对数公式的运算
对数的运算法则及公式是什么
对数的运算法则及公式是什么在数学中，对数是指一个数以另一个数为底的指数。
对数的运算法则和公式是数学中对数运算的基本准则和表达方式。
本文将重点介绍对数的运算法则及公式。
一、对数的定义和符号对数是指数的逆运算，主要用于求指数运算的未知数。
以底数为a，对数为n的运算表达为：a^n = x，其中n为指数，a为底数，x为真数。
对数的符号为log。
例如，对于底数为2的对数运算：2^3 = 8，可以表示为log2(8)=3。
其中，2为底数，3为指数，8为真数。
二、对数运算法则1. 对数的基本运算法则(1) 乘法法则：loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) 除法法则：loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
(3) 幂运算法则：loga(M^k) = k*loga(M)。
(4) 开方法则：loga√M = 1/2 * loga(M)。
2. 对数换底公式对数换底公式是指当底数不同时，如何在不同底数之间进行换算。
常用的对数换底公式有以下两种形式：(1) loga(M) = logc(M) / logc(a)，其中c为任意常数。
(2) loga(M) = ln(M) / ln(a)，其中ln表示自然对数。
三、对数公式1. 对数幂的对数公式对数幂的对数公式是指对数运算中底数为幂的情况，常用的对数幂的对数公式有以下两种形式：(1) loga(a^k) = k，其中k为任意常数。
(2) loga(1) = 0。
2. 对数的乘法公式对数的乘法公式是指对数运算中底数相同，真数相乘的情况。
常用的对数的乘法公式有以下两种形式：(1) loga(M*N) = loga(M) + loga(N)。
(2) loga(a) = 1。
3. 对数的除法公式对数的除法公式是指对数运算中底数相同，真数相除的情况。
常用的对数的除法公式有以下两种形式：(1) loga(M/N) = loga(M) - loga(N)。
对数运算法则(自然对数ln的运算)
对数运算法则(自然对数ln的运算)Ln的运算法则：（1）ln（MN）＝lnM ＋lnN（2）ln（M／N）＝lnM－lnN（3）ln（M＾n）＝nlnM（4）ln1＝0（5）lne＝1注意：拆开后，M，N需要大于0。
自然对数以常数为底数的对数。
记作lnN(N>0)。
扩展资料有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f （x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数log对数函数基本十个公式？以下是常用的log对数函数的十个基本公式：loga(1) = 0：任何正数的1次幂都等于1，因此loga(1)等于0。
loga(a) = 1：对数函数是幂函数的反函数，因此loga(a)等于1。
loga(ab) = loga(a) + loga(b)：对数函数具有加法性，即对数函数中两数之积的对数等于这两个数分别取对数后相加。
loga(a/b) = loga(a) - loga(b)：对数函数具有减法性，即对数函数中两数之商的对数等于这两个数分别取对数后相减。
loga(an) = n：对数函数中a的n次幂的对数等于n。
a^(loga(x)) = x：对数函数是幂函数的反函数，因此a的loga(x)次幂等于x。
loga(x·y) = loga(x) + loga(y)：对数函数具有乘法性，即对数函数中两数之积的对数等于这两个数分别取对数后相加。
loga(x/y) = loga(x) - loga(y)：对数函数具有除法性，即对数函数中两数之商的对数等于这两个数分别取对数后相减。
对数的运算法则及公式
对数的运算法则及公式对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术、经济金融等领域中都有广泛的应用。
对数的运算法则能够帮助我们简化计算并解决一些复杂的问题。
在本文中，我们将讨论对数的运算法则及公式，包括基本法则和常用公式。
一、对数的基本法则1.对数的定义对任意正数a和正数b，以a为底，b为真数的对数记作loga b，其中a被称为底数，b被称为真数。
公式的意义是以a为底，对数值得到b。
例如，如果2^3 = 8，那么log2 8 = 32.对数的换底公式对数的换底公式是loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个公式可以用来将对数的底数从一个常用的底数转换为另一个常用的底数。
例如，要计算log2 16，可以使用换底公式将其转换为log10 16 / log10 23.对数的乘法法则对数的乘法法则是loga (b * c) = loga b + loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的乘法可以转换为对数的加法。
4.对数的除法法则对数的除法法则是loga (b / c) = loga b - loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的除法可以转换为对数的减法。
5.对数的幂法法则对数的幂法法则是loga (bn) = n * loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1，n为任意实数。
这个法则说明，对数中的幂运算可以转换为对数的乘法。
6.对数的倒数法则对数的倒数法则是loga (1/b) = -loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的倒数可以转换为对数的相反数。
7.对数的幂运算法则对数的幂运算法则是a^loga x = x，其中a、x为正数，且a不等于1、这个法则说明，一个数的对数值乘以底数的指数幂等于这个数本身。
二、常用的对数公式1.常用对数公式常用对数公式是以10为底的对数函数，记作lg x。
对数公式的计算方式
