高中数学-单位圆与三角函数线练习题

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高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养评价含解析第三册

单位圆与三角函数线(20分钟35分）1。

如图，点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()A. B.C。

D.【解析】选A。

点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=-,所以Q,即Q点坐标为。

【补偿训练】已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P，则cos α=()A。

— B.C。

D。

—【解析】选A.由题意知,解得m=-，所以cos α=—。

2。

如果〈α<,那么下列不等式成立的是（）A.cos α<sin α〈tan αB.tan α〈sin α<cos αC.sin α〈cos α<tan αD。

cos α〈tan α〈sin α【解析】选A.方法一：（特值法)令α=,则cos α=，tan α=，sin α=,故cos α<sin α〈tan α。

方法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α。

3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（)A.B.C。

D。

【解析】选A.如图所示,当x=和x=—时,sin x=cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是。

4。

有三个命题：①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.其中真命题的个数为(）A。

1 B.2 C。

3 D。

0【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反。

5。

比较大小:tan 1tan 。

(填“>"或“〈"）【解析】因为1〈,且都在第一象限，由它们的正切线知tan 1〈tan .答案:〈6.作出-的正弦线、余弦线和正切线。

【解析】如图所示,所以角-的正弦线为，余弦线为，正切线为。

（30分钟60分）一、单选题(每小题5分，共20分)1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(—3a，4a)，那么sin α+2cos α的值等于（）A。

高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线

利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习(含解析)新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1.2.2三角函数线练习（含解析）新人教A版必修41．对于三角函数线，下列说法正确的是( )A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在答案 D解析当角的终边落在y轴上时，正切线不存在，但对任意角来说，正弦线、余弦线都存在．2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A．y轴上 B．x轴上C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上答案 B解析由题意得|cosα|＝1，即cosα＝±1，角α终边在x轴上，故选B．A．sin1>cos1>tan1 B．sin1>tan1>cos1C．tan1>sin1>cos1 D．tan1>cos1>sin1答案 C解析设1 rad角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，∵π4<1<π2，∴0<x<y<1，从而cos1<sin1<1<tan1．4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a<b<c B．b<a<cC．c<a<b D．a<c<b答案 C解析作α＝－1的正弦线、余弦线、正切线，可知：b＝OM>0，a＝MP<0，c＝AT<0，且MP>AT．∴c<a<b．5．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )A．sinα＋cosα B．tanα＋sinαC．cosα－tanα D．sinα－tanα答案 B解析如图，作出sinα，cosα，tanα的三角函数线．显然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵MP>0，AT<0，∴MP<－AT．∴MP＋AT<0，即sinα＋tanα<0．6．已知MP，OM，AT分别是75°角的正弦线、余弦线、正切线，则这三条线从小到大的排列顺序是________．答案OM<MP<AT解析如图，在单位圆中，∠POA＝75°>45°，由图可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函数线比较下列各组数的大小．(1)tan 4π3与tan 7π6；(2)cos 11π6与cos 5π3．解 (1)如图1所示，设点A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，角4π3和角7π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，PO ，P ′O 的延长线与单位圆的过点A 的切线的交点分别为T ，T ′，则tan 4π3＝AT ，tan 7π6＝AT ′．由图可知AT >AT ′>0，所以tan 4π3>tan 7π6．(2)如图2所示，设角5π3和角11π6的终边与单位圆的交点分别为P ，P ′，过P ，P ′分别作x 轴的垂线，分别交x 轴于点M ，M ′，则cos 11π6＝OM ′，cos 5π3＝OM ．由图可知0<OM <OM ′，所以cos 5π3<cos 11π6．答案 0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π解析由0≤θ<2π且tan θ≤1，利用三角函数线可得θ的取值范围是0，π4∪π2，5π4∪3π2，2π．9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12；(3)tan α≥－1．解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z ．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k ＋4π3，k ∈Z．(3)在单位圆过点A (1，0)的切线上取AT ＝－1，连接OT ，OT 所在直线与单位圆交于P 1，P 2两点，则图中阴影部分即为角α终边的范围，所以α的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－π4＋k π≤α<π2＋k π，k ∈Z，如图．一、选择题1．已知α(0<α<2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且方向相同，那么α的值为( ) A ．5π4或7π4 B ．π4或3π4C ．π4或5π4D ．π4或7π4答案 C解析因为角α的正弦线与余弦线长度相等，方向相同，所以角α的终边在第一或第三象限，且角α的终边是象限的角平分线，又0<α<2π，所以α＝π4或5π4，选C ．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 D解析当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 3．如果π<θ<5π4，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ 答案 D解析本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小．由于π<θ<5π4，如图所示，正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，由此容易得到cos θ<sin θ<0<tan θ，故选D ．4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3 B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 C ．⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π答案 D解析由图1知当sin α<32时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π．由图2知当cos α>12时，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π． 5．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析解法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝120°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．解法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2．若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2． ∵y 1>y 2，∴α>β．∴cos α<cos β．∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P 1′(x 1′，y 1′)，P 2′(x 2′，y 2′)，其中sin α＝y 1′，sin β＝y 2′，则tan α－tan β＝y 1′x 1′－y 2′x 2′＝x 2′y 1′－x 1′y 2′x 1′x 2′．而y 1′>y 2′>0，x 2′<x 1′<0， ∴－x 2′>－x 1′>0，∴x 1′x 2′>0，x 2′y 1′－x 1′y 2′<0，即tan α<tan β．∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D ．二、填空题6．若α是第一象限角，则sin2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．答案 2解析由α是第一象限角，得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π<α2<π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2>0，cos α2的正负不确定；4k π<2α<π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin2α>0．故一定为正值的个数为2．7．若0≤θ<2π，且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立，则角θ的取值范围是________．答案π2，π 解析由三角函数线知，在[0，2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈π4，5π4，使tan θ<sin θ的角θ∈π2，π∪3π2，2π，故θ的取值范围是π2，π．8．若函数f (x )的定义域是(－1，0)，则函数f (sin x )的定义域是________．答案－π＋2k π，－π2＋2k π∪－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )解析 f (x )的定义域为(－1，0)，则f (sin x )若有意义，需－1<sin x <0，利用三角函数线可知－π＋2k π<x <2k π，且x ≠－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)sin1和sin π3；(2)cos 4π7和cos 5π7；(3)tan 9π8和tan 9π7；(4)sin π5和tan π5．解 (1)sin1<sin π3．如图1所示，sin1＝MP <M ′P ′＝sin π3．(2)cos 4π7>cos 5π7．如图2所示，cos 4π7＝OM >OM ′＝cos 5π7．(3)tan 9π8<tan 9π7．如图3所示，tan 9π8＝AT <AT ′＝tan 9π7．(4)sin π5<tan π5．如图4所示，sin π5＝MP <AT ＝tan π5．10．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小．解 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2(k∈Z )．作出θ2所在范围如图所示．当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，cos θ2<sin θ2<tan θ2．当2k π＋5π4<θ2<2k π＋3π2(k ∈Z )时，sin θ2<cos θ2<tan θ2．。

高中数学三角函数5部分25个考点100道典型题!

三角函数超全考点与题型分析第一部分三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。

【答案】180135,k k Z⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。

A．2k π与()2k k Z ππ+∈B．3±k ππ与()3k k Z π∈C．()21+k π与()()41k k Z π±∈D．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈ ，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=- ，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Ö，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。

高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养检测含解析第三册

课时素养检测四单位圆与三角函数线（30分钟60分）一、选择题(每小题4分,共24分，多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1。

角和角有相同的（）A.正弦线B.余弦线C。

正切线 D.不能确定【解析】选A.因为与的终边关于y轴对称,故与有相同的正弦线。

2.设a=tan 35°,b=cos 55°，c=sin 23°,则（)A.a>b〉cB.b>c〉aC。

c>b>a D.c〉a〉b【解析】选A。

由题可知,b=cos 55°=sin 35°，sin 35°>sin 23°,有b〉c，利用三角函数线比较tan 35°，sin 35°,如图，通过比较三角函数线可知,tan 35°〉sin 35°，则有a>b，综上,a〉b〉c。

【补偿训练】下列各式正确的是（）A。

sin 1〉sin B。

sin 1〈sinC。

sin 1=sin D.sin 1≥sin【解析】选B.1和的终边均在第一象限,且的正弦线大于1的正弦线，则sin 1〈sin .3。

使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是()A. B.C.D。

［0,π］【解析】选A.当x的终边落在如图所示的阴影部分时,满足sin x ≤cos x.4。

(多选题）若tan x=，且-π<x〈2π,则满足条件的x的值为（）A.或B。

或C。

-D。

—【解析】选AC.因为tan x=,在单位圆中画出正切线｜｜=的角的终边为直线OT（如图）,所以x=kπ+，k∈Z，又因为—π〈x<2π，所以x=—,，.5.在[0，2π]上,满足sin x≥的x的取值范围是（)A. B.C.D。

【解析】选B.作直线y=与单位圆相交，如图中阴影部分即表示sin x≥的x的取值范围。

6。

下列不等式中,正确的是(）A。

高中数学人教B版必修4 1.2 同步练习《单位圆与三角函数线》(人教)

《单位圆与三角函数线》同步练习1、已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（）。

A ．3π4或π4B ．5π4或7π4C ．π4或5π4D ．π4或7π42、下列不等式中，成立的是( )。

A ．sin1>sin2B ．cos1<cos2C ．tan1>tan2D ．cot1<cot2 3、若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是（）。

A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4、使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是（）。

A ．[－3π4，π4] B ．[－π2，π2] C ．[－π4，3π4] D ．[0，π]5、利用单位圆，可得满足sin α<22，且α∈(0，π)的α的集合为___________。

6、sin π5与cos π5的大小关系是___________。

7、利用三角函数线，求sin.α < 12的角α 的范围. 8、确定下式的符号：sin 1－cos 1。

9、利用单位圆中的三角函数线求满足cos α≤－12的角α 的取值范围。

10、求满足下列条件的角x 的集合：(1) 已知tan x > 0，且sin x ＋cos x > 0 ；(2) 已知tan x < 0，且sin x －cos x < 0。

答案和解析1、C2、C3、A4、A5、{ α|0 < α < π4 或 3π4< α < π } 6、sin π5 < cos π57、⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z 首先在y 轴上找到 12，过此点作平行于x 轴的直线，交单位圆于P 1与P 2两点。

