吉林省长市实验中学高中数学《二项式定理(2)》导学案 新人教A版选修23
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式定理教案
1.3二项式定理
学习目标：
1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2） .
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
二、讲解范例：
例1．设，
当时，求的值
解：令得：
，
∴，
点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2．求证：．
证（法一）倒序相加：设①
又∵②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．。
(新人教A版选修2-3)二项式定理教案
（新人教A版选修2-3）二项式定理教案13二项式定理学习目标：1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授类型：新授时安排：1时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1），（2）2．二项展开式的通项公式：3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．直线是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．（3）各二项式系数和：∵，令，则二、讲解范例：例1．设，当时，求的值解：令得：，∴，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：．证（法一）倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①+②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．例3．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为，∴，．（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴，，（2）设展开式中第项系数最大，则，∴，∴，即展开式中第项系数最大，．例4．已知，求证：当为偶数时，能被整除分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式∵，∴，∵为偶数，∴设（），∴（），当= 时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除三、堂练习：1．展开式中的系数为，各项系数之和为．2．多项式（）的展开式中，的系数为3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（）A4 B 6 D84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A低于％B在％～6％之间在6％～8％之间D在8％以上．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（）A0 B D6．求和：．7．求证：当且时，．8．求的展开式中系数最大的项答案：1 4, 0 2 0 ．提示：3 B4 D 67 (略) 8四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、后作业：1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而展开式的系数的最大的项等于，求的值答案：2．设求：①②．答案：①；②3．求值：．答案：4．设，试求的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）；（2）所有偶次项的系数和为；所有奇次项的系数和为六、板书设计（略）七、后记：。
吉林省长市实验中学高中数学《组合(1)》导学案 新人教
吉林省长春市实验中学高中数学《组合（1）》导学案 新人教A 版选修2-3【学习目标】1． 理解组合及组合数的联系及区别；2． 理解排列与组合的关系及组合数与排列数的关系.【重点难点】重点：理解排列与组合的关系及组合数与排列数的关系; 难点：组合数与排列数的关系．模块一: 自主学习，明确目标复习：1．排列数公式：2．问题1：从甲、乙、丙3同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午活动，1名同学参加下午活动，有多少种不同的选法？问题2：从甲、乙、丙3同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？ 这两个问题有什么区别？3．阅读：教材第21思考之前，回答组合定义：排列与组合的相同点：排列与组合的不同点：4．练习：教材第25页练习1,25．组合数定义：问题2中，共有＿＿种不同的选法.67C 表示： 58C 表示： 变式训练：1．下面的问题中属于组合的是(1)集合{0，1，2，3，4}的含两个元素的子集的个数是多少？(2)五个足球队进行循环赛，共要比赛多少场？(3)从1 9中取2个相加，有多少个不同的和？如果相减，有多少个不同的差？（4）由没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？（5）某小组有9位同学，从中选出正副班长各一人，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？模块二：问题探究1． 问题3：如何计算m n C ？阅读教材第22页－23页中间部分.求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数可看作由以下2个步骤得到：第1步：从n 个不同元素中取出m 个元素，共有＿＿＿＿取法；第2步：将取出的m 个元素做全排列，共有＿＿＿＿不同的排法. 根据乘法计数原理，有＿＿＿＿＿＿＿所以m n C ＝ ＝ ＝例 计算（1）37C（2）410C （3）310131002100A C C 变式训练： 教材第25页练习5,6模块三：巩固训练，整理提高巩固练习：1．用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.（1）从3、4、5、7四个数字中每次取出两个，构成多少个不同的分数？ 可以构成多少个不同的真分数？（2）从10名同学在任选出3名同学. ①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？ ②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法?2.（实验班）信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是____（用数字作答）.小结:方法上。
人教版高中选修2-3《二项式定理》教案
人教版高中选修2-3《二项式定理》教案《人教版高中选修2-3《二项式定理》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、情景设置问题1：若今天是星期一，再过7天后是星期几?15天后是星期几?怎么算?预期回答：星期一，将问题转化为求“7被7除后算余数”是多少。
问题2：若今天是星期一，再过天后是星期几?怎么算?预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少，也就是研究的展开式是什么?这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。
(设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
)2、新授第一步：让学生展开;;问题：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律;项数与乘方指数的关系;展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，且两个字母的和等于乘方指数;②展开式的项数比乘方指数多1项;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