对数公式的计算方式一、引言对数公式是数学中常用的一种运算方式，它可以将指数运算转化为对数运算，使得复杂的计算变得简单和便捷。
本文将重点介绍对数公式的计算方式及其应用。
二、对数公式的定义对数公式是数学中用来描述指数运算与对数运算之间关系的一种公式。
对数公式的定义如下：若a^x = b，其中a为底数，x为指数，b为真数，则称x为以a 为底b的对数，记作x = loga(b)。
1. 常用对数计算方式常用对数的底数为10，常用对数的计算方式为：若10^x = b，则x = log10(b)，简写为x = log(b)。
2. 自然对数计算方式自然对数的底数为e（欧拉常数），自然对数的计算方式为：若e^x = b，则x = ln(b)。
3. 对数公式的换底公式对数公式中，当底数不为10时，可以通过换底公式将对数转化为常用对数或自然对数。
对数的换底公式如下：若a^x = b，则x = loga(b) = log10(b) / log10(a)。
四、对数公式的应用1. 对数公式在指数运算中的应用对数公式可以将复杂的指数运算转化为简单的对数运算，从而简化计算过程。
例如，若要求解方程2^x = 8，可以通过对数公式将指数运算转化为对数运算：2^x = 8 可转化为 x = log2(8)。
利用换底公式，可得 x = log10(8) / log10(2) = 3。
2. 对数公式在科学计算中的应用对数公式在科学计算中有广泛的应用。
例如，在天文学中，对数公式可以用来计算星等，即天体的亮度。
星等的计算公式为：m = -2.5 * log(I / I0)，其中m为星等，I为天体的亮度，I0为参考亮度。
3. 对数公式在经济学中的应用对数公式在经济学中也有重要的应用。
例如，在经济增长模型中，经济增长率的计算可以通过对数公式来实现。
经济增长率的计算公式为：g = (ln(Yt) - ln(Yt-1)) / (t - t-1)，其中g为经济增长率，Yt为当前期的产出，Yt-1为上期的产出，t 为时间。
对数函数运算法则公式
对数函数运算法则公式一、什么是对数函数对数函数，又称为指数函数，是一类常见的数学函数，它可以用来表达不同系数的多次方之间的关系。
它的基本形式为y=loga x (a>0, a≠1)，其中 a 为底数，x 为真数，y 为对数。
二、对数函数运算法则1. 同底数相加/减法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1+y2=loga x+loga m =loga (xm)y1-y2=loga x-loga m =loga (x/m)2. 同底数乘/除法则：若 y1=loga x，y2=loga m，则有：y1*y2=loga x*loga m =loga (x^m)y1/y2=loga x/loga m =loga (x^(1/m))3. 相乘/除法则：若 y1=loga x，y2=logb m，则有：y1*y2=loga x*logb m =loga (x^b)y1/y2=loga x/logb m =loga (x^(1/b))4. 幂函数的对数运算法则：若 y=ax，则有：loga y=x*loga a5. 指数函数的对数运算法则：若 y=a^x，则有：loga y=x*loga a6. 反函数的对数运算法则：若 y=f-1(x)，则有：loga y=loga f-1(x)=loga x7. 同余式的对数运算法则：若y=a^x ≡ b^x mod c，则有：loga y=x*loga a ≡ x*loga b mod c三、总结以上就是关于“对数函数运算法则公式” 的详细介绍，它是一类常见的数学函数，可以用来表达不同系数的多次方之间的关系，它有 7 种运算法则，即同底数相加/减法、同底数乘/除法、相乘/除法、幂函数的对数运算法则、指数函数的对数运算法则、反函数的对数运算法则以及同余式的对数运算法则。
对数运算法则及推论
对数运算法则及推论一、对数运算法则：1. 对数乘法法则：logb(xy) = logb(x) + logb(y)这个法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
可以通过将乘积拆分为两个因子的方法来证明这个法则。
2. 对数除法法则：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)这个法则表明，两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
在这个法则中可以应用对数乘法法则。
3. 对数幂法则：logb(x^r) = r * logb(x)这个法则表明，一个数的幂的对数等于该幂乘以这个数的对数。
也可以通过将幂转化为乘积的形式来证明这个法则。
4. 对数底换底法则：logb(x) = logc(x) / logc(b)这个法则可以用来将一个底为c的对数转化为底为b的对数。
通过这个法则可以将一个底为c的对数转化为自然对数或者以10为底的对数。
5. 对数的加法法则：logb(x + y) ≠ logb(x) + logb(y)对数的加法法则是错误的。
对数的加法法则只适用于两者没有相乘关系的情况，且不能直接将两个对数相加。
二、对数运算推论：1.对数运算与指数运算的关系：通过对数运算法则可以得到指数运算与对数运算的关系。
对于任意实数a和b，如果a^x = b，那么x=loga(b)。
2.对数的换底公式：通过对数底换底法则可以推导出对数的换底公式。
对于任意实数a、b和c，有loga(b) = logc(b) / logc(a)。
3.对数运算与幂运算的关系：幂运算可以看作对数运算的逆运算。
也就是说，对于任意实数a和b，如果loga(b) = c，那么a^c = b。
4.对数的倒数和负数：对于任意实数a和b，如果loga(b) = c，那么logb(a) = 1/c。
而如果a=a，则loga(1/a) = -1，loga(a^(-c)) = -c。