若sin α＝ 12 ，则α＝2k π＋π6 或α＝2k π＋56π(k ∈Z )，角α所对应的正弦线分别为M 1P 1、M 2P 2，当角2k π＋π6 的终边按逆时针方向旋转至2k π＋5π6 时，显然sin α > 12，故应舍去，所以α应取线OP 1和线OP 2以下的角，如图的阴影部分所示．故α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z 。

(易错题)高中数学必修四第一章《三角函数》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．在平面直角坐标系中，AB 是单位圆上的一段弧(如右图)，点P 是圆弧AB 上的动点，角α以Ox 为始边，OP 为终边．以下结论正确的是（）A ．tan α<cos α<sin αB ．cos α<tan α<sin αC ．sin α<cos α<tan αD ．以上答案都不对2．已知函数()cos2sin 2f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移a （0a >）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将()y f x =的图象向右平移b （0b >）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则a b -的最小值等于（） A ．0B ．8π C ．4π D ．2π 3．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A wt =．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数sin y A wt =中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（）．A ．函数1111sin sin 2sin3sin 4sin100234100y x x x x x =+++++不具有奇偶性； B ．函数111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；C ．若某声音甲对应函数近似为111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++，则声音甲的响度一定比纯音1()sin 22h x x =响度大； D ．若某声音甲对应函数近似为1()sin sin 22g x x x =+，则声音甲一定比纯音1()sin33h x x =更低沉．4．下列命题正确的是（）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数3tan lg3tan xy x+=-是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a πD ．函数cos(sin )y x =是奇函数 5．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（） A ．3π是函数()f x 的一个周期 B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 6．函数3cos 2cos 2sin cos cos510y x x x ππ=-的递增区间是（） A ．2[,]105k k ππππ-+（k Z ∈） B ．2[,]510k k ππππ-+ （k Z ∈） C ．3[,]510k k ππππ-- （k Z ∈） D ．37[,]2020k k ππππ-+ （k Z ∈） 7．675︒用弧度制表示为（） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 8．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（） A ．54B ．1C ．1-D ．2-9．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1y x x=+的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A ．①②③④B ．①③②④C ．②①③④D ．③②①④10．设函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><.若5()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，且1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，则（） A ．23ω=，12πϕ=B ．23ω=，1112πϕ=- C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ= 11．函数1cos y x x=+的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．12．若函数)22()sin 23cos sin f x x x x =-的图像为E ，则下列结论正确的是（） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 二、填空题13．2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos0.9815π≈，2cos0.9115π≈，cos 0.815π≈）14．已知函数()22cos f x x ω=-（0>ω）的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为______. 15．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为125,,...,A A A ，若P 点坐标为()0,3，则125...PA PA PA +++=____.16．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度约为50秒，升旗手应以__________（米 /秒）的速度匀速升旗．17．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________．18．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：①函数3y x x =-具有性质M ； ②函数35x x y =+具有性质M ；③若函数()[]8log 2,0,y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin y x a =+具有性质M ，则5a =．其中正确结论的序号是____________．19．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2；其中所有正确结论的编号是_________. 20．给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题21．已知函数()2cos 2cos 1(0)212212212x x x f x ωπωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭图象上相邻的两个最高点之间的距离为π．（1）求()f x 的单调增区间；（2）是否存在两个不同的实数1x ，20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得点()()11,x f x ，()()22,x f x 关于8x π=的对称点都在函数cos y x x a =+的图象上，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．如图，在矩形OABC 中，22OA OC ==，将矩形OABC 绕着顶点O 逆时针旋转，得到矩形OA B C '''，记旋转的角度为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭旋转前后两个矩形公共部分的面积为()S θ.（1）求3S π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）若()72S θ=，求sin θ. 23．已知函数()1tan ln1tan xf x x-=+.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）若()()()1tan tan f xa x g x e x-=-在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，求实数a 的取值范围. 24．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f xg x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数． 25．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm 的圆）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点1,0A 同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0180αβ︒︒<<<）．如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A 点，并且在第2秒时均位于第二象限．（1）求α，β的值．（2）两只蚂蚁的爬行速度保持不变，若红蚂蚁从点A逆时针．．．匀速爬行，黑蚂蚁同时从点A顺时针．．．匀速爬行，求当它们从点A出发后第一次相遇时，红蚂蚁爬过的距离．26．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：时刻0：001：002：003：004：005：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻6：007：008：009：0010：0011：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754时刻12：0013：0014：0015：0016：0017：00水深 5.000 6.2507.1657.5007.165 6.250时刻18：0019：0020：0021：0022：0023：00水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数（，）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据三者的符号可得sin cos ,sin tan αααα>>，利用作差法可得tan ,cos αα大小关系不确定，从而可得正确的选项. 【详解】由题设可得AB 上的动点P 的坐标为()cos ,sin αα且()()1122cos ,sin ,cos ,sin A B θθθθ，其中122πθαθπ<<<<，12324ππθθπ<<<<，注意到当13,4παθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，tan 1α≤-，故按如下分类讨论：若1324ππθα<<≤，则sin 0,cos 1,tan 1ααα>>-≤-，故sin cos tan ααα>>.若234παθ<≤，则sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，且20sin sin 2θα<≤<所以2222sin sin 1sin sin 1θθαα+-≤+-<，因为234πθπ<<，故20sin θ<<2221sin sin 1θθ-<+-<，所以222sin sin 1θθ+-有正有负，所以2sin sin 1αα+-有正有负，而2sin sin 1tan cos cos ααααα+--=，cos 0α<，故tan cos αα-有正有负，故tan ,cos αα大小关系不确定. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数式的大小比较，可先依据终边的位置判断出它们的符号，也可以利用作差作商法来讨论，注意根据三角函数值的范围确定代数式的符号.2．A解析：A 【分析】先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a ,b 的值，即可得结果. 【详解】解：函数()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移a 个单位得到()224g x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数为奇函数，则242a k πππ+=+（k Z ∈），整理得28k a ππ=+（k Z ∈）；函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移b 个单位得到()224h x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于得到的函数的图象为偶函数，2=4b k ππ-+-，=,()82k b k Z ππ+∈；当0k =时，min 0a b -= 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题.3．B解析：B 【分析】A.结合奇偶性的定义判断即可B.用正弦型函数的单调性作出判断 CD 可取特值说明【详解】A. ()1111sin sin 2sin 3sin 4sin100234100f x x x x x x =+++++ ()()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 100234100f x x x x x x f x -=-+-+-+-++-=-，()f x 为奇函数B. ,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，333,1616x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，4,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故sin ,sin 2,sin 3,sin 4x x x x 在,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均为增函数故111()sin sin 2sin3sin 4234f x x x x x =+++在区间,1616ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. C. ()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 434g x f x h x x x x =-=++()()11()sin sin 3sin 4034g f h ππππππ=-=++=故声音甲的响度不一定比纯音1()sin 22h x x =响度大 D. ()11()()sin sin 2sin 323h x g x h x x x x =-=+- ()11()()sin sin 2sin 3023h g h ππππππ=-=+-=甲不一定比纯音1()sin33h x x =更低沉故选：B 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4．B解析：B 【分析】根据函数的奇偶性与周期性判断各个选项．【详解】sin y x =是偶函数，但不是周期函数，A 错误；对函数()f x =0>得tan x <<,33k x k k Z ππππ-<<+∈，定义域关于原点对称，()()f x f x -==-=-，函数是奇函数，B 正确；tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π，C 错误；记()g x cos(sin )x =，定义域是R ，()()cos sin cos(sin )cos(sin )()g x x x x f x -=-=-==⎡⎤⎣⎦，()f x 是偶函数，D 错误．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与周期性．判断奇偶性一般用奇偶性的定义进行判断．tan y x ω=的最小正周期是T πω=，sin()y x ωϕ=+的最小正周期是2πω．5．D【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项．【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确；当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确；当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确；函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误．故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．6．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换的公式，化简得由函数cos(2)5y x π=+，再根据余弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由函数3cos 2cos2sin cos cos cos 2cos sin 2sin cos(2)510555y x x x x x x πππππ=-=-=+，令222,5k x k k Z ππππ-+≤+≤∈，整理得3,510k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈，所以函数的单调递增区间为3[,],510k k k Z ππππ-+-+∈，故选C. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简，以及三角函数的性质的应用，其中解答中根据三角恒等变换的公式，化简得到函数的解析式，再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可.因为180π︒=弧度，所以156********4ππ︒=⨯=，故选：C8．C解析：C 【分析】由平方关系化为sin x 的函数，换元后利用二次函数性质得最小值．【详解】由已知2()1sin sin f x x x =-+，令sin t x =，则[1,1]t ∈-，2()()1f x g t t t ==-++215()24t =--+，∵[1,1]t ∈-，∴1t =-时，min ()1g t =-．故选：C ．【点睛】本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x k ωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．（2）转化为关于sin x （或cos x ）的函数，用换元法，设sin t x =（或cos t x =）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．9．D解析：D 【分析】根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断．【详解】左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，10y x x=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ．故选：D ．【点睛】思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．10．A解析：A 【分析】5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得 58x π=时函数取得最大值，则函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调，再利用排除法可得答案. 【详解】因为5()8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则58x π=时函数取得最大值，所以函数满足518f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，1108f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，对于A ，若23ω=，12πϕ=，可得2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5sin 182f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11sin 08f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，3254412,,4,31222x x πππππππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤∈-⇒+∈-⊆- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则2()sin 312f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故A 符合题意；对于B ，若23ω=，1112πϕ=-，可得211()sin 312f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5sin 1182f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 不符合题意；对于C ，若13ω=，1124πϕ=-，可得111()sin 324f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，5sin 1842f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 不符合题意；对于D ，若13ω=，724πϕ=，可得17()sin 324f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，113sin 084f ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，故D 不符合题意；故选：A. 【点睛】方法点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.11．C解析：C 【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值的正负排除错误选项．【详解】函数定义域是{|0}x x ≠，关于原点对称，记1()cos f x x x=+，则11()cos()cos f x x x x x -=-+=+-()f x =，是偶函数，排除BD ， 11()cos 10f ππππ=+=-+<，排除A ．故选：C ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.12．C解析：C 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简函数为()2sin(2+)3f x x π=；根据正弦型函数的性质验证选项得解【详解】()sin 222sin(2+)3f x x x x π==()f x 最小正周期22T ππ==，A 错误； ()2sin[2()+]2sin(2)2sin 2333f x x x x ππππ-=-=-=，B 错误；当7(,)1212x ππ∈时，32(,)322x πππ+∈ ()f x ∴在7(,)1212ππ上是减函数，C 正确；将2sin 2y x =向左平移3π个单位长度得到22sin[2()]2sin(2)33y x x ππ=-=-，D 错误. 故选：C 【点睛】本题考查正弦型函数性质的相关命题的辨析，涉及到二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数的周期性、对称性和单调区间的求解、三角函数平移变换的应用等知识；关键是能够熟练掌握整体对应的方法，通过代入检验，结合正弦函数图象可确定正弦型函数的性质.二、填空题13．【分析】根据题意作出示意图结合枢纽中心到初始水平面的高度水面下降的高度刚进入水面时枢纽中心到水面的高度这三者间的关系列出关于运动时间的方程结合所给数据分析的取值即可【详解】设至少经过分钟进入水中如下解析：13【分析】根据题意作出示意图，结合枢纽中心到初始水平面的高度、水面下降的高度、P 刚进入水面时枢纽中心到水面的高度这三者间的关系，列出关于运动时间x 的方程，结合所给数据分析x 的取值即可. 【详解】设至少经过x 分钟，P 进入水中，如下图P '为刚好进入水中的位置，由条件可知： 1.7, 1.19OP OA '==，P 转过的角度为23015x x ππ⋅=，所以15xP OB ππ'∠=-，因为OA AB OB +=，所以1.170.017 1.7cos 15x x ππ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以70100cos 15x x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（*），根据所给数据可知：当12x =时，（*）的左边82=，右边81=，此时左边>右边，说明P 还未进入水中，当13x =时，（*）的左边83=，右边91=，此时左边<右边，说明P 已经进入水中，当14x =时，（*）的左边84=，右边98=，此时左边<右边，说明P 已经进入水中，由上可知：x 的取值介于12和13之间，又因为x 的结果取整数，所以13x =，故答案为：13.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过示意图寻找到枢纽中心到水面的高度与水面下降高度之间的等量关系，通过所给的数据去分析方程的解也是很重要的一步.14．【分析】根据函数图像的对称点得到的表达式根据在区间上单调得到的范围从而得到的范围再得到的值【详解】函数的图像关于点对称所以即得到在区间上单调所以即所以所以而所以故答案为：【点睛】本题考查根据余弦型函解析：23【分析】根据函数图像的对称点，得到ω的表达式，根据()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，得到T 的范围，从而得到ω的范围，再得到ω的值. 【详解】函数()f x x ω=-的图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以304πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即342k ππωπ=+，k ∈Z ，得到4233k ω=+，k ∈Z ， ()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以223T π≥，即43T π≥，所以243ππω≥，所以32ω≤，而0>ω，所以0k =，23ω=.故答案为：23.【点睛】本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，根据余弦型函数的周期求参数的值，属于中档题.15．10【分析】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称再由向量的加法运算得最后求得向量的模【详解】由函数与直线的图象可知它们都关于点中心对称所以【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景与平面向量解析：10 【分析】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，再由向量的加法运算得1253...5PA PA PA PA +++=，最后求得向量的模. 【详解】由函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与直线()1g x x =-的图象可知，它们都关于点3(1,0)A 中心对称，所以1253...5||5(010PA PA PA PA +++===. 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结合思想解决问题的能力.16．6【分析】根据题意可求得然后利用正弦定理求得最后在中利用求得答案【详解】在中由正弦定理得；在中（米）所以升旗速度（米/秒）故答案为06【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立解析：6 【分析】根据题意可求得，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，CD =BC ，最后在Rt ABC 中利用sin60AB BC =︒求得答案．【详解】在BCD 中，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，CD =由正弦定理，得sin 45sin 30CD BC ︒==︒在Rt ABC 中，sin?6030AB BC =︒==（米）．所以升旗速度300.650t AB v ===（米/秒）．故答案为0.6. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决，属于中档题.17．【分析】根据图象变换求出解析式再结合正弦函数的性质建立不等式即可求出的取值范围【详解】将函数图像上所有点向左平移个单位得到的图象再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变得函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称解析：35,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据图象变换求出()f x 解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出ω的取值范围. 【详解】将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得()sin 4y f x x πω⎛⎫==+⎪⎝⎭，函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,4424x，3242，解得3522. 故答案为：35,22⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.18．②③【分析】根据函数性质的定义结合每个选项中具体函数的定义即可判断【详解】①当时显然不存在是的故①错误；②是单调增函数其值域为对任意的总存在使得故②正确；③函数在上是单调增函数其值域为要使得其具有性解析：②③ 【分析】根据函数性质M 的定义，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】①当10x =时，显然不存在2x ，是的()()121f x f x =，故①错误； ②35x x y =+是单调增函数，其值域为()0,∞+，对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，故②正确； ③函数()8log 2y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为()88log 2,log 2t ⎡⎤+⎣⎦要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即()88log 2log 21t ⨯+=，解得()328t +=，故510t =.故③正确；④若函数3y sinx a =+具有性质M ，一方面函数值不可能为零，也即30sinx a +≠对任意的x 恒成立，解得3a >或3a <-，在此条件下，另一方面，13y sinx a=+的值域是3y sinx a =+值域的子集.3y sinx a =+的值域为[]3,3a a -+,13y sinx a =+的值域为11,33a a ⎡⎤⎢⎥+-⎣⎦要满足题意，只需113,333a a a a ≥-≤++-，解得291a -=，故a =.故④错误. 综上所述，正确的是②③. 故答案为：②③ 【点睛】本题考查函数新定义问题，涉及正弦函数值域的求解，对数函数值域的求解，属综合中档题.19．①④【分析】结合题意得出函数的奇偶性根据奇偶性研究函数在时的性质对结论逐一判断即可【详解】解：∵定义域为∴∴函数是偶函数故①对；当时∴由正弦函数的单调性可知函数在区间上单调递减故②错；当时由得根据偶解析：①④ 【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ，∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错；当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩，根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对；故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．20．①③【分析】分别利用余弦函数的对称性正切函数的单调性正弦定理三角函数图象变换等知识对各个命题判断【详解】①令是函数的一个对称中心①正确；②若它们为第一象限角且但②错；③在中内角所对的边分别为若∵∴∴解析：①③ 【分析】分别利用余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识对各个命题判断．【详解】 ①，令55()4cos()4cos()012632f ππππ-=-+=-=，5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，①正确；②若136απ=，3πβ=，它们为第一象限角，且αβ>，但3tan tan 3αβ=<=②错；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，sin sin 2sin 251a BA b==︒<，∵b a <，∴B A <，∴A 可能为锐角，也可能为钝角，则ABC ∆有两解，③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+的图象，④错．故答案为：①③．【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握三角函数的图象与性质是解题关键．本题需要掌握余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识，属于中档题．三、解答题21．（1）单调增区间为,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）存在，).【分析】（1）先对函数化简得()2sin f x x ω=，由函数图像上相邻的两个最高点之间的距离为π，可得函数的周期为π，从而由周期公式可得2ω=，则()2sin 2f x x =，由22222k x k ππππ-+≤≤+，可求得()f x 的单调增区间；（2）由题意得点()(),x f x 关于8x π=对称点为,2sin 24x x π⎛⎫-⎪⎝⎭，在2y x a =+上，所以2sin 22x x a =，由此可得方程()sin 23a x θ-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，其中sin 3θ=，2cos 3θ=，只要函数sin(2)y x θ=-的图像与直线3a y =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点即可【详解】（1）函数()2cos 2cos 1212212212x x x f x ωπωπωπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2sin 2sin 6666x x x x ππππωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由题意，最小正周期T π=，即2||T ππω==，因为0>ω，所以2ω=，即有()2sin 2f x x =，令22222k x k ππππ-+≤≤+，解得44k x k ππππ-+≤≤+，从而得()f x 的单调增区间为,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）由题意，点()(),x f x 关于8x π=对称点为,2sin 24x x π⎛⎫-⎪⎝⎭，在2y x a =+上，有：22sin 22x a x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即方程2sin 22x x a =，即方程()sin 23a x θ-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，其中sin θ=，2cos 3θ=，θ为锐角当0,42x πθ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，函数sin(2)y x θ=-单调递增，且当0x =时，sin(2)sin()sin 3x θθθ-=-=-=-；当42x πθ=+时，sin(2)sin12x πθ-==，所以13y -≤≤，当,422x πθπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，函数sin(2)y x θ=-单调递减，且当2x π=时，sin(2)sin()sin x θπθθ-=-==1y ≤≤，所以要使方程()sin 23a x θ-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，即函数sin(2)y x θ=-的图像与直线3a y =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，13a≤<3a <；综上所述，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在两个不同的实数1x ，2x 满足条件，此时a 的取值范围是)．【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，解题的关键是把点()()11,x f x ，()()22,x f x 关于8x π=的对称点都在函数cos y x x a =+的图象上，转化为点()(),x f x 关于8x π=对称点为,2sin 24x x π⎛⎫-⎪⎝⎭，在2y x a =+上，从而可得方程()sin 23a x θ-=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解1x ，2x ，再转化为函数sin(2)y x θ=-的图像与直线3a y =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，属于中档题 22．（1）336S π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1sin 3θ=. 【分析】（1）作出图形，可知公共部分区域为直角三角形，计算出两直角边的长，由此可求得该直角三角形的面积；（2）分6πθ=、06πθ<<、62ππθ<<三种情况讨论，求出()S θ的表达式，结合()728S θ=可求得sin θ的值. 【详解】（1）当3πθ=时，A '点在矩形OABC 外部，公共部分形状为三角形，设A O BC D '⋂=，则6COD π∠=，3tan63CD CO π==，则11331322S CD CO π⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯=⎪⎝⎭；（2）①当6πθ=时，点A '在线段BC 上，此时，223A C A O OC ''-=113136222S OC A C π⎛⎫'=⨯=⨯=⎪⎝⎭； ②当06πθ<<时，公共部分为四边形，A '点在矩形OABC 内部，过点A '作线段AB 的平行线，分别交线段AO 、BC 于点E 、F ，设A B BC G ''⋂=，则有如下长度：2cos OE θ=，22cos AE θ=-，2sin A E θ'=，12sin A F θ'=-，()12sin tan FG θθ=-，则()OEA A FG OABC AEFB S S S S S θ''=---△△矩形矩形，即()()()()111222cos 2cos 2sin 12sin 12sin tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- ()2sin 12sin 45sin 2cos 2sin cos 2cos 2cos θθθθθθθθ--=--=，由题知45sin 722cos θθ-=，两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=，由22cos 1sin θθ=-，整理得2249sin 320sin 790θθ-+=，即()()3sin 183sin 790θθ--=，因为06πθ<<，所以1sin 2θ<，故1sin 3θ=； ③当62ππθ<<时，公共部分为三角形，且()13721362S S πθ⎛⎫<=⨯=< ⎪⎝⎭，不合题意；综上所述，1sin 3θ=. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键就是找出θ的临界情况，然后对θ的取值进行分类讨论，确定公共区域的形状，计算求出()S θ的表达式，结合已知条件求解sin θ的值. 23．（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）(),0-∞. 【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，计算得出()f x -与()f x 之间的关系，由此可得出结论；（2）由,04x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭可得出1tan 0x -<<，1tan 0x ->，利用()0g x =可得出tan 1tan x a x =+，求出函数tan 1tan x y x =+在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）对于函数()1tan ln1tan x f x x -=+，有1tan 01tan xx->+，即tan 10tan 1x x -<+，解得1tan 1x -<<，解得()44k x k k Z ππππ-<<+∈，所以，函数()f x 的定义域为(),44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ， ()()()()11tan 1tan 1tan 1tan ln ln ln ln 1tan 1tan 1tan 1tan x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪+--++⎝⎭，所以，函数()f x 为奇函数；（2）()()()()1tan 1tan 1tan tan 1tan tan f x a x a x x g x e x x x---=-=-+， 04x π-<<，则1tan 0x -<<，1tan 0x ->，所以，0tan 11x <+<，令()0g x =，可得()tan 11tan 1101tan tan 1tan 1x xa x x x +-===-<+++，所以，实数a 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 24．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，。

