A B -=sin 5sin 4A aB b ==()()()5sin sin sin sin cos cos sin 4B A A B B A B B A B B ⎡⎤==-+=-+-⎣⎦()cos A B -()sin A B -3sin B B =2229sin 7cos 77sin B B B ==-sin B =1211e e 0xx x --=1211e e xx x -=10x >()()322e ln 1e 0x x ---=()()322e ln 1e x x --=2e x >()()()131122e e e e ln 1x x x x x ∴-==--()()()11122e e ln 1e x x x x +∴-=--()()()21ln 11112e e ln 1e e x x x x -++⎡⎤∴-=--⎣⎦2ln 1x > 2ln 10x ->∴()()1e e ,0x F x x x +=->()()312ln 1e F x F x =-=()()111e e e e e 1e x x x x F x x x +++=-+'=-+0x > 0e e 1x ∴>=e 10x ∴->1e 0x x +>()0F x ∴'>()F x 12ln 1x x ∴=-()()()31222222e ln 1e e e eeex x x x ---∴===()1010110%26⨯+≈（2）A 方案10年共获利：（万元），……（5分）到期时银行贷款本息为（万元），所以A 方案净收益为：（万元），……（7分）B 方案10年共获利：（万元），……（9分）到期时银行贷款本息为（万元），……（11分）所以B 方案净收益为：（万元），……（12分）由比较知A 方案比B 方案更优.……（13分）16.【解析】（1）连接，有平面，所以.在中，.同理，在中，有.又因为，所以，，所以，，故，即.又因为，，平面，所以平面.平面，所以平面平面.……（5分）过作垂直于点，因为平面平面，平面平面，且平面，有平面.……（7分）（2）依题意，.故为，的交点，且.所以过作直线的平行线，则，，，两两垂直，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，()1091.2511125%(125%)33.31.251-+++++=≈- 1010(110%)25.9⨯+≈33.325.97-≈()()101010.31 1.3190.310123.52⨯-⨯++++⨯=⨯+= ()()10109 1.11.11(110%)(110%)110%17.51.11-++++++=≈- 23.517.56-≈PQ PQ ⊥ABCD PQ CD ⊥ACD ∆2222cos 54cos AC AD CD AD CD ADC ADC =+-⋅⋅∠=-∠ABC ∆222cos AC ABC =-∠180ABC ADC ∠+∠= 1cos 2ADC ∠=()0,180ADC ∠∈ 60ADC ∠=AC =222AC CD AD +=AC CD ⊥PQ AC Q = PQ AC ⊂PAC CD ⊥PAC CD ⊂PCD PCD ⊥PAC A AH PC H PCD ⊥PAC PCD PAC PC =AH ⊂PAC AH ⊥PCD AQ DQ ==Q AC BD 2AQ ADCQ BC==23AQ AC ==PQ ==C PQ l l AC CD C则：，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取.同理，平面的法向量，，……（14分）故所求锐二面角余弦值为.……（15分）17.【解析】（1）由，设，则，当时，设，，，，和在上单调递增，，，当时，，，则，函数在上单调递增，，即当时，.()1,0,0D P ⎛ ⎝()A 12B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()1,0,0CD = CP ⎛= ⎝ 0,AP ⎛= ⎝ 1,2BP ⎛= ⎝ PCD (),,m x y z =)0,0,m CD x m CP y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩()0,m =- PAB )1n =-1cos ,3m n m n m n ⋅==13()e cos sin xf x x x =+'+()e cos sin xh x x x =++()e sin cos xh x x x =+'-0x ≥()e 1x p x x =--()sin q x x x =-()e 10x p x ='-≥ ()1cos 0q x x ='-≥()p x ∴()q x [)0,+∞()()00p x p ∴≥=()()00q x q ≥=∴0x ≥e 1x x ≥+sin x x ≥()()()e sin cos 1sin cos sin 1cos 0xh x x x x x x x x x =-+≥+-+=-++≥'∴()e cos sin x h x x x =++[)0,+∞()()02h x h ∴≥=0x ≥()2f x '≥（2）由已知得.①当时，，在上单调递增，又，，由零点存在定理可知，在上仅有一个零点.……（10分）②当时，设，则，在上单调递减，，，，在上单调递减，又，，由零点存在定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.……（15分）18.【解析】（1）设，为椭圆的焦半距，，，当时，最大，此时或，不妨设，当时，得，所以，又因为，所以，.从，而椭圆的标准方程为.……（3分）（2）由题意，直线的斜率显然存在.设，.……（4分），同理，..……（6分）联立，……（8分）()e sin cos 21xg x x x x =+---0x ≥()()e cos sin 220x g x x x f x =+='+--'≥ ()g x ∴[)0,+∞()010g =-< ()e 20g πππ=->∴()g x [)0,+∞0x <()2sin cos (0)e x x xm x x --=<()()2sin 10exx m x -=≤'()m x ∴(),0-∞()()01m x m ∴>=e cos sin 20x x x ∴++-<()e cos sin 20x g x x x ∴=++-<'()g x ∴(),0-∞()010g =-< ()e 20g πππ--=+>∴()g x (),0-∞()g x ()00,P x y c C 12122F PF p S c y ∆=⋅⋅00y b <≤ 0y b =12F PF S ∆()0,P b ()0,P b -()0,P b 23πθ=213OPF OPF π∠=∠=c =12F PF S bc ∆==1b =c =2a =∴C 2214x y +=l ()11: 2.,l y kx M x y =+()22,N x y 1112OBM S OB x x ∆∴=⋅=2OBN S x ∆=12OBM OBN S xS x ∆∆∴=()22222,141612044y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，.……（9分）又，，，同号..，，.令，则，解得，.……（12分）（3），.且四边形为平行四边形.由（2）知，，.而在椭圆上，.化简得.……（14分）线段，……（15分）到直线的距离……（16分）.……（17分）()()222Δ(16)4121416430k k k∴=-⨯⨯+=->234k ∴>1221614k x x k -+=+ 12212014x x k=>+1x ∴2x ()()2222122121212216641421231414k x x x x k k x x x x k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭∴===++++234k > ()2226464164,1331434k k k ⎛⎫∴=∈ ⎪⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝⎭211216423x x x x ∴<++<()120x x λλ=≠116423λλ<++<()1,11,33λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,11,33OBM OBN S S ∆∆⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ OQ OM ON =+()1212,Q x x y y ∴++OMQN 1221614k x x k -+=+()121224414y y k x x k ∴+=++=+22164,1414k Q k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭Q C 2222164441414k k k -⎛⎫⎛⎫∴+⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2154k =∴MN ====O MN d ==OMQN S MN d ∴=⋅==四边形19.【解析】（1），，2，3，…，所以，，2，3，…，记，则.作差得：，所以，.故.……（6分）（2）（ⅰ）所有可能的取值为：，.且对应的概率，.所以，又，所以.……（12分）（ⅱ），；，；，，，故.……（17分）()11566k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭1k =()56k k k P X k ⋅==1k =()21111512666nn k kP k n =⎛⎫=⨯+⨯++⨯ ⎪⎝⎭∑ 211112666n n S n =⨯+⨯++⨯ 2311111126666n n S n +=⨯+⨯++⨯ 1211111511111111661666666556616n n n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-⨯=-⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭- 611155566n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()16615556n nn k kP k S n =⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑116616()()lim ()lim 5565nn n n k k E X kP k kP k n ∞→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-+=⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑{}E ηξ∣{}i E x ηξ=∣1,2,,i n = {}{}()()()1ii i p E E x p x p x ηξηξξ=====∣∣1,2,,i n = {}()()()()()111111111[{}],,nnm n m i i j i j i j i j i i j i j i E E E x p x y p x y p x y p x y p x ηξηξ=====⎛⎫==⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∣∣()()()()21111111,,,n m m n mn mj i j j i j j i j j j i j j i j i j y p x y y p x y y p x y y p y E η=======⎛⎫⋅=⋅==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑{}E E E ηξη⎡⎤=⎣⎦∣{}01E E ηξη==+∣156p ={}12E E ηξη==+∣2536p ={}22E η==3136p ={}()()5513542122636363636E E E E E E ηηηηηξ⎡⎤==++++⨯=+⎣⎦∣42E η=。