初步归纳出下式：(※)(设计意图：从特殊到一般，归纳、类比让学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中。
这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。
)继续新授师：为了寻找规律，我们尝试将展开.(设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。
) 问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项?这里的字母各来自哪个括号?问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗?问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?(预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
高中数学二项式定理教案新人教A版选修2-3
高中数学《二项式定理》教学设计【教学设计思想】教学设计思想现代教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．二项式定理这部分内容比较枯燥，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心．我采用启发探究式教学方式：一是从实际应用问题引入课题。
这里体现了新课程的数学应用意识的理念，使学生体会到数学不仅是为了学数学，还可以学以致用，用来解决现实生活的问题．二是从特殊到一般。
面对一般问题，学生会想到从特殊情况入手，让学生自己探究n=1，2，3，4，…时二项展开式的规律，观察发现二项式定理的基本内容．三是采用小组合作、探究的方式。
小组内的同学共同归纳二项式定理的内容，由特殊推广到一般．四是教师的启发与学生的探究恰当结合。
本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于平行班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引导启发，就显得尤为重要．本节课，学生通过对n=1，2，3，4，…时二项展开式的观察，归纳、猜想到n为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。
这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养．本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美．学生情况分析学生为平行班学生，有一定的数学基础．学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容．学生有过探究、交流的课堂教学的尝试．教学流程框图教学诊断分析 在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律，即项数：1+n 项；指数：字母a ，b 的指数和为n ，字母a 的指数由n 递减至0，同时，字母b 的指数由0递增至n ；二项式系数：下标为n ，上标由0递增至n ；容易产生误解的内容是：通项r r n r n r b a C T -+=1指的是第r+1项；通项的二项式系数是r nC ，与该项的系数是不同的概念（在第二课时会进行探讨）。
高中数学 1.3.1 二项式定理导学案 新人教A版选修2-3
§1.3.1 二项式定理学习目标：1、能用计数原理证明二项式定理；2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的问题。
一、主要知识：1、二项式定理： 。
2、相关概念：（1）二项展开式： ； （2）二项式系数： ； （3）二项展开式的通项： ； （4）()1nx += 。
二、典例分析：〖例1〗：（1）求411x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式；（2）求4的展开式； （3）化简()()()()()54315110110151x x x x x -+-+-+-+-。
〖例2〗：已知在n的展开式中，第6项为常数项。
（1）求n 的值；（2）求展开式第四项的二项式系数和系数；（3）求含2x 的项。
〖例3〗：已知22nx ⎫⎪⎭的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比为10:1。
（1）证明：展开式中没有常数式；（2）求展开式中含32x 的项；（3）求展开式中所有的有理项。
〖例4〗：证明()2*2354n n n n N +⋅+-∈能被25整除。
三、课后作业：1、9796959898982C C C ++=（ ）A 、9799CB 、97100C C 、9899CD 、98100C2、某校高一年级有5个班，高二年级有7个班，高三年级有4个班，分年级进行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行的比赛场数为（ ）A 、222574C C C ++B 、222574C C C C 、222574A A A ++ D 、216C 3、某科技小组有六名学生，现从中选出三名去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A 、44414106A A AB 、44414106C C CC 、4441410633C C C AD 、4443141063C C C A5、高三某班6名同学站成一排照相，其中甲、乙不能相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法数共有（ ）A 、120B 、240C 、210D 、105 6、某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不位，则不同的调整方案的种数有（ ）A 、35B 、70C 、210D 、1057、某球队有2名队长和10名队员，现选派5人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有 种不同的选法。
人教A版选修2-2 1.3.1二项式定理教案 新人教A版选修选修2-3.docx
高中数学学习材料唐玲出品1.3.1二项式定理教案 新人教A 版选修选修2-3教学目的：1、使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式。
会利用二项展开式及通项公式解决有关问题。
2、在同学对二项展开式的探究过程中，培养训练同学的观察、联想、归纳等探究能力。
3、通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育。
教学重点：二项式定理教学难点：二项式展开式的探究。
授课类型：新授课 教学过程： 一、复习引入：前一阶段，我们学习了排列组合与概率，我们知道了对于多项式的展开式的项数问题可以运用乘法原理求解。
如：例1、（1）求))()((5432121321c c c c c b b a a a +++++++展开后的项数。
（2）求))((b a b a ++展开后的项数。
（3）求))((c b a c b a ++++展开后的项数。
疑问1：（2）的项数为4，与我们已知的：2222)(b ab a b a ++=+项数为3不一致。
为什么？ （3）的项数为3，与我们已知的：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++项数为6不一致。
为什么？引导同学得出结论：由于同类项的合并因此项数减少了。
其实，多项式的展开问题比我们想象的要复杂的多，它涉及展开式的项数、项、项的系数等问题，但也并不是没有规律可循，我们可以运用有关知识来解决。
想不想来试试？引出课题：二项式定理 二、新授我们先来研究二项式nb a )(+的展开式。
1、 二项式的定义：形如n b a )(+的代数式叫二项式。
2、 二项式的展开式的探究：注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项a 和b 指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。
