立体几何专题二-存在性问题讲义

得
n1 3
n3
0 3
， 0
又平面 OAC 的法向量为 e (0,1, 0) .cos
n,e (1, 3,1) (0,1,0)
3
.
5 1
5
二面角 O AC B 的平面角是锐角，记为 ，则 cos 15 5
例 4、如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，AB= 3 ，BC=1，PA=2，E 为
AQ

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（2）连接 PNPO ， 由 OC OA， OC OB 知： OC 平面OAB .
又 ON 平面OAB ， OC ON 又由 ON OA ， ON 平面AOC .
又 AC 平面AOC ,ON AC 又 P 是 AC 的中点, OA OC
化简得 0.
3x 1 2
0.
∴
x
3 6
z 1
即 N 点的坐标为 (
3 ,0,1) ，从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1，
3
.
6
6
解法 2：（Ⅰ）设 AC∩BD=O，连 OE，则 OE//PB， ∴∠EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角.
在△AOE 中，AO=1，OE= 1 PB 7 ,
AE
0,
m AF 0,
3x1 0,
因此
3 2
x1
1 2
y1 z1
0.
取 z1 1,则m (0, 2, 1),

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因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面 AFC，
而平面 ABA1 的法向量 n2 =(1,0,0)，则 cos n1, n2
n1 n2 n1 n2
2 2 5 55
故二面角
P
AB
A1 的平面角的余弦值是
25 5
．
………………14 分
例 2．如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，PA⊥平面 ABCD，ABC 60 ，E，F 分别是 BC, PC
（Ⅱ）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x，O，z），
则 NE (x, 1 ,1 z) ，由 NE⊥面 PAC 可得， 2
NE AP 0, NE AC 0.
即( x, ( x,
1 2 1 2
,1 ,1
z) z)
(0,0,2) 0,
z 1 0,
(
3,1,0)
AC OP,OP ON O , AC 平面PON , PN 平面PON , AC PN , OPN 为二面角 O AC B 的平面角
在等腰 RtCOA中， OC OA 1，OP 2 2
在 RtAON 中， ON OA tan 30
3 ， 在 RtPON 中, PN
OP2 ON 2
(1)设 P 为 AC 的中点，证明：在 AB 上存在一点 Q ，使 PQ OA ，并计算 AB 的值； AQ
C
(2)求二面角 O AC B 的平面角的余弦值.
P
B
O
解法一：（1）在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N ，连接 NC .
A
图3
又 OA OC ，OA 平面ONC ，
热点问题主要有证明点线面的关系，如点共线、线共点、线共面问题；证明空间线面平行、垂直
关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，
使几何问题代数化等等。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能
力，侧重于空间线面位置关系的定性与定量考查，算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语
课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
一、考点分析
高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力，在推理中兼顾考查逻辑思维能力，解决立体几
何的基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，
故 BD 为平面 AFC 的一法向量.
又 BD =（ 3, 3, 0 ），所以 cos＜, BD ＞= m BD 2 3 15 . | m | | BD | 5 12 5
因为二面角 E-AF-C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为 15 . 5
例 3、如图 3，在四面体 ABOC中, OC OA,OC OB, AOB 1200 ，且 OA OB OC 1.
2
2
AE 1 PD 5 ,
2
2
∴ cosEOA
1 7 5 44
3
7.
2 7 1 14
2
37
即 AC 与 PB 所成角的余弦值为
.
14
（Ⅱ）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则 ADF . 6
连 PF，则在 Rt△ADF 中 DF AD 2 3 , AF AD tan ADF 3 .
PD 的中点. （Ⅰ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE⊥面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.
解法 1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A（0，0，0）、
B（ 3 ，0，0）、C（ 3 ，1，0）、D（0，1，0）、 1
例 5、如图，已知平面 ∥平面β∥平面γ，且β位于 与γ之间．点 A、D∈ ，C、F∈γ，
3．距离： d | AB n | （在两者之间各取一点 A 与点 B， n 是法向量） |n|
3.解决有关垂直问题的方法：
（1）．线线垂直： a b 0
（2）．线面垂直： a n 0 （ a 是直线的方向向量， n 平面法向量）
教学 过程
（3）．面面垂直： n1 n2 0 四、实例解析
NC 平面ONC ， OA NC . 取 Q 为 AN 的中点，则 PQ// NC ，
PQ OA ，
在等腰 AOB 中， AOB 120 ，
OAB OBA 30 ， 在 RtAON 中， OAN 30 ，ON 1 AN AQ ，
2 在 ONB 中， NOB 120 90 30 NBO ， NB ON AQ. AB 3 ，
三、方法与技巧（空间向量的应用）
1．异面直线所成的角
设 a、b 是异面直线， AB、EF 分别是直线 a,b 上的向量，则异面直线 a,b 所成的角与 AB、EF 的
夹角的余弦值的绝对值相等. 2.二面角：求两平面法向量的夹角与其夹角的补角

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P（0，0，2）、E（0， ，1），
2 从而 AC ( 3,1,0),PB ( 3,0,2).
设 AC与PB 的夹角为θ，则
cos AC PB 3 3 7 , | AC | | PB | 2 7 14
37
∴AC 与 PB 所成角的余弦值为
.
14

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……………8 分
设平面 P AB A1 的法向量为 n1 x, y, z ，
则 n1
AP 0
,
n1 AB 0
x 3y 2z 0
即
2y 0

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令 z 1
故 n1 2，0，1
……………11 分
cos ADF 3
3
设 N 为 PF 的中点，连 NE，则 NE//DF， ∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面 PAC，从而 NE⊥面 PAC.
∴N 点到 AB 的距离 1 AP 1，N 点到 AP 的距离 1 AF 3 .
2
2
6

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的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD；
6
（Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ，
2
求二面角 E—AF—C 的余弦值.
解：（Ⅰ）证明：由四边形 ABCD 为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC 为正三角形.
因为 E 为 BC 的中点，所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD，因此 AE⊥AD.
言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生对图形的识别、理解和加工能力；解答
题则一般将线面集中于一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问形式以证明
或计算为主。
教学 过程
二、热点题型范例
题型一、平行与垂直的证明； 题型二、空间角与距离；
题型三、探索性问题
题型四、折叠、展开问题；
题型五、表面积与体积问题

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PQ OA, PQ OA 0 即 1 3 0 ， 1 .
22
3
所以存在点 Q( 1 , 3 , 0) 使得 PQ OA 且 AB 3 .
26
AQ
（2）记平面 ABC 的法向量为 n (n1, n2 , n3 ) ,则由 n CA ， n AB ，且 CA (1, 0, 1) ，
并求出二面角 P AB A1 的平面角的余弦值．
解：（1）如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，
C
A
B
C1
则 C 2，0，0，B0，2，0，A1 0，2，2，B1 0，4，2 ， AA1 0，2，2 ， BC B1C1 2， 2，0 ．