2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析

2025届六安市一中高三数学上学期第三次月考试卷及答案解析

六安一中2025届高三年级第三次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（ ）A. 1B. 2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得2i z =-，进而可求模长.【详解】因为()i 12i 2i z =-+=-，所以z ==.故选：D.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若38304S a ==,，则9S =（ ）A. 54 B. 63C. 72 D. 135【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出2a ，再求出9S .【详解】等差数列{}n a 中，由330S =，得2123330a a a a =++=，解得210a =，而84a =，所以192899()9()6322a a a a S ++===.故选：B3. 已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b的夹角是（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】根据垂直得出向量的数量积，再由夹角公式计算即可.【详解】因为(1,b =，所以3b == ，由()()23a b a b +⊥- 可得()()2223325481850a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=，所以6a b ⋅=-，所以61cos ,432a b a b a b ⋅-===-⨯⋅，由[],0,πa b ∈ 知2π,3a b =，故选：C4. 在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（ ）A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由1(1)1-=-n n a q S q及通项公式11n n a a q -=，列出方程组求解即可.【详解】在等比数列{a n }中，13a =，48n a =，93n S =，所以1q ≠，由1(1)1-=-n n a q S q ，及通项公式11n n a a q -=，可得13(1)931483n n q q q -⎧-=⎪-⎨⎪=⎩，解得2,5q n ==.故选：B.5. 已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ）A. -15 B. -14C. -11D. -6【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.故选：A6. 已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP mAB AC =+，则AP AB ⋅=（ ）A.29B.19C.23D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意得89AP mAB AN =+，由,,P B N 三点共线求得19m =，利用向量数量积运算求解.【详解】13AN NC =，14AN AC ∴=u u u r u u u r ，且2899AP mAB AC mAB AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，而,,P B N 三点共线，819m ∴+=，即19m =，1299AP AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r ，所以o12122cos 6099999AP AB AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=+⨯= ⎪⎝⎭.故选：A.7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（ ）A. 552 B. 452 C. 92 D. 102【答案】B 【解析】【分析】根据给定的递推公式求出1a ，进而求出数列{}n a 通项，借助单调性求解即得.【详解】依题意，N n *∈，1024n n S a +=，则1512a =，当2n ≥时，111024n n S a --+=，两式相减得12n n a a -=，即112n n a a -=，因此数列{}n a 是以512为首项，12为公比的等比数列，于是1101512()22n n n a --=⨯=，显然数列{}n a 单调递减，当10n ≤时，1n a ≥，当11n ≥，1n a <，所以当9n =或10n =时，数列{}n a 的前n 项积最大，最大值为98720452222222⨯⨯⨯⨯⨯⨯= .故选：B8. 已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（ ）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得C 点轨迹是以A 为圆心，的圆，再由直线与圆相切可得ABC ∠的最大值为π4.【详解】根据1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=可得()22OC AC OA AC OC OA AC AC ⋅-⋅=-⋅== ，即可知C 点轨迹是以A的圆，如下图所示：由图可知，当BC 与圆相切时，ABC ∠取到最大，又2AB =可知此时π4ABC ∠=故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（ ）A. OA OB= B. OA OC⊥.C. AC BC= D. OB AC∥ 【答案】AB 【解析】【分析】根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A ，B ，C 三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，(),∴A a b ，()i ,z a b a b =-∈R ，(),B a b ∴-，()i i i i =+=-+z a b b a ，(),∴-C b a ，()()()()(),,,,,,,,,==-=------+==OA a b OB a b OC b a b a a b b a a b AC BC 对于A，=∴=OA O B ，故选项A 正确；对于B ， ()0-+= a b ba ，∴⊥OA OC ，故选项B 正确；对于C ，AC =，当0ab ≠时，AC BC ≠，故选项C 错误；对于D ，()()()222a a b b b a a ab b -----=-- ，222a ab b --可以为零，也可以不为零，所以OB 不一定平行于AC，故选项D 错误.故选:AB.10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当9n =时，n S 最大B. 使得0nS <成立的最小自然数18n =C. 891011a a a a +>+D. 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 【答案】ABD 【解析】【分析】利用,n n a S 关系及等差数列通项公式得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0判断A ；根据已知及A 项分析得81191090a a a a a +=+<<，进而确定()101189101189,a a a a a a a a +-++++的符号判断C ；根据A 、C 项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n 项和确定0nS <对应n 的最小值判断B ；根据以上分析确定n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭各项符号判断D.【详解】根据题意：S 8<S 9S 10<S 9⇒S 9−S 8=a 9>0S 10−S 9=a 10<0，即911018090a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩，两式相加，解得a 1>0d <0,a 9>0,a 10<0，当9n =时，n S 最大，故A 正确；由108S S <，可得91090a a a +<<，所以8110a a +<，故()10118910118940,0a a a a d a a a a +-+=<+++<，所以891011a a a a +<+，故C 错误；由以上可得：1213910110a a a a a a >>>>>>>> ，()117179171702a a S a +==>，而()()1181891018902a a S a a +==+<，当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；所以使得0nS <成立的最小自然数18n =，故B 正确.当9n ≤或18n ≥时0nn S a >；当918n <<时0n nS a <；由101117101112170,0a a a S S S S >>>>>>>>> ，所以n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a ，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误的是（ ）A. 当01q <<时，数列{}n d 单调递减B. 当1q >时，数列{}n d 单调递增C. 当12d d >时，数列{}n d 单调递减D. 当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由等差数列得(1)1n n a q d n -=+，然后在01q <<或1q >分别确定{}n d 的单调性判断AB ，进行讨论判断各选项．再由12d d <或12d d >确定q 的范围，从而确定{}n d 的单调性判断CD ．【详解】数列{a n }是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a q a a d n n +--==++，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+， 即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()111123a q a q q -->，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+， 即21111n q n n +<=+++，而 312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()()111123a q a q q --<，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：ABC【点睛】方法点睛：本题数列的单调性，解题方法是利用等差数列的定义确定n d 与q 的关系，利用此关系通过q 的范围确定{}n d 的单调性，同样根据12,d d 的大小确定q 的范围，再得单调性．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为______.