b a b a +=+)(()2222b ab a b a ++=+()32233333b ab b a a b a +++=+ ()4322344464b ab b a b a a b a ++++=+探索规律，得出结论：（1） 二项式nb a )(+的展开式项数为： 1+n ； （2） 二项式nb a )(+的展开式各项a 和b 指数的特点： （a ）展开式各项a 和b 指数和为n ，（b ）a 指数从n 开始依次递减到0，b 指数从0开始依次递减到n ； （3）二项式nb a )(+的展开式各项的系数满足： n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1n=5 1 5 10 10 5 1 、、、、、、规律：左、右两边斜行各数都是1；奇遇各数都等于它肩上两数的和。
《二项式定理》教案2(人教A版选修2-3)
1.3二项式定理学习目标：1掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnr n rrn nnnnna b C aC a bC abC b nN ，（2）1(1)1nr rnnnx C xC x x .2．二项展开式的通项公式：1r n rrrnT C a b3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()na b 展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()na b 展开式的二项式系数是0n C，1n C，2n C ，…，n n C ．r nC 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n 时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m nnCC）．直线2n r是图象的对称轴．（2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC，12n nC取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1nr rnnnx C x C x x ，令1x ，则0122nr n nnnnnCCCCC二、讲解范例：例1．设231111nx xxx2012nn a a x a xa x ，当012254na a a a 时，求n 的值解：令1x得：230122222nna a a a 2(21)25421n，∴2128,7nn，点评：对于101()()()nn n f x a xa a x a a ，令1,x a即1x a 可得各项系数的和012n a a a a 的值；令1,x a即1xa ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2．求证：1231232n n nnnnCCCnC n ．证（法一）倒序相加：设S12323n nnnn CCCnC ①又∵S1221(1)(2)2n n n nnnnnnC n C nC CC②∵r n r nnCC，∴011,,n n nnnnCC CC，由①+②得：0122n nnnnSn C CC C ，∴11222nn Sn n ，即1231232n n nnnnCCC nCn ．（法二）：左边各组合数的通项为r nrC11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n rnCr n r rn r ，∴1230121112123n n nnnnn n n n C C CnCn CCCC12n n ．例3．已知：223(3)nxx 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令1x ，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，又展开式中二项式系数和为2n，∴222992nn，5n．（1）∵5n ，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90T C x x x ，22232233345()(3)270T C x x x ，（2）设展开式中第1r 项系数最大，则21045233155()(3)3r r rrrr rT C x x C x，∴1155115533792233rr r r rrr r CCrC C ，∴4r，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x．例4．已知)(1222212211N nC C C S n nn n n n nn，求证：当n 为偶数时，14n S n能被64整除分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14n S n变形，化为含有因数64的多项式∵1122122221(21)nn n n nn nnnS C C C3n，∴14n S n 341nn ，∵n 为偶数，∴设2n k （*kN ），∴14n S n 2381kk (81)81kk 011228(88)8kk kkC C C （），当k =1时，410n S n 显然能被64整除，当2k时，（）式能被64整除，所以，当n 为偶数时，14n S n能被64整除三、课堂练习：1．4511x x 展开式中4x 的系数为，各项系数之和为．2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n nn nnnf x C x C x C x C x （6n）的展开式中，6x 的系数为3．若二项式231(3)2nxx（n N ）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（）A.4B.5C.6D.8 4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)n x 的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx 等于（）A.0B.pq C.22p q D.22pq6．求和：2341012311111111111n nn nnnnn a aaaaCCCCC a aaaa．7．求证：当nN 且2n时，1322nn n ．8．求102x的展开式中系数最大的项答案：1.45,02.0．提示：16nf x xn 3.B4.C5.D6.11n a a7.(略)8.33115360T x四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用五、课后作业：1．已知2(1)na展开式中的各项系数的和等于521615xx的展开式的常数项，而2(1)na展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值()aR 答案：3a2．设591413011314132111x xa x a x a x a 求：①114a a a ②1313a a a ．答案：①9319683；②9533996323．求值：0123456789999999999922222C CC CC CCCCC ．答案：822564．设296()(1)(21)f x xx x ，试求()f x 的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）63729；（2）所有偶次项的系数和为6313642；所有奇次项的系数和为6313652六、板书设计（略）七、课后记：。
高中数学《二项式定理》学案2 新人教A版选修2-3
二项式定理一、知识梳理1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.二、基础训练1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于A.29B.49C.39D.12.（2020年江苏，7）（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.483.（2020年全国Ⅰ，5）（2x 3－x1）7的展开式中常数项是A.14B.－14C.42D.－424.（2020年湖北，文14）已知（x 23+x31-）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 三、例题分析例1. 如果在（x +421x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例2. 求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项. 思考讨论（1）求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；（2）求（x +x 4－4）4的展开式中的常数项； （3）求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.解：（1）原式=xx --114（1－x ）7=（1－x 4）（1－x ）6，展开式中x 4的系数为（－1）4C 46－1=14.（2）（x +x 4－4）4=442)44(x x x +-=48)2(xx -，展开式中的常数项为C 4482·（－1）4=1120. （3）方法一：原式=1)1(]1)1[()1(483-+-++x x x =xx x 351)1()1(+-+.展开式中x 3的系数为C 451.方法二：原展开式中x 3的系数为C 33+C 34+C 35+…+C 350=C 44+C 34+…+C 350=C 45+C 35+…+C 350=…=C 451.评述：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键.例3. 设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C n n a n .（1）用q 和n 表示A n ；（2）（理）当－3<q <1时，求lim∞→n nnA 2.例4 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.四、同步练习 g3.1093 二项式定理1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.（2020年福建，文9）已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是A.28B.38C.1或38D.1或283.（05浙江卷）在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 104.(05山东)如果323nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-5.(05重庆卷)8. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为5，则n 等于( )(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 10。
高中数学人教A版选修2-3第一章1.3.1《二项式定理》【学案】
1.3二项式定理一、课前准备1．课时目标(1) 了解二项式定理的推导过程；(2) 会用二项式定理展开、合并常见的二项式； (3) 能用二项式定理的通项求某些特定项. 2．基础预探 1．在二项式定理01122211*()()n n n n r n r r n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b n N -----+=+++++++∈中，（1）右边的多项式叫做()na b +的； （2）二项展开式中共有 项；（3）在二项展开式中各项的系数 （r =0,1,2,,n ）叫做二项式系数；（4）在二项展开式中的 叫做二项式的通项，用1r T +表示，即1r T +＝ . 2．在二项式定理中，如果设1,a b x ==，得公式(1)nx +=__________________. 若1,a b x ==-，则得公式(1)nx -=__________________.二、学习引领1. 二项式定理的注意点（1）()na b +的二项展开式共有ｎ＋1项，比二项式的次数大1.（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ. 字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ.2. 应用二项展开式的通项公式的注意点（1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ； （2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项； （3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒. 3．通项公式可以解决哪些问题①求指定项；②求特征项.如常数项，即字母的次数为零；有理项，即字母的次数为整数等； ③求指定项、特征项的系数.三、典例导析题型一 二项式定理的展开式例1 若5(1,a a b +=+为有理数），则a b += （ ）A ．45B ．55C ．70D ．80思路导析：a 、b 的值.解：因为(512345123455555551CCC CC C=+++++1202041=+++=+由已知得41a +=+，即a=41，b=29， 所以412970a b +=+=. 故选C.方法规律：记准、记熟二项式()n a b +的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件，对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.变式训练：设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C .题型二 简单的二项式特定项例2在62⎛⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38 思路导析：利用二项式的通项公式，求得x 2时r 的值，进而确定含x 2的式子求得系数. 解：由二项展开式的通项公式，得66622166((2(1)22r rr r r r r r r r T C C x x ----+==-2636(1)2r r r r C x --=-令32r -=得1r =，所以2x 的系数为14613(1)26168C --=-⨯=-，故选C. 方法规律 ：利用二项展开式的通项公式求某项系数是一类典型的问题，通常先确定通项公式中r 的值，再代入求得项从而确定其系数，但需注意二项式系数与项的系数的区别. 变式训练：关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是题型三 二项式系数与二项系数 例3 二项式n xx )21(3-的展开式中第5项的二项式系数是第3项系数的4倍．求(1)n ；(2)展开式中所有的有理项．思路导析：根据二项式系数的定义建立关于n 的方程求得n 的值；再利用二项展开式的通项分析x 的指数求得其中所有的有理项.解：(1)由题意，可知224)21(4-⨯⨯=n n C C ，解得6=n .(2)二项展开式的通项为r rr r x xC T )2()1(6361-=-+3646)21(--=r r r xC ，有理项则应满足364-r 为整数，则r =0，3，6， 代入通项，得展开式中的有理项为211xT =，2425x T -=，6467x T =.规律总结：二项式系数是指展开式中的组合数不包含式子中的常数；系数是指二项展开式化简整理后，式子中除了未知数之外所有的常数值.变式训练：若nx )1(+的展开式中3x 的系数是x 的系数的7倍，（1）求n ；(2)求x 5的二项式系数.四、随堂练习1.()nb a 2+的二项展开式的项数是( )A.n 2B.12+nC.12-nD.()12+n2．4(1+的展开式中，x 的系数为（ ）A 4B 6C 7D 93．计算=++++101010210110010242C C C C ( ). A ．102 B ．82 C ．103 D ．834.()72b a -的展开式中的第5项的二项式系数是 _______,第5项的系数是_______,第5项是___________.5.61(2)2x x-的展开式的常数项是 . 6.求关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项.五、课后作业1.()ny x +的二项展开式中,第r 项的二项式系数为 ( )A.r n CB.1+r n CC.1-r n C D.()111---r n r C 2.在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 3.展开式中,第四项是( )A.35B.21890x -C.1890D.1890- 4.设()x a a x a x a x 2122101221-1=++++L ，则a a 1011+= .5.在6⎫-⎝的二项展开式中，2x 的系数为________. 6.如果nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数项.。