5.对数的幂等性：对于任意实数a和b，如果loga(a) = b，那么a^b = a。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③loga1=0，logaa=1，alogaN=N(对数恒等式)，logaab=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称ab=N指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN．(2)loga（M/N）=logaM-logaN．(3)logaMn=nlogaM (n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②logaan=?(n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子ab=N，logaN=b 名称：a—幂的底数 b—N—a—对数的底数 b— N—运算性质：am·an=am+nam÷an= am-n(a>0且a≠1，n∈R) logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：1 a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1． (1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：ab=N，logaN=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=3×；(4)logx(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1． x=?(3)3×3log32=? ． 27=x?(4) 2+=x-1=1/x． x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)logx27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4)+=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaan=n．3．已知logax=4，logay=5，求A=〔x5/12·y -1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵logax=4，logay=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a -5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
对数公式运算法则
对数公式运算法则1 对数公式运算法则对数公式运算法则是高中数学中常用的一种运算方式，用来求解不同指数值「底数」以及「指数」的结果，且其运算速度快，既可以求出大数也可以求出小数，对于计算机和工程师解决计算问题有很大的帮助。
1.1 基本公式及其运算对数公式用以下几种主要方式表达：（1）反比例关系: a^x/a^y = a^(x-y)（2）指数展开：a^x * a^y= a^(x+y)（3）乘方等于次方：(a^x)^y = a^(xy)（4）乘法律：(ab)^x=a^xb^x（5）除法律：(a^x/b^x)=a^xb^-x1.2 求对数的应用在实际运算过程中，我们常常会遇到求对数的需求，例如计算机里用以下公式可以求出它们之间的关系：（1）反比例关系：loga(a^x/a^y)=loga(a^(x-y))=x-y（2）指数展开：loga(a^x*a^y)=loga(a^(x+y))=x+y（3）乘方等于次方：loga((a^x)^y)=loga(a^(xy))=xy（4）乘法律：loga((ab)^x)=loga(a^xb^x)=xloga(a)+xlogb（5）除法律：loga(a^x/b^x)=loga(a^xb^-x)=xloga(a)-xlogb 1.3 其它应用除此之外，我们还可以用对数公式运算法则来解决复杂的几何问题，比如求解平面坐标图形的中心距离，利用对数公式运算法则，可以简便求解复杂的几何问题，而不用去做一些繁复的尺寸计算。
同时，对数公式还在统计学中用来解决常见的概率问题，比如求解事件概率的比值或者位置，并且通过对数公式进行变换，可以将原先无限的累加转化为有限次数的累加，这样就可以减少计算量，而把比较复杂的概率问题转化为简单的形式，并使决策者可以实现准确快速的抉择。
因此，可见对数公式有多种应用，不仅是数学知识的基础，也给人们的计算带来了极大的便利。
常见对数运算公式
常见对数运算公式对数运算在数学中可是个相当重要的“家伙”，咱们今天就来好好唠唠常见的对数运算公式。
先来说说对数的定义吧。
如果 a 的 x 次方等于 N（a>0，且 a 不等于 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作x=logₐN。
常见的对数运算公式那可是不少，咱们一个一个来看。
第一个就是“logₐ(MN) = logₐM + logₐN”。
这就好比是把两个数相乘的对数，拆分成了两个数各自对数的和。
比如说，计算 log₂(4×8)，就可以变成 log₂4 + log₂8，也就是 2 + 3 = 5。
再看“logₐ(M/N) = logₐM - logₐN”。
这就像是把两个数相除的对数，变成了两个数各自对数的差。
比如说算 log₃(9÷3)，那就是 log₃9 - log₃3，结果是 2 - 1 = 1。
还有“logₐMⁿ = nlogₐM”。
这个就像是给对数中的数来了个“乘方”的操作，结果就是把指数提到前面和对数相乘。
比如求 log₅25²，那就是2×log₅25 = 4。
我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别有意思。
当时我在黑板上写了一道题：log₄(2×8)。
我就叫了这位同学上来做，他站在黑板前，皱着眉头，嘴里还念念有词：“这俩数相乘，应该是相加！”然后信心满满地写下“log₄2 + log₄8”，算出来是 5/2。
我笑着问他：“你再好好想想，log₄2 和 log₄8 分别等于多少呀？”他一拍脑袋，恍然大悟：“哎呀，老师，我算错啦，log₄2 是 1/2，log₄8 是 3/2，加起来应该是 2 才对！”全班同学都被他这可爱的反应逗得哈哈大笑。