【答案】91【解析】【分析】方法一：利用等比数列前n 项和性质即可求解；方法二：利用等比数列前n 项和的公式，代入计算即可求解.【详解】方法一：等比数列{}n a 中，2S ，42S S -，64S S -成等比数列，则2S ，29S ，281S 成等比数列，∴64281S S S -=，∴6291S S =，∴6291S S =.方法二：设{}n a 公比为q ，由题意显然0q >且1q ≠,所以()()42111110311a q a q q qq--=⋅⇒=--，∴()()616622211131911311a q S q S a q q---===---，故答案为：91.13. 已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为__________.【答案】2024【解析】【分析】利用数列{}n a 的周期性可得答案.【详解】因为11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，所以2123a a =+=，322321=-+=-+=-a a ，4321=+=a a ，542121=-+=-+=a a ，652123=+=+=a a ，L ，所以数列{}n a 是周期为4的周期数列，且123413114+++=+-+=a a a a ，所以()220241202443215062024+=⨯==+++++ S a a a a a a a .的故答案为：2024.14. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是__________.【解析】【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到2C A =、π03A <<，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为34sin 2sin A A -+，应用换元法及导数研究其最大值即可.【详解】由2cos c a A =，则sin 2sin cos sin 2C A A A ==，,(0,π)A C ∈，所以2C A =或2πC A +=，而πA B C ++=，且a b ≠，即A B ≠，所以2C A =，且03πA C A <+=<，即π03A <<，sin sin sin 3sin sin cos 2cos sin 2sin B A A A A A A A A∴-=-=+-2232sin (12sin )2cos sin sin sin 2sin 2(1sin )sin sin A A A A A A A A A A=-+-=-+--34sin 2sin A A =-+，令sin t A =∈，则3()42f t t t =-+，2()122f t t '=-+，当t ∈时()0f t '>，则()f t在上递增；当t ∈时()0f t '<，则()f t在上递减；故t =()f t 的极大值点，()f t ∴最大值为342-⨯+⨯=..四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=．的（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13n n a -=；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n na -=；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.16. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.（1）求角A ；（2）若3,2a BA AC BD DC =⋅==，求AD 的长.【答案】（1）2π3（2【解析】【分析】(1)变形后利用余弦定理可求；(2)先将2π3A =代入3BA AC ⋅= 可得6bc =，再将a =代入()22a c b b c -=+得2213b c +=，联立方程组解得,b c ，由此将向量AD 用,AB AC 表示，求解向量的模可得.【小问1详解】由()22a c b b c -=+得222b c a bc +-=-，则由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，0πA << ，2π3A ∴=.【小问2详解】由31cos 2BA AC A A bc A b B C c ⋅=-⋅=-== ，解得6bc =①，a = ，22219abc bc ∴=++=，则2213b c +=②，联立①②可得，2,3b c ==，或3,2b c ==.2BD DC = ，∴()2AD AB AC AD -=- ，则1233AD AB AC =+ ，且3AB AC ⋅=- ， 所以()()22222114441299AD AB AC AB AC c b =++⋅=+- ，当2,3b c ==时，2113(91612)99AD =+-= ，则AD当3,2b c ==时，2128(43612)99AD =+-= ，则AD .综上所述，AD .17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系式，结合等差数列的定义即可得证；（2）利用（1）中结论求得n a ，进而利用累乘法求得n b ，再利用裂项相消法求得n T ，从而得证.【小问1详解】因为*1122(2,N )n n n S S S n n +-+=+≥∈，所以*112(2,N )n n n n S S S S n n +--=-+≥∈，即1*(2,N )2n n a n a n +=+≥∈，又21312a a -=-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列.【小问2详解】由（1）知：()11221n a n n =+-⨯=-，则()222123n a n n +=+-=+，又21n n n n a b a b ++=，所以122123n n n n b a n b a n ++-==+，所以312112213332325272151n n n n n b b b b b n b b b b n n b n ---=⋅⋅⋅=⋅-⋅--⋅+9911(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以911111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 91912212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭.18. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.（1）求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.【答案】（1）证明见解析，()221n a n d =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1关于1,a d 的关系式，再利用题设条件得到关于1,a d 的方n a ，从而得解；（2）利用（1）中结论与完全平方公式求得92c ≤，再利用基本不等式检验92c =时的情况，从而得证.【小问1详解】由题意知：0d >(1)(1)n d n d =+-=+-，因为2132a a a =+，则233a S =，所以2133()S S S -=，则2212)]2)d a d +-=+，整理得210a d d -+=21,d a d ==，22(1),n d n d nd S n d =+-==，当2n ≥时，222221(1)(21)n n n a S S n d n d n d -=-=--=-，适合1n =情形.所以()221n a n d =-.【小问2详解】由m n k S S cS +>，得222222m d n d c k d +>⋅，则222m n c k +>⋅，所以222m n c k+<恒成立，又3m n k +=且m n ≠，,,m n k 正整数，所以22222()()9m n m n k +>+=，则22292m n k +>，故92c ≤，当92c =时，()2222222222999222m n k S S S m d n d k d k d m n mn ⎡⎤=+--⎢⎥+-⎣=+⎦-，22922d k mn ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由不等式可得3m n k +=≥，即294k mn ≤，当且仅当32m n k ==时，等号成立，而m n ≠，故294k mn <，为故092m n k S S S ->+，故c 的最大值为92.19. 已知函数()x f x e =.（1）当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；（2）若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；（3）设*2,n n ≥∈Nln n +> .【答案】（1）证明见解析（2）2e（3）证明见解析【解析】【分析】（1）不等式成立转换为函数最小值问题，利用导函数求得到点区间，从而得出最小值，不等式得证；（2）构建函数，利用导函数求得单调区间，从而找到最小值，由题意得到不等关系，再令所求代数式为函数，借助导函数求得最大值；（3）由（1()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，从而得证.【小问1详解】令e e ()2(0)x x g x x x -=--≥，所以()()1e 20e x x g x x '=+-≥，所以()e 2e 220x x g x -'=-+≥-=，当且仅当1e e 1ex x x =⇒=，即0x =时，等号成立，所以当[)0,x ∈+∞时，()()0,g x g x '≥单调递增，则()()00g x g ≥=；小问2详解】令()e x F x kx b =--，e ()x F x k '=-；由()0F x '>得出ln x k >；由()0F x '<得出ln x k <；min ()(ln )ln 0F x F k k k k b ∴==--≥；ln b k k k ∴≤-，23ln k b k k k ∴+≤-，令()3ln G k k k k =-，0k >；()2ln G k k '=-，【当20e k <<时，()0G k '>，()G k 单调递增，当2e k >时，()0G k '<，()G k 单调递减，所以2e 是的()G k 极大值点，22()(e )e G k G ∴≤=，2k b +的最大值为2e ；【小问3详解】由（1）知，()e 2e 0,0,x x x x ∞--->∈+，令ln (1)x s s =>，则12ln 0s s s --->，即12ln (1)s s s s ->>，设*2,s n n =≥∈N ，则满足1s >，->1ln 11n ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭，()ln ln ln 11n n n n ⎛⎫>=-- ⎪-⎝⎭，()ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln n n n +>-+-++--= ，ln n ++> .【点睛】方法点睛：不等式成立问题：（1）通过令两项的差为函数关系，再利用函数单调性求出函数的最值的方式来解决；（2）多项求和的不等关系的证明，可以先找到某一项的不等关系，再求和得到结论.。