吉林省吉林市第一中学校高中数学 §1.3.1二项式定理学案 新人教A版选修2-3
§1.3.1 二项式定理【教学目标】1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。
【教学重难点】教学重点：二项式定理的内容及归纳过程；教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。
【教学过程】一、设置情景，引入课题引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。
如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？二、引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？2、（a+b）3展开式的再认识问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C 23·C11=3次，所以a2b的系数是3。
问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？可以对（a+b）4按a或按b进行分类：（1）四个括号中全都取a，得：C 44a4（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C 34a3·C11b（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C 24a2·C22b2（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C 14a·C33b3（5）四个括号中全都取b，得：C 44b4小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C 04a4；（2）取1个b：C14a3b；（3）取2个b：C24a2 b2；（4）取3个b：C 34ab3；（5）取4个b：C44b4，然后将上面各式相加得到展开式。
2021-2022年高中数学 《二项式定理》说课稿 新人教A版选修2-3
2021-2022年高中数学《二项式定理》说课稿新人教A版选修2-3高三第一阶段复习，也称“知识篇”。
在这一阶段，学生重温高一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。
在高一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。
对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。
一、内容分析说明1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：（1）二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。
（2）二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。
（3）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。
2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。
二、学校情况与学生分析（1）我校是一所镇普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。
但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望。
（2）授课班是政治、地理班，学生听课积极性不高，听课率低（60﹪），注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。
课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分能机械的模仿，部分学生好记笔记。
三、教学目标复习课二项式定理计划安排两个课时，本课是第一课时，主要复习二项展开式和通项。
根据历年高考对这部分的考查情况，结合学生的特点，设定如下教学目标：1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。
高中数学1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2-3
1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr n T C a b -+=．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x =++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+．第二课时例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x 的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅= 第三课时例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数； （2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．第四课时例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rr rr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n rrr r nn T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++（2）515328x =+-.6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项. 掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
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【学习目标】 进一步理解、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 【重点难点】 重点：二项式定理及二项展开式的通项公式 难点：用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
模块一：自主学习
自学教材第31页例2（限时8分钟）并回答下列问题：
例 （1） 7(12)x +的展开式第4项的二项式系数是多少?该项的系数是多少?
（2）求9)1(x x -的展开式中3x 的系数.
变式练习:(1)求6)32(b a +展开式的第3项,并指出该项的二项式系数与系数.
(2)．求62()x
a a x -的展开式中倒数第3项
模块二：问题探究
求153()a a -的展开式中不含a 的项
变式练习: 求9()3x x +的展开式常数项,有多少有理项?
模块三：巩固训练，整理提高
1.求9()3x x +的展开式的中间两项。
(实验班)2.求2345(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ---+---+-的展开式中2x 的系数
三． 课堂总结：
1．知识：
2．思想
3．方法：
【作业】
教材36页习题1.3A 组第4题，第5题。