咱们接着说对数运算公式。
“logₐb × logₓb = logₐx”。
这个公式有点绕，但多做几道题熟悉熟悉就好理解啦。
“logₐb = 1 / logₓa”。
对数运算公式
对数运算公式1、a^(log(a)(b))=b2、log(a)(a^b)=b3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);4、log(a)(M?N)=log(a)(M)-log(a)(N);5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)推导1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。
2、因为a^b=a^b令t=a^b所以a^b=t，b=log(a)(t)=log(a)(a^b)3、MN=M×N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)4、与(3)类似处理MN=M?N由基本性质1(换掉M和N)a^[log(a)(M?N)] = a^[log(a)(M)]?a^[log(a)(N)]由指数的性质a^[log(a)(M?N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M?N) = log(a)(M) - log(a)(N)5、与(3)类似处理M^n=M^n由基本性质1(换掉M)a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n由指数的性质a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M^n)=nlog(a)(M)基本性质4推广log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]推导如下:由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)?ln(a^n)换底公式的推导:设e^x=b^m,e^y=a^n则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/yx=ln(b^m),y=ln(a^n)得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)?ln(a^n)由基本性质4可得log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]?[n×ln(a)] = (m?n)×{[ln(b)]?[ln(a)]} 再由换底公式log(a^n)(b^m)=m?n×[log(a)(b)]。
对数四则运算公式
对数四则运算公式
1.对数加法：logaM+logaN=loga(MN)。
即同底数下对数相加，等于对数所代表的数的乘积的对数。
2. 对数减法：logaM - logaN = loga(M/N)。
即同底数下对数相减，等于对数所代表的数的商的对数。
3. 对数乘法：logaM × logaN = loga(MN)。
即不同底数下对数相乘，等于对数所代表的数的乘积的对数，底数取其中任意一个。
4. 对数除法：logaM / logaN = loga(M/N)。
即不同底数下对数相除，等于对数所代表的数的商的对数，底数取其中任意一个。
对数四则运算可以简化计算，也能够将对数运算转化为数字运算，使得对数运算变得更加方便和高效。
- 1 -。
对数的加减乘除运算规则
对数是指数运算的逆运算，以下是对数的加减乘除运算规则：
1. 对数的加法规则：
log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)
两个对数的和等于它们对应的乘积的对数。
2. 对数的减法规则：
log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)
两个对数的差等于它们对应的商的对数。
3. 对数的乘法规则：
log_a(b^c) = c * log_a(b)
对数的底数为a，指数为c，那么底数为b的幂的对数等于c乘以底数为b的对数。
4. 对数的除法规则：
log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)
对数的底数为a，被除数为b，除数为c，那么底数为b的对数减去底数为c的对数等于底数为a的商的对数。
需要注意的是，以上规则中的对数都是以相同的底数为前提。
如果底数不同，可以利用换底公式将对数转换到同一个底数下进行运算。
另外，对数运算的规则也适用于自然对数（以e为底）和常用对数（以10为底）等常见对数。
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对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称a b=N指数式a b=N(底数)(指数)(幂值)对数式log a N=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N．(2)log a（M/N）=log a M-log a N．(3)log a M n=nlog a M(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②log a a n=? (n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质：a m·a n=a m+na m÷a n= a m-n(a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a Nlog a MN=log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1．