河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第三次月考文科数学试题Word版含答案

河北省衡水市冀州中学2015届高三上学期第三次月考文科数学试题Word版含答案

冀州中学2015届高三上学期第三次月考数学试题（文）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合{}220M x x x =+-<，12,2x N x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭则MN =A ．(1,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(1,2)2. 在复平面内，复数21ii-对应的点的坐标为 ( ) A ．（-1，1） B.（1，1） C.（1，-1） D.（-1，-1）3．若sin601233,log cos 60,log tan 30a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．b a c >>4．关于函数x x x f ln 2)(+-= ，下列说法正确的是（ ） A. 无零点 B. 有且仅有一个零点 C. 有两个零点21,x x ，且0)1)(1(21>--x x D. 有两个零点21,x x ，且0)1)(1(21<--x x5．已知,,l m n 是三条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题为真命题的是A ．若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，α∥β，m β⊂，则l m ⊥C ．若l ∥m ，m α⊂，则l ∥αD ．若l α⊥，αβ⊥，m β⊂，则l ∥m6．已知数列{}n a 满足,2,011n a a a n n +==+那么2009a 的值是（ ） A ．20092 B ．2008×2007 C ．2009×2010D ．2008×20097. 以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++= 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（A ）180 （B ）200 （C ）220 （D ）2409．如图所示，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=，对角线相交于点,O P 是线段BD 的一个三等分点，则 AP AC ⋅u u u v u u u v等于( )A ． 1B ．2C ． 3D ． 410.若关于x 的不等式m m x x 29222+<++有实数解，则实数m 的取值范围是( )A.),2()4,(+∞⋃--∞B.(][)+∞⋃-∞-,24,C.)2,4(-D.(][)+∞⋃-∞-,42, 11. 已知{}n a 为等差数列，若15141a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取到最小正值时，n =（ ）A.14B.27C.28D.2912．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF BF ⊥,设6ABF π∠=，则该椭圆的离心率为 （ ）A B 1 C D ．1-二、填空题（每题5分，共20分）13．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 ．14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为 9，则输出S 的值为________．15.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当zxy 取得最小值时,x+2y-z 的最大值为__________16. 已知()2x f x =()x R ∈可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和，若不等式()()20a g x h x ⋅+≥对于[,]12x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分）（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值．18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD , AB=2,AA 1=2. （1）证明：AA 1⊥BD(2) 证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1; (3) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. 19．（本小题12分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个。

江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题

江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题

江苏省徐州高级中学2023届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．2017-2021年，普通本专科招生人数逐年增加．普通本专科招生人数在2017-2018年增长最多．2017-2021年，普通高中招生人数在普通本专科、中等职业教育及普通高中招生总人数中所占比例逐年下降．2017-2021年，中等职业教育平均招生人数大约为608万10．一般地，如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为mn，则以下结论正确的是（）．三棱锥的直度的最大值为1．直度为34的三棱锥只有一种．四棱锥的直度的最大值为1(2)若()0EF DB l l =>uuu r uuu r ，求平面ABF 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值的取值范围.20．随着5G 网络信号的不断完善，5G 手机已经成为手机销售市场的明星.某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G 手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：(1)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500元以下的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层抽样的方式提供了14部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，求这两人至少选择一部价位在3500~4500元的手机的概率；(2)该商场在春节期间推出为期三天的“中奖打折”活动，活动规则如下：在一个不透明的容器中装有一白一黄两个除颜色外完全相同的乒乓球，顾客每次限抽一球，抽完后放回容器中摇晃均匀后再抽取下一次.若抽中白球得2分，抽中黄球得1分，得分为9分或10分时停止抽取，其中得9分为中奖，享受标价打n 折（*N n Î）优惠，得10分则未中奖按标价购买.设得i 分的概率为i P （1i =，2，…，10），其中01P =.（i ）证明{}1ii P P--（10i <，且*N i Î）是等比数列；（ii ）假定厂家在出售手机时的标价为进价的2倍，则厂家至少打几折才不致亏损?21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR Ð=Ð.。

河南省鹤壁高中2011届高三第三次考试(数学文)

河南省鹤壁高中2011届高三第三次考试(数学文)

2010—2011学年度上期高三第三次考试数学试题（文）一、选择题（共12小题，每题5分）1.若集合2{1,},{2,4},A m B ==则“2m =”是“{4}A B ⋂=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知向量(1,1),(2,),a b n ==，若|a b +|=,a b 则实数n 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．3-D ．3 3.设1Z i =-（i 是虚数单位），则22Z Z+=（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --4.若曲线321()3f x x x mx =++的所有切线中，只有一条与直线30x y +-=垂直，则实数m 的值等于（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．35.若直线220(0,0)ax by a b +-=>>平分圆224260,x y x y +---=则12a b+的最小值是（ ）A．B．3+C ．2D ．56.函数10()82sin(),03kx x f x x x πωϕ+≤<⎧⎪=⎨+≤≤⎪⎩ -3 的图象如图所示，则,,k ωϕ分别是（ ）A ．11,,326k πωϕ===B ．11,,323k πωϕ===C ．3,2,6k πϖϕ===D ．3,2,3k πϖϕ===7、设a R ∈，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数'()y f x =是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（ ） A. 3y x =-B. 2y x =-C. 3y x =D. 2y x =8、给出右边的程序框图，那么输出的数是（ ）A. 2450B. 2550C. 5050D. 49009、在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n+==++，则n a =（ ）A.2ln n +B.2(1)ln n n +-C. 2ln n n +D. 1ln n n ++10、已知向量a ，b 满足||2||0=≠a b ，且关于x 的函数3211()||32f x x x x =++⋅a a b 在R 上有极值，则向量a,b 的夹角θ的取值范围为（ ） A. [0,)6πB. (,]6ππC. (,]3ππD. 2(,]33ππ11、设函数52,20()()log (2xx f x g x x x ⎧-≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩，若()f x 为奇函数，则当02x <≤时，()g x 的最大值为（ ）A.14B. 34-C.34D. 14-12、如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m （0<a<12）、4m ，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD 。

湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学答案解析

湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学答案解析

永州一中高三第三次月考数学试卷一、单选题1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．(M ∩P)∩SB ．(M ∩P)∪SC ．(M ∩P)∩SD ．(M ∩P)∪S【答案】C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合M,P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为(M ∩P)∩S ， 故选：C ．2．若z (1+i )=1−i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+i C ．–i D ．iA ．12 B ．−12C ．1D ．−1【答案】A【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为(a,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a +0−1=0，解得a =12．故选：A ．4．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为√1010．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ） （参考数据：√105≈1.58,√1010≈1.26）A ．0.57B ．0.59C ．0.61D ．0.63PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围是（ ） A ．[−5,3] B ．[−3,5]C ．[−6,4]D ．[−4,6]【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P (cosθ,sinθ)，表示出PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，因为PC =1，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设P (cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，所以PA⃑⃑⃑⃑⃑ =(3−cosθ,−sinθ)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−cosθ,4−sinθ)， 所以PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−cosθ)×(3−cosθ)+(4−sinθ)×(−sinθ) =cos 2θ−3cosθ−4sinθ+sin 2θ=1−3cosθ−4sinθ=1−5sin (θ+φ)，其中sinφ=35，cosφ=45，因为−1≤sin (θ+φ)≤1，所以−4≤1−5sin (θ+φ)≤6，即PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∈[−4,6]； 故选：D6．已知函数f(x)=2sinωxcos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω>0)在区间[−2π3,5π6]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ） A ．(0,35] B ．[12,35]C ．[12,52]D ．(0,52)A ．(0,2e ]B ．(0,e ]C ．[2e,+∞)D ．(e,2e ]8．已知双曲线x 2−a 2=1，若过点(2，2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率e 取值范围为（ ） A ．(√213，+∞) B ．(1，√213) C ．(1，√2) D ．以上选项均不正确【答案】D【分析】设切线方程为y −2=k(x −2)，代入双曲线方程后，方程应为一元二次方程，二次项系数不能为0，然后由Δ=0判别式得关于k 的方程，此方程有两个不等的实根，由此可得a 2的范围，从而求得e 的范围，注意满足二次项系数不为0的条件，即可得结论． 【详解】设切线方程是y −2=k(x −2)，由{y −2=k(x −2)x 2−y 2a 2=1 得(a 2−k 2)x 2+4k(k −1)x −4(k −1)2−a 2=0， 显然a 2−k 2=0时，所得直线不是双曲线的切线，所以k ≠±a ，二、多选题9．已知向量a=(1,sinθ),b⃑=(cosθ,√2)，则下列命题正确的是（）A．存在θ，使得a //b⃑B．当tanθ=−√2时，a与b⃑垂直2C．对任意θ，都有|a |≠|b⃑|D．当a⋅b⃑=−√3时，tanθ=√2事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A．P(A)=12B．事件A和事件B互为对立事件C．P(B|A)=12D．事件A和事件B相互独立11．在正方体ABCD−A1111中，点P满足BP1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则（）A．当λ=μ时，A1P//平面ACD1B．当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值C．当λ=1时，△PBD的面积为定值D．当λ+μ=1时，直线A1D与D1P所成角的范围为[π3,π2 ]【答案】ABD【分析】对于A选项，确定P点在面对角线BC1上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定P点在棱B1C1上，由等体积法，说明三棱锥P−A1BC的体积为定值；对于C选项，确定P点在棱CC1上，△PBD的底BD不变，高PE随点P的变化而变化；对于D选项，通过平移直线A1D，找到异面直线A1D与D1P所成的角，在正△D1B1C中，确定其范围.【详解】对于A选项，如下图，当λ=μ时，P点在面对角线BC1上运动，又P∈平面A1C1B，所以A1P⊂平面A1C1B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AB//C1D1且AB=C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，所以，AD1//BC1，∵AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，∴AD1//平面A1BC1，同理可证AC//平面A1BC1，∵AD1∩AC=A，所以，平面A1C1B//平面ACD1，∵A1P⊂平面A1BC1，所以，A1P//平面ACD1，A正确；对于B选项，当μ=1时，如下图，P点在棱B1C1上运动，三棱锥P−A1BC的体积V P−A1BC =V A1−PBC=13⋅S PBC⋅A1B1为定值，B正确；对于C选项，当λ=1时，如图，P点在棱CC1上运动，过P作PE⊥BD于E点，则S△PBD=12BD⋅PE，其大小随着PE的变化而变化，C错误；对于D选项，如图所示，当λ+μ=1时，P，C，B1三点共线，因为A1B1//CD且A1B1=CD,所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D//B1C，所以∠D1PB1或其补角是直线A1D与D1P所成角，在正△D1B1C中，∠D1PB1的取值范围为[π3,π2]，D正确.故选：ABD.12．已知函数f(x)=(ax+lnx)(x−lnx)−x2恰有三个零点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，则下列结论中正确的是（）A．1<a≤1+1e2−e B．1<a<1+1e2−eC．x1+x2>3−a D．x2+x3>2e2lnx=x三、填空题)6的展开式中常数项是__________（用数字作答）．13．(x2+2x【答案】240)6二项式展开通项，即可求得常数项.【分析】写出(x2+2x)6【详解】∵(x2+2x其二项式展开通项：T r+1=C6r⋅(x2)6−r⋅(2 x )r=C6r⋅x12−2r(2)r⋅x−r=C6r(2)r⋅x12−3r当12−3r=0，解得r=4∴(x2+2x)6的展开式中常数项是：C64⋅24=C62⋅16=15×16=240.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握(a+b)n的展开通项公式T r+1=C n r a n−r b r，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14．某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有_______种.【答案】840【分析】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，此时空位一共还剩3个，再将这三个分成一组、两组、三组讨论，利用分类计数原理计算可得答案.【详解】先假设每人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4人中间任意两人之间放进2个空位，此时空位一共还剩3个，若将这三个连在一起插入4人之间和两侧的空位上，有5种放法；若将这三个分成两组，一组两个，一组一个，插入4人之间和两侧的空位上，有A52种放法；若将这三个分成三组插入4人之间和两侧的空位上，有C53种放法，故不同的就坐方法为A44×(5+A52+C53)=840种.故答案为：840.15．已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+y2的最小值是_______．【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.16．在三棱锥P−ABC中，顶点P在底面ABC的投影为O，点O到侧面PAB，侧面PAC，侧面PBC的距离均为d，若PO=2d，AB=2．CA+CB=4，且△ABC是锐角三角形，则三棱锥P−ABC体积的取值范围为________．由AB=2,CA+CB=4可知，点C轨迹为以A，B为焦点的椭圆，a=2,c=1⇒b=√3，4√3√3√3四、解答题17．在①ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=√2,B=45°．（1）求sinC的值；，求tan∠DAC的值．（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45（2）[方法一]：两角和的正弦公式法在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=√5．当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得∠DAC 的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有∠DAC 的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.18．已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，前n 项和为S n ，且满足a 1+a 3=2q +1，S 3=3a 2+1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ={a n+1−a n ,n 为奇数3a n4a n2−5a n+1,n 为偶数 ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．(1)当F在线段BD上移动时，判断AC与EF是否垂直，并说明理由；(2)若AB=AC=BD=2，AD=√2，试确定点F在线段BD上的位置，使CF与平面ABD 所成角的正弦值为4√37．【答案】(1)AC⊥EF，理由见解析；(2)点F在线段BD上靠D点四等分点处．【分析】（1）证明AC⊥EF转化成证明AC⊥平面DEB；（2）先证得BE⊥DE，从而建立以E为原点的空间坐标系，利用空间向量求解即可．【详解】（1）证明：连接ED、EB，如下图所示，∵AD=CD且E为AC中点，∴DE⊥AC，在△DAB和△DCB中，{DA=DC∠ADB=∠BDCDB=DB，∴△DAB≌△DCB，∴AB=BC，∴BE⊥AC，∵DE∩EB=E，DE、EB⊂平面DEB，∴AC⊥平面DEB，又EF⊂平面DEB，∴AC ⊥EF ．（2）解：∵AC 2=4,AD 2+DC 2=4， 即AC 2=AD 2+DC 2， ∴△ADC 为直角三角形， 又E 是AC 的中点， ① DE =12AC =1，结合（1）知：可建立E 为原点，分别以EA ⃑⃑⃑⃑⃑ 、EB⃑⃑⃑⃑⃑ 、ED ⃑⃑⃑⃑⃑ 方向为x 、y 、z 轴的空间坐标系，则A(1,0,0)，D(0,0,1)，C(−1,0,0)， AD⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,1)， 结合（1）知△ABC 为等边三角形， ∴BE =2×√32=√3，∴B(0,√3,0)， ∴AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√3,0)， 设DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =λDB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ (0≤λ≤1)，F(x,y,z)， 则DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x,y,z −1)， DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,√3,−1)， ∴x =0,y =√3λ,z =1−λ， ∴F(0,√3λ,1−λ)， ∴CF⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,√3λ,1−λ)， 设n ⃑ =(1,y,z)为平面ABD 的法向量， 则{n ⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求最终剩余导弹数量X的分布列．【答案】(1)甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，详见解析；(2)（i）7；（ii）详见解析.32【分析】（1）根据题意分别计算不进入50 海里及进入50 海里时甲相对得分的期望值，进而即得；（2）（i）根据对立事件概率公式及独立重复事件概率公式即得；（ii）由题可得X的可能取值，然后分别计算概率，进而可得分布列.【详解】（1）由题可知，若不进入50 海里，甲相对得分的期望为0.2 × 10 = 2，若进入50 海里，甲相对得分的期望为0.5 × 0.8 × 10 + 0.5 × 0.6 × (−6) = 2.2，所以甲应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内；（2）（i）因为每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5，21．已知椭圆C:x28+y24=1，直线l：y=kx+n(k>0)与椭圆C交于M,N两点，且点M位于第一象限.(1)若点A是椭圆C的右顶点，当n=0时，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；(2)当直线l过椭圆C的右焦点F时，x轴上是否存在定点P，使点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在，P(4,0).【分析】(1) 联立直线方程和椭圆方程得(1+2k2)x2−8=0，由韦达定理可得x1,x2的关系，再由k AM⋅k AN=y1x1−2√2⋅y2x2−2√2计算即可得证；(2)由题意可得直线l的方程为y=k(x−2)，联立直线方程与椭圆方程得(1+2k2)x2−8k2x+8(k2−1)=0，由韦达定理x3,x4之间的关系，假设存在满足题意的点P，设P(m,0)，由题意可得k PM+k PN=0.代入计算，如果m有解，则存在，否则不存在.（1）证明：因为n=0，所以直线l：y=kx，联立直线方程和椭圆方程：{y=kxx2+2y2−8=0，得(1+2k2)x2−8=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则有x1+x2=0,x1x2=−81+2k2，所以y1y2=k2x1x2=−8k21+2k2，故x轴上存在定点P(4,0)，使得点F到直线NP的距离与点F到直线MP的距离相等.22．已知函数f(x)=e x−ax e+1在(1,f(1))处的切线过点(0,e)，a为常数．(1)求a的值；(2)证明：f(x)≥x e(1−elnx)．【答案】(1)a=1(2)证明见解析.【分析】（1）先对函数求导，然后求出f′(1)和f(1)，再由题意可得f′(1)=e−a(e+1)=f(1)−e1−0，从而可求出a的值；（2）根据题意将问题转化为e x−elnx−(x−elnx)−1≥0，令t(x)=x−elnx,x∈(0,+∞)，利用导数可得t(x)≥0恒成立，令ℎ(t)=e t−t−1,t≥0，再利用导数可得ℎ(t)取得最小值0，从而可证得结论.【详解】（1）由f(x)=e x−ax e+1，得f′(x)=e x−a(e+1)x e+1，所以f′(1)=e−a(e+1)，f(1)=e−a，因为f(x)=e x−ax e+1在(1,f(1))处的切线过点(0,e)，所以f′(1)=e−a(e+1)=f(1)−e1−0，所以e−a(e+1)=e−a−e1−0=−a，解得a=1，（2）证明：要证f(x)≥x e(1−elnx)，即证e x−x e+1≥x e(1−elnx)，即证e x−x e+1−x e(1−elnx)≥0，即证e xx e−x−(1−elnx)≥0，因为x e=e elnx，所以即证e x−elnx−(x−elnx)−1≥0，令t(x)=x−elnx,x∈(0,+∞)，则t′(x)=1−ex =x−ex，当0<x<e时，t′(x)<0，当x>e时，t′(x)>0，所以t(x)在(0,e)上递减，在(e,+∞)上递增，所以t(x)min=t(e)=0，所以t(x)≥0恒成立，令ℎ(t)=e t−t−1,t≥0，则ℎ′(t)=e t−1≥0，所以ℎ(t)在[0,+∞)递增，所以当t=0时，ℎ(t)取得最小值0，所以原不等式成立.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题的关键是根据题意将问题转化为e x−x e+1−x e(1−elnx)≥0，再次转化为e x−elnx−(x−elnx)−1≥0，然后通过两次构造函数，利用导数可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

湖北黄冈中学高三数学第三次模拟考试(文)

湖北黄冈中学高三数学第三次模拟考试(文)

湖北省黄冈中学2008届高三年级第三次模拟考试数学试题（文科）本试卷满分共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )24R S π=（其中R 表示球的半径）如果事件A 、B 相互独立，那么 球的体积公式P (A ·B )=P (A )·P (B ) 334R V π=球（其中R 表示球的半径）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数cos cos y x =(2x π+)(x ∈R ), 则函数是 （ ） A ．周期为π的奇函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数2．若向量(3,1),AB =-(2,1),n = 且⋅=⋅那么,7的值为（ ）A ．—2B ．0C ．2D ．22-或3．已知b a >，则下列不等式中正确的是 （ ）A ．11a b< B ．22a b >C ．a b +≥D ．ab b a 222>+4．等差数列{a n }的前n 项和是n S ，若520S =，则234a a a ++= （ ）A ．9B ．12C ．15D ．185．,,m n l 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中的真命题是 （ ）A ．若,m n 与l 都垂直，则m nB ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥C ．若m α ，//m n ，则n αD ．若γ与平面,αβ所成的角相等，则//αβ6则样本在(]50,70上的频率为 （ ）A ．1332B ．1532C ．12D ．17327．过点P （-1，1）的直线l 与圆2240x y x ++=相交于A 、B 两点，当|AB |取最小值时，直线l 的斜率k 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．1-8．北京奥组委志愿部准备将新招选来的3名志愿者安排到六个奥运比赛项目的后勤小组去服务,则这3名志愿者恰好有2人安排在同一个小组的概率是 （ ）A ．15B ．524C ．512D ．10819．设0A >，0ω>，02φπ<≤，函数()sin(),f x A x ωφ=+()sin(2),g x A x ωφ=+则函数()f x 在区间(,)32ππ内为增函数是函数()g x 在区间(,)64ππ内为增函数的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．平面α的斜线AB 交α于点B ，斜线AB 与平面α成30 角，过定点A 的动直线l 与斜线AB 成60 的角，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上）11．在7)2(xx -的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答）12．函数()13x f x -=+的反函数为()1f x -，则()110f -= .13．从0，1，2，3，4，5六个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，这些三位数中，奇数的个数是 .（用数字作答）.14．设1010330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩,,,≥≥≤则函数22z x y =+取最小值时，x y += .15．如图, 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且2AB AC AD ===，则AD 两点间的球面距离 .三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，已知内角,3A π=边BC =B=x ，三角形ABC 的面积为S . （Ⅰ）试用x 表示AB 边的长； （Ⅱ）求面积S 的最大值.17．（本小题满分12分）一批产品成箱包装，每箱6件. 一用户在购买这批产品前先取出2箱，再从取出的每箱中抽取2件检验. 设取出的第一、二箱中二等品分别装有1件、n 件，其余均为一等品. （Ⅰ）若n =2，求取到的4件产品中恰好有2件二等品的概率； （Ⅱ）若取到的4件产品中含二等品的概率大于0.80，用户拒绝购买，求该批产品能被用户买走的n 的值. 18．（本小题满分12分）已知S n 是首项为a 的等比数列{a n }的前n 项和，S 4、S 6、S 5成等差数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若9a =，n n b na =，数列{b n }的前n 项和T n ，求T 10 ．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，190,22ACB AC AA BC ∠==== . （Ⅰ）若D 为AA 1中点，求证：平面B 1CD ⊥平面B 1C 1D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长.20．（本小题满分13分）设32()f x ax bx cx =++的极小值为2-,其导函数'()y f x =的图像是经过点(1,0),(1,0)-开口向上的抛物线,如图所示． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若m ≠2-，且过点（1，m ）可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P . （Ⅰ）当1m =时，求椭圆的方程及其右准线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，经过点2F 的直线l 与抛物线1C 交于12A A 、，如果以线段12A A 为直径作圆，试判断抛物线1C 的准线与椭圆2C 的交点12B B 、与圆的位置关系； C 11A 1 BAD C（Ⅲ）是否存在实数m，使得△PF F的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；12若不存在，请说明理由．Array参考答案一、选择题1．A2．C3．D4．B5．B6．Ｂ7．D 8．C9．A 10．D二、填空题11．14- 12．2- 13．48 14．１ 15．23π三、解答题16．解：（Ⅰ）由ABC ∆为锐角三角形可知.62x ππ<<因为2sin sin()sin .3C B A x ππ⎛⎫=--=-⎪⎝⎭……（2分）应用正弦定理，知22sin sin()4sin().sin 33sin 3BC AB C x x A ππ=⋅=-=-……（5分）（Ⅱ）由1sin 2S AB BC B =⋅⋅⋅，知2sin ().362S x x x πππ⎛⎫=⋅-<<⎪⎝⎭……（7分）因为211cos2sin )6sin cos 3sin 222xS x x x x x x x -=+=+=+3sin 2)6x x x π=+=-（10分）又因为62x ππ<<，所以52.666x πππ<-<所以，当2,623x x πππ-==即时，S取最大值………………（12分）17．解：设A i 表示事件“第一箱中取出i 件二等品”，其中i =0, 1；B j 表示事件“第二箱中取出j 件二等品”，其中j =0, 1, 2, （Ⅰ）依题意，所求概率为分692)()()()()()(261244262526222625112011201 =⋅+⋅=+=+=C C C C C C C C C B P A P B P A P B A P B A P P（Ⅱ）依题设可知001()0.80P A B -≤，即54126262625≤⋅--C C C C n， ∴211210n n -+≥，又由题设可知06,n ≤≤ 且.n ∈N故n =0, 1或2. ……（12分）18．解：设数列{a n }的公比为q ，由S 4、S 6、S 5成等差数列，得S 4+S 5=2S 6 .若q =1，则S 4=4a ，S 5=5a ，S 6=6a . 由a ≠0，得S 4+S 5≠2S 6，与题设矛盾，所以q ≠1.…（3分）由S 4+S 5=2S 6，得456(1)(1)2(1).111a q a q a q q q q----=--- 整理得q 4+q 5=2q 6. 由q ≠0，得1+q =2q 2，即12q =-.因此所求通项公式为11.2n n a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可知n n b na ==11.2n na -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭∴012910111191()2()3()10()2222T ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-⎢⎥⎣⎦. 由错位相减法求得1063.16T =………（12分） 19．解法一：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥， 又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1. ∴11B C CD ⊥……①……（2分）由D为中点可知，1DC DC =22211DC DC CC += 即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面B 1C 1D ，又CD ⊂平面B 1CD ，故平面1B CD ⊥平面B 1C 1D . ………………（6分） （Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图， 在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，由三垂线定理可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角，∴1160.B EC ∠=……（8分）由B 1C 1=2知，1C E =，设AD=x，则DC = EC 1B 1A 1 BADC∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD =…………（12分）解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）. 即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC B C CD B C CD 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C = ，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ， ∴平面1B CD ⊥平面B 1C 1D . ………………（6分）（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =.则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令得(,1,1)m a =-，又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n = ，则由212160cos 2=+⇒=a ，即a =，故AD =………………（12分）20．解：（Ⅰ）2'()32f x ax bx c =++ ，且'()y f x =的图像经过点(1,0),(1,0)-,∴2(1)1033(1)13b b ac c a a ⎧-+=-⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩，∴3()3f x ax ax =-，……（3分）由导函数图像可知函数()y f x =在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减， 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)32f x f a a ==-=-极小值，解得1a = . ∴3()3f x x x =-. ……（6分）（Ⅱ）设切点为（x 0, y 0），由题设知x 0≠1，则切线斜率可表示为1m y k x -=-和0()k f x '=，所以2000331m y x x -=--，又30003y x x =-，即3320000033333m x x x x x -+=-++-， ∴320002330(1)x x m x -++=≠，要有三条切线，则上述关于x 0的方程应有三个不同的实数根. ……（9分）令32000233g x x x m x R =-++∈()()，则要0()g x 与x 轴有三个交点（且交点坐标01x ≠），即0()g x 的极大值与极小值的乘积小于零，由2000()660g x x x '=-= 得00,x = 或0 1.x =且当0(,0)x ∈-∞和0(1,)x ∈+∞时0()0g x '>；当0(0,1)x ∈时，0()0g x '<， ∴0()g x 在x 0=0, x 0=1处分别取得极大值m +3和极小值m +2.由(3)(2)032m m m ++<⇒-<<-，（此时显然有x 0=1不可能是方程的根） 故m 的取值范围是（-3，-2）. ……（13分）21．解：（Ⅰ）设椭圆长半轴为a ，半焦距为c ，当1m =时，1(1,0)F -，2(1,0)F .∵11,2c e ==，∴2222,3a b a c ==-= 故椭圆方程为22143x y +=，右准线方程为 4x = ………………………（4分） （Ⅱ）依题意设直线l 的方程为：1x ky =+，k ∈R 将1x ky =+代入24y x =得2440y ky --=.设111222(,),(,)A x y A x y ，由韦达定理得12124,4y y k y y +==-.由椭圆和抛物线的对称性，只要判断12B B 、中一点即可. 不妨取13(1,)2B -, ∵1111122233(1,),(1,)22B A x y B A x y =+-=+- ,∴221122121212123993()1()464().2444B A B A x x x x y y y y k k k ∙=++++-++=-+=-因为k ∈R,于是11120B A B A ∙≥,即点1B 在圆上或圆外,故点12B B 、在圆上或圆外. (也可利用先抛物线的定义证明圆与抛物线的准线相切，后说明点与圆的位置关系；或利用弦长公式求半径与点1B 到圆心的距离比较大小)……………………（9分） （Ⅲ）假设存在满足条件的实数m ， 由题设有12,2,c m a m F F ===又设1122,PF r PF r ==， 有1224r r a m +==设00(,)P x y ，对于抛物线1C ，20r x m =+；对于椭圆2C ，22012r e a x c==-，即201(4)2r m x =-. 由001(4)2x m m x +=- 解得 023x m =, ∴253r m =, 从而 173r m =. 因此，三角形12PF F 的边长分别是567,,333m m m .所以3m 时，能使三角形12PF F 的边长是连续的自然数. …………（14分）。

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绝密★启用前
邻水县九龙中学2014届高三（上）第三次月考试题
数学（文科）
（考试时间：120分钟）
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第I卷（试卷）1至2页，第Ⅱ卷3至4页，请将
答案正确地填写在答题卷上
第I卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项
中，只有一个是符合题目要求的）
1、若集合A＝［2,4］，集合B＝［1,4］，则
A、［1,2］
B、{1，2}
C、［1,2）
D、（1,2］
2、定义运算，则函数
的最小正周期为（）
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．
3、已知命题p ： ∀x R ∈，2x >0，则
A 、非p ：∃x R ∈，02<x
B 、非p ：∀x R ∈，02≤x
C 、非p ：∃x R ∈，02≤x
D 、非p ：∀x R ∈，02<x 4
、
若
tan =3，则 的值等于
A 、6 B. 4 C. 3 D. 2
5、设2)(2-=e x f ，则函数)(x f 的零点位于区间
A 、(—1, 0)
B 、(0 ,1)
C 、(1, 2)
D 、(2 ,3)
6、将函数的图象向左平移
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A、B、
C、
D、
7、若函数的值域为
，则
的取值为( )
A、B、
C、
D 、
8、函数ln ||y x x =的图象大致是
A
B
C D
9、已知函数()e e
x
x
f x m -=-，若()23f x '≥m 的取值范围是
A 、[0,)+∞
B 、[2,)+∞
C 、[3,)+∞
D 、(,3]-∞
10、定义在[0，1]上的函数)(x f 满足)(2
1
)5(,1)1()(,0)0(x f x f x f x f f ==-+=，
且当 1021≤<≤x x 时，)2013
1
().()(21f x f x f 则≤等于
A 、21
B 、161
C 、321
D 、64
1 二、填空题（每小题5分，共25分）
11、函数y=)13lg(+x 的定义域是 __________
12、已知3cos 2θ=，则44sin cos θθ-的值为 . 13、已知变量x ，y 满足约束条件
则z ＝2x ＋y 的最大值为 .
14、已知定义在R 上的函数()y f x = 满足条件3()()2
f x f x +=-，且 (1)=2014f ，则(2014)=f ________.
15、在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如果函数()f x 的图象恰好通过k （*k ∈N ）个整点，则称()f x 为k 阶整点函数．给出下列函数：①()cos f x x =；②2()(1)f x x π=-；③21()()3
x f x -=；④0.6()log (1)f x x =+；⑤1()1f x x =-. 其中是1阶整点函数的序号有______________.（只填序号） 三、解答题（本大题6小题，共75分，解答题应写出必要文字的说明、证明过程或演
算步骤）
16、（本小题12分）设向量m (cos α=，1)，n (sin α=，2)，且m ∥n ，其中(0)2
π
α∈,. （Ⅰ）求sin α； （Ⅱ）若3sin()5αβ-=，(0)2π
β∈，，求cos β. ▲
17、（本小题12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,2A πϕ><）的图象 如图所示．
(1) 求函数()f x 的解析式；
(2)求()f x 的单调区间．
▲
18、（本小题12分）已知函数
（I ）函数f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线方程为y ＝2x ＋b ，
求a ，b 的值；
（II ）若f （x ）≥0对任意x ＞0恒成立，求a 的最小值。

▲
19、（本小题12分）已知函数2
1cos 2sin 23)(2--=x x x f ，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足3c =，
()0f C =且sin 2sin B A =，求a 、b 的值.
▲
20、（本小题13分）已知函数()log (3)a f x ax =-．
(1) 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； (2) 是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]2,3上为增函数，并且()
f x 的最大值为1．如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
21、（本小题14分）已知函数),(,)(R x R k kx e x f x ∈∈-=
（Ⅰ）若,e k =试确定函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若0>k ，且对于任意0≥x ，0)(>x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）令,ln 2)(x e x g x -=若至少存在一个实数[]e x ,10∈，使)()(00x g x f <成
立，求实数k 的取值范围。

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