高中数学-单位圆与三角函数线练习

高中数学-单位圆与三角函数线练习(限时：10分钟)1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4 D.π4或7π4答案：C2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上解析：由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上．答案：C3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.答案：A4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ解析：如图，由三角函数线可知，AT >PM >OP ，即tan θ>sin θ>cos θ答案：D5．已知π4＜x ＜π2，a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x，试比较a 、b 、c 的大小．解析：如图所示，在单位圆中MP 、OM 、AT 分别是x 的正弦线、余弦线、正切线．在△OMP 中，OM ＞OP －MP 即cos x ＞1－sin x 又∵AT ＞OA ，∴tan x ＞1 ∴tan x ＞cos x ＞1－sin x ， ∴2tan x＞2cos x＞21－sin x∴c ＞b ＞a(限时：30分钟)1．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：可以直接用特殊角来验证．取x ＝π6，则sin x ＝12≥12成立，故排除D ；再取x ＝π2，则sin x ＝1≥12成立，排除A ；再取x ＝5π6，则sin x ＝sin 5π6＝12≥12成立，故选B.答案：B2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b解析：如图作出角α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM ＞0，c ＝tan(－1)＜a ＝sin(－1)＜0，即c ＜a ＜b .答案：C3．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫54π，32π解析：如图，当π4＜α＜5π4时，sin α＞cos α，故选C.答案：C4．cos1，sin1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解析：如图，有OM ＜MP ＜AT ，即cos1＜sin1＜tan1. 答案：D5．下列关系中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin12° B ．sin12°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin 12°＜cos10°D ．sin12°＜cos10°＜sin11°解析：在单位圆中画出角12°，11°的相应正弦线，10°的相应余弦线，直接观察可知选C.答案：C6．在(0,2π)内使cos x ＞sin x ＞tan x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，7π4解析：在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出．答案：C7．若α、β为第二象限角，且sin α＞sin β，则cos α与cos β的大小关系为__________．解析：如图，显然有cos α＞cos β. 答案：cos α＞cos β 8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0； ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|； ④sin θ＋cos θ＞0.解析：若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z .解得⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z10．求函数y ＝log 2sin x 的定义域．解析：要使函数有意义，x 的取值满足sin x ＞0. 如图所示，MP →是角x 的正弦线，则有sin x ＝MP ＞0， ∴MP 的方向向上，∴角x 的终边在x 轴的上方， ∴2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即函数y ＝log 2sin x 的定义域是(2k π，2k π＋π)，k ∈Z .11．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3＜x ＜2k π＋π3k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z )．故x 的取值范围为{x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }．12．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α，在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.。

高中数学人教B版四学案：第一单元 1.2.2 单位圆与三角函数线含答案

1。

2.2单位圆与三角函数线学习目标1。

了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切。

2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。

知识点一单位圆思考1什么叫单位圆？思考2点的射影是如何定义的?梳理(1)单位圆把________的圆叫做单位圆.(2)单位圆中角α的坐标角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的________和________.知识点二三角函数线思考1三角函数线的长度等于三角函数的值吗?思考2三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？梳理三角函数线类型一三角函数线例1作出－错误!的正弦线、余弦线和正切线.反思与感悟（1）作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.（2)作正切线时，应从点A（1，0）引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.跟踪训练1在单位圆中画出满足sin α＝错误!的角α的终边,并求角α的取值集合。

类型二利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较sin错误!和sin错误!,cos错误!和cos错误!，tan错误!和tan错误!的大小。

反思与感悟利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：（1)角的位置要“对号入座”。

(2)比较三角函数线的长度.(3）确定有向线段的正负。

跟踪训练2比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小.类型三利用三角函数线解不等式（组)命题角度1利用三角函数线解不等式组例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合。

（1)sin α≥错误!；(2)cos α≤－错误!.反思与感悟用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1）先找到“正值"区间，即0~2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期。

(2)注意区间是开区间还是闭区间。

7.2.2单位圆与三角函数线—2020-2021学年高一数学人教B版第三册第七章三角函数同步习题

单位圆与三角函数线一、选择题1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4C.π4或5π4D.π4或7π42．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θB ．sin θ＜cos θ＜tan θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ3．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4； ③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( ) A ．[0，π6] B ．[π6，5π6] C ．[π6，2π3] D ．[5π6，π] 二、填空题5．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．6．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________．三、解答题8．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值． 9．把sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5按从小到大的顺序排列．10．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.单位圆与三角函数线1．解析：由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4. 答案：C2．解析：由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.答案：A3．解析：根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.答案：B4．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x ≥12的取值范围是[π6，5π6]．答案：B5．解析：∵π4<1<π3， ∴正弦线大于余弦线的长度，∴sin 1>cos 1.答案：sin 1>cos 16．解析：作图如下：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM7．解析：要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′，其对应的一个角分别为136π，56π，所求函数定义域为[2k π＋56π，2k π＋136π](k ∈Z )．答案：[2k π＋56π，2k π＋136π](k ∈Z ) 8.解析：如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33. 9．解析：在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线，即0<sin 2π5<tan 2π5，所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos 6π5<sin 2π5<tan 2π510．解析：若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

高中数学三角函数习题及答案

高中数学三角函数习题及答案第一章三角函数一、选择题１.已知α 为第三象限角,则2α所在的象限是( ). A.第一或第二象限??? ??B ．第二或第三象限 C.第一或第三象限D.第二或第四象限2.若s ｉn θｃo ｓθ>0,则θ在( ）. A ．第一、二象限?? ??? B.第一、三象限 C ．第一、四象限?? ?D.第二、四象限3．ｓi ｎ3π4cos 6π5tan ??3π4－=( ). A.-433?Ｂ.433C.－43D.434．已知t ａn θ＋θtan 1=2，则ｓin θ+ｃos θ等于( ). A ．2B.2C.-2 ?D ．±25.已知ｓｉｎ x ＋cos ｘ=51(0≤x ＜π)，则tan x 的值等于( )． A ．-43B.-34C ．43 ?D ．34 ６．已知si ｎα ＞sin β，那么下列命题成立的是( ）. A ．若α，β 是第一象限角，则ｃo ｓα >co ｓβ B.若α,β 是第二象限角,则t ａn α >ｔａn β C ．若α,β 是第三象限角，则ｃos α >ｃｏs β D ．若α，β 是第四象限角,则t ａn α >tan β 7.已知集合A ={α|α=2ｋπ±3π2，ｋ∈Ｚ},B ＝{β|β=４k π±3π2,k ∈Ｚ},C = {γ｜γ＝k π±3π2,ｋ∈Z }，则这三个集合之间的关系为（ ). A.A ?B ?Ｃ?B ．Ｂ?A ?Ｃ?? C.C ?A ?B ?D ．Ｂ?C ?Ａ8．已知cos （α+β)=１,ｓin α＝31,则ｓin β 的值是（ )．Ａ．31 B ．－31??C ．322?? D.－322 9．在(0，2π)内,使sin x ＞cos ｘ成立的x 取值范围为( ）．A.??? ??2π ，4π∪???4π5 ，π ?B ．??π ，4πＣ．??4π5 ，4π?D ．??? ??π ，4π∪???23π ，4π510.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( )．A ．y =ｓｉn ??? ??3π － 2x ，ｘ∈R B ．ｙ＝sin ??? ??6π ＋2x ,x ∈RC.ｙ＝sin ??? ??3π ＋2x ,x ∈R ? D .y ＝sin ??? ?32π ＋2x ,x ∈R二、填空题11.函数f (x )=si ｎ2 x +3t ａn x 在区间??3π4π ，上的最大值是．12．已知sin α＝552,2π≤α≤π，则ｔan α＝． 1３.若s ｉｎ??? ??α ＋2π＝53,则ｓin ??α －2π＝．14．若将函数y ＝ta ｎ??? ?4π ＋x ω(ω＞0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y ＝ta ｎ6π ＋x ω的图象重合，则ω的最小值为．15.已知函数ｆ(x )＝21(ｓinx ＋co ｓｘ)－21|sin x －cos ｘ|,则f (x )的值域是 .1６.关于函数ｆ(ｘ)＝4si ｎ??? ?3π ＋2x ,x ∈R ，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4c ｏs ??? ?6π － 2x ；②函数 y ＝ f （x )是以２π为最小正周期的周期函数; ③函数y =f (ｘ）的图象关于点(－6π，０)对称; ④函数y ＝ｆ(x )的图象关于直线x ＝－6π对称. 其中正确的是_____＿________. ?三、解答题１7.求函数f （ｘ）＝lgsin ｘ＋1cos 2-x 的定义域．18．化简：(1))－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－αααααα180cos cos 180tan 360tan sin 180sin ;（２）)－()＋()－()＋＋(πcos πsin πsin πsin n n n n αααα（n ∈Z ).19.求函数ｙ=s ｉn ??? ?6π － 2x 的图象的对称中心和对称轴方程.20．(1)设函数f （x ）＝xax sin sin ＋(0<ｘ<π)，如果 a ＞０，函数ｆ(ｘ)是否存在最大值和最小值，如果存在请写出最大（小)值；(2）已知k ＜0，求函数y =ｓin 2 x +k (ｃos x -1)的最小值．参考答案一、选择题 1.D解析:2k π＋π＜α<２k π+23π，ｋ∈Z ?k π＋2π<2α<="">π,k ∈Z ．2．B解析：∵ si ｎθcos θ>０,∴ si ｎθ,c ｏs θ同号．当si ｎθ>0,c ｏｓθ>０时，θ在第一象限；当sin θ<0,cos θ＜0时,θ在第三象限. 3．Ａ解析:原式＝??-??? ??-??? ?-3πtan 6πcos 3πsin =-433． 4．D解析：tan θ+θtan 1＝θθcos sin ＋θθsin cos ＝θθcos sin 1＝2,s ｉn θ c ｏs θ=21．（si ｎθ＋ｃos θ)２=１＋2ｓi ｎθcos θ=2．si ｎθ＋cos θ=±2． 5.B解析:由得25cos 2 x -５cos ｘ-１２＝０．解得c ｏs ｘ=54或－53．又0≤x ＜π，∴ s ｉn x >0．若cos x ＝54，则sin x ＋co ｓx ≠51,∴ co ｓ x ＝-53，sin x =54，∴ tan x =-34．6.D解析：若α，β 是第四象限角，且ｓin α>si ｎβ，如图，利用单位圆中的三角函数线确定α，β 的终边，故选D ．7．B解析：这三个集合可以看作是由角±3π2的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到的角的集合.8．B解析：∵ c ｏs (α+β）=1, ∴ α＋β＝2k π,k ∈Ｚ. ∴ β＝２k π－α．∴ sin β＝ｓｉn (2k π-α)＝ｓin (-α）=-si ｎα＝-31.9．C解析：作出在(0,２π)区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4π和45π，由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．10．C1＝cos ＋sin 51＝cos ＋sin 22x x x x (第6题`)解析:第一步得到函数y ＝sin ?+3πx 的图象,第二步得到函数y =si ｎ??? ?+3π2x 的图象. 二、填空题１１．415. 解析：f (x )=ｓin ２ x ＋3t ａnx 在3π4π ，上是增函数，f (ｘ)≤si ｎ23π+3ｔａn3π=415． 12.-2.解析:由si ｎα=552，2π≤α≤π?cos α＝-55，所以tan α=-2.1３.53. 解析：sin ??? ??α ＋2π=53,即c ｏs α＝53，∴ s ｉｎ?? α －2π＝co ｓα=53.１4．21.解析：函数y ＝tan ??? ?4π＋x ω （ω＞0）的图象向右平移6π个单位长度后得到函数ｙ＝tan ??4π＋6π－x ω＝tan ??ωω6π－4π＋x 的图象，则6π=4π-6πω+ｋπ(k ∈Ｚ), ω=6ｋ＋21，又ω＞0，所以当k ＝0时，ωｍｉn ＝21． 15.??221 ，－. 解析:f (x ）=21（si ｎx +co ｓ x )-21|si ｎ x -ｃos ｘ|=)＜()(x x x x x x cos sinsin cos ≥sin cos 即ｆ（ｘ)等价于m ｉn ｛sin ｘ，c ｏs x },如图可知, f (ｘ)max ＝ｆ ??4π=22，ｆ(x )m ｉｎ=f (π) =-1．(第15题)16．①③．解析：① ｆ(ｘ）=4s ｉn ??? ??+3π2x ＝４cos ??? ??--3π22πx＝４cos ??? ?+-6π2x＝4c ｏs ??? ?-6π2x ．② T =22π＝π，最小正周期为π.③ 令 2x +3π＝ｋπ，则当ｋ=0时，x =－6π，∴ 函数f (ｘ)关于点??0 6π－，对称．④ 令 2ｘ+3π＝ｋπ＋2π，当 x =－6π时，ｋ=－21，与ｋ∈Z 矛盾．∴ ①③正确．三、解答题17.{x ｜２ｋπ<="" ≤2k="">4π，k ∈Z ｝. 解析：为使函数有意义必须且只需-② 0 ≥1 cos 2①＞0 sin x x先在[0，２π)内考虑x 的取值，在单位圆中,做出三角函数线．由①得x ∈(0,π），由②得x ∈［0，4π］∪[47π,2π］. 二者的公共部分为x ∈4π0，.所以,函数f （x )的定义域为{x ｜2k π＜x ≤２k π＋4π,k ∈Ｚ}．１８．（1)-1;(２) ±αcos 2．解析:(１）原式=αααααα cos cos tan tan sin sin －＋－－＝-ααtan tan =－1.(2)①当n ＝２ｋ，ｋ∈Z 时,原式=)－()＋()－()＋＋(π2 cos π2sin π2sin π2sin k k k k αααα=α cos 2．②当ｎ=2k ＋1,k ∈Z 时，原式=])＋－([])＋＋([])＋－([]＋)＋＋([π12 cos π12sin π12sin π12sin k k k k αααα=－αcos 2．(第17题)19．对称中心坐标为0 ，12π ＋2πk ;对称轴方程为x ＝2πk ＋3π(k ∈Z ). 解析：∵ y ＝ｓi ｎ x 的对称中心是(ｋπ，０)，k ∈Z ,∴ 令2x -6π=k π,得x =2πk ＋12π. ∴ 所求的对称中心坐标为0 ，12π ＋2πk ,k ∈Z .又 y =si ｎｘ的图象的对称轴是x =k π＋2π，∴ 令2x －6π=k π＋2π,得x =2πk +3π. ∴ 所求的对称轴方程为x ＝2πk +3π(k ∈Z )． 20．(1)有最小值无最大值,且最小值为１+a ; (２)0. 解析:(1) f (ｘ)＝x a x sin sin ＋＝1+xasin ,由０<="" ｎ="">x ＝1时,f (x )取最小值１＋ａ；此函数没有最大值.（2）∵-1≤c ｏｓx ≤１，k <０，∴ k (ｃo ｓ x －1)≥０，又ｓin ２x ≥0，∴ 当ｃos x ＝1，即ｘ=2k π(k ∈Z )时，f (x )＝sin 2 x ＋ｋ(cos ｘ－1)有最小值f （x ）min =０．。

7.2.2 单位圆与三角函数线同步练习(含解析)- 高中数学人教B版(2019)必修第三册

7.2.2 单位圆与三角函数线（同步练习）- 高中数学人教B 版（2019）必修第三册一、选择题1．满足1sin 2α>的角的集合为( ) A.π2π,3k k αα⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B.π2π,6k k αα⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C.π2π2π2π,33k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D.π5π2π2π,66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，cos α=( )A.35B.35C.25D.253．已知()()cos π,111,1x x f x f x x ≤⎧=⎨-+>⎩，则4433f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为( ) A.12B.12-C.-1D.14．若MP 和OM 分别是角7π6的正弦线和余弦线，则( )A.0MP OM <<B.0OM MP >>C.0OM MP <<D.0MP OM >>5．如果OM 、MP 分别是角π5α=的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )A.0MP OM <<B.0MP OM <<C.0MP OM >>D.0OM MP >>6．如果MP 和OM 分别是角7π8α=的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( ) A.0MP OM << B.0OM MP >>C.0OM MP <<D.0MP OM >>7．若3π,24πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则下列各式中正确的有的个数是( ) ①sin cos 0θθ+<；②sin cos 0θθ->；③sin cos θθ<；④sin cos 0θθ+>. A.1个B.2个C.3个D.4个8．下面四个不等式中不正确的为( ) A.11sinππ1515< B.0.9220.9< C.311lnlog 22< D.0.30.220.3>二、多项选择题9．设非负实数y x ,满足21,x y +=则x 的（） A.最小值为45B.最小值为25C.最大值为1D.最大值为13+ 三、填空题10．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是______.（用“>”连接） 11．若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B θθππ++，写出θ的一个取值为___________. 12．已知5π3π42θ<<，角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是,,MP OM AT ，则||,||,||MP OM AT 的大小关系为_________________（用“>”连接）.13．在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45,且点A 在第二象限,则cos α=________.四、解答题14．已知11|sin |sin αα=-，且lg(cos )α有意义. （1）试判断角α的终边所在的象限；（2）若角α的终边与单位圆相交于点3(,)5M m ，求m 及sin α的值.15．利用三角函数线，求出满足sin 02cos 10αα⎧⎨-⎩的角α的集合.16．设1cos tan ,3αβ==3,0,22πππαβ<<<< 求αβ-的值. 17．已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求证：1sin cos 2ααπ<+<.参考答案1．答案：D 解析：因为π5π1sinsin 662==, 根据单位圆以及三角函数线的性质可得1sin 2α>的角的集合为: π5π|2π2π,66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ,故选:D. 2．答案：A解析：由题意，点A 的纵坐标为45，点A 的横坐标为35-，∴由三角函数的定义可得3cos 5α=-，故选A ． 3．答案：D 解析：因为44π1cos 332f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41π31cos 13332f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以443113322f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 4．答案：C解析：在单位圆中画出角7π6的正弦线MP 和余弦线OM ，如图所示，则0OM MP <<. 故选：C.5．答案：D 解析：作出π5α=的正弦线MP 和余弦线OM ，如下图所示：由于ππ054<<，由图可知，0OM MP >>. 故选：D. 6．答案：D 解析：已知角7π8α=，作出单位圆中α的正弦线MP 、余弦线OM ，如图所示，比较知0MP OM >>. 故选：D.7．答案：B解析：如图，因为3π,24πθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin 0MP θ=>，cos 0OM θ=<，且MP OM >，所以sin cos 0θθ+>，sin cos 0θθ->，sin cos θθ>，所以①错误，②正确，③错误，④正确，故选：B.8．答案：B解析：A ，如图，利用三角函数线可知，1π15所对的弧长为1π15，1sin π15DE =，11sinππ1515DE DA <<∴=，A 对；B ，由于0.921>，200.91<<，B 错； C，如图，3ln 2log 20>>，则3311lnln 2log log 2022=-<=-<3311ln ln 2log log 2022=-<=-<，C 对；D ，0.3000.22210.30.3>==>，D 对；故选：B. 9．答案：AC解析：令cos ,sin x r y r θθ==[]π,0,,0,2r θ⎡⎤∈∈+∞⎢⎥⎣⎦,则2cos sin 1r r θθ+=,带入得22cos 1cos 2cos sin x x y r r θθθθ+++=+=+2222211112211t t t t t t -++=-+++ 2211511()42t t t ==+---,期中[]tan 0,12t θ=∈,因此值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．答案：sin1cos1>或cos1sin1< 解析：ππ143<<，Rt OAM ∴△中，OM AM <.根据三角函数线的定义得出：cos1OM =，sin1AM =，sin1cos1∴>.故答案为：sin1cos1>. 11．答案：512π（满足512k θπ=+π，k ∈Z 即可）解析：(cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B θθ⎛ππ⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即θ，6θπ+关于y 轴对称， 26k θθπ++=π+π，k ∈Z ，则512k θπ=π+，k ∈Z ，当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足512k θπ=π+，k ∈Z 即可）.12．答案：||||||AT MP OM >> 解析：如图，可知||||||AT MP OM >>.13．答案：35-解析：因为A 点纵坐标45A y =,且A 点在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A 点横坐标35A x =-．故3cos 5α=-．14．答案：（1）11|sin |sin αα=-， sin 0α∴<.①lg(cos )α有意义，cos 0α∴>.②由①②得角α的终边在第四象限. （2）点3,5M m ⎛⎫⎪⎝⎭在单位圆上，22315m ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，解得45m =±.又α是第四象限角，0m ∴<，45m ∴=-.由三角函数定义知，4sin 5α=-.解析：15．答案：若1cos 2α=，则角α对应的余弦线的方向与x 轴的正方向相同，且长度为12. 作出示意图如图所示，角α的终边可能是OE ，也可能是OF ，即π2π,3k k α=+∈Z 或π2π,3k k α=-+∈Z . 若α的终边在单位圆中的范围如图中阴影部分所示，则一定有1cos 2α，即2cos 10α-，故满足1cos 2α的角α的集合为ππ|2π2π,33k k k αα⎧⎫-++∈⎨⎬⎩⎭Z .易知满足sin 0α的角α的集合为{|2ππ2π,}k k k αα+∈Z . 综上可知，满足条件的角 α的集合为π|2π2π,3k k k αα⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭Z .解析：16．答案：由53cos ,2παπα=<<得25sin tan 2.αα==又1tan ,3β=于是12tan tan 3tan()111tan tan 123αβαβαβ---===++⨯ 由3,022πππαβ<<<<得30,,222πππβαβ-<-<<-< 因此, 5.4παβ-=解析：17．答案：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ，过P 作,,,PM Ox PN Oy M N ⊥⊥分别为垂足. 所以sin MP y α==，所以cos OM x α==. 在OMP △中，OM MP OP +>, 所以sin cos 1αα+>. 所以111sin 222OAP S OA MP y α=⋅==△，所以111cos 222OBP S OB NP x α=⋅==△， 21144OAB S π=π⨯=扇形.又因为OAP OBP OAB S S S +<扇形△△，所以11sin cos 224ααπ+<，即sin cos 2ααπ+<.所以1sin cos 2ααπ<+<. 解析：。

高中数学学业分层测评4单位圆与三角函数线含解析新人教B版必修4

学业分层测评(四)单位圆与三角函数线(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A.在x 轴上B.在y 轴上C.在直线y ＝x 上D.在直线y ＝x 或y ＝－x 上【解析】∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α终边在y 轴上.故选B.【答案】 B2.(2016·石家庄高一检测)如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A.cos θ＜tan θ＜sin θB.sin θ＜cos θ＜tan θC.tan θ＜sin θ＜cos θD.cos θ＜sin θ＜tan θ【解析】由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.【答案】 A3.在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 【解析】如图阴影部分(不包括边界)即为所求.【答案】 C4.若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( ) A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】当0＜α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角. 【答案】 D5.(2016·天津高一检测)依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.【答案】 B二、填空题6.(2016·西安高一检测)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________.【解析】作图如下：。

高中数学课后强化作业四单位圆中的三角函数线 A必修4 试题(共2页)

新田一中高中数学必修4课后强化(qiánghuà)作业〔四〕：单位圆
中的三角函数线
一、选择题
1．角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a，b，c，假如5π4
<α<3π
2
，那么a，b，c的大小关系为()
A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b
2．角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在() A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝－x上 D．直线y＝x上
3．以下各式正确的选项是()
A．sin1>sin π
3
B．sin1<sin
π
3
C．sin1＝sin
π
3
D．sin1≥sin
π
3
4．假设MP和OM分别是角α＝7π
8
的正弦线和余弦线，那么以下结论中正确的
选项是
A．MP<OM<0B．OM>0>MP C．OM<MP<0 D．MP>0>OM
二、填空题
5．假设角α的余弦线长度为0，那么它的正弦线的长度为________．
6．假设角α的正弦线的长度为1
2
，且方向与y轴的正方向相反，那么sinα的
值是________．
三、解答题
7．解不等式组⎩⎨⎧ sin x ≥0，
2cos x －1>0.
8．在单位(dānwèi)圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出
α组成的集合．
内容总结。

高中数学复习：三角函数的概念练习及答案

高中数学复习：三角函数的概念练习及答案1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝3，则cos A 的值是（） A ．35 B ．45 C ．43 D ．542.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（）A ．34B ．43C ．35D ．453.如图，点A 为α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（）A ．BD BCB ．BC AB C ．AD AC D ．CDAC4.角θ的终边过点P （－1,2），则sin θ等于（） A ．√55 B ．2√55C ．－√55D ．－2√555.已知角α的终边过点P （－3,4），则sin α＋cos α等于（） A ．35 B ．－45 C ．15 D ．－15 6.已知点P 在角4π3的终边上，且|OP |＝4，则P 点的坐标为（）A ．（－2，－2√3）B ．（－12，－√32）C ．（－2√3，－2）D ．（－√32，－12）7.已知α是第二象限角，P（x，√5）为其终边上一点，且cosα＝√24x，则x等于（）A．√3B．±√3C．－√2D．－√38.已知角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），则2sinα＋cosα的值是（）A．1 B．25C．－25D．－19.如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝________.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______.11.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝√10，则m－n＝________.12.已知角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，点P（a，b）是α终边上的一点，且|OP|＝√5，求a＋b的值.13.若角θ同时满足sinθ＜0，且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14.若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是（）A．第一象限的点 B．第二象限的点 C．第三象限的点 D．第四象限的点15.函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是（）A．{3} B．{3，－1} C．{3,1，－1} D．{3,1，－1，－3}16.点A（sin2011°，cos2011°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17.如果角α的终边经过点P（sin780°，cos（－330°）），则sinα等于（）A．√32B．12C．√22D．118.sin1830°等于（）A．12B．－12C．√32D．－√3219.求下列各式的值.（1）cos25π3＋tan（；（2）sin（－1320°）cos1110°＋cos（－1020°）sin750°＋tan495°.20.下列说法不正确的是（）A．当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点B．当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D．余弦线和正切线的始点都是原点21.不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（）A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在22.函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（） A ．cos310°＜sin136°＜tan224° B ．sin136°＜cos310°＜tan224° C ．cos310°＜tan224°＜sin136° D ．tan224°＜sin136°＜cos310°23.设a ＝sin （－1），b ＝cos （－1），c ＝tan （－1），则有（） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b25.如图，MP → 、OM → 、AT→ 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，则其数量一定有（）A ．MP ＜OM ＜ATB ．OM ＜MP ＜ATC ．AT ＜OM ＜MPD ．OM ＜AT ＜MP 26.若0＜α＜2π，则使sin α＜√32和cos α＞12同时成立的α的取值范围是（）A ．（－π3，π3）B ．（0，π3） C ．（5π3，2π） D ．（0，π3）∪（5π3，2π）27.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合. （1）sin α≥√22；（2）cos α≤12；（3）|cos α|＞|sin α|.28.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围. （1）sin θ≥√32；（2）－12≤cos θ＜√32.答案1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝4，b＝3，则cos A的值是（）A．35B．45C．43D．54【答案】A【解析】∵∠C＝90°，a＝4，b＝3，∴c＝√42+32＝5，∴cos A＝bc ＝35.2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则cosα的值是（）A．34B．43C．35D．45【答案】D【解析】根据网格特点可知，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得，AB＝√AC2+BC2＝5，则cosα＝ACAB ＝45.3.如图，点A为α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．BDBC B．BCABC．ADACD．CDAC【答案】C【解析】∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD ＝∠ACD ＋∠BCD ， ∴∠α＝∠ACD ，∴cos α＝cos ∠ACD ＝BDBC ＝BCAB ＝DCAC ，只有选项C 错误.4.角θ的终边过点P （－1,2），则sin θ等于（） A ．√55 B ．2√55 C ．－√55 D ．－2√55【答案】B【解析】由题意可得，x ＝－1，y ＝2，r ＝|OP |＝√5， ∴sin θ＝√5＝2√55.5.已知角α的终边过点P （－3,4），则sin α＋cos α等于（） A ．35 B ．－45 C ．15 D ．－15 【答案】C【解析】sin α＝45，cos α＝－35，故sin α＋cos α＝15. 6.已知点P 在角4π3的终边上，且|OP |＝4，则P 点的坐标为（）A ．（－2，－2√3）B ．（－12，－√32）C ．（－2√3，－2）D ．（－√32，－12）【答案】A【解析】设P 点的坐标为（x ，y ），由三角函数的定义得，x＝|OP|cos4π3＝4×（－12）＝－2，y＝|OP|sin4π3＝4×(−√32)＝－2√3.则P（－2，－2√3）.7.已知α是第二象限角，P（x，√5）为其终边上一点，且cosα＝√24x，则x等于（）A．√3B．±√3C．－√2D．－√3【答案】D【解析】∵cosα＝xr ＝√x2+5＝√24x，∴x＝0（∵α是第二象限角，舍去）或x＝√3（舍去）或x＝－√3.8.已知角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），则2sinα＋cosα的值是（）A．1B．25C．－25D．－1【答案】C【解析】∵角α的终边过点P（－4m,3m）（m＜0），∴r＝|OP|＝√(−4m)2+(3m)2＝√25m2＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×3m−5m ＋−4m−5m＝－65＋45＝－25.9.如图，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD＝4，AC＝6，则sin∠EBC＝________.【答案】√53【解析】∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠CBE＝∠DAC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，AC＝6，∴CD＝√AC2−AD2＝√62−42＝√20＝2√5，∴sin∠DAC＝CDAC ＝2√56＝√53，∴sin∠EBC＝√53.10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是______.【答案】34【解析】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°.∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tan∠A＝BCAC ＝68＝34.11.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P（m，n）是α终边上一点，且|OP|＝√10，则m－n＝________.【答案】2【解析】∵y＝3x，sinα＜0，∴点P（m，n）位于y＝3x在第三象限的图象上，且m＜0，n＜0，n＝3m.∴|OP|＝√m2+n2＝√10|m|＝－√10m＝√10.∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.12.已知角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，点P（a，b）是α终边上的一点，且|OP|＝√5，求a＋b的值.【答案】∵角α顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边在直线l：2x－y＝0上，且cosα＜0，∴点P（a，b）在第三象限，a＜0，b＜0，∴tanα＝2，即b＝2，又|OP|＝√5，即a2＋b2＝5，解a得a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.13.若角θ同时满足sinθ＜0，且tanθ＜0，则角θ的终边一定落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由sinθ＜0，可知：θ的终边在第三、四象限或终边落在y轴的非正半轴上；由tanθ＜0，可知：θ的终边在第二、四象限.综上可知：角θ的终边一定落在第四象限.14.若A、B为锐角△ABC的两内角，则点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是（）A．第一象限的点B．第二象限的点C．第三象限的点D．第四象限的点【答案】D【解析】∵A、B是锐角△ABC的两个内角，∴A＋B＞π2，∴A＞π2－B，B＞π2－A，sin A＞sin（π2－B）＝cos B，sin B＞sin（π2－A）＝cos A，∴sin B－cos A＞0，cos B－sin A＜0，∴点P（sin B－cos A，cos B－sin A）是第四象限的点.15.函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是（）A．{3}B．{3，－1}C．{3,1，－1}D．{3,1，－1，－3}【答案】B【解析】当x是第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，tan x＞0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝1＋1＋1＝3；当x是第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，tan x＜0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，tan x＞0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，tan x＜0，则y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|＝－1＋1－1＝－1；综上可得，函数y＝sinx|sinx|+|cosx|cosx+tanx|tanx|的值域是{－1,3}.16.点A（sin2011°，cos2011°）在直角坐标平面上位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】∵sin2011°＝sin （5×360°＋211°）＝sin211°＜0，cos2011°＝cos （5×360°＋211°）＝cos211°＜0，∴横坐标和纵坐标都是负数，∴对应的点位于第三象限.17.如果角α的终边经过点P （sin780°，cos （－330°）），则sin α等于（）A ．√32B ．12C ．√22D ．1【答案】C【解析】sin780°＝sin （2×360°＋60°）＝sin60°＝√32，cos （－330°）＝cos （－360°＋30°）＝cos30°＝√32，所以点P （√32，√32），所以r ＝|OP |＝√62. 由三角函数的定义，得sin α＝y r ＝√32√62＝√22. 18.sin1830°等于（）A ．12B ．－12C ．√32D ．－√32 【答案】A【解析】sin1830°＝sin （30°＋5×360°）＝sin30°＝12.19.求下列各式的值.（1）cos 25π3＋tan （；（2）sin （－1320°）cos1110°＋cos （－1020°）sin750°＋tan495°.【答案】（1）原式＝cos （＋tan （＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.（2）原式＝sin （－4×360°＋120°）cos （3×360°＋30°）＋cos （－3×360°＋60°）sin （2×360°＋30°）＋tan （360°＋135°）＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°＝√32×√32＋12×12－1＝0. 20.下列说法不正确的是（）A ．当角α的终边在x 轴上时，角α的正切线是一个点B ．当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在C ．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D ．余弦线和正切线的始点都是原点【答案】D【解析】余弦线始点是原点，正切线的始点是点（1,0）.21.不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是（）A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在【答案】D【解析】由三角函数线概念及三角函数定义可知D正确.22.函数值tan224°，sin136°，cos310°的大小关系是（）A．cos310°＜sin136°＜tan224°B．sin136°＜cos310°＜tan224°C．cos310°＜tan224°＜sin136°D．tan224°＜sin136°＜cos310°【答案】A【解析】tan224°＝tan44°，sin136°＝sin44°，cos310°＝cos50°＝sin40°，如图∠COF＝44°，CF是44°的正切线，EG是正弦线，OE是余弦线，DI是40°的正弦线，由图可知CF＞EG＞DI，所以cos310°＜sin136°＜tan224°.23.设a＝sin（－1），b＝cos（－1），c＝tan（－1），则有（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【答案】C【解析】作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM ＞0，a ＝MP ＜0，c ＝AT ＜0，且MP ＞AT .∴b ＞a ＞c ，即c ＜a ＜b .24.如果MP 、OM 分别是角3π16的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（）A ．MP ＜OM ＜0B ．MP ＜0＜OMC ．MP ＞OM ＞0D ．OM ＞MP ＞0【答案】D【解析】如图可知，OM ＞MP ＞0.25.如图，MP → 、OM → 、AT→ 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，则其数量一定有（）A ．MP ＜OM ＜ATB ．OM ＜MP ＜ATC ．AT ＜OM ＜MPD ．OM ＜AT ＜MP【答案】A【解析】∵MP → 、OM → 、AT → 分别是240°角的正弦线、余弦线、正切线，∴MP → ＝sin240°，OM → ＝cos240°，AT → ＝tan240°，其数量关系为：MP ＜OM ＜AT .26.若0＜α＜2π，则使sin α＜√32和cos α＞12同时成立的α的取值范围是（）A ．（－π3，π3）B ．（0，π3）C ．（5π3，2π）D ．（0，π3）∪（5π3，2π）【答案】D【解析】∵0＜α＜2π，sin α＜√32，∴0＜α＜π3或2π3＜α＜2π，①∵0＜α＜2π，cos α＞12，∴0＜α＜π3或5π3＜α＜2π，②①②取交集得0＜α＜π3或5π3＜α＜2π.27.利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合.（1）sin α≥√22；（2）cos α≤12；（3）|cos α|＞|sin α|. 【答案】（1）由下图知：当sin α≥√22时，角α满足的集合为{α|π4+2k π≤α≤3π4+2k π,k ∈Z}.（2）由下图知：当cos α≤时，角α满足的集合为{α|π3+2k π≤α≤5π3+2k π,k ∈Z}.（3）如下图，作出单位圆.所以角α满足的集合为{α|k π−π4<α<k π+π4，k ∈Z}28.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围.（1）sin θ≥√32；（2）－12≤cos θ＜√32.【答案】（1）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2k π+π3≤θ≤2k π+2π3，k ∈Z}.（2）下图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即{θ|2kπ−23π≤θ≤2kπ−π6或2kπ+π6<θ≤2kπ+23π，k∈Z}.。

高中数学三角函数练习题及答案

高中数学三角函数练习题及答案一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左､右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，则椭圆E 的离心率为___________.3．平面向量i a 满足：1(0,1,2,3)i a i ==，且310i i a ==∑．则012013023a a a a a a a a a ++++++++的取值范围为________．4．已知单位向量1e ，2e 与非零向量a 满足12322e e +≤()120a e e ⋅-≤，则()1232a e e a⋅+的最大值是______.5．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .D 、E 是线段AB 上满足条件1()2CD CB CE =+，1()2CE CA CD =+的点，若2CD CE c λ⋅=，则当角C 为钝角时，λ的取值范围是______________6．已知()()()cos sin 0f x x x x ωωωω=>，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有()()()002016f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为___________.7．在直角坐标系中，ABC 的顶点()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，C⎝，且ABC 的重心G 的坐标为⎝，()cos αβ-=__________. 8．已知向量a ，b ，c 满足0a b c ++=，()()0a b a c -⋅-=，||9b c -=，则||||||a b c ++的最大值是___________.9．已知当()0,x π∈时，不等式2cos 23sin 20cos 4sin 1x x x x +-≤--的解集为A ，若函数()()()sin 0f x x =+<<在x A ∈上只有一个极值点，则ϕ的取值范围为______．10．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且222a c b ac +-=，则sin cos A C 的最大值为______．二、单选题11．已知函数()()2212sin 2,2212,x a x af x x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥=⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[)0,∞+内恰有5个零点，则a的取值范围是（） A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．75,2,342⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（） A ．-6 B ．-8C ．-9D ．-1213．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a <<D ．b a c <<14．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则cos A 的最小值为（）A ．23B ．73C ．74D ．3415．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦16．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π17．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BCBC A AC+的取值范围为（）A ．)43,8⎡⎣B ．)43,7⎡⎣C ．()7,8D ．(0,4318．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） A ．(21,)-+∞B ．(12,)++∞C ．(1,12)D ．(31,)++∞19．在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，且3sin cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（） A ．(6,23⎤⎦B ．(0,43⎤⎦C ．(23,43⎤⎦D ．(6,43⎤⎦20．已知函数22sin sin ,[1,1]()22,(1,)x x a a x f x x ax a x ⎧++-∈-=⎨-+∈+∞⎩若关于x 的不等式()0f x 对任意[1,)x ∈-+∞恒成立，则实数a 的范围是（） A ．[0,2]B ．(,0][2,)-∞+∞C ．(,0][1,2]-∞D ．[0,1][2,)⋃+∞三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由． 23．已知向量()2cos ,1a x =，()3sin cos ,1b x x =+-，函数()f x a b =⋅.（1）若()065f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值；（2）若函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，求正数ω的取值范围. 24．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.25．将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象.（1）若()f x 为偶函数，求ϕ；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围.26．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.27．已知函数()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心坐标；（2）若02πα-<<，()1f α=，求sin 2α的值.28．已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+- (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的单调增区间； (3)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求函数的值域．29．已知函数()()()21?0f x cos x sin x x ωωωω=>，()12 1()3f x f x ==-，，且12min 2x x π-=.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()237,,,sin 33235,25f ππβπαβαβ⎛⎫⎛⎫∈-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2f α⎛⎫⎪⎝⎭的值.30．设向量a =（2sin 2x cos 2xx ），b =（cos x ，sin x ），x ∈[-6π，3π]，函数f （x ）=2a •b ．（1）若|a b |，求x 的值；（2）若f （x ）-m m 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．9823．4⎡⎤⎣⎦4 5．12(,)369- 6．140327．238．3+39．2(0,)(,)33πππ⋃10．12+二、单选题 11．D 12．A 13．D 14．C 15．A 16．C 17．A 18．B 19．D 20．C 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积 1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，则100100BP x DQ y =-=-，，在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+，∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题. 23．（12）104ω<≤ 【解析】【分析】（1）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由()065f x =，结合026x π+的范围以及平方关系得出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，由002266x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=结合两角差的余弦公式求解即可；（2）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭应该包含在()y f x ω=的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数ω的取值范围. 【详解】（1）())2cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅=+-=+=+ ⎪⎝⎭因为()065f x =，所以062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0272366x πππ≤+≤所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以00001cos 2cos 22sin 266626x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525⎛⎫=-+⨯= ⎪⎝⎭ （2）()2sin 26y f x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.令222262k x k ππππωπ-≤+≤+，k Z ∈得36k k x ππππωωωω-≤≤+，k Z ∈ 因为函数()y f x ω=在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数所以存在0k Z ∈，使得002,,3336k k ππππππωωωω⎛⎫⎛⎫⊆-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以有0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩因为0>ω，所以016k >-又因为2123322πππω-≤⨯，所以302ω<≤，则03312k ≤+，所以056k ≤ 从而有01566k -<≤，所以00k =，所以104ω<≤.【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题. 24．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2 【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π，22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ，即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；（2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2；当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题 25．（1）6π=ϕ；（2）,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据三角恒等变换对()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化简变形为()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，然后可得到图象左移之后的函数()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，利用三角函数偶函数的性质即可求出ϕ；（2）先求出2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭，再根据ϕ的范围求出26πϕ+和22πϕ+的范围，从而根据单调性列出关于ϕ的不等式，解之即可求得结果. 【详解】（1）()()14sin sin 21cos 22g x x x x x x ⎫=-=--⎪⎪⎝⎭ 2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， ∴()2sin 2216f x x ϕπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. 又()f x 为偶函数，则()262k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<≤，∴6π=ϕ；（2）7,6x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2222,22662x πππϕπϕπϕ⎛⎫++∈++++ ⎪⎝⎭.02πϕ<≤，∴72,666πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，32,222πππϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单调函数，∴26202ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩， ∴,62ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.26．(1)0 (2)32【解析】【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值.（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒=故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()2222g x g m ==-⨯-=-⇒= 故答案为32m =【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.27．（1）最小正周期为π，对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）12-. 【解析】【分析】（1）利用辅助角公式先将函数()y f x =的解析式化简，然后利用周期公式计算出函数()y f x =的最小正周期，令()23x k k Z ππ+=∈，解出x 的表达式可得出对称中心坐标；（2）由()1f α=得出1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角α的范围求出α的值，代入sin 2α并结合诱导公式求出sin 2α的值．【详解】（1）()1sin 222sin 222f x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 2sin 2333x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()y f x =的最小正周期为22ππ=，令()23x k k Z ππ+=∈，解得()26k x k Z ππ=-∈，因此，函数()y f x =的对称中心坐标为(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）()2sin 213f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得1sin 232πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 02πα-<<，22333πππα∴-<+<，236ππα∴+=，得26πα=-，因此，1sin 2sin sin 662ππα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查三角函数的周期和对称中心，考查三角函数求值，解三角函数问题首先就是要将三角函数解析式化简，在求值时，要利用已知角来配凑未知角，借助同角三角函数的基本关系以及两角和差公式进行计算，考查计算能力，属于中等题．28．（1）π；（2）3[],88k k k Z ππππ-+∈，；（3）[-. 【解析】【分析】（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数的值域.【详解】（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24x f x x x x x π-=+-⋅=++，所以函数的最小正周期为2=2ππ. （2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，. （3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)44x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.29．(1) 单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2) 15. 【解析】【分析】（1）根据题意求出函数()f x 的解析式，然后可求出它的单调递减区间．（2）结合条件求出()424sin ,cos 3525πβαβ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，然后由()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得结果．【详解】（1）()2()1f x cos x sin x x ωωω=221sin xcos x x ωωω=+221)1sin x cos x ωω=--221sin x x ωω=-2(2)13sin x πω=+-． ∵1(2)13sin x πω-≤+≤， ∴32(2)113sin x πω-≤+-≤， ∴()f x 的最大值为1，最小值为3-．又()()121,3f x f x ==-，且12min 2x x π-=， ∴函数()f x 的最小正周期为22ππ⨯=，∴1ω=， ∴()2(2)13f x sin x π=+-．由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 的单调递减区间为7[,],1212k k k Z ππππ++∈．（2）由（1）得3212335f sin βππβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴4sin 35πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ∵2,33ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0,33ππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3cos 35πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭． ∵()7sin 25αβ+=-且2,,33ππαβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴24,33ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴()24cos 25αβ+==-． ∴()2sin 12sin 1233f αππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2sin cos cos sin 133ππαββαββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7324421255255⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯--⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15=．【点睛】（1）解答有关三角函数性质的有关问题时，首项把函数解析式化为(x)Asin(x )f ωϕ=+的形式，然后再结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意系数,A ω对结果的影响．（2）对于三角变换中的“给值求值”问题，在求解过程中注意角的变换，通过角的“拆”、“拼”等手段转化为能应用条件中所给角的形式，然后再利用整体思想求解．30．（1）π4x =；（2）2⎤⎦. 【解析】【分析】（1）根据|a |=b |，利用化简函数化简解得x 的值；（2根据f （x ）＝2a •b ．结合向量的坐标运算，根据x ∈[6π-，3π]，求解范围，）﹣f （x ）﹣m ≤m 的取值范围．【详解】解：（1）由|a b |，可得222a b =；即4sin 2x =2（cos 2x +sin 2x ）即sin 2x =12；∴sin x =∵x ∈[-6π，3π]， ∴x =4π（2）由函数f （x ）=2a •b =2sin2x 2x=sin2x +1122-cos2x ）=sin2x x （2x -3π）∵x ∈[-6π，3π]， ∴2x -3π∈[-23π，3π]，2≤2sin （2x -3π）要使f （x ）-m则2m m ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩2m ≤故得m 的取值范围是2]．【点睛】本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力．。

高中数学单位圆与三角函数线训练 A必修4 试题

卜人入州八九几市潮王学校新建一中2021高中数学单位圆与三角函数线训练教A 必修4【课前预习】1.单位圆：半径为的圆叫做单位圆。

2.三角函数线：角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，那么M ，N 分别是点P 在x 轴，y 轴上的，那么点P 的坐标为，其中=αcos ，=αsin ，即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的。

以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，y '轴与α的终边〔或者〕，相交于点T 〔或者T '〕那么AT =αtan 〔或者T A '〕，那么把轴上向量ON OM ,和AT 〔或者T A '〕分别叫做α的、和。

【例题讲解】例1分别做出ππ32,43-的正弦线、余弦线和正切线。

例2假设20πα<<，证明：αααtan sin << 【根底稳固】 MP 和OM 分别是π1312的正弦线和余弦线，那么有〔〕 A.0<<OMMP B.OM MP <<0 C.0<<MP OM D.MP OM <<02.1tan ,1cos ,1sin 的大小关系为〔〕A.1tan 1cos 1sin <<B.1cos 1tan 1sin >>C.1tan 1sin 1cos <<D.1cos 1sin 1tan << 3.βαsin sin >〕βα、是第一象限，那么βαcos cos <βα、是第二象限，那么βαtan tan > βα、是第三象限，那么βαcos cos > βα、是第四象限，那么βαtan tan > 〔1〕︒57sin ︒145sin〔2〕5.3cos 4cos 〔3〕)70tan(︒- ︒210tan。

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高中数学-单位圆与三角函数线练习题
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B
2.对角α的正弦线叙述错误的是（） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段
C.正弦线的长度为不大于1的正数
D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C
3.如图1-1-2，PM⊥x 轴，AT⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.
图1-1-2 图1-1-3
解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα
4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.
解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.
正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-
43π＜α＜2
π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（）
图1-1-4
A.sinα＜tanα＜cosα
B.tanα＜sinα＜cosα
C.cosα＜sinα＜tanα
D.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出4
3π
-
＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，
|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .
答案：D
2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（）
A.第一象限
B.第一、二象限
C.第三象限
D.第一、三象限
解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D
3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（）
A.（
4π，2π）∪（π，45π） B.（4
π
，π）
C.（4π，45π）
D.（4
π
，π）∪（45π，23π）
解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x∈（
4
π
，4
5π
）.
答案：C
4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.
答案：A
5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.
证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.
6.设
4
3π
＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.
解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b ＞c.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.(安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（）
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不大于0
解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,
2
π
),则sinθ+cosθ的一个可能值是（） A.
32 B.7
2π
C.224-
D.1
解析：由θ∈(0，2
π
)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选
C.
答案:C
3.适合cosα≥
2
1
的角α的集合是（） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+3
2π
］（k∈Z ）
C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k∈Z ）
D.［2kπ+3π，2kπ-3
π
］（k∈Z ）
解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3
π
.
答案：C
4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.
答案：B
5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)
4
π
；(2)32π-.
解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .
(1) (2)
6.利用三角线，求满足sinx≤2
1
的角x 的集合. 解：由图可知，值为
21的正弦线11P M 和2
2P M ，易得出∠M 1OP 1=6
π
，∠M 2OP 2
=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+6
13π
，k∈Z ｝.
7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤
2
1
，
所以x∈［2kπ+
3
π
，2kπ+35π］（k∈Z ）.
8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2
-
4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取
值范围.
解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为
⎪⎩⎪
⎨⎧>•>+>∆,0,0,02
121x x x x 即 ⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪
⎪⎨
⎧
>-+>->+---.01
sin 22
sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或
故
2
1
＜sinα＜23.
利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，
故2kπ+
6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+3
2π＜α＜2kπ+65π，k∈Z ，即α的取值范围是
{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k∈Z }∪{α|2kπ+3
2π
＜α＜2kπ+65π，k∈Z }.
9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2
α+sin 2
α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt△MOP 中，|OM|2
+|MP|2
=｜OP ｜2=1，
所以cos 2
α+sin 2
α=1.
10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.
解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，
2
），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由
α=，
显然S △OAP ＜S
扇形OAP
＜S △OAT ，即
21·OA ·MP ＜2
1
·OA ·＜
2
1
··AT .化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.。