(1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：a b=N，log a N=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a b=N log a N=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)log x27=3×；(4)log x(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1．x=?(3)3×3log32=? ．27=x?(4) 2+=x-1=1/x．x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)log x27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4) +=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：log a1=0，log a a=1，alog a M=M，log a a n=n．3．已知log a x=4，log a y=5，求A=〔x5/12·y-1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵log a x=4，log a y=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a-5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得log a A=log a(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)log a x-(1/3)log a y=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
都化成lg2与lg5的关系式．(2)转化为log32的关系式．(3)所求log2a-log2b=log2(a/b)，由已知等式给出了a，b之间的关系，能否从中求出a/b的值呢?(4)7lg20·(1/2)lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数，设x=7lg20·(1/2)lg0.7能否先求出lgx，再求x?解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=（lg(10/2)）·(2+lg2)+lg2+(lg2)2=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2．(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2+3log32-9= -7．(3)由已知lgab=lg(a-2b)2(a-2b>0)，∴ab=(a-2b)2，即a2-5ab+4b2=0．∴a/b=1或a/b=4，这里a>0，b>0．若a/b=1，则a-2b<0，∴a/b=1（舍去）．∴a/b=4，∴log2a-log2b=log2(a/b)=log24=2．(4)设x=7lg20·(1/2)lg0．7，则lgx=lg20×lg7+lg0．7×lg(1/2)=(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2)=lg7+lg2=lg14，∴x=14，故原式=14．解题规律①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验，如(3)．②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法，如(4)．6．证明(1)log a N=log c N/log c a(a>0，a≠1，c>0，c≠1，N>0)；(2)log a b·log b c=log a c；(3)log a b=1/log b a(b>0，b≠1)；(4)log an b m=(m/n)log a b．解析:(1)设log a N=b得a b=N，两边取以c为底的对数求出b就可能得证．(2)中log b c能否也换成以a为底的对数．(3)应用(1)将log a b换成以b为底的对数．(4)应用(1)将log an b m换成以a为底的对数．解答:(1)设log a N=b，则a b=N，两边取以c为底的对数得：b·log c a=log c N，∴b=log c N/log c a．∴log a N=log c N/log c a．(2)由(1)log b c=log a c/log a b．所以log a b·log b c=log a b·log a c/log a b=log a c．(3)由(1)log a b=log b b/log b a=1/log b a．解题规律(1)中log a N=log c N/log c a叫做对数换底公式，(2)(3)(4)是(1)的推论，它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用．对于对数的换底公式，既要善于正用，也要善于逆用．(4)由(1)log an b m=log a b m/log a a n=mlog a b/nlog a a= (m/n)log a b．7 ．已知log67=a，3b=4，求log127．解析依题意a，b是常数，求log127就是要用a，b表示log127，又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6为底的对数，进而转化为以3为底呢?解答已知log67=a，log34=b，∴log127=log67/log612=a/(1+log62)．又log62=log32/log36=log32/(1+log32)，由log34=b，得2log32=b．∴log32=b/2，∴log62=(b/2)/(1+b/2)=b/(2+b)．∴log127=a/(1+b/(2+b))=a(2+b)/(2+2b)．解题技巧利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧。